Lycée Marsa Riadh Devoir de synthèse n° 2 M.Zribi
Classes : 𝟒𝑴𝟏− 𝟒𝑴𝟐 M.Messaoudia Durée : 4h
Exercice 1 ( 3pts )
Pour chaque question indiquer la bonne réponse en justifiant.
1- On note 𝑔̅ la valeur moyenne sur [𝜋6,𝜋3] de la fonction 𝑔 définie par : 𝑔(𝑥) = tan 𝑥 est :
𝑎) 𝑔̅ =𝜋
6√3 𝑏) 𝑔̅ =𝜋
6ln √3 𝑐) 𝑔̅ =𝜋 6ln3
2 2- Dans le plan orienté, la composée d’une rotation d’angle 𝜋
2 et d’une homothétie de rapport −1
4 est une similitude d’angle :
𝑎) −𝜋
8 𝑏) −𝜋
2 𝑐)𝜋 2 3-
a) lim
0+
ln(𝑥 + 1)
𝑥2 =1
2 b) lim
0+
ln(𝑥 + 1)
𝑥2 = 0 c) lim
0+
ln(𝑥 + 1)
𝑥2 = +∞
Exercice 2 ( 4pts )
𝑂𝐴𝐵 est un triangle rectangle et isocèle en 𝑂 . On note 𝐼 le milieu de [𝐴𝐵] et 𝐹 le point défini par 𝑂𝐹⃗⃗⃗⃗⃗ =1
4𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ . Soit 𝑃 la parabole de sommet 𝑂 et de foyer 𝐹.
On muni le plan du repère orthonormé (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) tel que 𝑖 =1
2𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗
1-a- Montrer que dans le repère (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) la parabole 𝑃 a pour équation : 𝑦2 = 2𝑥 b- Déterminer les coordonnées du point . En déduire que 𝑃 passe par 𝐴 et 𝐵.
c- Tracer la parabole 𝑃. ( Figure 1 dans l’annexe )
d- La tangente à 𝑃 en 𝐴 coupe (𝑂𝐼) en 𝐽.Montrer que 𝑂 est le milieu de [𝐼𝐽]
2- Soit 𝑀(𝑥1, 𝑦1) un point de 𝑃 distinct de 𝑂. La perpendiculaire à (𝑂𝑀) en 𝑂 coupe 𝑃 en 𝑁(𝑥2, 𝑦2).
On pose 𝑥 = 𝑎𝑦 + 𝑏 une équation de la droite (𝑀𝑁).
a- Montrer que 𝑦1 et 𝑦2 sont les solutions de l’équation : 𝑦2− 2𝑎𝑦 − 2𝑏 = 0 b- En remarquant que 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 , montrer que 𝑏 = 2
c- En déduire que lorsque 𝑀 varie sur 𝑃, (𝑀𝑁) passe par un point fixe.
Exercice 3 ( 4pts )
Soit la suite (𝐼𝑛) définie sur 𝐼𝑁∗ par : 𝐼𝑛 = ∫ 𝑥01 𝑛ln(𝑥 + 1) 𝑑𝑥.
1- a- Vérifier que pour tout réel 𝑥 ≠ −1 : 1+𝑥𝑥2 = 𝑥 − 1 +1+𝑥1 puis calculer ∫ 𝑥2
1+𝑥 𝑑𝑥
1 0
b- Calculer 𝐼1 à l’aide d’une intégration par parties.
c- Etudier la monotonie de la suite (𝐼𝑛).
2- a- Montrer que pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁∗ : 0 ≤ 𝐼𝑛 ≤𝑛+1𝑙𝑛2
b- En déduire que la suite (𝐼𝑛) convergente et calculer sa limite.
On pose pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁∗∶ 𝑢𝑛= ∫ 𝑥𝑛+1
1+𝑥 𝑑𝑥
1 0
3- a- Montrer que pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁∗∶ 0 ≤ 𝑢𝑛≤𝑛+21
b- Montrer que pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁∗∶ (𝑛 + 1)𝐼𝑛= 𝑙𝑛2 −𝑢𝑛 puis calculer lim
+∞(𝑛 + 1)𝐼𝑛
Exercice 4 ( 4pts )
𝐴𝐵𝐶𝐷 un rectangle tel que : 𝐴𝐷 = 2𝐴𝐵 et (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷̂⃗⃗⃗⃗⃗ )≡𝜋
2 [2𝜋] . 𝐸 est le milieu de [𝐵𝐶] et Δ est la perpendiculaire à (𝐴𝐸) en 𝐴. La droite Δ coupe la droite (𝐶𝐷) en 𝐹.
1- Montrer que le triangle 𝐴𝐷𝐹 est rectangle et isocèle.
Soit 𝑓 la similitude directe qui transforme 𝐵 en 𝐷 et 𝐸 en 𝐹.
2- a- Déterminer le rapport et une mesure de l’angle de 𝑓.
b- Justifier que 𝐴 est le centre de 𝑓.
Soit Г le cercle circonscrit au triangle 𝐴𝐵𝐸.
c- Déterminer et construire le cercle Г′ image de Г par 𝑓.
d- Le cercle Г′ recoupe le cercle Г en 𝐺. Montrer que les points 𝐵, 𝐷 et 𝐺 sont alignés.
2- Soit 𝑔 = 𝑓𝑜𝑆(𝐴𝐵)
a- Déterminer 𝑔(𝐴) et 𝑔(𝐵).
b- En déduire la nature de 𝑔 et ses éléments caractéristiques.
c- Soit Г′′ l’image de Г′ par 𝑔.Montrer que la droite (𝐴𝐸) est une tangente commune à Г′ et Г′′.
Exercice ( 5 pts )
Dans la figure 2 (𝐶) est la courbe représentative dans un repère orthonormé (𝑂, 𝑖 , 𝑗 ) d’une fonction 𝑓 définie sur [0, +∞[\{𝑒}.
(𝑂𝐴) est la tangente à (𝐶) au point d’abscisse 1 𝐷: 𝑦 = 𝑥 est une asymptote à (𝐶) au voisinage de +∞
La droite d’équation 𝑥 = 𝑒 est une asymptote verticale à (𝐶) 1- a- Par une lecture graphique déterminer :
lim
𝑒− 𝑓(𝑥) lim
+∞𝑓(𝑥) lim
+∞(𝑓(𝑥) − 𝑥) lim
1
𝑓(𝑥) − 2 𝑥 − 1 b- Etudier le signe de 𝑓(𝑥) − 2𝑥
2- Soit 𝐼 = ∫ 𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥11
2
a- En utilisant une intégration par parties montrer que 𝐼 =𝑙𝑛2
8 − 3
16
b- En déduire la valeur de 𝐽 = ∫ (𝑥 + 1 − 𝑥𝑙𝑛𝑥) 𝑑𝑥11
2
3- On admet que 𝑓 est la fonction définie sur [0, +∞[\{𝑒} par :{𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1
1−𝑙𝑛𝑥
𝑓(0) = 0
a- Montrer que 𝑓 est continue à droite en 0
b- Etudier la dérivabilité de 𝑓 à droite en 0
4- a- Montrer que pour tout 𝑥 ∈ [1
2, 1] ∶ 2𝑥 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑥 + 1 − 𝑥𝑙𝑛𝑥
Soit 𝐴 l’aire de la partie du plan limitée par (𝐶) l’axe des abscisses et les droites 𝑥 =1
2 et 𝑥 = 1
b- Montrer que : 3
4≤ 𝐴 ≤17
16−𝑙𝑛2
8
Nom : ………. …..Prénom :………. Classe :………
Figure 1
Figure 2
