Radiocommunications
Circuits résonants
Joël Redoutey - 2009
Circuit résonant série
1 2
R L C
Z
12= R + jL ω + 1/jC ω Z
12= R + (1- LC ω
2)/jC ω
Z
12est minimale pour ω = ω
0tel que LC ω ω ω ω
02= 1
f LC
π 2
1
0
=
Z
12( ω
0) = R
Coefficient de surtension Qs
1 2
Rs Ls Cs
S S
S
R
Q = L ω
0ω
0= 2 π f
0S S
C f L
π
2
1
0
=
Bande passante
) 0 1
(
0 01
12
ω ω ω
ω
ω ∆
− +
∆ + +
= R jL Z
Z
12= R + jL ω + 1/jC ω LC ω
02= 1
Z12 = R + jLω + LCω02 /jCω = R + jL(ω - ω02/ω) On se place à ω = ω
0 + ∆ω proche de la résonance
Z
12= R + jL( ω
0+ ∆ω - ω
02/( ω
0+ ∆ω ))
si x petit 1/(1+x) ≈ 1- x Z12 ≈ R + jL[ω0 + ∆ω - ω0(1- ∆ω/ω0)]
Z12 ≈ R + 2jL∆ω = R(1 + 2j∆ωL/R)
+ ∆
=
012
1 2
ω ω ω
jL R R
Z
Bande passante à -3 dB
+ ∆
=
0 0
12
1 2
ω ω ω
jL R R
Z
• A la résonance ∆f = 0 Z12 = R
+ ∆
=
+ ∆
=
0 0
12
1 2 1 2
f jQ f
R jQ
R
Z
S Sω ω
• On se place à f = f0 + ∆f tel que
2 1
0
=
∆
f Q
Sf
Z12 = R√2 et la phase de Z12 est égale à 45°
B = 2 ∆ f = f
0/Q
sest la bande passante à -3 dB du circuit résonant série
12 RLC
V
I
Qs et bande passante
Q
SB = f
0Circuit résonant parallèle
1
2
R L C
Y
12= G +1/jL ω + jC ω
ω ω jL G jLC
Y
2 12
1 − +
=
Y
12est minimale pour ω = ω
0tel que LC ω ω ω ω
02= 1 Z
12est maximale à la résonance
Z 12 ( ω 0 ) = R
f LC
π
2
1
0
=
Coefficient de surtension Qp
0 0
ω
P Pω
P P
P
R C
L
Q = R =
ω
0= 2 π f
0P P
C f L
π 2
1
0
=
1
2
Rp Lp Cp
Bande passante
Y12 = G +1/jLω + jCω
LC ω
02= 1
Y12 = G +jC(ω - ω02/ω)
On se place à ω = ω
0
+ ∆ω proche de la résonance
+ ∆
−
∆ + +
=
0 0 0
12
1
ω ω ω ω
ω
jC GY
Y12 ≈ G + j2C∆ω
∆
+
=
∆
+
=
0 0
0 12
1 2 1 2
f Q f
G G G jC
Y
Pω ω ω
si x petit 1/(1+x) ≈ 1- x
∆
+
=
∆
+
=
0 0
0 12
1 2 1 2
f Q f
G G G jC
Y
Pω ω ω
Bande passante
• A la résonance ∆f = 0 Y12 = G et Z12 = R
• On se place à f = f0 + ∆f telle que
2 1
0
=
∆
f Q
Pf
|Y12(ω)| = G√2 et donc |Z12(ω)| = R/√2
B = 2 ∆ f = f
0/Q
Pest la bande passante à -3 dB du circuit résonant parallèle
Qp et bande passante
1
2
Rp Lp Cp
I
Q
B = f
0Récapitulatif
B = f
0/Q
PB = f
0/Q
SBande passante à –3dB
Q
P= R
P/L
pω ω ω ω
0= R
PC
pω ω ω ω
0Q
S= L
Sω ω ω ω
0/R
S= 1/R
SC
Sω ω ω ω
0Facteur de surtension
Z
P= R
P∠ ∠ ∠ ∠ 0°
Z
S= R
S∠ ∠ ∠ ∠ 0°
Impédance à la résonance
LC ω ω ω ω
02= 1 LC ω ω ω ω
02= 1
Condition de résonance
Résonance
parallèle
Résonance série
Réactance
A la résonance on a toujours LC ω ω ω ω
02= 1
C’est-à-dire L ω ω ω ω
0= 1/C ω ω ω ω
0= X X est la réactance
Une impédance complexe s’écrit Z = R + jX Si X>0 la réactance est inductive
Si X<0 la réactance est capacitive
Facteur de qualité en charge Q L
Thévenin
RP = Rg // RL
ω
0ω R C
Q
L= R
P=
PRL
L C
Rg
Rg L C RL
Exemple
Générateur:
F = 50 MHz Rg= 150Ω
Charge:
RL=1000 Ω
• Calculer le circuit résonant pour Q=20 à 50 MHz
• Donner sa bande passante à -3 dB
RL
L C
Rg
Correction
• Résistance parallèle équivalente:
R
P= 150 . 1000/(150+1000) = 130 Ω
• Réactance:
X
P= R
P/Q
P= 130/20 = 6,5 Ω
• Valeur de l’inductance:
X
P= L ω
0= 2 π fL L= 6,5/314.10
6= 20,7 nH
• Valeur de la capacité:
X
P= 1/C ω
0C = 10
-6/6,5.314 = 490 pF
• Bande passante:
B = f
0/Q
P= 50.106/20 = 2,5MHz
Amortissement
Les résistances de source et de charge amortissent
le circuit ce qui réduit le Q et élargit la bande passante
Prise intermédiaire
L C1
Rs
C2
Rs L C
Prise intermédiaire capacitive Prise intermédiaire inductive
Permet de réduire l’amortissement
La résistance R
Pramenée en parallèle avec le circuit est divisée par le carré du rapport de transformation n: R
P=R
S/n²
n = C1/(C1 + C2) n = n2 / n1 (auto transformateur)
Circuits couplés
R2 C2
R1 C1 L1 L2
M
Q1=Q2=Q f01 = f02
2 1
L L K = M
Coefficient de couplage
Affaiblissement relatif
∆f relatif
Transformation série-parallèle
1
2
1
2
Xs Rs
Rp Xp
Zs = Rs + jXs Zp = Rp // jXp
+
=
2
1
S S S
P
R
R X R
S P S
P
X
R X = R
S S
S
R
Q = X
P PX
Q = R
Qs = Qp
Transformation parallèle-série
1
2
1
2
Xs
Rp Xp
Rs
Zs = Rs + jXs Zp = Rp // jXp
2
1
+
=
P P P S
X R R R
P P S
S
X
R X = R
S S
S
R
Q = X
P PX
Q = R
