Caroline POINTUD Julien DROU
Elodie TRAUMAT Elise AUBRY
Anne-Sophie VIAUD
Exposé de mathématiques sur le thème « Aire et périmètre »
ANALYSE DES EVALUATIONS DE SIXIEME
Corpus analysé :
Il faut savoir que ces deux notions d’aire et de périmètre n’ont pas forcément été évaluées tous les ans, et que, selon les années, il y a eu de un jusqu’à quelques items (comme en 2001) qui ont été consacrés à ces notions.
Dans ces évaluations nationales de sixième, un exercice peut correspondre à un ou plusieurs items, car il peut permettre d’évaluer plusieurs compétences en même temps (il y a plusieurs consignes dans l’énoncé de l’exercice, donc plusieurs réponses de l’élève).
- Evaluations de 2000 : item 89 (ex n°38, repris de 1999)
- Evaluations de 2001 : item 6 (ex n°2), items 38 et 39 (ex n°19, repris de 1998), item 58 (ex n°28, repris de 1998) et item 70 (ex n°36).
- Evaluations de 2002 : items 22 à 24 (ex n°11) et item 66 (ex n°33, repris de 1997)
- Evaluations de 2003 : items 22 à 24 (ex n°11 repris de 2002) et item 67 repris de 2002.
- Evaluations de 2004 : item 88 (ex n°38) Analyse du corpus :
L’analyse de ces évaluations de sixième permet de se rendre compte que les notions d’aire et de périmètre sont des points sensibles voir faibles, et donc d’en déduire que les élèves ont des difficultés dans ces domaines.
En effet, on constate par exemple, grâce aux évaluations nationales de
2001, qui ont particulièrement mis l’accent sur des exercices apportant
des informations sur les notions d’aire et de périmètre, que tout le champ
appelé « Travaux géométriques » a globalement été réussi à 62,7%.
Mais, si on y regarde de plus près, il y a une très grande disparité des réussites : les élèves ont réussi pour 92 % d’entre eux à reconnaître 2 droites qui semblaient parallèles, mais ils ne sont plus que 16% à réussir à tracer un rectangle ayant même périmètre qu’une figure donnée sur quadrillage (cf. ex n°36)!
Ce faible taux de réussite, comme le précisent les commentaires et analyse des réponses des élèves, est toutefois explicable par la notion mise en jeu (périmètre) ainsi que par la multiplicité et la complexité des tâches successives à effectuer.
Il est intéressant de remarquer que dans les réponses fausses données à cet exercice, une forte proportion (37%) d’élèves a tracé un rectangle de même aire et non de même périmètre. Cette erreur semble due à la présence du quadrillage qui incite fortement à « compter des carreaux » et donc à « penser aire et non périmètre ».
Par ailleurs, lors des évaluations de 2000, seule la moitié des élèves (56%) est parvenue à calculer la mesure d’un côté d’une figure connaissant son périmètre, le mot « périmètre » n’étant volontairement pas cité dans le texte. Cette même proportion avait déjà été constatée lors des évaluations de 1999 (reprise en 2000 du même exercice).
Par ailleurs, les évaluations de 2002 et 2003 permettent de remarquer que les élèves sont troublés lorsqu’il s’agit d’évaluer à l’aide d’un quadrillage l’aire d’une figure si le comptage des carreaux-unités conduit à un nombre non entier de carreaux. L’exercice est alors moins réussi (chute de 10%) que si le comptage des carreaux-unités est simple et classique, c’est-à-dire conduit à un nombre entier de carreaux (le taux de réussite passe de 70% à 60%).
Globalement, on constate que les élèves réussissent assez bien les exercices concernant les aires lorsque ceux-ci ont pour support un quadrillage, ou tout au moins lorsqu’ils utilisent les pavages. Par contre, ils ont fortement tendance à abandonner tout raisonnement de bon sens et toute procédure efficace jusque-là dès qu’ils ont besoin de formules, à confondre aire et périmètre, à associer une augmentation de l’aire à une augmentation du périmètre.
Ces difficultés peuvent s’expliquer par le fait que les connaissances
scolaires sur les aires ont souvent été réduites à l’apprentissage et à
l’usage de formules. Ainsi une trop grande prépondérance a été donnée
au calcul et à la mesure, ce qui constitue un obstacle considérable à
l’apprentissage des notions d’aire et de périmètre et qui prive l’intuition
de moyens commodes et de preuves accessibles.
Pour éviter cette centration prématurée, voire exclusive sur les aspects calculatoires, les programmes officiels de 2002 font une grande place aux activités manipulatoires dans la démarche d’enseignement.
Cette démarche consiste à réaliser d’abord des travaux de comparaison d’aires (superposition mentale ou effective, découpages et recompositions - mentales ou effectives) et seulement après de passer à la mesure par le choix d’un étalon (un carreau = une unité, par exemple), suivi d’une familiarisation avec certaines unités du Système International.
Il faut à ce titre remarquer l’évolution des programmes de 2002 par rapport à ceux de 1995 :
Les nouveaux programmes expliquent comment il faut faire acquérir les notions d’aire et de périmètre alors que les programmes de 1995 ne le faisaient pas et, par ailleurs, insistaient beaucoup plus sur les conversions d’unités (qui sont à envisager sous un autre angle que celui des tableaux de conversion selon les programmes de 2002).
Pour mémoire :
Les programmes de 1995 indiquaient dans la partie « Mesure » au cycle 3 (extrait cité):
- Mesure de diverses grandeurs dont l’aire - Distinction entre aire et périmètre
- Unité de mesure pour les aires : cm2, dm2, m2, km2 - Ordre de grandeur pour aire, choix de l’unité appropriée - Périmètre d’un polygone, d’un cercle
- Aire d’un rectangle
- Utilisation d’un recueil de formules simples - Conversions d’unités
L’élève en fin de cycle 3 sera capable de :
Il aura une bonne connaissance des unités usuelles et des liens qui les unissent ;
Donner un ordre de grandeur et utiliser l’unité appropriée dans certaines situations particulières
Il maîtrisera la notion d’aire et connaîtra les unités les plus couramment utilisées (cm2 et m2) ;
Il sera capable de mesurer le périmètre et l’aire d’un carré, d’un
rectangle, le périmètre d’un cercle et saura utiliser un formulaire.
GRANDEURS ET MESURES : AIRE ET PÉRIMÈTRE
(I.O., docs d’application et d’accompagnement, compétences concernant le périmètre, compétences concernant l’aire)
● Les I.O.
Les notions d’aire et de périmètre font partie du domaine « Grandeurs et mesure ». Les programmes insistent sur la résolution de problèmes concrets.
En ce qui concerne l’aire, il faut d’abord proposer des activités de classement et rangement de surfaces. Les activités de mesurage ne viennent qu’après.
Les connaissances a acquérir concernant l’aire sont : - les comparaisons de surfaces selon leurs aires - la différenciation de l’aire et du périmètre
- la mesure d’aires à l’aide d’une unité donnée, unité usuelle (cm2, dm2, m2, km2).
Concernant le périmètre : - calculer le périmètre d’un polygone.
Résumé des documents d’application et d ’accompagnemen t
Au cycle 3, la résolution de problèmes de mesure de longueurs et d’aires aide les élèves à prendre conscience de l’insuffisance des entiers et de la nécessité d’introduire d’autres nombres : fractions, puis nombres décimaux.
Le mot grandeur n’a pas à être utilisé en classe : il est remplacé par « longueur », « aire »,
« aire » préféré à « surface »
On distingue trois catégories d’activités (application) :
1. comparer des objets selon une grandeur, sans mesurer, classer, en utilisant des procédés de comparaison adaptés : découpage, recollement ou superposition pour les aires, superposition pour les longueurs
L’objectif est de construire au préalable le sens de la grandeur (aire et périmètre) indépendamment de la mesure.
- comparaison directe : longueurs corporelles (tour de cou, de tête, taille) ; comparaisons de longueurs de l’environnement,
- comparaison indirecte : recours à un objet intermédiaire (longueur servant de gabarit, fil que l’on déroule, découpage et recollement pour les aires)
2. Mise en relation des objets et de la mesure d’une des grandeurs qui peuvent leur être attachées ; estimations et mesures exactes
(exemple : mesure : comparaison de lignes brisées ou courbes sur une feuille)
Placer les élèves dans des situations de mesurage (intervalle de confiance dû à la précision des instruments de mesure). Attention : les élèves ne doivent pas considérer en fin de cycle 3 qu’une mesure s’obtient uniquement à l’aide d’un mesurage effectif (schémas cotés
nécessitent d’abandonner le mesurage)
Un travail sur le vocabulaire est nécessaire : les préfixes sont porteurs de sens pour les longueurs.
kilo = 1000 ; hecto = 100 ; déca = 10 ; centi = 1/100 ; milli = 1/1000 Mais pour les aires, le sens n’est plus le même : rapport 100
3. Les formules
Pour les aires seulement : pas de recours à une formule pour calculer le périmètre : c’est le sens du mot périmètre qui doit permettre de résoudre le problème
Remarque : Les élèves sont habitués à anticiper les résultats des comparaisons avant de les valider par l’expérience, estimer la mesure avant de procéder au mesurage (exemple : parcourir le gymnase avant d’en donner la mesure) à partir de longueurs connues : taille d’une personne (1 à 2 m), empan de la main (10 à 20 cm) , dimension d’une pièce usuelle (4 à 5 mètres)
Activités et compétences attendues pour le périmètre :
1) Comparer et classer des figures selon leur périmètre, sans mesurer : - Activités de comparaison directe de périmètres :
Comparer le périmètre (bien distinct) de deux figures
-Activités de comparaison indirecte :
Utiliser des instruments pour mesurer des objets physiques ou géométriques (Dès le CE2)
- Comparaison de longueurs corporelles (tour de cou, tête, taille) à l’aide d’une ficelle; - comparaisons de longueurs dans l’environnement (arbre le plus près, distance entre deux points dans la cour, …) à partir de longueurs connues : taille d’une personne (1 à 2 m), empan de la main (10 à 20 cm), dimension d’une pièce usuelle (4 à 5 mètres).
- Comparaison de lignes brisées ou courbes sur une feuille : reporter les segments de chaque ligne brisée ou courbe sur deux lignes droites à l’aide d’un compas par exemple.
- Comparer le périmètre de plusieurs figures à l’aide d’une ficelle ou d’un compas, les classer du plus grand au plus petit :
2/ Mesure et périmètre
L’utilisation des instruments fait l’objet d’un apprentissage avant de faire des activités de mesurage.
Utiliser des instruments pour mesurer des objets physiques ou géométriques
(Dès le CE2)
- espaces familiers : longueurs de la classe, du gymnase
Ermel p.435 : trouver un ordre de grandeur : estimer puis mesurer Une salle, un couloir,…
- objets géométriques : estimer puis mesurer
- Sur un dessin à l’échelle 1, déterminer le périmètre d’une surface polygonale en prélevant les longueurs nécessaires.
Ermel CM1
Exprimer par un nombre le résultat d’un mesurage, l’unité étant imposée (dès CE2)
La mesure du périmètre s’exprime en unités de longueur (côté de carreau du quadrillage,…) - - Comparer le périmètre de plusieurs figures : estimation puis vérification à l’aide d’un instrument, classer les périmètres des figures dans l’ordre croissant ou décroissant.
( voir document qui suit)
Construire ou réaliser un objet dont les mesures sont données ( Dès CE2)
- Construire un rectangle qui a le même périmètre qu’une figure donnée :
Construis un rectangle de même périmètre que la figure donnée :
Connaître les unités du système métrique (Dès CM1)
Familiarisation avec la signification des préfixes :
kilo = 1000 ; hecto = 100 ; déca = 10 ; centi = 1/100 ; milli = 1/1000
Le tableau de conversion n’est pas donné pour que les élèves comprennent la relation entre les unités : x 10, x 100, x 1000,… : 10 : 100, : 1000
Les exercices de transformation de mesures par changement d’unités doivent rester raisonnables et reposer sur la mobilisation systématique de connaissances telles que 1 km = 1000 m ; 1 m = 100 cm
Au-delà, cela ne constitue pas un exercice systématique.
Effectuer des calculs simples sur les mesures (Dès CE2)
-Calculer le périmètre d’un polygone :
- Sur un dessin à l’échelle 1, déterminer le périmètre d’une surface polygonale en prélevant les longueurs nécessaires
- « Une cour d'école a la forme d'un rectangle de 80 m de longueur et de 45 m de largeur. Une des longueurs est bordée par le bâtiment scolaire et l'on construit une clôture sur les trois autres côtés. Un portail de 4 m et une porte de 1 m sont installés.
Quelle longueur de clôture faut-t-il prévoir? »
- Un rectangle a pour périmètre 120 cm et l'un de ses côtés mesure 40 cm : calcule la longueur de l'autre côté
www.momes.net/education/ problemes/textes/problemes2.html
Le périmètre minimum
Assembler ces 4 pièces (sans les superposer) en une figure dont le périmètre sera le plus petit possible
RALLYE ESSONNE 2000, D’après " Jeux 4 " APMEP
PERIMETRE
Calcule le périmètre des figures qui suivent :
Activités et compétences attendues pour l’aire:
essentiellement au cycle 3, CM2
1) Classer et ranger des surfaces (des figures) selon leur aire : par superposition, découpage et recollement, ou pavage par une surface.
Les activités de classement et rangement des surface selon leurs aires précedent les activités de mesurage avec une unité choisie. On peut comparer des aires par superposition ou recomposition (réelles ou mentales). L’élève doit prendre conscience que l’aire d’un assemblage de figures ne change pas si l’assemblage est modofié.
Ex au tableau :
(2 figures identiques sont assemblées.
’ L’aire de l’assemblage ne change pas si on change la disposition des 2 figures.)
Donc l’aire obtenue par recollement de 2 surfaces est égale à la somme des aires de ces 2 surfaces. (Ceci n’est pas valable pour le périmètre par contre !)
Exemple d’activité pour cette compétence : cf Ermel CM1 p. 352
Objectif : comparer 3 rectangles qui n’ont pas la même aire.
Ce type d’activité permettra aux élèves de leur faire développer des procédures de comparaisons des aires mais sans mesure.
Ils pourront comparer les rectangles par inclusion d’un rectangle dans un autre ou par décomposition-recomposition effective.
On peut d’abord leur faire emmettre des hypotheses en leur demandant le rectangle le plus grand, le plus petit mais sans la possibilité de manipuler les rectangles.
puis on peut leur donné les rectangles pour qu’ils puissent valider ou invalider les hypothèses émises en manipulant les rectangles (découpage, décomposition-recomposition)
2) Construire une surface qui a même aire qu’une surface donnée (et qui ne lui est pas superposable)
Exemple d’activité pour cette compétence : Cf Ermel CM1 p.390-391
Objectif : Construire un rectangle de même aire qu’une autre figure.
(distribuer un quadrillage vierge et celui où il y a les figures dessus)
3) Différencier aire et périmètre d’une surface, en particulier savoir que 2 surfaces peuvent avoir la même aire sans avoir nécéssairement le même périmètre et qu’elles peuvent avoir le même périmètre sans avoir nécéssairement la même aire.
Les concepts de périmètre et d’aire ne doivent pas se réduire pour l’élève à des nombres ou des formules associés à des figures. Il est nécéssaire de mettre en place des activités qui permettent aux élèves de distinguer ces 2 notions.
Exemple d’activité :
Avec une aire donnée, construire 2 rectangles différents (non superposables) Ex: On veut 2 rectangles de 10m2 qui ne soient pas superposables.
Puis calculer le périmètre de chaque rectangle : le 1er = 14, le 2ème 22
On se rend compte que 2 rectangles ayant même aire peuvent ne pas avoir même périmètre.
On peut aussi faire l’inverse : définir le périmètre et construire 2 rectangles n’ayant pas la même aire.
Activité site internet : eduscol.education.fr/DOO49/aire-perimetre.htm
→ également une fiche avec aire constante sur ce site.
4) Mesurer l’aire d’une surface grâce à un pavage effectif à l’aide d’une surface de référence (dont l’aire est prise comme unité) ou grâce à l’utilisation d’un réseau quadrillé (le résultat étant une mesure exacte ou un encadrement).
D’abord comparaison puis mesure avec étalon, puis unités du système métrique
5) Calculer l’aire d’un rectangle dont l’un des côtés est de dimension entière ( CM2)
On peut leur faire avec des dimensions qui ne sont pas entières, mais ce n’est pas exigible (calculatrice, pavage,...)
Même aire
Hector a tracé deux figures. Il demande de créer une troisième figure qui le
même périmètre que la figure n°2 et la même aire que la figure n°1.
AIRE ET PERIMETRE
Calcule l'aire et le périmètre des figures qui suivent chaque fois que tu sais le faire : tu feras au préalable un schéma des figures.
www.crdp.ac-grenoble.fr/ imel/xenon/n6/aireperi/perim.html
6) Connaître et utiliser les unités usuelles (cm2, dm2, m2 et km2) (CM2)
La mesure d’aire s’exprime en unités d’aire
Attention ! Les unités doivent être associées à des formes variées.
Le carré ne doit donc pas être la seule unité rencontrée : le rectangle ou le triangle doivent également être proposés (par découpage et recollement du carré).
Mm2 avec du papier millimétré (6.4 cm x 3.8 cm)
- construire un rectangle d’aire donnée à partir d’une unité centimètre carré (Ermel CM2)
Exemple : p.418 : construire un rectangle d’aire 36 cm2 (4 x 9, 12 x 3,…)
p.424 : Trouver tous les rectangles d’aire 420 cm2 dont les dimensions sont des nombres entiers ( 1 x 420, 2x 410,…)
- Un centimètre carré est-il toujours carré ?
p.432 : construire des surfaces sur un quadrillage composé de carrés de 1 cm2, de formes différentes Voir document tiré de melusine.eu.org/syracuse/texpng/ cprl/christophe/6/aireactivites.xml
7) Connaître et utiliser quelques égalités : 1 m2 = 100 dm2
1 dm2 = 100 cm2 1 km2 = 1000000 m2
- ermel CM2: nécessité de convertir : Calculer l’aire du rectangle en cm2 de : (14 cm ; 18 cm), (234 cm ; 567 cm) puis : (1 m ; 50 cm), (68 cm ; 2.3 cm) Exemple : 234 cm x 537 cm = 132678 cm2
Voir document tiré de melusine.eu.org/syracuse/texpng/ cprl/christophe/6/aireactivites.xml
- Donner une aire en dm2
Le périmètre.
Définition.
Dictionnaire, le périmètre est le contour d’une figure plane, c’est la longueur de ce contour.
Ce terme apparaît au cycle 3 sous l’étiquette « grandeurs et mesures ».
Différentes erreurs commises par les élèves.
1. Erreur de parallaxe .
Mauvaise lecture de la graduation. Les élèves tiennent prennent en compte le bord de la règle.
Médiation : attention à la qualité de la règle, il vaut mieux distribuer à chaque élève le même outil de mesure. De plus, il faut faire en sorte que le zéro soit placé à l’extrémité de la règle.
2. Erreur liée à utilisation d’une formule.
Les élèves ont l’habitude d’appliquer des formules pour trouver un résultat, il faut expliquer que pour trouver la longueur d’un périmètre, l n’est pas nécessaire d’en avoir.
Médiation : faire travailler le périmètre en utilisant une ficelle pour que les enfants
se rendent compte qu’ils n’ont pas besoin de calculer ;
Attention : des problèmes de manipulation de la ficelle peuvent survenir, il faut prévoir un système (genre attache ou travail à deux pour réussir les mesures le plus précisément possible).
But : faire comprendre aux élèves que le périmètre est la somme de tous les côtés d’une figure.
3. Erreur car addition de toutes les mesures.
Les élèves prennent l’habitude de travailler en fonction d’un contrat didactique.
Ce dernier les laisse supposer qu’il faut obligatoirement utiliser toutes les données présentes dans l’énoncé qui leur est proposé.
Ils imaginent deux sortes de réponse :
o
Ils pensent que le périmètre est la somme de tous les segments tracés.
o
Ils fabriquent un théorème élève selon lequel le périmètre de la
réunion de 2 surfaces disjointes est égal à la somme des périmètres de ces 2 surfaces. En d’autre terme, ils étendent au périmètre les règles valables pour l’aire et le volume.
Médiation :faire tracer les 2 figures séparément puis mesurer leurs périmètres et demander de tracer la figure en entier.
4. Erreur liée au quadrillage.
Dans la tête des élèves, le quadrillage est associé au calcul de l’aire. De plus, ils ont souvent des problèmes pour compter le nombre de carreaux qui sont à l’intérieur ou à l’extérieur de la figure.
Origine de ces erreurs, ils assimilent le périmètre au nombre de carreaux, ou ils confondent aire/ périmètre car se sont 2 grandeurs du même objet.
Attention car souvent les erreurs résultent d’une mauvaise lecture de la question
Médiation : travailler en amont sur les quadrillages et sur les unités de mesure pour
qu’ils associent 1 carreau à 1 cm.
Attention, ne pas colorier la surface intérieure pour montrer que l’on cherche le contour de la figure car les élèves risquent de confondre d’avantage aire/périmètre.
5. Erreur liée à l’encombrement.
La place spaciale occupée par la figure donne à penser aux élèves que celle-ci est plus grande que l'autre.
Médiation:faire un travail de découpe avec les figures et proposer aux élèves de les mettre dans des positions plus appropriées pour pouvoir les comparer visuellement.
6. Erreur de lecture.
Quand la consigne est trop complexe. Les élèves se perdent dans toutes les données.
Médiation:travailler la lecture des consignes en repérant les éléments importants de la consigne.
7. Erreur d’unité.
Les erreurs proviennent de l'écriture des nombres, il manque l'unité ou la virgule.
Les erreurs proviennent du fait que les élèves ne font pas le lien entre les différentes correspondances (1carreau=1cm)
les erreurs sont causées par l'ignorance des élèves pour qui 1mètre peut être
équivalent à 1cm...
8. Erreur aire/périmètre
Les élèves ne comprennent pas que 2 surfaces de même aire n'ont pas toujours le même périmètre et que la variation du périmètre st indépendante de celle de l'aire.
Travail à mener.
Il faut demander aux élèves de comparer le périmètre des figures données:
avec un double décimètre
avec un compas en reportant sur une demi droite les côtés bout à bout
avec une ficelle pour entourer la surface de 2 figures puis comparer les longueurs des ficelles
avec la transformation de la figure pour pouvoir la comparer à une autre
BIBLIOGRAPHIE
- Les programmes 2002
- Les documents d’accompagnement et d’application, rubrique Grandeurs et Mesures - Ermel CM1, Apprentissages numériques et résolution de problèmes, Module 1 :
Mesurer les grandeurs - Eduscol.education.fr
- Ermel CM1 (p.435), CM2 (p. 418, 424, 432)
- www.momes.net/education/problemes-textes-problemes2.html - site Rallye Essonne 2000
- www.crdp.ac-grenoble.fr
- melusine.eu.org/syracuse/texpng/cprl/christophe/6/aireactivites.xml - site hatier-prepa concours maths
- cd37.free.fr
