1`ere S 11 DST 8 23 mai 2015 Exercice 1 : D´eriv´ees de fonction
D´eterminer les d´eriv´ees des fonctions suivantes : 1. f0(x) =2x2−3
x2
2. g0(x) = 2x5 3. h0(x) =−(x210x+4)2
Exercice 2 : ´Etude d’une fonction
Soitf d´efinie sur sur un intervalleI par :f(x) =(x−1)√ x x+ 1 1. f est d´efinie sur [0; +∞[ et est d´erivable sur ]0; +∞[
2. La d´eriv´ee dex7→(x−1)√
xestx7→√
x+(x−1)2√x = 3x−1 2√
x
f0(x) = 3x−1
2√
x ×(x+ 1)−(x−1)√ x
(x+ 1)2 =3x2+ 3x−x−1−2(x−1)x 2√
x(x+ 1)2 = x2+ 4x−1 2√
x(x+ 1)2. 3. √
x>0 et (x+ 1)2>0, le signe def0(x) d´epend donc du signe dex2+ 4x+ 1. Le discriminant de ce polynˆome est 20 et les racines sont−2−√
5 et−2 +√
5. Seule la seconde racine est positive, on a donc : x
f0(x) f(x)
0 −2 +√
5 +∞
− 0 +
0
0 f(−2 +√ f(−2 +√5)
5) Avecf(−2 +√
5) = (−3 +√ 5)p
2 +√ 5
−1 +√ 5
4. f0(1) = 12 etf(1) = 0 donc une ´equation de la tangente en 1 esty= 12x−12. Exercice 3 : Courbes
La fonction associ´ee `aC1est d´ecroissante jusqu’`a 1, elle devient croissante sur [1; 2] puis d´ecroissante `a nouveau `a partir de 2. La fonction associ´ee `a Γ1est n´egative sauf entre 1 et 2 doncC1et Γ1 sont associ´ee.
La fonction associ´ee `aC2est d´ecroissante entre−1 et 2. La seule courbe associ´ee `a une fonction n´egative sur cet intervalle est Γ3, Les courbesC2et Γ3 sont associ´ee.
Par ´elimination, les courbesC3 et Γ2sont associ´ee.
Dans la suite de ce DS, (O;~i;~j)est un rep`ere orthonorm´e du plan.
Exercice 4 : R.O.C Voir le cours
Exercice 5 : Calcul d’un angle 1. −→
RS·−→
RT = 6×4−2×8 = 8.RS=√
40 etRT =√ 80.
2. On sait de plus que−→
RS·−→
RT =RS×RT ×cos SRT[
, donc cos SRT[
=
−→RS·−→
RT
RS×RT = 8
√3200. Avec la calculatrice, on aSRT[ est environ ´egal `a 81,87 degr´es `a 0,01 pr`es.
Exercice 6 : ´Equations de droites remarquables d’un triangle Soient les pointsA(2; 3),B(−1; 4) etC(4;−1).
Donner une ´equation cart´esienne des droites suivantes :
1. Les coordonn´ees de I, milieu de [AB] sont (12;72). M(x;y) appartient `a la m´ediatrice de [AB] si et seulement si
−−→ IM ·−−→
AB= 0
−−→ IM ·−−→
AB=−3(x−12) + (y−72) =−3x+y−2.
−3x+y−2 = 0 est une ´equation cart´esienne de la m´ediatrice de [AB].
2. M(x;y) appartient `a la hauteur issue deB si et seulement si−−→
BM·−→
AC= 0.
En utilisant le mˆeme principe que pr´ec´edemment, on montre que 2x−4y+ 18 = 0 est une ´equation cart´esienne de la hauteur issue deB.
3. M(x;y) appartient `a la tangente enC au cercle de diam`etre [BC] si et seulement si−−→
CM·−−→ BC= 0.
En utilisant le mˆeme principe que pr´ec´edemment, on montre que 5x−5y−25 = 0 est une ´equation cart´esienne cette tangente.
1`ere S 11 DST 8, Page 2 sur 2 2014-2015 Exercice 7 : ´Etude de deux cercles
1. x2−8x= (x−4)2−16 ety2−4y= (y−2)2−4 donc
x2+y2−8x−4y+ 16 = (x−4)2−16 + (y−2)2−4 + 16 = (x−4)2+ (y−2)2−4.
(x−4)2+ (y−2)2−4 = 0 est une ´equation du cercle de centreA et de rayon 2.
2. M(x;y) est un point du cercle de diam`etre [AB] si et seulement si−−→
AM·−−→
BM= 0
−−→AM·−−→
BM = (x−4)(x+ 2) + (y−2)(y−3) =x2−4x+ 2x−8 +y2−2y−3y+ 6 =x2−2x+y2−5y−2.
x2−2x+y2−5y−2 = 0 est une ´equation du cercle de diam`etre [AB].
3. R´esolvons l’´equation : (x2−8x+y2−4y+ 16 = 0
x2−2x+y2−5y−2 = 0 ⇔
(x2−8x+y2−4y+ 16 = 0
6x−y−18 = 0 ⇔
(x2−8x+y2−4y+ 16 = 0 y=−6x+ 18
⇔
(x2−8x+ (−6x+ 18)2−4(−6x+ 18) + 16 = 0
y=−6x+ 18 ⇔
(37x2−248x+ 412 = 0 y=−6x+ 18
D´eterminons les racines du polynˆome du second degr´e de la premi`ere ligne. Le discriminant est 528. Les racines sont 124 + 2√
33
37 et 124 + 2√ 33
37 .
En r´einjectant ces solutions dans la seconde ligne, on trouve deux solutions 124 + 2√ 33
37 ;78 + 12√ 33 37
! et 124−2√
33
37 ;78−12√ 33 37
!
. Ce qui nous donne les deux points d’intersection.
Exercice 8 : Probl`eme : D´eterminer un point Partie A : M´ethode analytique
1. On a A(0; 0),D(0; 3) et−→
AE=−−→ AB+−−→
BE doncE(4; 2).
2. F(x;y) appartient `a (CD) si et seulement siy= 3 (l’ordonn´ee deC et deD) 3. Justifier que (DE)⊥ (AF) ⇔ −−→
DE·−→
AF = 0 ⇔ 4x−y = 0. On sait de plus que y = 3 donc (DE) ⊥(AF) ⇔ (y= 3
4x−3 = 0
4. F doit donc avoir les coordonn´ees (34; 3) dans ce rep`ere Partie B : M´ethode g´eom´etrique
1. −−→
DC+−−→ CE
·−−→ AD+−−→
DF
=−−→
DC·−−→ AD+−−→
CE·−−→ AD+−−→
DC·−−→
DF+−−→ CE·−−→
DF. On sait de plus que (DC)⊥(AD) donc−−→
DC·−−→
AD= 0 et que (CE)⊥(DF) donc−−→ CE·−−→
DF = 0.
D, F et C sont align´es dans cet ordre donc −−→
DC·−−→
DF =DC×DF = 4DF.
−−→ CE et−−→
ADsont colin´eaires mais de sens contraire donc−−→ CE·−−→
AD=−CE×AD=−3 Donc−−→
DC+−−→ CE
·−−→ AD+−−→
DF
=−3
2. (DE) et (AF) sont perpendiculaires si et seulement si−−→
DE·−→
AF = 0.
On a −−→
DE·−→
AF =−−→
DC+−−→ CE
·−−→ AD+−−→
DF
, et on a vu que siF ∈[DF] alors−−→
DE·−→
AF = 4DF −3.
F v´erifie donc bienDF = 34. Exercice 9 : Question ouverte
On se place dans le rep`ere (A;−−→ AB;−−→
AD).
Soitxun r´eel tel queM(x; 0) (on sait que−−→
AM et−−→
ABsont colin´eaires)
SoitH la base de la hauteur du triangle AM N issue de N. Par Phytagore, onN H2 =N M2−HM2. AM N est un triangle ´equilat´eral doncN M =xetHM = x2. On a doncN H2=x2−14x2= 34x2 doncN H =
√3 2 x.
Les coordonn´ees deN sont donc (x2;
√ 3 2 x).
(N C) et (N D) sont perpendiculaires si et seulement si −−→
CN·−−→
DN= 0.
−−→CN·−−→
DN = (x2 −1)x2 + (
√3
2 x−1)2=x2−(12−√
3)x+ 1.
Ce polynˆome a deux racines, 14+
√ 3 2 −
p4√ 3−3 4 et 14+
√ 3 2 +
p4√ 3−3 4
Seule la premi`ere est comprise entre 0 et 1. on en d´eduit qu’il existe un seulM et qu’il v´erifie
−−→AM= 14+
√3 2 −
p4√ 3−3 4
!−−→ AB
