Correction

Correction du Devoir n°1

Exercice 1

( )

1) Soit une fonction définie sur dont la courbe admet en une asymptote d'équation 2 3.

a) lim ( ) . Vrai. car lim ( ) 2 3 0 lim ( ) lim 2 3 .

b) est une fonction croi

f

x x x x

f C y x

f x f x x f x x

f

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

+ ∞ = +

= +∞ − + = ⇒ = + = +∞

ℝ

[ ] ( ) [ ]

ssante. "on ne peut pas répondre", c) est une fonction positive. "on ne peut pas répondre"

d) lim ( ) 2 3. Vrai, car: lim ( ) 2 3 0 lim ( ) 2 3 0.

e) lim ( ) 2. Vrai, car: li

x x x

x

f

f x x f x x f x x

f x x

→+∞ →+∞ →+∞

→+∞

− = − + = ⇒ − − =

 

 =

 

] [

( ) 2 3

m ( ) lim 2 3 lim lim 2.

2) Soit la fonction définie sur [ 1;1] par: ( ) 1 . 1

a) est dérivable sur [ 1;1]. Faux, car est dérivable sur 1,1 . b) n'est pas dérivable en

x x x x

f x x

f x x

x x

f f x x

x

f f

f

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

= + ⇔ = + =

− = +

−

− −

( )

1. Vrai, voir question précédente.

1 1

c) '(0) 1.Vrai, on calcul ' : '( ) '(0) 1.

2 1

1 4

d) ' .Vrai, Calcul.

2 3

e) La courbe _f possède une demi-tangente parallèle à l'axe des ordonnées au p

f f f x x f

x x f

C

−

= = × − ⇒ =

− +

 =

  

oint d'abscisse 1.

Vrai, car n'est pas dérivable en 1.f

−

−

Exercice 2

( )

( ) ( )

est la fonction définie sur par: ( ) 1cos 2 cos . C sa courbe dans un repère orthogonal.

2

1 1

1)a) ( 2 ) cos 2 4 cos( 2 ) cos 2 cos ,

2 2

car 2 est une période pour la fonction cos .Donc est p

f f x x x

f x x x x x

x f

π π π

π

= −

+ = + − + = −

ℝ

( ) ( )

ériodique de période 2 .

1 1

b) Pour tout , on a , et ( ) cos 2 cos( ) ( ) cos 2 cos .

2 2

car la fonction cos est paire.

Donc la fonction est paire.

c) Comme est périodique de période 2 , o

x x f x x x f x x x

x f f

π

π

∈ℝ − ∈ℝ − = − − − = = −

n peut l'étudier sur un intervalle de longueur égale à 2 , [ ; ] . étant paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées,

donc il suffit d'étudier sur l'intervalle [0; ].

2)a)

soit f

f

π π π

π

−

( )

( ) ( ) ( ( ) )

( )

est dérivable sur et sa dérivée est '( ) sin 2 sin .

b) '( ) sin 2 sin sin 1 2 cos . en utilisant:sin 2 2 sin cos 3) sin 0 pour tout [0; ], '( ) est du signe de 1 2 cos .

1 2 cos 0 .

3

f f x x x

f x x x x x x x x

x x f x x

x x

π π

= − +

= − + = − =

≥ ∈ −

− = ⇔ =

ℝ

1 2 cos 0 sur 0; et 1 2 cos 0 sur ; .

3 3

D'où le tableau de variations de sur l'intervalle [0; ] :

0 3

'( ) 0 0 0

1 3 3

( ) 2 4 2

4) On tracer la courbe C sur [0; ], la symétrie par rapport à

x x

f x

f x f x

π π π

π

π π

π

   

− ≤   − ≥  

− +

− ց− ր

l'axe des ordonnée permet d'obtenir la courbe sur l'intervalle [−π; 0].

2π/3 π -π/3

-2π/3 -π

1 1,5

-0,5

-1

0 π/3

0,5

x y

A) Soit un nombre réel de [0; [

1) ( ) sin '( ) cos 1 0 pour tout réel car 1 cos 1.

La fonction est donc décroissante et comme (0) 0, on en déduit que ( ) 0 D'où sin . 2) On pose ( )

x

u x x x u x x x x

u u u x x x

v x

+∞

= − = − ≤ − ≤ ≤

= ≤ ≤

2

2 2

3

1 cos , '( ) sin ( ) 0 d'après 1) 2

donc est décroissante, en plus (0) 0 ce qui donne ( ) est décroissante sur [0; [.

Donc ( ) 0 1 cos 1 cos .

2 2

3) On pose ( ) sin , on a '(

6

x x v x x x u x

v v v x

x x

v x x x

w x x x x w

= − − = + = ≤

= +∞

≤ ⇒ − − ⇒ − ≤

= − − ²

3 3

2 4 3

) 1 cos ( ) 0

2

Donc est décroissante et en plus on a : (0) 0 d'où, ( ) 0 soit: sin 0 sin

6 6

4) On pose ( ) cos 1 , '( ) sin ( ) 0

2 24 6

Donc est décroissante et (0)

x x x v x

x x

w w w x x x x x

x x x

f x x f x x x w x

f f

= − − = ≤

= ≤ − − ≤ ⇒ − ≤

= − + − = − − = ≤

= ^{2 4 2 4}

3

0 ce qui entraîne ( ) 0 cos 1 0 cos 1

2 24 2 24

B.1. Pour tout [0; [: en utilisant les relations 1 et 3 on obtient: sin . 6

2. Pour tout [0; [: Les relations 2 et 4 donnent: 1

x x x x

f x x x

x x x x x

x

≤ ⇒ − + − ≤ ⇒ ≤ − +

∈ +∞ − ≤ ≤

∈ +∞ −

( )

2 2 4

3 3 3

2 2 4 2 4 2 2 4 2

2

cos 1 .

2 2 24

C. sin sin 1 1 sin 1 1

6 6 6

1 cos 1 1 cos 1 1 cos

2 2 24 2 24 2 2 24 2

On encadre l'inverse de 1 cos :

2 1

Pour tout réel non nul:

1

x x x

x

x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x

x

x x

≤ ≤ − +

− ≤ ≤ ⇔ − ≤ − ≤ − + ⇔ − ≤ − ≤ − +

− ≤ ≤ − + ⇔ − + − ≤ − ≤ − + ⇔ − ≤ − ≤

−

≤

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

2 4 2 2 4

3

2 2 4

3 3

2 2 4 2 2

0 0 0

1 2 1 24

cos 1 cos 12 2

2 24

2 1 1 sin 1 6

Le produit des deux inégalités 1 et 2 donne : 24

1 cos 12

1 1

2 1 2 6 6 1

lim , lim lim .

0 12 12 0

Le théorè

x x x

x x

x x x x x

x x

x x

x x x x

x x

x x

x

x x x x x

+ + + + +

→ → →

≤ ⇔ ≤ ≤

− − − −

− ≤ − ≤ − +

− −

− + − +

− = = +∞ = = = +∞

− −

0

1 sin me des gendarmes, permet de conclure que : lim

1 cos

x

x

+ x

→

− = +∞

−

Exercice 4

A) Etude d'une fonction auxilliaire:

La fonction est définie sur par: ( ) 2 2 7.

1) lim ( ) , lim ( ) 2) sens de variation de sur

g es dérivable comme somme de deux fonctions déri

x

x x

g g x e x

g x g x

g

→−∞ →+∞

= + −

= −∞ = +∞

ℝ

ℝ

vables sur et: '( ) 2 2 0 est donc strictement croissante sur .

'( ) ( )

3) est dérivable et strictement croissante, elle réalise une bijection de dans , d'après le théorème des

g x ex

g x g x

g x g

= + >

−∞ + ∞

+

−∞ + ∞

ℝ ℝ

ր

ℝ ℝ

] ] [ [

valeurs intermédiaires, l'équation ( ) 0 admet une unique solution dans . g(0,94) (0, 941) 0 donc 0, 94 0,941 .

4) Pour tout réel , ( ) 0 et pour tout , ( ) 0.

B) Etude d'une fonction : e

g x g

x g x x g x

f

α α

α α

=

× < < <

∈ −∞ ≤ ∈ +∞ ≤

ℝ

( ) ( )

( ) ( )

] ]

st la fonction définie sur par: ( ) 2 5 1 . sa courbe dans un repère orthonormal.

1) signe de sur .

( ) 2 5 1 0 5 ou 0

2

1 0 1 0 0. 2 5 0 5.

2 Donc ( ) 0 sur , 0 5,

2

x f

x

x x

f x x e C

f

f x x e x x

e e x x x x

f x

−

−

− −

= − −

= − − = ⇔ = =

− ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ − ≥ ⇔ ≥

≥ −∞ ∪ +∞

 ℝ ℝ

( ) ( )

( ) ( )

et ( ) 0 sur 0,5 . 2 2) Etudier les limites de en et en .

lim 2 5 , lim 1 , car lim . donc par produit des limites on a: lim ( )

lim 2 5 , lim 1 1

x x

x x x x

x

x x

f x f

x e e f x

x e

− −

→−∞ →−∞ →−∞ →−∞

−

→+∞ →+∞

  

  ≤  

− ∞ + ∞

− = −∞ − = −∞ = +∞ = +∞

− = +∞ − = , car lim 0. donc par produit des limites on a: lim ( ) 3) Calcul de '( ), vérifier que '( ) et ( ) ont le même signe.

est dérivable comme produit de fonctions dérivables sur et on a:

x

x e x f x

f x f x g x

f

−

→+∞ = →+∞ = +∞

ℝ ^{'( ) 2 1}

( ) ⁽

⁾

soit après simplification: '( ) ( ) donc '( ) et ( ) ont le même signe, car 0.

4) D'où le tableau de variations de :

'( ) 0

( ) ( )

x x

x x

f x e x e

f x e g x f x g x e

f x

f x

f x f

α α

− −

− −

= − + −

= × >

−∞ + ∞

− +

+∞ց ր+∞

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

2

5) Démontrer l'égalité ( )

2 7

On a ( ) 2 5 1 , or ( ) 2 2 7 0 7 2

2

1 2 7 2 2

( ) 2 5 1 2 5 1 2 5 , soit après simplification

7 2 7 2

2 5

( ) 2 7

6)a) ( ) 2 5 2 f

f e g e e

f e

f

f x x x

α α α

α

α α

α α α α α

α α α α α

α α

α α

α

−

= −

= − − = + − = ⇒ = −

− −

   

= −  − = −  − = −

− −

   

= −

−

− − =

(

) ( ) ^{( ) ( )}

( ) ( )

( )

5 1 2 5 2 5 .

lim ( ) 2 5 lim 2 5 2 lim lim 5 0

Donc la droite d'équation 2 5 est asymptote à en . b) Préciser la position par rapport à .

( ) 2 5 est du

x x

x

x x

x x x x

f f

e x x e

f x x x e x

e e

D y x C

C D

f x x

− −

−

→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− − − = − +

− − = − + = − + =

= − + ∞

− −

( )

( )

( )

signe de 2 5 , car 0 donc ( ) 2 5 0 si 2 5 0 soit lorsque 5.

2 Donc est au dessus de sur l'intervalle ,5 .

2 ( ) 2 5 0 si 2 5 0 soit lorsque 5.

2 Donc est au dessous de su

x

f

f

x e

f x x x x

C D

f x x x x

C D

−

<

>

− + >

− − > − + >

 

−∞ 

 

− − < − + <

r l'intervalle 5, . 2

 

 +∞

 

Exercice de spécialité

( )

( )

( ) ( ) ^{( )}

2

2

2

1) est un entier naturel. On pose 5 a) Démontrer que est pair.

si est pair, 2 2 4 5 2 donc est pair.

si est impair, 2 1 2 1 4 4 6 2 2 1 2

Les cinq questions sont indépendantes

n a n n

a

n n k a k k p a

n n k a k k k k k

= +

= ⇒ = + =

= + ⇒ = + + + = × +

(

)

b) Pour démontrer que est un multiple de 3 on fait un raisonnement par disjonction:

est soit un multiple de 3 soit il ne l'est pas: Donc 3 , 3 1 3 2 On remplace d

k p a

a

n n k n k ou n k

+ + =

= = + = +

5

ans l'expression de a est on trouve dans chaque cas 3 . 2) Démontrer que, pour tout entier naturel , 10 divise .

même raisonnement que la question précédente avec 5 avec 0 4.

3) Soit un e

a p

n n n

n k r r

n

=

−

= + ≤ ≤

( ) ( )

ntier naturel supérieur ou égal à 3.

5 est multiple de 2 2 divise 5, comme 2 divise 5,

2 divise toute combinaison linéaire de 5 et 2 soit 2 divise 5 2 7.

Donc 2 est un diviseu

n n n n n n

n n n n n n

n

+ − ⇔ − + − +

− + − − + − − =

−

{ } { }

( )

r de 7 qui est un nombre premier, dont les seuls diviseurs positif sont 1 et 7.

2 1, 7 3,9 .

Donc 5 est multiple de 2 si, et seulement si, 3 9.

4) 17 8 et 17 ' 12 17 ' 20 17

n n

n n n ou n

m q n q m n q q m n q

− ∈ ⇔ ∈

+ − = =

= + = + ⇒ + = + + ⇔ + =

(

)

( ) ( )

( )

2 2

' 17 3 17 3

Le reste de la division de par 17 est 3.

17 8 17 ' 12 17 96 17 5 17 11 17 ' 11

Le reste de la division de par 17 est11.

17 8 17 13. Le reste de la division de par 1

q m n k

m n

mn q q k k mn k

m n

m q k m

+ + ⇔ + = + +

= + × + = + = + × + ⇔ = +

×

= + = +

3 3

7 est13.

5) a) 2 1 est divisible par 7 2 1 7 avec . si 0, on a 0 0 7. La proprosition est vraie pour 0.

Supposons qu'elle est vraie pour tout entier naturel , et montrons qu'elle est vraie po

n n

k k

n n

n

− ⇔ − = ∈

= = × =

ℕ

( )

( )

( )

( ) ( )

3 3

3 1 3 3 3 3 3

3 1 3

ur 1:

La proprosition est vraie pour tout entier naturel , donc on a 2 1 7 2 1 7 2 1 2 1 2 2 1 2 7 1 1 d'après l'hypothèse de récurrence.

2 1 2 7 1 1 8 7 7 7 8 1 7 '.

Donc La

n n

n n n

n

n

n k k

k

k k k k

+ +

+

+

− = ⇔ = +

− = − = × − = × + −

− = × + − = × + = × + =

( )

3 1 3 3

3 1

proprosition est vraie au rang 1, elle est vraie pour tout entier naturel . b) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 7 d'après la question précédente.

Donc 2 2 est un multiple de 7.

n n n

n

n donc n

+ k

+

+

− = × − = × − = ×

−