Equilibre d’une membrane avec obstacle

Equilibre d’une membrane avec obstacle

Sujet propos´e par J. Fr´ed´eric BonnansFrederic.Bonnans@inria.fr Objectif

Calcul du d´eplacement `a l’´equilibre d’une membrane sous contrainte d’obsta- cle. Etude des instabilit´es obtenues quand la membrane soutient une masse liquide.

Position du probl`emeSoit Ω un ouvert connexe de fronti`ere∂Ω r´eguli`ere dans IR<sup>2</sup>. On consid`ere un mod`ele de membrane en petite d´eformation. Le domaine Ω ´etant vu comme horizontal, si la membrane est dans un champ de forces f ∈L<sup>2</sup>(Ω), et notant y : Ω→ IRle d´eplacement vertical, l’´energie m´ecanique est de la formeE(y) =ED(y) +EP(y) o`u les ´energies de d´eformation ´elastique et l’´energie potentielle ont respectivement les expressions suivantes :

E_D(y) := ¹₂ Z

Ω

|∇y(x)|²dx; E_P(y) :=− Z

Ω

f(x)y(x)dx. (1) La membrane a un d´eplacement nul au bord. Son d´eplacement est limit´e par un obstacle ce qui se traduit par une contrainte du type

y(x)≥Ψ(x) sur Ω. (2)

On consid`erera ensuite le cas o`u la forcef est celui d’une masse totale donn´ee de liquide soutenu par la membrane.

Etude th´eorique du probl`eme d’obstable

1. On suppose dans la suite que Ψ∈C^∞(Ω) et que Ψ≤0 sur∂Ω. Montrer que l’ensemble

K:={y∈H₀¹(Ω); y≥Ψ p.p.} (3) est une partie non vide, convexe et ferm´ee deH₀¹(Ω).

2. Montrer queE(y) est une fonctionfortementconvexe surH₀¹(Ω). D´eduire des r´esultats du cours que le probl`eme suivant a une solution unique not´ee

¯

y (qui est la d´eformation de la membrane) : min

y∈KE(y) (P)

3. On note la d´eriv´ee directionnelle deE eny dans la directionz par E⁰(y, z) := lim

t→0

E(y+tz)−E(y)

t =¹₂

Z

Ω

∇y(x)·∇z(x)dx−

Z

Ω

f(x)z(x)dx.

(4) Justifier la relation ci-dessus et montrer que ¯yest caract´eris´ee par la rela- tion

E⁰(¯y, z−y)¯ ≥0, pour toutz∈K. (5) 1

4. Soit la fonctionπ:IR→IRde classeC¹ d´efinie par

π(t) :=







1

2+t sit≤ −1,

−¹₂t² si−1< t≤0, 0 sit >0.

(6)

Expliciter la primitive Π de π nulle en z´ero, et montrer que le probl`eme suivant, o`u ε > 0, a un crit`ere bien d´efini, et une solution unique not´ee yε :

min

y∈H¹₀(Ω)

E_ε(y) :=E(y) +1 ε

Z

Ω

Π(y(x)−Ψ(x))dx. (P_ε) 5. Montrer quey_ε est caract´eris´ee par la relation

−∆yε(x) +1

επ(y_ε(x)−Ψ(x)) =f(x), p.p. sur Ω. (7) 6. Multipliant (7) parπ(y_ε(x)−Ψ(x)) et int´egrant sur Ω, obtenir la relation

kπ(y_ε(x)−Ψ(x))k₂≤εkfk₂.

7. L’espaceY :=H²(Ω)∩H₀¹(Ω) est muni de la normekykY :=kyk_H2 qui en fait un espace de Hilbert. Montrer queyεest born´ee dansY. On utilisera le fait que, siy∈H₀¹(Ω) v´erifie ∆y∈L²(Ω), alorsy∈Y, et il existec >0 (ind´ependant dey) tel quekykY ≤ck∆yk2.

8. Dans un espace de BanachB, on dit qu’une suitehk converge faiblement vers ¯h∈ B et on note hk * ¯h si hh^∗, hki → hh^∗,¯hipour tout h^∗ ∈ B^∗ (dual topologique de B). De mˆeme hε converge faiblement vers ¯h∈ H quand ε↓ 0 sihh^∗, hεi → hh^∗,¯hi pour tout h^∗ ∈B^∗. Si B⁰ est un autre espace de Banach, A ∈ L(B, B⁰), et hk * ¯hdans B, alors Ahk * Ah.¯ On dit queAest compactesih_k*¯himpliqueAh_k →A¯h. On admet les r´esultats suivants : (i) De toute suite born´ee dans un un espace de Hilbert on peut extraire une sous-suite faiblement convergente, (ii) toute partie convexe ferm´ee d’un un espace de Hilbert contient les limites faibles de ses

´

el´ements, (iii) toute suite born´ee dansY admet une sous suite convergeant fortement dansH₀¹(Ω).

Montrer que ¯y∈Y, et queyεtend vers ¯yfaiblement dansY et fortement dansH₀¹(Ω).

9. En dimensionn≤3, on aY ⊂C0( ¯Ω) (espace des fonctions continues sur Ω, nulles au bord) avec injection compacte. On suppose que le¯ domaine de contactΩC:={x∈Ω; y(x) = Ψ(x)}a un bord r´egulier.

Soitλ:=−f−∆¯y. Montrer queλpeut s’interpr´eter comme une force de r´eaction caus´ee par l’obstacle, dont on donnera l’expression dans l’int´erieur de Ω_C.

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Analyse et r´esolution num´erique du probl`eme d’obstable

1. On noteV =H₀¹(Ω), etVhl’espace obtenu par discr´etisation par ´el´ements finisP1. Formuler le probl`eme discret sur l’espaceVhMontrer qu’il a une solution uniqueyh, born´ee dansV.

2. Soit ˜yune limite faible d’un suitey_k extraite dey_hquandh→0. Montrer queE(˜y)≤lim inf_kE(y_k). On pourra utiliser, en la justifiant, la fermeture faible de l’´epigraphe deE : epi(E) :={(y, α)∈V ×IR; E(y)≤α}. En d´eduire quey_h*y¯dansV.

3. Sizi* z dans un Hilbert H, montrer que zi→zssikzikH → kzkH. En d´eduire queyh→y¯dansV.

4. Formuler la discr´etisation du probl`eme (Pε) sur l’espace Vh. V´erifier l’existence d’une solution uniqueyh,ε. Montrer que

limε↓0yh,ε=yh; lim

h↓0yh,ε=yε; lim

(ε,h)↓0yh,ε= ¯y. (8) On pourra utiliser l’injection compacte deV dansL²(Ω).

5. Discr´etiser avec FreeFem le probl`eme, et r´esoudre dans le cas d’un domaine circulaire et d’un obtacle “pointu” (cˆone de pointe dirig´ee vers le haut) le probl`eme (Pε) par un algorithme de gradient. Discuter le comportement num´erique quandεest petit.

6. (Question bonus). Interpr´eter λ comme un multiplicateur de Lagrange associ´e `a la contrainte, et appliquer l’algorithme d’Uzawa pour r´esoudre le probl`eme (P).

Membrane soutenant une masse liquide On suppose maintenant que le champ de force est le poids d’un liquide de densit´e 1 soutenu par la membrane, et de masse totale L. On note a l’altitude du liquide (des parois au bord du domaine pr´eviennent tout d´eversement).

1. Montrer que la hauteur de la colonne d’eau au pointx∈Ω est (a−y(x))+, et que

Z

Ω

(a−y(x))₊dx=L. (9)

2. On utilise dans la suite une formulation dans laquelle la hauteur not´ee g(x) de la colonne de liquide au pointxest “libre”. Montrer que l’´energie potentielle associ´ee au liquide estEL(y, g) :=R

Ω(y(x) +¹₂g(x))g(x)dx.

3. Montrer que les d´eformations d’´energie minimale sont solution du probl`eme min

g∈L²₊(Ω),y∈K

E_T(y) :=E_D(y) +E_L(y, g);

Z

Ω

g(x)dx=L (P_L)

3

4. Montrer que, pouryfix´e, le minimum engest obtenu pourg(x) = (a(y)− y(x))+, o`u l’altitudea(y) est solution unique deR

Ω(a(y)−y(x))+dx=L.

5. On consid`ere la suite (yk, gk) form´ee par minimisation alternative, autrement dityk est solution de

min

y∈KE_T(y) :=E_D(y) +E_L(y, g_k−1); (P_L) et g_k = (a(y)−y_k(x))₊. Montrer que, si (y, g) est un point fixe, alors il satisfait une ´equation d’´equilibre des forces m´ecaniques que l’on pr´ecisera.

6. Impl´ementer num´eriquement cet algorithme. On examinera des variantes alternant les it´erations de minimisation sury et la mise `a jour deg.

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