Chapitre IV. Tests du chi-deux

Chapitre IV. Tests du chi-deux

Cours de Tests param´ etriques

Deuxi`eme Ann´ee - IUT STID - Olivier Bouaziz

2018-2019

Introduction

Tests du chi-deux :

Tests param´ etriques bas´ es sur une statistique de test suivant approximativement une loi du χ

sous l’hypoth` ese nulle.

Objectifs :

I

Tests d’ind´ ependance

I

Tests d’homog´ en´ eit´ e

I

X : variable al´ eatoire qualitative ou quantitative discr` ete ` a K modalit´ es, not´ ees a

, . . . , a

.

I

Y : variable al´ eatoire qualitative ou quantitative discr` ete ` a L modalit´ es, not´ ees b

, . . . , b

.

I

n donn´ ees : (x

, y

), . . . , (x

, y

) r´ ealisations de n couples de

variables al´ eatoires (X

, Y

), . . . , (X

, Y

) ind´ ependantes et de

mˆ eme loi que le couple (X , Y ).

Objectif du test

On veut tester l’hypoth` ese

(H

) : X et Y sont ind´ ependantes contre

(H

) : X et Y ne sont pas ind´ ependantes

On souhaite savoir si le temps ´ ecoul´ e depuis la vaccination contre une maladie donn´ ee a ou non une influence sur le degr´ e de gravit´ e de la maladie lorsque celle-ci se d´ eclare.

I

Gravit´ e de la maladie : l´ eg` ere (L), moyenne (M) ou grave (G).

I

Dur´ ee ´ ecoul´ ee depuis vaccination : moins de 10 ans (A), entre 10 et 25 ans (B), plus de 25 ans (C).

I

1 574 malades.

A B C Total

G 1 42 230 273

M 6 114 347 467

L 23 301 510 834

Total 30 457 1087 1574

Exemple 1 (suite)

D’un point de vue descriptif on peut ´ etudier la distribution conditionnelle de la gravit´ e de la maladie conditionnellement ` a la dur´ ee ´ ecoul´ ee depuis vaccination :

A B C

G 0.03 0.09 0.21

M 0.20 0.25 0.32

L 0.77 0.66 0.47

Qu’en pensez-vous ?

Justification heuristique du test.

La loi du couple de variables (X , Y ) est caract´ eris´ ee par

. . . ..

R´ e´ ecriture math´ ematique des hypoth` eses H

et H

:

(H

) . . . .

(H

) . . . .

Principe du test d’ind´ ependance

On introduit, pour 1 ≤ k ≤ K et 1 ≤ l ≤ L, les variables al´ eatoires :

I

N

, nombre de couples de variables (X

, Y

), pour 1 ≤ i ≤ n, tels que X

= a

ET Y

= b

.

I

N

= P

l=1

N

, nombre de variables X

, 1 ≤ i ≤ n, qui prennent la valeur a

.

I

N

= P

k=1

N

, nombre de variables Y

, pour 1 ≤ i ≤ n, qui

prennent la valeur b

.

Etant donn´ ee une r´ ealisation (x

, y

), . . . , (x

, y

) de

(X

, Y

), . . . , (X

, Y

), on note respectivement n

, n

et n

les r´ ealisations correspondantes de N

, N

et N

, qui peuvent ˆ etre repr´ esent´ ees dans le tableau de contingence ci-dessous.

X \ Y b

. . . b

. . . b

Total a

n

. . . n

. . . n

n

.. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . a

n

. . . n

. . . n

n

.. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . a

n

. . . n

. . . n

n

Total n

. . . n

. . . n

n

Principe du test d’ind´ ependance

On estime alors, pour 1 ≤ k ≤ K et 1 ≤ l ≤ L,

I

P (X = a

et Y = b

) par

. . . .

I

P (X = a

) × P(Y = b

) par

. . . .

Sous (H

), pour tous 1 ≤ k ≤ K , 1 ≤ l ≤ L, l’´ ecart entre

fr´ equence observ´ ee . . . . et fr´ equence th´ eorique sous (H

)

. . . . est cens´ e ˆ etre proche de 0, ou encore l’´ ecart entre

effectif observ´ e . . . . et effectif th´ eorique sous (H

)

. . . . est cens´ e ˆ etre proche de 0.

Statistique de test

T

=

K

X

k=1 L

X

l=1

N

−

n

Principe du test d’ind´ ependance

Proposition 1

Si les conditions suivantes sont satisfaites

I

le nombre d’observations n est

grand

,

I

n

n

/n ≥ 5 pour tous k = 1, . . . , K et l = 1, . . . , L, alors sous (H

),

T

suit approximativement la loi χ

((K − 1)(L − 1))

Zone de rejet au niveau α

R

= {T

≥ c

},

o` u c

est le quantile d’ordre 1 − α d’une loi χ

((K − 1)(L − 1)) . R` egle de d´ ecision :

I

si t

≥ c

, alors on rejette l’hypoth` ese d’ind´ ependance entre X et Y .

I

si t

< c

, alors on ne rejette pas l’hypoth` ese d’ind´ ependance

entre X et Y .

Retour ` a l’exemple 1

On souhaite savoir si le temps ´ ecoul´ e depuis la vaccination contre une maladie donn´ ee a ou non une influence sur le degr´ e de gravit´ e de la maladie lorsque celle-ci se d´ eclare.

I

Gravit´ e de la maladie : l´ eg` ere (L), moyenne (M) ou grave (G).

I

Dur´ ee ´ ecoul´ ee depuis vaccination : moins de 10 ans (A), entre 10 et 25 ans (B), plus de 25 ans (C).

I

1 574 malades.

A B C Total

G 1 42 230 273

M 6 114 347 467

L 23 301 510 834

Total 30 457 1087 1574

I

X : variable al´ eatoire qualitative ou quantitative discr` ete ` a K modalit´ es, not´ ees a

, . . . , a

.

I

Comparaison de la distribution de X dans L populations diff´ erentes.

I

Pour chaque 1 ≤ l ≤ L, on dispose d’un ´ echantillon de n

donn´ ees x

, . . . , x

r´ ealisations de n

variables X

, . . . , X

ind´ ependantes et de mˆ eme loi que X

.

I

On suppose que les L ´ echantillons

(X

, . . . , X

), (X

, . . . , X

), . . . , (X

, . . . , X

) sont

ind´ ependants.

Objectif du test

On veut tester l’hypoth` ese

(H

) : Les variables X

, . . . , X

suivent toutes la mˆ eme loi contre

(H

) : Les variables X

, . . . , X

ne suivent pas toutes la mˆ eme loi

On a mesur´ e les groupes sanguins dans 2 populations de 1032 Pygm´ ees et 484 Esquimaux. Au vu de ces r´ esultats, peut-on dire que la distribution des groupes sanguins est la mˆ eme dans les deux populations ?

Groupe sanguin\ Pop. Pygm´ ees Esquimaux

AB 103 7

B 300 17

A 313 260

O 316 200

Total 1032 484

Exemple 2 (suite)

D’un point de vue descriptif on peut ´ etudier la distribution

conditionnelle du groupe sanguin conditionnellement au type de population (Pygm´ ees ou Esquimaux) :

Groupe sanguin\ Pop. Pygm´ ees Esquimaux

AB 0.10 0.01

B 0.29 0.04

A 0.30 0.54

O 0.31 0.41

Qu’en pensez-vous ?

Justification heuristique du test.

R´ e´ ecriture math´ ematique des hypoth` eses H

et H

:

(H

) . . . .

(H

) . . . .

Principe du test d’homog´ en´ eit´ e

On introduit, pour 1 ≤ k ≤ K et 1 ≤ l ≤ L, les variables al´ eatoires :

I

N

, nombre de variables parmi (X

, X

, . . . , X

) qui prennent la valeur a

.

I

N

= P

l=1

N

, nombre de variables X

, 1 ≤ i ≤ L,

1 ≤ i ≤ n

, qui prennent la valeur a

.

On note respectivement n

et n

des r´ ealisations de N

et N

qui peuvent ˆ etre repr´ esent´ ees dans le tableau de contingence ci-dessous. On note ´ egalement n = n

+ n

. . . + n

.

Modalit´ es de X \ Population 1 . . . l . . . L Total a

n

. . . n

. . . n

n

.. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . a

n

. . . n

. . . n

n

.. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . a

n

. . . n

. . . n

n

Total n

. . . n

. . . n

n

Principe du test d’homog´ en´ eit´ e

Sous (H

), pour 1 ≤ k ≤ K , on peut estimer P (X = a

) par :

. . . . Le test consiste alors ` a comparer, pour tous 1 ≤ k ≤ K et

1 ≤ l ≤ L :

I

l’effectif observ´ e pour la modalit´ e a

dans la l

population :

. . . ..

` a

I

l’effectif th´ eorique sous (H

) pour la modalit´ e a

dans la l

population :

. . . .

Statistique de test

T

=

K

X

k=1 L

X

l=1

N

−

n

Principe du test d’homog´ en´ eit´ e

Proposition 2

Si les conditions suivantes sont satisfaites

I

le nombre d’observations n = P

l=1

n

est

grand

,

I

n

n

/n ≥ 5 pour tous k = 1, . . . , K et l = 1, . . . , L, alors sous (H

),

T

suit approximativement la loi χ

((K − 1)(L − 1))

Zone de rejet au niveau α

R

= {T

≥ c

},

o` u c

est le quantile d’ordre 1 − α d’une loi χ

((K − 1)(L − 1)) . R` egle de d´ ecision :

I

si t

≥ c

, alors on rejette l’hypoth` ese d’homog´ en´ eit´ e des L populations.

I

si t

< c

, alors on ne rejette pas l’hypoth` ese d’homog´ en´ eit´ e

des L populations.

Retour ` a l’exemple 2

On a mesur´ e les groupes sanguins dans 2 populations de 1032 Pygm´ ees et 484 Esquimaux. Au vu de ces r´ esultats, peut-on dire que la distribution des groupes sanguins est la mˆ eme dans les deux populations ?

Groupe sanguin\ Pop. Pygm´ ees Esquimaux

AB 103 7

B 300 17

A 313 260

O 316 200

Total 1032 484