MOSE2014 : Probabilit´es et Statistiques

Philippe Thieullen

Institut de Math´ ematiques Universit´ e Bordeaux 1, CNRS, UMR 5251

F-33405 Talence, France

Philippe.Thieullen@math.u-bordeaux1.fr

Talence, 10 janvier 2012

R´ esum´ e du programme

A pr´ evoir :

– 18 s´ eances de 1h20 : cours-td int´ egr´ es.

– 4 s´ eance de 1h20 de TP machine ` a coefficient 0.15 : travail sur le logiciel R ; les ´ etudiants peuvent s’associer par binˆ ome ou trinˆ ome et envoient par courrier ´ electronique leur fichier source en fin de s´ eance.

– 3 contrˆ oles continus de 30 mn ` a coefficient 0.15 : chaque groupe organise son propre contrˆ ole tout en respectant la cadence des s´ eances.

– 1 DS de 1h30 ` a coefficient de 0.3 : le DS est commun ` a l’ensemble de l’UE mais chaque enseignant corrige son propre groupe. Il faut donc pr´ evoir de r´ eunir les copies le jour de l’examen par groupe.

– 1 DST de 1h30 ` a coefficient de 0.4 : mˆ emes conditions que pour le DS.

1. Statistique descriptive et Indicateurs num´ eriques

– Terminologie (population, ´ echantillon (x ₁ , x ₂ , · · · , x _n ), taille, caract` eres, modalit´ es).

– Notion de caract` ere statistique (quantitatif, qualitatif, discret, continu), classe (amplitude, milieu).

– Repr´ esentation des donn´ ees d’un seul caract` ere : s´ erie brute, tableau par valeurs-effectifs (ξ i , n i ) et par classes-effectifs ([ξ i−1 , ξ i [, n i ), par fr´ equence- effectifs, f _i = n _i /n.

– Diagramme en bˆ aton pour des variables qualitatives, histogramme pour des variables num´ eriques continues (discuter en exercices le cas des classes n’ayant pas toutes la mˆ eme amplitude), courbe des effectifs cumul´ es.

– Moyenne observ´ ee : cas d’une s´ erie brute, cas d’un ´ echantillon donn´ e par valeurs-effectifs,

¯ x = 1

n (x ₁ + · · · + x _n ) = 1

n (n ₁ ξ ₁ + · · · + n _r ξ _r )

1

– M´ ediane m = q _50% . D´ efinition dans le cas d’une s´ erie brute r´ eordonn´ ee.

Formule graphique utilisant la courbe des effectifs cumul´ es N ₁ , . . . , N _r ou des fr´ equences cumul´ ees, (F 1 , · · · , F r ), dans le cas continu. Formule th´ eorique de la m´ ediane pour un ´ echantillon donn´ e par classes-effectifs

q _50% − ξ i−1

ξ i − ξ i−1

= 50% − F i−1

F i − F i−1

=

1

2 n − N i−1

N i − N i−1

. – Variance s ² _n−1 ou ´ ecart-type observ´ ee s n−1 ,

s ² _n−1 = 1 n − 1

(x ₁ − x) ¯ ² + · · · + (x _n − x) ¯ ² .

– Premier quartile q _25% , troisi` eme quartile q <sub>75%</sub> , intervalle interquartile, box- plot (de pr´ ef´ erence ` a boˆıte ` a moustache) comme mesure de la dispersion, dans le cas d’une repr´ esentation de donn´ ees par classes-effectifs.

– En TP machine, on verra comment d´ eterminer les quartiles dans le cas d’une s´ erie brute de taille n r´ eordonn´ ees par ordre croissant,

x ₍₁₎ ≤ x ₍₂₎ ≤ . . . ≤ x _(n) ,

q _25% = x _(n/4) , m = q _50% = x _(n/2) , q _75% = x _(3n/4) . 2. Espace et mesure de probabilit´ e

– Notions d’espace fondamental Ω (ou ensemble des ´ epreuves), d’´ ev´ enements A ⊂ Ω, d’´ ev´ enements ´ el´ ementaires ω ∈ Ω.

– Utiliser des exemples concrets. Construire explicitement (Ω, P) dans chaque cas (ne pas introduire d’alg` ebre d’´ ev´ enements !).

– Op´ erations sur les ´ ev´ enements : ´ ev´ enement mutuellement incompatibles (ou disjoints A ∩ B = ∅), ´ ev´ enement contraire ¯ A (notation commune im- pos´ ee), ´ ev´ enement certain, impossible.

– Probabilit´ e d’un ´ ev´ enement. Probabilit´ e du compl´ ementaire (insister sur son utilisation), de la r´ eunion d’ensembles disjoints (deux ou plusieurs).

Formule g´ en´ erale

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

3. Exercices de r´ evision

4. Ind´ ependance et probabilit´ es conditionnelles – Ind´ ependance d’´ ev´ enements : d´ efinition, exemples.

– Notion d’´ ev´ enements conditionnels. D´ efinition de la probabilit´ e condition- nelle de A sachant B, P (A | B) (notation ` a privil´ egier sur P B (A))l.

– Formule des probabilit´ es compos´ ees : P(A ∩ B) = P(A)P(B|A).

– Formule des probabilt´ es totales : syst` eme complet d’´ ev´ enements ou parti- tion Ω = A ₁ ∪ · · · A _r , formule

P (B) = P (A ₁ ) P (B |A ₁ ) + · · · + P (A _r ) P (B|A _r ).

– Formule de Bayes. (Un exemple type : 15% d’individus d’une certaine population pr´ esente une affection A. Un test de d´ epistage est r´ ealis´ e. Il s’av` ere que le test donne 95% de r´ esultats positifs pour les personnes at- teintes par A et 10% de r´ esultats positifes pour les personnes non atteintes.

Une personne prise au hasard subit le test. Si le test est positif, quelle est la probabilit´ e que cette personne soit atteinte par A ? Si le test est n´ egatif, quelle est la probabilit´ e qu’elle soit indemne ?)

– Pr´ esenter plutˆ ot Bayes sous forme d’un tableau ou d’une arborescence.

5. Variables al´ eatoires discr` etes et lois usuelles

– D´ efinition g´ en´ erale d’une variable X. Exemple de la loi uniforme, de la loi de Bernoulli. Exemple d’un lanc´ e de d´ es de la somme des faces de deux d´ es.

– D´ efinition de la loi de probabilit´ e, de la fonction de r´ epartitions F(x) = P (X ≤ x). Faire le lien avec la courbe cumul´ ee.

– Esp´ erance E[X], variance Var(X), ´ ecart-type σ, esp´ erance d’une fonction de de la variable X, E [φ(X)].

– Esp´ erance, variance d’une somme de v.a. Ind´ ependance de deux v.a.

– Loi de Bernoulli B(p). Loi d’une variable X prenant deux valeurs {0, 1}.

Ses param` etres sont donn´ es par

P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 − p, E[X] = p, Var(X) = p(1 − p).

– Loi binomiale B (n, p). Loi d’une variable X prenant ses valeurs dans {0, 1, . . . , n}. C’est la loi de la somme de n variables ind´ ependantes et de mˆ eme loi (i.i.d.) ´ egale ` a une loi de Bernoulli. Ses param` etres sont donn´ es par

P (X = k) = n

k

p ^k (1 − p) ^n−k , E [X] = np, Var(X) = np(1 − p).

– Loi de Poisson P (λ). (Eventuellement en exercice) Loi d’une variable X prenant des valeurs enti` eres quelconques et servant par exemple ` a mod´ eliser un nombre d’appels t´ el´ ephoniques par unit´ e de temps. P (X = k) = e ^−λ λ ^k /k!, pour k = 0, 1, 2, . . . , E [X] = λ et Var(X) = λ.

6. Exercices de r´ evision

7. Variables al´ eatoires continues et lois uselles

– D´ efinition au moyen de la notion de densit´ e de probabilit´ e f (x). Exemple de la loi uniforme sur [0, 1], sur [a, b].

– Fonction de r´ epartition F X (x) = P(X ≤ x) et quantile d’ordre α, P(X ≤ q α ) = α d’une loi ` a densit´ e.

– Esp´ erance, variance, ´ ecart-type. Calculer explicitement ces trois quantit´ es pour la loi uniforme.

– Esp´ erance d’une fonction de la variable X, E [φ(X)].

– Cas de plusieurs variables al´ eatoires. Esp´ erance de la somme, du produit

de deux v.a. Cas ind´ ependant : addition des variances.

– Loi uniforme U (a, b). X prend des valeurs dans [a, b] et sa densit´ e est donn´ ee par

f(x) = 1

b − a 1 {a<x<b} , E [X] = b + a

2 , Var(X) = (b − a) ² 12 . – Loi normale N (µ, σ ² ) centr´ ee r´ eduite. X prend ses valeurs dans R . Ses

param` etres sont donn´ es par f (x) = 1

√

2πσ ² exp

− (x − µ) ² 2σ ²

, E[X] = µ, Var(X) = σ ² . La somme de v.a. normales ind´ ependentes est encore normale.

– Loi exponentielle E (θ). (Eventuellement en exercice) La variable X ≥ 0 est positive. Ses param` etres sont donn´ es par

f (x) = θ ⁻¹ e ⁻

1 {x>0} , E [X] = θ, Var(X) = θ ² .

– Loi du chi-deux χ ² (n) ` a n ddl. X prend ses valeurs dans R <sup>+</sup> et a mˆ eme loi que la v.a. Z <sub>1</sub> <sup>2</sup> + · · · + Z <sub>n</sub> <sup>2</sup> . Ses param` etres sont donn´ es par (ne pas retenir)

f (x) = x ^n/2−1 e ^−x/2

2 ^n/2 Γ(n/2) , E [X] = n, Var(X) = 2n.

– Loi de Student T (n) ` a n ddl. X prend ses valeurs dans R et a mˆ eme loi que la v.a. X = U/ p

V /n o` u U et V sont ind´ ependantes, U de loi N (0, 1) et V de loi χ <sup>2</sup> (n). Ses param` etres sont donn´ es par (ne pas retenir)

f (x) = Γ((n + 1)/2)

√ nπΓ(n/2)

1 + x ² n

−

, E[X] = 0, Var(X) = n n − 2 . – Exemples d’applications des deux pri` eres lois et utilisation des tables

num´ eriques (r´ eduction ` a la loi normale centr´ ee r´ eduite, exemples de cal- culs).

– Premier contrˆ ole continu (30 mn) Contrˆ ole sur l’ensemble des chˆ apitres portant sur les probabilit´ es combinatoires et les variables al´ eatoires discr` etes.

8. Exercices portant sur les variables al´ eatoires continues 9. Th´ eor` eme de la limite centrale et applications

– Epreuves r´ ep´ et´ ees, somme et moyenne Y = X ₁ + · · · + X _n , X ¯ = 1

n

X ₁ + · · · + X _n .

Esp´ erance de ¯ X, variance de ¯ X. Cas de sommes de v.a. ind´ ependentes E [ ¯ X] = E [X] = µ, Var( ¯ X) = 1

n Var(X ₁ ) = 1

n σ ² (cas iid).

Bien comprendre la diff´ erence entre Var(10X) et Var(X 1 + X 2 + · · · +X 10 ) pour des v.a. iid. Savoir se ramener ` a la variable centr´ ee r´ eduite Z =

√ n( ¯ X − µ)/σ

– Th´ eor` eme de la limite centrale, P

x < √ n

X ¯ − µ σ < y

'

Z y x

√ 1 2π exp

− 1 2 t ²

dt.

ou bien

P nµ + xσ √ n <

n

X

i=1

X _i < nµ + yσ √ n

' Z y

x

√ 1

2π exp

− 1 2 t ²

dt.

– Approximation d’une loi binomiale, loi de X 1 +. . .+X n , lorsque les X i sont des v.a. ind´ ependantes de mˆ eme loi B (p), par la loi normale N (np, np(1 − p)) lorsque n est grand,

P

x < X ₁ + . . . + X _n − np p np(1 − p) < y

' Z y

x

√ 1

2π exp

− 1 2 t ²

dt.

– Utilisation en exercices des tables de ces lois : tables des fonctions de r´ epartition et tables des quantiles.

10. Estimation ponctuelle et intervalle de confiance I

– Statistique inf´ erentielle versus statistique descriptive : r´ ealisation de n v.a.

ind´ ependantes (X 1 , · · · , X n ) de loi inconnues p _θ (ξ i ) dans le cas discret, p _θ (x) dx dans le cas continu

– D´ efinition d’un estimateur ponctuel d’une quantit´ e τ (θ) : c’est une v.a.

T (X) = T (X 1 , · · · , X n ) fonction uniquement de l’´ echantillon X, sens´ ee repr´ esenter τ . Exemple : θ = (µ, σ ² ) et τ (θ) = σ ² pour une famille de lois normales N (µ, σ ² ).

– Qualit´ e d’un estimateur ponctuel : avec ou sans biais E θ [T (X)] = τ (θ), ∀ θ.

Calculs effectifs d’´ estimateurs avec et sans biais par int´ egration de densit´ e.

– Estimateurs ponctuels classiques.

– estimateur d’une moyenne : X ¯ = 1

n (X 1 + · · · + X n ).

– Estimateur d’une proportion ou de la probabilit´ e p d’un ´ ev´ enement A : ˆ

p = 1

n (nombre de fois que X i r´ ealise A).

– Estimateur d’une variance S _n−1 ² = 1

n − 1 ((X 1 − X) ¯ ² + · · · + (X n − X) ¯ ² ).

(On admettra que E [S _n−1 ² ] = σ ² et donc que S _n−1 ² est un estimateur

sans biais de σ ² ).

– Par convention, on utilise des lettres majuscules pour les v.a. et des lettres minuscules pour des observations particuli` eres de ces variables. On utilise aussi la convention ˆ τ ,ˆ p,..., pour estimer des quantit´ es τ , p...

– D´ efinition g´ en´ erale de l’intervalle de confiance d’une quantit´ e τ au risque α ou au seuil de confiance 1 − α :

P θ T _min (X) ≤ τ (θ) ≤ T _max (X)

≥ 1 − α, ∀ θ o` u T min (X) et T max (X) sont des estimateurs.

– Intervalle de confiance de la moyenne µ lorsque l’´ ecart-type est inconnu (le cas o` u l’´ ecart-type σ ₀ est connu ne sera pas trait´ e)

P X ¯ − t α

S n−1

√ n ≤ µ ≤ X ¯ + t α

S n−1

√ n

≥ 1 − α,

o` u t α est l’´ ecart d’une loi de Student T (n − 1) ` a n − 1 ddl au risque α, soit t _α = q _1−α/2 et P (| T (n − 1)| > t _α ) = α.

– Intervalle de confiance d’une proportion p P

ˆ p − z α

r p(1 ˆ − p) ˆ

n ≤ p ≤ p ˆ + z α

r p(1 ˆ − p) ˆ n

≥ 1 − α, o` u z α est tel que P (| N (0, 1)| > z α ) = α. Utilisation des abaques.

11. Intervalle de confiance II

– Intervalle de confiance de la diff´ erence des moyennes : Cas de deux ´ echantillons appari´ es

∆X = 1

n (∆X 1 + · · · + ∆X n ), ∆S n−1 = 1

n − 1

n

X

i=1

(∆X i − ∆X) ² 1/2

. P

∆X − t _α ∆S n−1

√ n ≤ ∆µ ≤ ∆X + t _α ∆S n−1

√ n

≥ 1 − α, o` u t α est tel que P(| T(n − 1)| > t α ) = α.

– Intervalle de confiance de la diff´ erence des moyennes : cas de deux ´ echantillons ind´ ependants

X ¯ = 1

n _A (X 1 + · · · + X n

), Y ¯ = 1

n _B (Y 1 + · · · + Y n

), S _AB ² = 1

n A + n B − 2 X ⁿ

i=1

(X _i − X) ¯ ² +

n

X

i=1

(Y _i − Y ¯ ) ² . P

X ¯ − Y ¯ − t _α S _AB ^q

+

≤ µ _A − µ _B ≤ X ¯ − Y ¯ + t _α S _AB ^q

+

≥ 1 − α , o` u t _α est tel que P (| T (n _A + n _B − 2)| > t _α ) = α.

12. Exercices de r´ evision Savoir absolument utiliser les fonctions statistiques de la calculette.

13. Introduction aux tests d’hypoth` eses I

– Hypoth` ese nulle (principale, pr´ ef´ erentielle) H <sub>0</sub> , hypoth` ese compl´ ementaire (alternative, contre hypoth` ese) H <sub>1</sub> , r` egle de d´ ecision, zone de rejet (ou zone critique) R, zone d’acceptation A), variable de d´ ecision, valeur critique.

– Risque de premi` ere esp` ece α = P ( R |H ₀ ) ou risque de rejeter H 0 ` a tort, de seconde esp` ece β = P ( A |H ₁ ).

X ∈ A : on accepte H

X ∈ R : on rejette H

en r´ ealit´ e : θ ∈ H

pr´ evision correcte risque de premi` ere esp` ece en r´ ealit´ e : θ ∈ H

risque de seconde esp` ece pr´ evision correcte

– Un exemple parmi la le¸ con suivante comme support (par exemple, test d’une proportion ou test de la moyenne) .

– Retenir la m´ ethodologie d’un test : (a) Donner le nom du test.

(b) D´ efinir l’hypoth` ese nulle H 0 , bilat´ erale ou unilat´ erale. Un calcul num´ e- rique interm´ ediaire permet de d´ efinir un H ₀ plus judicieux.

(c) Ecrire la zone de rejet R correspondant ` a H ₀ . Rapeler les d´ efinitions des estimateurs entrant dans la d´ efinition de R .

(d) Choisir un seuil de confiance 1 − α ou niveau d’erreur α et calculer la valeur critique de la variable de d´ ecision au vue des donn´ ees.

(e) Conclure : accepter ou rejeter H 0 ` a l’erreur pr` es α. D´ etailler la r´ eponse.

(f) Calculer la p-valeur du test : c’est-` a-dire l’erreur que l’observateur commet en rejetant H 0 ` a tort au vue des donn´ ees exp´ erimentales.

– Deuxi` eme contrˆ ole continu (30 mn) Le contrˆ ole portera sur les in- tervalles de confiances.

14. Tests d’hypoth` ese usuels gaussiens II

– Test d’une proportion p (cas des grandes valeurs de n) :

H 0 = {p < p ₀ }, H 1 = {p ≥ p 0 }, R = n

ˆ

p − p 0 ≥ q 1−α

r p 0 (1 − p 0 ) n

o

p _val = 1 − P

N (0, 1) < p _obs − p ₀ p p 0 (1 − p 0 )/n

H 0 = {p = p 0 }, H 1 = {p 6= p 0 }, R = n

|ˆ p − p 0 | ≥ z α

r p 0 (1 − p 0 ) n

o

p _val = 1 − 2 × P

N (0, 1) < |p _ops − p 0 | p p 0 (1 − p 0 )/n

o` u z _α et q 1−α = z _2α sont tels que

P (| N (0, 1)| > z _α ) = P ( N (0, 1) > q 1−α ) = α.

– Test d’une moyenne µ d’´ ecart-type inconnue : H 0 = {µ < µ ₀ }, H 1 = {µ ≥ µ 0 }, R =

n X ¯ ≥ µ 0 + q 1−α

S n−1

√ n o

p val = 1 − P

T(n − 1) < µ _obs − µ ₀ S n−1 / √

n

H ₀ = {µ = µ ₀ }, H ₁ = {µ 6= µ ₀ }, R = n

| X ¯ − µ ₀ | ≥ t _α S n−1

√ n o

p val = P

| T(n − 1)| > |µ _obs − µ 0 | S n−1 / √

n

o` u t α et q 1−α = t 2α sont tels que

P (| T (n − 1)| ≥ t α ) = P ( T (n − 1) ≥ q 1−α ) = α.

– Utiliser les tables statistiques pour calculer z α et t α . Remarquer que z 2α = q 1−α et t _2α = q 1−α pour les quantiles q 1−α respectifs des lois normales et de Student.

– Comparaison de deux moyennes (´ echantillons appari´ es) :

∆X = 1 n

n

X

i=1

∆X _i et ∆S n−1 = r 1

n − 1 X n

i=1 (∆X _i − ∆X) ² H 0 = {∆µ = 0}, H 1 = {∆µ 6= 0}, R =

n

|∆X| ≥ t α

∆S √ n−1

n o

p _val = P

| T (n − 1)| > |∆µ _obs | S n−1 / √ n

o` u t _α = q _1−α/2 est tel que P (| T (n − 1)| ≥ t _α ) = α.

– Comparaison de deux moyennes (´ echantillons ind´ ependants) : S _AB =

s

(n _A − 1)S _A ² + (n _B − 1)S _B ²

(n A − 1) + (n B − 1) , H ₀ = {µ _A = µ _B } H ₁ = {µ _A 6= µ _B }, R = n

| X ¯ _A − X ¯ _B | ≥ t _α S _AB r 1

n A

+ 1 n B

o

p _val = P

| T (n − 1)| > | X ¯ _A,obs − X ¯ _B,obs | S AB

p 1/n A + 1/n B

o` u t _α est tel que P (| T (n _A + n _B − 2)| ≥ t _α ) = α. u z _α = q _1−α/2 est tel que P (| N (0, 1)| ≥ z α ) = α.

15. Exercices de r´ evision R´ evision portant sur les tests d’hypoth` ese usuels param´ etriques gaussiens (proportion, moyenne, comparaison).

16. Test du chi-deux d’ajustement

– Ajustement ou ad´ equation ` a une loi discr` ete ` a valeurs ou de modalit´ es dans un ensemble fini, {ξ ₁ , ξ ₂ , · · · , ξ _r } et de probabilit´ e (p ⁰ ₁ , · · · , p ⁰ _r ),

P (X = ξ ₁ ) = p ⁰ ₁ , P (X = ξ ₂ ) = p ⁰ ₂ , · · · P (X = ξ _r ) = p ⁰ _r .

– Efectifs th´ eoriques np ⁰ _j , effectifs observ´ es n _j d’estimateur N _j ´ egal au nombre de fois que la variable X _i prend la valeur ξ _j :

H ₀ = {p _j = p ⁰ _j }, H ₁ = {p _j 6= p ⁰ _j }, R = {D ² _r−1 ≥ q 1−α }, D ˆ _r−1 ² =

r

X

j=1

(N j − np ⁰ _j ) ² np ⁰ _j ,

o` u D suit la loi du chi-deux ` a r − 1 ddl et q 1−α est tel que P (χ ² (r − 1) ≥ q 1−α ) = α.

– Troisi` eme contrˆ ole continu (30 mn) Contrˆ ole portant sur les tests usuels gaussiens.

17. Test du chi-deux d’ind´ ependance

– Table de contingence de deux v.a. X et Y de modalit´ es (ξ 1 , · · · , ξ r ) et (η ₁ , · · · , η _s ), c’est-` a-dire une table donnant les effectifs observ´ es du couple N _i,j et les effectifs marginaux correspondants,

η

η

· · · η

· · · η

ξ

N

N

· · · N

· · · N

N

ξ

N

N

· · · N

· · · N

N

.. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .

ξ

N

N

· · · N

· · · N

N

.. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. .

ξ

N

N

· · · N

· · · N

N

N

N

· · · N

· · · N

n

– Effectifs observ´ es n _j,k du couple (X, Y ) d’estimateur N _j,k ´ egal au nombre de fois que X i = ξ j et Y i = η k . Distribution empirique de (X, Y ), ˆ p j,k = N _j,k /n, distributions empiriques marginales de X et de Y : ˆ p _j. = N j· /n et ˆ

p ·k = N ·k /n.

– Hypoth` ese nulle H 0 : dans tous les cas, c’est l’ind´ ependance th´ eorique ˆ

p _j,k = ˆ p _j. p ˆ _.k ou N _j,k = N _j. N _.k /n.

– Table des effectifs th´ eorique au cas o` u H <sub>0</sub> serait r´ ealis´ ee, c’est-` a-dire une table donnant N j. N .k /n dans chaque cas,

η

· · · η

· · · η

ξ

N

N

/n · · · N

N

/n · · · N

N

/n

.. . .. . .. . .. . .. . .. .

ξ

N

N

/n · · · N

N

/n · · · N

N

/n

.. . .. . .. . .. . .. . .. .

ξ

N

N

/n · · · N

N

/n · · · N

N

/n

– Test du chi-deux d’ind´ ependance :

H 0 =

X et Y sont ind´ ependants

, R = {D _{(r−1)(s−1)} ² ≥ q 1−α }, D _{(r−1)(s−1)} ² =

r

X

j=1 s

X

k=1

(N _j,k − N _j. N _.k /n) ² N _j. N _.k /n

D _{(r−1)(s−1)} ² suit la loi du chi-deux ` a (r − 1)(s − 1) ddl et le quantile q 1−α

est tel que P (χ ² ((r − 1)(s − 1)) ≥ q 1−α ) = α.

18. Exercices de r´ evision R´ evision portant sur les tests d’hypoth` ese non pa- ram´ etriques (ind´ ependance et Chi-deux).

19. TP machine I : Introduction au maniement du logicien de statistique R.

Les ´ etudiants peuvent choisir de travailler en binˆ ome ou en trinˆ opme. Les notes de TP machine font partie de la note de contrˆ ole continu. Ce premier TP n’est pas ` a rendre.

20. TP machine II : Mod´ elisation probabiliste. Le Tp montre dans une premi` ere partie comment cr´ eer un ´ echantillon de loi discr` ete donn´ ee ` a l’avance. Il montre dans une deuxi` eme partie comment varie la vitesse de convergence dans le th´ eor` eme central limite pour un ´ echantillon de loi de Bernoulli.

21. TP machine III : Statistique inf´ erentielle et intervalles de confiance. Le TP montre dans une premi` ere partie comment repr´ esenter par des histogrammes et des boxplots des fichiers de donn´ ees. Il montre dans une deuxi` eme par- tie comment calculer un intervalle de confiance, d’abords en utilisant les formules du cours, puis en utilisant les fonctions clef-en-main de R.

22. TP machine IV : Statistique inf´ erentielle et tests d’hypoth` ese. Le TP

montre comment analyser un fichier de donn´ ees r´ ecup´ er´ ees sur internet

contenant le poids de 200 pots de caramel et de chocolat. Il montre d’abords

comment r´ ealiser un test de comparaison de moyenne entre les pots de cara-

mel et les pots de chocolat, puis comment r´ ealiser un test d’ajustement des

poids des pots de chocolat ` a une loi normale N (¯ x, s ² _n−1 ).