IUP SID 2006–2007-L3
Feuille d’exercice 5
Variables al´eatoires continues, suite et fin
1 Changements de variable
1) Des r´esistances sont fabriqu´ees en s´erie. La r´esistance d’un ´el´ement choisi au hasard dans la fa- brication est une variable al´eatoire R de distribution uniforme entre 9 et 11 ohms. D´eterminer la densit´e de probabilit´e de la conductanceC= 1/R.
2) Soit X une variable al´eatoire de loi uniforme sur [−π2,π2]. Quelle est la loi de tanX? 3) Soit X une variable al´eatoire de loi uniforme sur [0, π]. Quelle est la loi de cosX?
2 Alzheimer
La loi exponentielleE(λ) de param`etreλ >0 est la loi de probabilit´e surRde densit´e f(x) =λe−λx1{x>0}
i) Calculer la fonction de r´epartition de la loiE(λ).
ii) X une variable al´eatoire de loi exponentielle E(λ), d´eterminer les fonctions de r´epartition et les densit´es des v.a.X2, exp(X), exp(−X) et 1/X.
iii) Soit T une variable al´eatoire positive telle queP[T > t]>0 pour toutt≥0 et P[T > s+t|T > t] =P[T > s] pour touss, t≥0.
Interpr´eter cette propri´et´e et montrer que T suit une loi exponentielle.
3 La m´ ethode IFR
SoitX une variable al´eatoire dont la fonction de r´epartitionFX est continue et strictement croissante de ]a, b[⊂]− ∞,+∞[ dans ]0,1[.
1) Quelle est la loi de la variable al´eatoireY =FX(X). Calculer l’esp´erance et la variance deY. 2) D´eduire de 1. une m´ethode pour g´en´erer une variable al´eatoireX de fonction de r´epartitionFX
donn´ee (continue et strictement croissante).
3) Appliquer cela dans les cas suivants en identifiant la loi concern´ee i) FX(x) = 1−eλx
ii) FX(x) = x−a
b−a aveca, b∈Reta < b.
iii) FX(x) = 1
π(arctanx+π 2)
4 Un poisson normal
Un poste de p´eage comprend deux guichets : un guichet pour les v´ehicules partant vers la Lomagne et un autre pour les v´ehicules en direction de Toulouse. Le nombreX de v´ehicules se dirigeant vers la Lomagne et passant le p´eage en un laps de temps de cinq minutes suit une loi de Poisson de param`etreλ= 15 et le nombre de v´ehicules Y passant durant cinq minutes en direction de Toulouse suit une loi de Poisson de param`etreµ= 20. On supposeX etY ind´ependantes.
1) Quelle est la loi suivie par la variable al´eatoireZ ´egale au nombre total de v´ehicules passant dans un intervalle de cinq minutes au p´eage ?
2) En approchant convenablement la loi deZ, calculer la probabilit´e que ce nombre soit sup´erieur `a 40.
3) Quelle est la probabilit´e que 35 v´ehicules passent au p´eage (dans un sens ou dans l’autre) dans un laps de temps de cinq minutes ?
5 Manque de clart´ e ?
On suppose que la dur´ee de vie d’une ampoule ´electrique est une variable al´eatoire qui suit une loi exponentielle de param`etreλ= 0,2×10−3h−1. Si l’on remplace une ampoule par une ampoule semblable d`es qu’elle ”grille”, quelle est la probabilit´e qu’au bout de 50000 heures l’ampoule en fonctionnement soit au moins la dixi`eme ?
6 C’est les vacances
Une compagnie a´erienne g`ere un vol de 200 passagers avec les donn´ees techniques et le mod`ele probabiliste suivants :
• La charge maximale autoris´ee (passagers + bagages) est de 18 tonnes.
• Le poids d’un passager est une variable al´eatoire d’esp´erance 65 kg et d’´ecart-type 15 kg
• Si le poids maximal autoris´e des bagages (par passager) est P kg, ce poids est une variable d’esp´erance 0,7P kg et d’´ecart-type 0,2P kg.
• Toutes les variables al´eatoires (poids des passagers et poids des bagages) sont ind´ependantes A quelle valeur la compagnie doit-elle fixer` P (pour un vol plein) si elle veut avoir 95 chances sur 100 qu’il n’y ait pas de d´epassement de la charge maximale autoris´ee ?
