TS6 Interrogation 14A 25 mars 2019 On noteRl’ensemble des nombres r´eels. L’espace est muni d’un rep`ere orthonorm´e (O;~i;~j;~k). On consid`ere les points A(−1 ; 2 ; 0), B(1 ; 2 ; 4) et C(−1 ; 1 ; 1).
Cet exercice est un questionnaire `a choix multiples. Aucune justification n’est demand´ee. Pour chacune des questions, une seule des propositions est correcte.
L’espace est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e
O;~i;~j;~k
. Les points A, B, C et D ont pour coordonn´ees respectives A(1 ; −1 ; 2), B(3 ; 3 ; 8), C(−3 ; 5 ; 4) et D(1 ; 2 ; 3).
On noteDetD0les droites ayant pour repr´esentations param´etriques
x = t+ 1 y = 2t−1 z = 3t+ 2
, t∈Ret
x = k+ 1
y = k+ 3
z = −k+ 4 , k∈ R.
On note P le plan d’´equationx+y−z+ 2 = 0.
Exercice 1 :
Les droitesDetD0 sont parall`eles.
Les droitesDetD0 sont coplanaires.
Le point C appartient `a la droiteD.
√ Les droites D et D0 sont orthogonales.
Exercice 2 :
Le planP contient la droiteD et est parall`ele `a la droiteD0. Le planP contient la droiteD0 et est parall`ele `a la droiteD.
√ Le plan P contient la droite D et est orthogonal `a la droite D0. Le planP contient les droitesD etD0.
Exercice 3 :
Les points A, D et C sont align´es.
Le triangle ABC est rectangle en A.
√ Le triangle ABC est ´equilat´eral.
Le point D est le milieu du segment [AB].
Exercice 4 :
On note P0 le plan contenant la droite D0 et le point A. Un vecteur normal `a ce plan est : −→n(−1 ; 5 ; 4)
√ −→n(3 ; −1 ; 2) −→n(1 ; 2 ; 3) −→n(1 ; 1 ; −1)
Solution: Question 1 :
R´eponse d Un vecteur directeur de la droiteD est le vecteur−→
d(1, 2, 3), un vecteur directeur de la droite D0 est le vecteur −→
d0(1, 1, −1). −→ d ·−→
d0 = 1 + 2−3 = 0.
Ces deux vecteurs sont orthogonaux, les droites DetD0 sont donc orthogonales.
Aussi par ´elimination : la a. est fausse car les vecteurs directeurs ne sont pas colin´eaires, b. est fausse car il n’y a pas de point d’intersection et c. est fausse car C n’est pas sur D.
Question 2:
R´eponse c Un vecteur normal au plan P est le vecteur−→n(1,1,−1).
Ce vecteur est un vecteur directeur de la droite D0. Ce qui entraˆıne que ce plan est orthogonal `a la droiteD0. Question 3:
R´eponse c
classe Interrogation 1A Page 2 de 2 AB =√
4 + 16 + 36 =√
56 = 2√
14, AC =√
16 + 36 + 4 =√
56, BC =√
36 + 4 + 16 =√ 56.
Ces trois distances sont ´egales, il en r´esulte que le triangle ABC est ´equilat´eral.
Question 4:
R´eponse b
Pour d´eterminer lequel de ces vecteurs est un vecteur normal au plan P0, il suffit de v´erifier si ces vecteurs sont orthogonaux `a deux vecteurs de P0 qui sont non colin´eaires.
Prenons −→
d0(1, 1, −1) et −→u = −−→
AD0, o`u A(1, −1, 2) et D0 est un point de D0, par exemple celui de coordonn´ees (1, 3, 4), soit−−→
AD0(0, 4, 2).
On v´erifie que −→
d0 et−−→
AD0 ne sont pas colin´eaires, et on constate que, dans le second cas :
−
→d0 · −→n =−−→
AD0· −→n = 0
Ce qui signifie que le vecteur−→n(3, −1, 2) est un vecteur normal au planP0.
