[b Parcours différenciés : Trigonométrie c\

(1)

[b Parcours différenciés : Trigonométrie c\

Objectif 1 : savoir faire les exercices ], tenter les exercices ]].

Objectif 2 : savoir faire les exercices ], les exercices ]], tenter les exercices ]]].

Objectif 3 : savoir faire les exercices ] (si possible mentalement), les exercices ]] et les exercices ]]] et prendre des initiatives.

savoir faire : travail autonome avec des stratégie d’auto-correction.

tenter : travail de recherche, précision (par écrit) des pistes engagées, réflexion sur les résultats éventuellement établis.

prendre des initiatives : étendre l’exercice à une réflexion personnelle pour prolonger le travail réalisé (recherches doc- umentaires, se poser des questions et y répondre, trouver d’autres solutions pour une même question).

I. Trigonométrie dans un triangle rectangle

tExercice 1 ]

On considère la figure suivante : AB = 8 et ³ −−→ BG ; −→ B F ´

=

³ −→ B F ; −−→ B D ´

=

³ −−→ B D ; −→ B A ´ . Déterminer l’aire du quadrilatère AGF D.

b

A

b

B

b

D

b

F

b

G

tExercice 2 ]

On considère la figure suivante : AB = 3, BC = 2 et DC = 4.

Déterminer l’angle ³ −−→

B D ; −→

B A ´

b

A

b

B

b

C

b

D

(2)

II. Angle sur un cercle trigonométrique

tExercice 3 ]

³ O ; − → i , − →

j ´

est un repère orthonormé du plan et C est le cercle trigonométrique.

Placer les points M _i du plan tels que : 1. ³ → −

i ; OM −−−→ ₁ ´

= 7 π 3 2. ³ → −

i ; −−−→

OM 2

´

= − 11 π 6 3. ³ → −

i ; −−−→

OM ₃ ´

= 5 π 2 4. ³ → −

i ; −−−→

OM ₄ ´

= 91 π

5. ³ → −

i ; OM −−−→ ₅ ´

= − 15 π 4 6. ³ → −

i ; −−−→

OM 6

´

= 76 π 3 7. ³ → −

i ; −−−→

OM 7

´

= − 803 π 6 8. ³ → −

i ; −−−→

OM ₈ ´

= 111 π 2 tExercice 4 ]]

Reprendre les angles de l’exercice précédent et donner les mesures principales de chacun.

tExercice 5 ]]

³ O ; − → i , − →

j ´

est un repère orthonormé du plan et C est le cercle trigonométrique.

Placer les points M i du plan tels que : 1. ³ → −

i ; −−−→

OM 1

´

= π 3 2. ³ OM −−−→ ₁ ; −−−→ OM ₂ ´

= π 6

3. ³ −−−→

OM 2 ; −−−→

OM 3

´

= − π 4 4. ³ OM −−−→ ₃ ; −−−→ OM ₄ ´

= π

tExercice 6 ]

³ O ; − →

i , − → j ´

est un repère orthonormé du plan et C est le cercle trigonométrique.

Représenter en :

1. rouge, tous les points M du cercle C tels que ³ − → i ; −−→

OM ´

∈

· 0 ; 2 π

3 ¸

2. bleu, tous les points M du cercle C tels que ³ → − i ; −−→

OM ´

∈

· − 5 π 6 ; − π

2 ¸

tExercice 7 ]

³ O ; − →

i , − → j ´

est un repère orthonormé du plan et C est le cercle trigonométrique.

Placer un point M du cercle C tel que ³ − → i ; −−→

OM ´

= x avec x ∈ i 0 ; π

2 h . Placer sur le cercle les points M i tels que :

1. ³ → − i ; −−−→

OM 1

´

= − x 2. ³ → −

i ; −−−→

OM 2

´

= − x + π 3. ³ → −

i ; −−−→

OM ₃ ´

= x + π 4. ³ → −

i ; −−−→

OM 4

´

= x +

π

2

(3)

tExercice 8 ]

³ O ; − → i , − →

j ´

est un repère orthonormé du plan et C est le cercle trigonométrique.

Représenter en :

1. rouge, tous les points M du cercle C tels que ³ − → i ; −−→

OM ´

∈

· 0 ; 2 π

3 ¸

2. bleu, tous les points M du cercle C tels que ³ → − i ; −−→

OM ´

∈

· − 5 π 6 ; − π

2 ¸

III. cosinus et sinus

tExercice 9 ]

Soit la fonction f définie sur R par :

f : R → R

x 7→ f (x) = sin ³ x 2

´

.

1. Montrer que f est de période 4 π . 2. Montrer que f est impaire.

On restreint l’intervalle d’étude de la fonction f à [0 ; 2 π ].

3. Calculer f ^′ (x), où f ^′ est la fonction dérivée de la fonction f .

4. À partir du cercle trigonométrique, résoudre f ^′ (x) = 0 puis f ^′ (x) > 0 sur l’intervalle [0 ; 2 π ].

5. Donner le tableau de variations de la fonction f sur [0 ; 2 π ] puis le tableau de variations de f sur [ − 6 π ; 2 π ]

6. Vérifier la représentation graphique sur GeoGebra ou sur la calculatrice.

tExercice 10 ]

Soit la fonction f définie sur [0 ; 2 π ] par :

f : [0 ; 2 π → R x 7→ f (x) = x

2 + cos (x) .

1. Calculer f ^′ (x), où f ^′ est la fonction dérivée de la fonction f .

2. À partir du cercle trigonométrique, résoudre f ^′ (x) = 0 puis f ^′ (x) > 0 sur l’intervalle [0 ; 2 π ].

3. Donner le tableau de variations de la fonction f sur [0 ; 2 π ]

4. Vérifier la représentation graphique sur GeoGebra ou sur la calculatrice.

(4)

[b Correction c\

tExercice 1 ]

On considère la figure suivante :

b

A

b

B

b

D

b

F

b

G

AB = 8 et ³ −−→ BG ; −→ B F ´

=

³ −→ B F ; −−→ B D ´

=

³ −−→ B D ; −→ B A ´ .

³ −−→

BG ; −→

B F ´ +

³ −→

B F ; −−→

B D ´ +

³ −−→

B D ; −→

B A ´

=

³ −−→

BG ; −→

B A ´

= π (angle plat) Comme ³ −−→ BG ; −→ B F ´

=

³ −→ B F ; −−→ B D ´

=

³ −−→ B D ; −→ B A ´

, on en déduit 3 ³ −−→ BG ; −→ B F ´

= π soit ³ −−→ BG ; −→ B F ´

= π 3 . cos ³ −−→

B D ; −→

B A ´

= B D

AB ⇐⇒ B D = cos ³ −−→

B D ; −→

B A ´

× B A = cos ³ π 3

´

× 8 = 1

2 × 8 = 4.

On peut déduire la hauteur h 1 issue de D du triangle AB D : sin ³ −−→

B D ; −→

B A ´

= h 1

B D ⇐⇒ h 1 = sin ³ π 3

´

×B D = p 3

2 × 4 = 2 p 3.

Ainsi l’aire du triangle AB D est 8 × 2 p 3 2 = 8 p

3. De la même manière, dans le triangle rectangle B F D on a : cos ³ −→ B F ; −−→ B D ´

= B F

B D ⇐⇒ B F = cos ³ −→ B F ; −−→ B D ´

× B D = cos ³ π

3 ´

× 4 = 1

2 × 4 = 2.

On peut déduire la hauteur h ₂ issue de F du triangle B F D : sin ³ −→

B F ; −−→

B D ´

= h ₂

B F ⇐⇒ h ₂ = sin ³ π 3

´

× B F = p 3

2 × 2 = p 3.

Ainsi l’aire du triangle B F D est 4 × p 3 2 = 2 p

3. De la même manière, dans le triangle rectangle BGF on a : cos ³ −−→

BG ; −→

B F ´

= BG

B F ⇐⇒ BG = cos ³ −−→

BG ; −→

B F ´

× B F = cos ³ π

3 ´

× 2 = 1

2 × 2 = 1.

On peut déduire la hauteur h 3 issue de G du triangle BGF : sin ³ −−→ BG ; −→ B F ´

= h 3

BG ⇐⇒ h ₃ = sin ³ π 3

´

× BG = p 3

2 × 1 = p 3

2 . Ainsi l’aire du triangle BGF est

2 × p 3

2 2 =

p 3 2 . L’aire du polygone AGF D est donc 8 p

3 + 2 p 3 +

p 3 2 = 21 p

3 2 .

Remarque : une fois déterminé le côté DB du triangle rectangle AB D on peut utiliser le théorème de

Pythagore pour déterminer le dernier côté AD et en déduire l’aire du triangle et faire de même pour les

deux autres triangles rectangles B F D et BGF .

(5)

tExercice 2 ]

On considère la figure suivante :

b

A

b

B

b

C

b

D

AB = 3, BC = 2 et DC = 4.

Déterminer l’angle ³ −−→ B D ; −→ B A ´ Dans le triangle rectangle DBC : tan ³ −−→

DB ; −−→

DC ´

= BC DC = 1

2 . Avec la calculatrice arctan

µ 1 2

¶

≃ 0,4636 rad ou 26,57 ^◦ . Dans le triangle rectangle DC A :

tan ³ −−→

D A ; −−→

DC ´

= AC DC = 5

4 . Avec la calculatrice arctan

µ 5 4

¶

≃ 0,8961 rad ou 51,34 ^◦ . Dans le triangle rectangle DC A :

tan ³ −−→ AD ; −→ AC ´

= DC AC = 4

5 . Avec la calculatrice arctan

µ 4 5

¶

≃ 0,6747 rad ou 38,66 ^◦ .

³ −−→

D A ; −−→

DB ´

=

³ −−→

D A ; −−→

DC ´

−

³ −−→

DB ; −−→

DC ´

≃ 0,8961 − 0,4636 = 0,4325 rad ou 51,34 ^◦ − 26,57 ^◦ = 24,77 ^◦ . La somme des angles du triangle fait π rad ou 180 ^◦ ainsi ³ −−→

B D ; −→

B A ´

≃ π − 0,6747 − 0,4325 ≃ 2.0344 rad

ou 180 − 38,66 − 24,77 = 116,57 ^◦

(6)

tExercice 3 ]

0.5 1.0

− 0.5

− 1.0

−1.5

0.5 1.0

− 0.5

− 1.0 1.5

\ C

−

→ i

−

→ j

b

O c

b

M

₁

b

M

₃

b

M

₂

b

M

₄

b

M

₅

b

M

₆ b

M

₈

1. ³ → −

i ; OM −−−→ ₁ ´

= 7 π 3 On peut placer π

3 et compter 7 fois cet angle.

Pour la recherche d’une mesure principale (non obligatoire pour placer le point), on remarque que : 7 π

3 = 6 π 3 +

π 3 = 2 π +

π 3 . 7 π

3 ≡ π 3 (2 π ).

π

3 est dans l’intervalle [ − π ; π [, c’est la mesure principale de l’angle 7 π

3 . Le point M ₁ est associé à l’angle π

3 à un tour.

2. ³ → − i ; −−−→

OM 2

´

= −11 π 6 On peut placer − π

6 et compter 11 fois cet angle.

Pour la recherche d’une mesure principale (non obligatoire pour placer le point), on remarque que :

− 11 π

6 = − 12 π 6 +

π

6 = − 2 π + π 6 .

− 11 π

6 ≡

π 6 (2 π ).

Le point M 2 est associé à l’angle π

6 à un tour.

− 11 π

6 ≡

π 6 (2 π ).

π

6 est dans l’intervalle [ − π ; π [, c’est la mesure principale de l’angle − 11 π 6 . 3. ³ → −

i ; −−−→

OM ₃ ´

= 5 π 2 On peut placer π

2 et compter 5 fois cet angle.

Pour la recherche d’une mesure principale (non obligatoire pour placer le point), on remarque que : 5 π

2 = 4 π 2 +

π 2 = 2 π +

π 2 . 5 π

2 ≡ π 2 (2 π ).

Le point M 3 est associé à l’angle π

2 à un tour.

5 π 2 ≡

π 2 (2 π ).

π

2 est dans l’intervalle [ − π ; π [, c’est la mesure principale de l’angle 5 π 2 . 4. ³ → −

i ; OM −−−→ ₄ ´

= 91 π

On peut placer π et compter 91 fois cet angle.

Pour la recherche d’une mesure principale (non obligatoire pour placer le point), on remarque que :

91 π = 2 π × 46 − π .

(7)

91 π ≡ − π (2 π ).

Le point M 4 est associé à l’angle − π à 46 tours.

91 π ≡ − π .

− π est dans l’intervalle [ − π ; π [, c’est la mesure principale de l’angle 91 π . 5. ³ → −

i ; −−−→

OM ₅ ´

= − 15 π 4 On peut placer − π

4 et compter 15 fois cet angle.

Pour la recherche d’une mesure principale (non obligatoire pour placer le point), on remarque que :

− 15 π 4 = − 8 π

4 × 2 + π

4 = − 2 π × 2 + π 4 .

− 15 π

4 ≡

π 4 (2 π ).

Le point M 5 est associé à l’angle π

4 à 2 tours.

− 15 π

4 ≡

π 4 (2 π ).

π

4 est dans l’intervalle [ − π ; π [, c’est la mesure principale de l’angle − 15 π 4 . 6. ³ → −

i ; −−−→

OM 6

´

= 76 π 3 On peut placer π

3 et compter 76 fois cet angle.

Pour la recherche d’une mesure principale (non obligatoire pour placer le point), on remarque que : 76 π

3 = 6 π

3 × 12 + 4 π 3 = 6 π

3 × 13 − 2 π

3 = 2 π × 13 − 2 π 3 . 76 π

3 ≡ 4 π

3 (2 π ) ou 76 π 3 ≡ − 2 π

3 (2 π ) Le point M 6 est associé à l’angle − 2 π

3 à 13 tours µ

ou 4 π

3 à 12 tours

¶ . 76 π

3 ≡ − 2 π 3 (2 π ).

− 2 π

3 est dans l’intervalle [ − π ; π [, c’est la mesure principale de l’angle 76 π 3 . 7. ³ → −

i ; OM −−−→ ₇ ´

= − 803 π 6 On peut placer − π

6 et compter 803 fois cet angle, mais ça devient déraisonnable !

Pour la recherche d’une mesure principale (non obligatoire pour placer le point), on remarque que :

− 803 π

6 = − 12 π

6 × 66 − 11 π

6 = − 12 π 6 × 67 +

π

6 = − 2 π × 67 + π 6 .

− 803 π

6 ≡ − 11 π

6 (2 π ) ou − 803 π

6 ≡

π

6 (2 π ) Le point M ₇ est associé à l’angle π

6 à 67 tours µ

ou − 11 π

6 à 66 tours

¶ , on a M ₇ = M ₂ .

− 803 π

6 ≡

π 6 (2 π ).

π

6 est dans l’intervalle [ − π ; π [, c’est la mesure principale de l’angle − 803 π 6 . 8. ³ → −

i ; −−−→

OM 8

´

= 111 π 2 On peut placer π

2 et compter 111 fois cet angle, mais ça devient déraisonnable !

Pour la recherche d’une mesure principale (non obligatoire pour placer le point), on remarque que : 111 π

2 = 4 π

2 × 27 + 3 π 2 = 4 π

2 × 28 − π

2 = 2 π × 28 − π 2 . 111 π

3 ≡ 3 π

2 (2 π ) ou 111 π 2 ≡ − π

2 (2 π ) Le point M ₈ est associé à l’angle − π

2 à 28 tours µ

ou 3 π

2 à 27 tours

¶ . 111 π

2 ≡ − π 2 (2 π ).

− π

est dans l’intervalle [ − π ; π [, c’est la mesure principale de l’angle 111 π

.

(8)

tExercice 4 ]]

Reprendre les angles de l’exercice précédent et donner les mesures principales de chacun.

Voir exercice précédent.

tExercice 5 ]]

0.5 1.0

− 0.5

− 1.0

− 1.5

0.5 1.0

− 0.5

− 1.0 1.5

\ C

−

→ i

−

→ j π 6

b

O c

b

M

₁

b

M

₂

b

M

₃

b

M

₄

1. ³ → −

i ; OM −−−→ ₁ ´

= π

Il s’agit d’un angle remarquable. 3 2. ³ −−−→

OM 1 ; −−−→

OM 2

´

= π 6

³ → − i ; −−−→

OM 2

´

=

³ → − i ; −−−→

OM 1

´ +

³ −−−→

OM 1 ; −−−→

OM 2

´

= π 3 +

π 6 = 2 π

6 + π 6 = 3 π

6 = π 2 . 3. ³ OM −−−→ ₂ ; −−−→ OM ₃ ´

= − π 4

³ → − i ; −−−→

OM ₃ ´

=

³ → − i ; −−−→

OM ₂ ´ +

³ −−−→

OM ₂ ; −−−→

OM ₃ ´

= π 2 −

π 4 = 2 π

4 − π 4 =

π 4 . 4. ³ OM −−−→ ₃ ; −−−→ OM ₄ ´

= π

³ → − i ; −−−→

OM 4

´

=

³ → − i ; −−−→

OM 3

´ +

³ −−−→

OM 3 ; −−−→

OM 4

´

=

π

4 + π .

(9)

tExercice 6 ]

³ O ; − →

i , − → j ´

est un repère orthonormé du plan et C est le cercle trigonométrique.

0.5 1.0

− 0.5

− 1.0

− 1.5

0.5 1.0

− 0.5

− 1.0 1.5

\ C

−

→ i

−

→ j

b

x

O

b

M

b

M

1

b

G

b

M

₂

b

M

₃

b

M

4

Placer un point M du cercle C tel que ³ − → i ; −−→

OM ´

= x avec x ∈ i 0 ; π

2 h .

Le point M se situe sur l’arc en couleur prune, sauf les points de coordonnées (0 ; 1) et (1 ; 0). Placer sur le cercle les points M _i tels que :

1. ³ → − i ; −−−→

OM 1

´

= −x

On construit le point symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses.

2. ³ → − i ; −−−→

OM 2

´

= − x + π

On construit le point symétrique de M 1 par rapport au point O.

3. ³ → −

i ; OM −−−→ ₃ ´

= x + π

On construit le point symétrique de M par rapport au point O . 4. ³ → −

i ; −−−→

OM 4

´

= x + π 2

On construit le point rotation de M de centre O et d’angle π 2 . tExercice 7 ]

³ O ; − →

i , − → j ´

est un repère orthonormé du plan et C est le cercle trigonométrique.

Représenter en :

1. rouge, tous les points M du cercle C tels que ³ − → i ; −−→

OM ´

∈

· 0 ; 2 π

3 ¸

2. bleu, tous les points M du cercle C tels que ³ → − i ; −−→

OM ´

∈

· − 5 π 6 ; − π

2 ¸

0.5 1.0

− 0.5

0.5 1.0

− 0.5

− 1.0 1.5

\ C

−

→ i

−

→ j

b

O

c

(10)

tExercice 8 ]

Soit la fonction f définie sur R par :

f : R → R

x 7→ f (x) = sin ³ x 2

´

.

1. f (x + 4 π ) = sin

µ x + 4 π 2

¶

= sin ³ x 2 + 2 π

´

= sin ³ x 2

´

= f (x). (La fonction sinus est de période 2 π ).

Ainsi f est de période 4 π . 2. f ( −x) = sin ³ −x

2 ´

= − sin ³ x 2

´

= −f (x) (la fonction sinus est impaire).

Ainsi la fonction f est impaire. On restreint l’intervalle d’étude de la fonction f à [0 ; 2 π ].

3. f ^′ (x) = 1 2 cos ³ x

2 ´ . 4. x ∈ [0 ; 2 π ].

Sur la cercle trigonométrique, f ^′ (x) = 0 ⇐⇒ 1 2 cos ³ x

2 ´

= 0 ⇐⇒ cos ³ x 2

´

= 0 ⇐⇒ cos ³ x 2

´

= cos ³ π 2

´ :





 x 2 =

π 2 + 2k π x

2 = − π 2 + 2k π

⇐⇒

½ x = π + 4k π x = − π + 4k π Or x ∈ [0 ; 2 π ] donc x = π est le seule solution.

par lecture du cercle trigonométrique, si x ∈ [0 ; 2 π ], x

2 ∈ [0 ; π ] et cos ³ x 2

´

> 0 pour x 2 ∈

h 0 ; π 2

i soit x ∈ [0 ; π ].

5. Sur l’intervalle [0 ; 2 π ] : f (0) = sin(0) = 0 et f ( π ) = sin ³ π 2

´

= 1 et f (2 π ) = sin µ 2 π

2 ¶

= sin( π ) = 0

x f ^′ (x)

f

0 π 2 π

+ 0 −

00

11 00 Par symétrie par rapport à l’origine ( f impaire) on a le tableau sur [ − 2 π ; 2 π ] :

x f ^′ (x)

f

− 2 π − π π 2 π

− 0 + 0 −

00 − 1

− 1

11 00 0

0 Par symétrie par périodicité de 4 π on en déduit le tableau sur [ − 4 π ; 2 π ] :

x f ^′ (x)

f

− 6 π − 5 π − 3 π − π π 2 π

− 0 + 0 − 0 + 0 −

00 −1

−1

11 −1

−1

11

00

(11)

6. Sur GeoGebra :

− 18.8 − 15.7 − 12.6 − 9.4 − 6.3 − 3.1 3.1 6.3

− 2.0

− 1.5

− 1.0

− 0.5 0.5 1.0 1.5

0 Période 4 π

h g

a

d

(12)

tExercice 9 ]

Soit la fonction f définie sur [0 ; 2 π ] par :

f : [0 ; 2 π → R x 7→ f (x) = x

2 + cos (x) .

1. f ^′ (x) = 1

2 − sin(x).

2. x ∈ [0 ; 2 π ] f ^′ (x) = 0 ⇐⇒ 1

2 − sin(x) = 0 ⇐⇒ 1

2 = sin(x) ⇐⇒ sin(x) = sin ³ π 6

´ .



 

  x =

π 6 + 2k π x = −

π

6 + π + 2k π = 5 π 6 + 2k π Avec k ∈ Z .

Or x ∈ [0 ; 2 π ] donc x = π

6 ou x = 5 π

6 sont les solutions de l’équation f ^′ (x) = 0.

f ^′ (x) > 0 ⇐⇒ sin(x) > ¹ 2 .

par lecture du cercle trigonométrique avec x ∈ [0 ; 2 π ], sin(x) > ¹

2 pour x ∈

· π 6 ; 5 π

6 ¸ . représentation du cercle trigonométrique :

− 1.5 − 1.0 − 0.5 0.5 1.0

− 1.5

− 1.0

− 0.5 0.5 1.0

0 π 6 5 π

6 O

3. Sur l’intervalle [0 ; 2 π ] : f (0) = 0

2 + cos(0) = 1 et f ³ π 6

´

= π 6

2 + cos ³ π 6

´

= π 12 +

p 3 2 et f

µ 5 π 6

¶

= 5 π

6 2 + cos

µ 5 π 6

¶

= 5 π 12 −

p 3

2 et et f (2 π ) = 2 π

2 + cos (2 π ) = π + 1

x f ^′ (x)

f

0 π

6 5 π

6 2 π

− 0 + 0 −

11 π 12 +

p 3 2 π 12 +

p 3 2

5 π 12 −

p 3 2 5 π 12 −

p 3 2

π + 1

(13)

4. Sur GeoGebra :

− 0.52 0.52 1.05 1.57 2.09 2.62 3.14 3.67 4.19 4.71 5.24 5.76 6.28 6.81

− 1.0 1.0 2.0 3.0 4.0

0

[b Parcours différenciés : Trigonométrie c\