4.2 ESTIMATION D’UNE MOYENNE

cours 23

4.2 ESTIMATION D’UNE

MOYENNE

Au dernier cours, nous avons vu

La distribution d’échantillonnage suit donc une loi normale

Au dernier cours, nous avons vu

La distribution d’échantillonnage suit donc une loi normale X¯ µ

X¯ ⇠ N (0, 1)

Au dernier cours, nous avons vu

La distribution d’échantillonnage suit donc une loi normale X¯ µ

X¯ ⇠ N (0, 1)

Si l’échantillon est avec remise

Au dernier cours, nous avons vu

La distribution d’échantillonnage suit donc une loi normale X¯ µ

X¯ ⇠ N (0, 1)

Si l’échantillon est avec remise

<latexit sha1_base64="K9l/BbgmOET4XSTn+WgDfXYOZIM=">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</latexit>

X¯ =

r 2

n

Au dernier cours, nous avons vu

La distribution d’échantillonnage suit donc une loi normale X¯ µ

X¯ ⇠ N (0, 1)

Si l’échantillon est avec remise

Si l’échantillon est sans remise

<latexit sha1_base64="K9l/BbgmOET4XSTn+WgDfXYOZIM=">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</latexit>

X¯ =

r 2

n

Au dernier cours, nous avons vu

La distribution d’échantillonnage suit donc une loi normale X¯ µ

X¯ ⇠ N (0, 1)

Si l’échantillon est avec remise

Si l’échantillon est sans remise

<latexit sha1_base64="K9l/BbgmOET4XSTn+WgDfXYOZIM=">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</latexit>

X¯ =

r 2

n

<latexit sha1_base64="H56Q2qFpysOctZ3ORCoFFLs1CFw=">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</latexit>

X¯ =

s 2

n

✓ N n N 1

◆

Pour connaître la distribution d’une variable statistique X

Pour connaître la distribution d’une variable statistique X on doit faire un recensement.

Pour connaître la distribution d’une variable statistique X on doit faire un recensement.

Or les recensements sont souvent très couteux en temps et en argent.

Pour connaître la distribution d’une variable statistique X on doit faire un recensement.

Or les recensements sont souvent très couteux en temps et en argent.

On se retrouve alors dans la situation ou l’on ne connaît

Pour connaître la distribution d’une variable statistique X on doit faire un recensement.

Or les recensements sont souvent très couteux en temps et en argent.

On se retrouve alors dans la situation ou l’on ne connaît ni la moyenne µ

Pour connaître la distribution d’une variable statistique X on doit faire un recensement.

Or les recensements sont souvent très couteux en temps et en argent.

On se retrouve alors dans la situation ou l’on ne connaît

ni la variance ² ni la moyenne µ

Pour connaître la distribution d’une variable statistique X on doit faire un recensement.

Or les recensements sont souvent très couteux en temps et en argent.

On se retrouve alors dans la situation ou l’on ne connaît

ni la variance ² ni la moyenne µ

On va donc devoir trouver une façon de les estimer.

Estimateur

Estimateur

Pour estimer les paramètres d’une variable statistique, on prend un échantillon.

Estimateur

Pour estimer les paramètres d’une variable statistique, on prend un échantillon.

On nomme un estimé une valeur qui estime un paramètre

Estimateur

Pour estimer les paramètres d’une variable statistique, on prend un échantillon.

On nomme un estimé une valeur qui estime un paramètre

Exemple

Estimateur

Pour estimer les paramètres d’une variable statistique, on prend un échantillon.

On nomme un estimé une valeur qui estime un paramètre

Exemple

Estimateur

Pour estimer les paramètres d’une variable statistique, on prend un échantillon.

On nomme un estimé une valeur qui estime un paramètre

Exemple

¯

x est un estimé de µ

Estimateur

Pour estimer les paramètres d’une variable statistique, on prend un échantillon.

On nomme un estimé une valeur qui estime un paramètre

Exemple

¯

x est un estimé de µ

On nomme estimateur la variable aléatoire associée à l’estimé

Estimateur

Pour estimer les paramètres d’une variable statistique, on prend un échantillon.

On nomme un estimé une valeur qui estime un paramètre

Exemple

¯

x est un estimé de µ

On nomme estimateur la variable aléatoire associée à l’estimé

Exemple

Estimateur

Pour estimer les paramètres d’une variable statistique, on prend un échantillon.

On nomme un estimé une valeur qui estime un paramètre

Exemple

¯

x est un estimé de µ

On nomme estimateur la variable aléatoire associée à l’estimé

Exemple

Définition

Y

Étant donné un paramètre dont on cherche une estimation. Si est un estimé d’estimateur , alors on dira que l’estimateur est sans biais si

↵ y

Définition

Y

Étant donné un paramètre dont on cherche une estimation. Si est un estimé d’estimateur , alors on dira que l’estimateur est sans biais si

↵ y

E(Y ) = ↵

Définition

Y

Étant donné un paramètre dont on cherche une estimation. Si est un estimé d’estimateur , alors on dira que l’estimateur est sans biais si

↵ y

E(Y ) = ↵

Définition

Y

Étant donné un paramètre dont on cherche une estimation. Si est un estimé d’estimateur , alors on dira que l’estimateur est sans biais si

↵ y

E(Y ) = ↵

↵

Définition

Y

Étant donné un paramètre dont on cherche une estimation. Si est un estimé d’estimateur , alors on dira que l’estimateur est sans biais si

↵ y

E(Y ) = ↵

↵ Y

Sans biais

Définition

Y

Étant donné un paramètre dont on cherche une estimation. Si est un estimé d’estimateur , alors on dira que l’estimateur est sans biais si

↵ y

E(Y ) = ↵

↵ Y

Sans biais

Y₁

Avec biais

Au dernier cours on a vu que est un estimateur sans biais de la moyenne

X¯

Au dernier cours on a vu que est un estimateur sans biais de la moyenne

X¯ E( ¯X) = µ

Au dernier cours on a vu que est un estimateur sans biais de la moyenne

X¯ E( ¯X) = µ

Mais on aimerait aussi avoir un estimateur de la variance.

Au dernier cours on a vu que est un estimateur sans biais de la moyenne

X¯

E( ¯X) = µ

Mais on aimerait aussi avoir un estimateur de la variance.

Lorsqu’on a un échantillon et qu’on calcule sa variance comme on le ferait avec la population on fait

Au dernier cours on a vu que est un estimateur sans biais de la moyenne

X¯

E( ¯X) = µ

Mais on aimerait aussi avoir un estimateur de la variance.

Lorsqu’on a un échantillon et qu’on calcule sa variance comme on le ferait avec la population on fait

1 n

Xn

k=1

(x_i x)¯ ²

Au dernier cours on a vu que est un estimateur sans biais de la moyenne

X¯

E( ¯X) = µ

Mais on aimerait aussi avoir un estimateur de la variance.

Lorsqu’on a un échantillon et qu’on calcule sa variance comme on le ferait avec la population on fait

1 n

Xn

k=1

(x_i x)¯ ²

Regardons si l’estimateur associé est sans biais

Au dernier cours on a vu que est un estimateur sans biais de la moyenne

X¯

E( ¯X) = µ

Mais on aimerait aussi avoir un estimateur de la variance.

Lorsqu’on a un échantillon et qu’on calcule sa variance comme on le ferait avec la population on fait

1 n

Xn

k=1

(x_i x)¯ ²

Regardons si l’estimateur associé est sans biais Y ² = 1

n

Xn

k=1

(X_i X¯ )²

E(Y ²)

= E

✓ P(X_i X¯ )² n

◆ E(Y ²)

= E

✓ P(X_i X¯ )² n

◆ E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

!

= E

✓ P(X_i X¯ )² n

◆ E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

!

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i² 2X_iX¯ + ¯X²)

!

= E

✓ P(X_i X¯ )² n

◆ E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

!

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i² 2X_iX¯ + ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X

Xn

i=1

X_i + ¯X²

Xn

i=1

1

!

= E

✓ P(X_i X¯ )² n

◆ E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

!

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i² 2X_iX¯ + ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X

Xn

i=1

X_i + ¯X²

Xn

i=1

1

!

X¯ = 1 n

Xn

i=1

X_i

= E

✓ P(X_i X¯ )² n

◆ E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

!

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i² 2X_iX¯ + ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X

Xn

i=1

X_i + ¯X²

Xn

i=1

1

!

X¯ = 1 n

Xn

i=1

X_i

= E

✓ P(X_i X¯ )² n

◆ E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

!

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i² 2X_iX¯ + ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X

Xn

i=1

X_i + ¯X²

Xn

i=1

1

!

X¯ = 1 n

Xn

i=1

X_i

nX¯ =

Xn

i=1

X_i

= E

✓ P(X_i X¯ )² n

◆ E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

!

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i² 2X_iX¯ + ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X

Xn

i=1

X_i + ¯X²

Xn

i=1

1

!

X¯ = 1 n

Xn

i=1

X_i

nX¯ =

Xn

i=1

X_i

= E

✓ P(X_i X¯ )² n

◆ E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

!

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i² 2X_iX¯ + ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X

Xn

i=1

X_i + ¯X²

Xn

i=1

1

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

X¯ = 1 n

Xn

i=1

X_i

nX¯ =

Xn

i=1

X_i

= E

✓ P(X_i X¯ )² n

◆ E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

!

= 1 n E

Xn

i=1

(X_i² 2X_iX¯ + ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X

Xn

i=1

X_i + ¯X²

Xn

i=1

1

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

X¯ = 1 n

Xn

i=1

X_i

nX¯ =

Xn

i=1

X_i

E(Y ²) = 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(X_i) = µ E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(X_i) = µ Var(X_i) = ² E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(X_i) = µ

Var(X_i) = ² Var(X_i) = E(X_i²) E(X_i)² E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(X_i) = µ

Var(X_i) = ² Var(X_i) = E(X_i²) E(X_i)²

2 = E(X_i²) µ² E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(X_i) = µ

Var(X_i) = ² Var(X_i) = E(X_i²) E(X_i)²

2 = E(X_i²) µ² E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(X_i) = µ

Var(X_i) = ² Var(X_i) = E(X_i²) E(X_i)²

2 = E(X_i²) µ² E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(X_i) = µ

Var(X_i) = ² Var(X_i) = E(X_i²) E(X_i)²

2 = E(X_i²) µ² E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(X_i) = µ

Var(X_i) = ² Var(X_i) = E(X_i²) E(X_i)²

2 = E(X_i²) µ² E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(X_i) = µ

Var(X_i) = ² Var(X_i) = E(X_i²) E(X_i)²

2 = E(X_i²) µ² E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(X_i) = µ

Var(X_i) = ² Var(X_i) = E(X_i²) E(X_i)²

2 = E(X_i²) µ² E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(X_i) = µ

Var(X_i) = ² Var(X_i) = E(X_i²) E(X_i)²

2 = E(X_i²) µ² E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(X_i²) = ² + µ²

E(X_i) = µ

Var(X_i) = ² Var(X_i) = E(X_i²) E(X_i)²

2 = E(X_i²) µ² E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(X_i²) = ² + µ²

E(X_i) = µ

Var(X_i) = ² Var(X_i) = E(X_i²) E(X_i)²

2 = E(X_i²) µ² E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(X_i²) = ² + µ²

= 1 n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E(X_i) = µ

Var(X_i) = ² Var(X_i) = E(X_i²) E(X_i)²

2 = E(X_i²) µ² E(Y ²)

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² nX¯ ²

!

= 1

n E

Xn

i=1

X_i²

!

E(nX¯ ²)

!

= 1 n

Xn

i=1

E(X_i²) nE( ¯X²)

!

= 1 n E

Xn

i=1

X_i² 2 ¯X(nX¯ ) + ¯X²n

!

E(X_i²) = ² + µ²

= 1 n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E(Y ²) = 1 n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E( ¯X) = µ E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E( ¯X) = µ Var( ¯X) =

2

n E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E( ¯X) = µ Var( ¯X) =

2

n

Var( ¯X) = E( ¯X²) E( ¯X)² E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E( ¯X) = µ Var( ¯X) =

2

n

Var( ¯X) = E( ¯X²) E( ¯X)² E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E( ¯X) = µ Var( ¯X) =

2

n

Var( ¯X) = E( ¯X²) E( ¯X)² E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E( ¯X) = µ Var( ¯X) =

2

n

Var( ¯X) = E( ¯X²) E( ¯X)² E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E( ¯X) = µ Var( ¯X) =

2

n

Var( ¯X) = E( ¯X²) E( ¯X)²

2

n = E( ¯X²) µ² E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E( ¯X) = µ Var( ¯X) =

2

n

Var( ¯X) = E( ¯X²) E( ¯X)²

2

n = E( ¯X²) µ² E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E( ¯X) = µ Var( ¯X) =

2

n

Var( ¯X) = E( ¯X²) E( ¯X)²

2

n = E( ¯X²) µ² E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E( ¯X) = µ Var( ¯X) =

2

n

Var( ¯X) = E( ¯X²) E( ¯X)²

2

n = E( ¯X²) µ² E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E( ¯X) = µ Var( ¯X) =

2

n

Var( ¯X) = E( ¯X²) E( ¯X)²

2

n = E( ¯X²) µ² E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E( ¯X²) =

2

n + µ²

E( ¯X) = µ Var( ¯X) =

2

n

Var( ¯X) = E( ¯X²) E( ¯X)²

2

n = E( ¯X²) µ² E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E( ¯X²) =

2

n + µ²

E( ¯X) = µ Var( ¯X) =

2

n

Var( ¯X) = E( ¯X²) E( ¯X)²

2

n = E( ¯X²) µ² E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E( ¯X²) =

2

n + µ²

= 1 n

Xn

i=1

( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆!

E( ¯X) = µ Var( ¯X) =

2

n

Var( ¯X) = E( ¯X²) E( ¯X)²

2

n = E( ¯X²) µ² E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) nE( ¯X²)

!

E( ¯X²) =

2

n + µ²

= 1 n

Xn

i=1

( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆!

E(Y ²) = 1 n

Xn

i=1

( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆!

E(Y ²) = 1 n

Xn

i=1

( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆!

= 1 n

✓

n( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆◆

E(Y ²) = 1 n

Xn

i=1

( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆!

= 1 n

✓

n( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆◆

= ( ² + µ²)

✓ ₂

n + µ²

◆

E(Y ²) = 1 n

Xn

i=1

( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆!

= 1 n

✓

n( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆◆

= ( ² + µ²)

✓ ₂

n + µ²

◆

= ²

2

n E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆!

= 1 n

✓

n( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆◆

= ( ² + µ²)

✓ ₂

n + µ²

◆

= ²

2

n E(Y ²) = 1

n

Xn

i=1

( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆!

= 1 n

✓

n( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆◆

= ( ² + µ²)

✓ ₂

n + µ²

◆

= ²

2

n

= n ^{2 2} n

E(Y ²) = 1 n

Xn

i=1

( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆!

= 1 n

✓

n( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆◆

= ( ² + µ²)

✓ ₂

n + µ²

◆

= ²

2

n

= n ^{2 2}

n = n 1

n

2

E(Y ²) = 1 n

Xn

i=1

( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆!

= 1 n

✓

n( ² + µ²) n

✓ ₂

n + µ²

◆◆

= ( ² + µ²)

✓ ₂

n + µ²

◆

= n 1 n E(Y ²) 2

= n 1 n

E(Y ²) 2 6= ²

= n 1 n

E(Y ²) 2 6= ²

Donc l’estimateur n’est pas sans biais!

= n 1 n

E(Y ²) 2 6= ²

Donc l’estimateur n’est pas sans biais!

Par contre, tout ce travail n’a pas été futile!

= n 1 n

E(Y ²) 2 6= ²

Donc l’estimateur n’est pas sans biais!

Par contre, tout ce travail n’a pas été futile!

Il nous montre comment avoir un estimateur sans biais.

= n 1 n

E(Y ²) 2 6= ²

Donc l’estimateur n’est pas sans biais!

Par contre, tout ce travail n’a pas été futile!

Il nous montre comment avoir un estimateur sans biais.

S² =

✓ n n 1

◆

Y ²

= n 1 n

E(Y ²) 2 6= ²

Donc l’estimateur n’est pas sans biais!

Par contre, tout ce travail n’a pas été futile!

Il nous montre comment avoir un estimateur sans biais.

S² =

✓ n n 1

◆

Y ²

E(S²) = E

✓✓ n n 1

◆

Y ²

◆

= n 1 n

E(Y ²) 2 6= ²

Donc l’estimateur n’est pas sans biais!

Par contre, tout ce travail n’a pas été futile!

Il nous montre comment avoir un estimateur sans biais.

S² =

✓ n n 1

◆

Y ²

E(S²) = E

✓✓ n n 1

◆

Y ²

◆

=

✓ n n 1

◆

E Y ²

= n 1 n

E(Y ²) 2 6= ²

Donc l’estimateur n’est pas sans biais!

Par contre, tout ce travail n’a pas été futile!

Il nous montre comment avoir un estimateur sans biais.

S² =

✓ n n 1

◆

Y ²

E(S²) = E

✓✓ n n 1

◆

Y ²

◆

=

✓ n n 1

◆

E Y ²

=

✓ n n 1

◆ ✓ n 1 n

◆

2

= n 1 n

E(Y ²) 2 6= ²

Donc l’estimateur n’est pas sans biais!

Par contre, tout ce travail n’a pas été futile!

Il nous montre comment avoir un estimateur sans biais.

S² =

✓ n n 1

◆

Y ²

E(S²) = E

✓✓ n n 1

◆

Y ²

◆

=

✓ n n 1

◆

E Y ²

=

✓ n n 1

◆ ✓ n 1 n

◆

2

= n 1 n

E(Y ²) 2 6= ²

Donc l’estimateur n’est pas sans biais!

Par contre, tout ce travail n’a pas été futile!

Il nous montre comment avoir un estimateur sans biais.

S² =

✓ n n 1

◆

Y ²

E(S²) = E

✓✓ n n 1

◆

Y ²

◆

=

✓ n n 1

◆

E Y ²

=

✓ n n 1

◆ ✓ n 1 n

◆

2

= n 1 n

E(Y ²) 2 6= ²

Donc l’estimateur n’est pas sans biais!

Par contre, tout ce travail n’a pas été futile!

Il nous montre comment avoir un estimateur sans biais.

S² =

✓ n n 1

◆

Y ²

E(S²) = E

✓✓ n n 1

◆

Y ²

◆

=

✓ n n 1

◆

E Y ²

=

✓ n n 1

◆ ✓ n 1 n

◆

2 = ²

S² =

✓ n n 1

◆

Y ²

S² =

✓ n n 1

◆

Y ² =

✓ n n 1

◆ 1 n

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

S² =

✓ n n 1

◆

Y ² =

✓ n n 1

◆ 1 n

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

S² =

✓ n n 1

◆

Y ² =

✓ n n 1

◆ 1 n

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

= 1

n 1

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

S² =

✓ n n 1

◆

Y ² =

✓ n n 1

◆ 1 n

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

= 1

n 1

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

et donc l’estimé de la variance est

S² =

✓ n n 1

◆

Y ² =

✓ n n 1

◆ 1 n

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

= 1

n 1

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

et donc l’estimé de la variance est

s² = 1 n 1

Xn

i=1

(x_i x)¯ ²

Tout ça pour ça S² =

✓ n n 1

◆

Y ² =

✓ n n 1

◆ 1 n

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

= 1

n 1

Xn

i=1

(X_i X¯ )²

et donc l’estimé de la variance est

s² = 1 n 1

Xn

i=1

(x_i x)¯ ²

X estimé

Paramètre de estimateur

X

µ

estimé

Paramètre de estimateur

X

µ x¯

estimé

Paramètre de estimateur

X

µ x¯ X¯

estimé

Paramètre de estimateur

X

µ

2

¯

x X¯

estimé

Paramètre de estimateur

s² X

µ

2

¯

x X¯

estimé

Paramètre de estimateur

s² X

µ

2 S²

¯

x X¯

estimé

Paramètre de estimateur

s² X

µ

2 S²

¯

x X¯

estimé

Paramètre de estimateur

Est-ce que ces estimé sont bons?

s² X

µ

2 S²

¯

x X¯

estimé

Paramètre de estimateur

Est-ce que ces estimé sont bons?

En fait on pourrait être très malchanceux et avoir sélectionné un échantillon très peu représentatif de la population.

X¯

µ

Lorsqu’on obtient un échantillon

X¯

¯ x µ

Lorsqu’on obtient un échantillon

X¯

¯ x µ

Lorsqu’on obtient un échantillon

X¯

¯ x

µ

Lorsqu’on obtient un échantillon

X¯

¯ x

µ

Lorsqu’on obtient un échantillon

X¯

¯ x

µ

Lorsqu’on obtient un échantillon

X¯

¯ x µ

Lorsqu’on obtient un échantillon

X¯

¯ x µ

Lorsqu’on obtient un échantillon

Mais la probabilité que est nulle!_{x¯ = µ}

X¯

¯ x µ

Lorsqu’on obtient un échantillon

Mais la probabilité que est nulle!_{x¯ = µ}

On va donc prendre un intervalle autour de qui va englober ^x¯ µ

X¯

¯ x µ

Lorsqu’on obtient un échantillon

Mais la probabilité que est nulle!_{x¯ = µ}

On va donc prendre un intervalle autour de qui va englober ^x¯ µ

X¯

¯ x µ

µ 2 [¯x a, x¯ + a]

Lorsqu’on obtient un échantillon

Mais la probabilité que est nulle!_{x¯ = µ}

On va donc prendre un intervalle autour de qui va englober ^x¯ µ

X¯

¯ x µ

µ 2 [¯x a, x¯ + a]

Lorsqu’on obtient un échantillon

Mais la probabilité que est nulle!_{x¯ = µ}

On va donc prendre un intervalle autour de qui va englober ^x¯ µ Si l’intervalle est trop grand, ce n’est pas précis.

X¯

¯ x µ

µ 2 [¯x a, x¯ + a]

Lorsqu’on obtient un échantillon

Mais la probabilité que est nulle!_{x¯ = µ}

On va donc prendre un intervalle autour de qui va englober ^x¯ µ Si l’intervalle est trop grand, ce n’est pas précis.

X¯

¯ x µ

µ 2 [¯x a, x¯ + a]

Lorsqu’on obtient un échantillon

Mais la probabilité que est nulle!_{x¯ = µ}

On va donc prendre un intervalle autour de qui va englober ^x¯ µ Si l’intervalle est trop grand, ce n’est pas précis.

S’il est trop petit, on peut manquer .µ

X¯

¯ x µ

µ 2 [¯x a, x¯ + a]

Lorsqu’on obtient un échantillon

Mais la probabilité que est nulle!_{x¯ = µ}

On va donc prendre un intervalle autour de qui va englober ^x¯ µ Si l’intervalle est trop grand, ce n’est pas précis.

S’il est trop petit, on peut manquer .µ

Pour trouver le bon intervalle, on va fonctionner à l’envers.

Pour trouver le bon intervalle, on va fonctionner à l’envers.

On commence par choisir un niveau de confiance.

Pour trouver le bon intervalle, on va fonctionner à l’envers.

On commence par choisir un niveau de confiance.

Habituellement, on prend 90%, 95% ou 99%.

Pour trouver le bon intervalle, on va fonctionner à l’envers.

On commence par choisir un niveau de confiance.

Habituellement, on prend 90%, 95% ou 99%.

X¯

µ

Pour trouver le bon intervalle, on va fonctionner à l’envers.

On commence par choisir un niveau de confiance.

Habituellement, on prend 90%, 95% ou 99%.

X¯

µ 1 ↵

Pour trouver le bon intervalle, on va fonctionner à l’envers.

On commence par choisir un niveau de confiance.

Habituellement, on prend 90%, 95% ou 99%.

X¯

µ 1 ↵ = 0, 95

Pour trouver le bon intervalle, on va fonctionner à l’envers.

On commence par choisir un niveau de confiance.

Habituellement, on prend 90%, 95% ou 99%.

X¯

µ 1 ↵

a b

= 0, 95

Pour trouver le bon intervalle, on va fonctionner à l’envers.

On commence par choisir un niveau de confiance.

Habituellement, on prend 90%, 95% ou 99%.

X¯

µ 1 ↵

a b

P (a  X¯  b) = 1 ↵

= 0, 95