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Chapitre 3

Modulations num´eriques

3.1 Introduction

Lorsque l’on a recours `a une modulation num´erique, lamodulationest l’´etape qui fait correspondre aux informations num´eriques, les formes d’ondeanalo- giquesqui serviront `a transmettre ces informations physiquement au travers du canal. En effet, mˆeme si l’information est num´erique, ce qui est transmis physiquement sur le canal doit ˆetre analogique. La correspondance est ´etablie entre des blocs dek = log₂M symboles binaires etM formes d’onde not´ees s_m(t), avecm∈[1,· · ·, M].

Lorsque la forme d’onde transmise pendant un intervalle de temps d´epend de un ou plusieurs symboles pr´ec´edents, on dit de la modulation qu’elle a de la m´emoire. Inversement, on dit qu’elle estsans m´emoire. Le fait d’introduire de la m´emoire dans une modulation peut ˆetre motiv´ee par la mise en forme de la densit´e spectrale du signal ´emis qui peut ˆetre obtenu de cette fac¸on. De plus, cette m´emoire introduite dans le signal peut ˆetre utilis´ee au r´ecepteur pour effectuer une estimation plus performante des symboles ´emis.

Par ailleurs, on distingue aussi modulationslin´eaires etnon lin´eaires. Une mod- ulation lin´eaire est une modulation pour laquelle le principe de superposi- tion est appliquable, `a savoir, le signal transmis est obtenu en superposant les formes d’ondes associ´ees aux symboles successifs. Si la modulation est non lin´eaire, cette superposition ne donne pas le signal r´eellement obtenu `a la sor- tie du modulateur.

Les formes d’ondes qui sont mises en correspondance avec les symboles num´eriques de d´epart, diff`erent par leur amplitude, leur phase , leur fr´equence, ou encore une combinaison de ces param`etres.

3.2 Modulations lin´eaires sans m´emoire

13

3.2.1 Modulation PAM

La modulation PAM en anglais (Pulse Amplitude Modulation) ´etablit une cor- respondance entre les symbolesA_met les formes d’ondes donn´ees par

s_m(t) = ℜ[A_mg(t) exp^2πjfct]

= Amg(t) cos(2πfct) (3.1) pour0≤ t≤ T, o `uf_c est la fr´equence de la porteuse, les symboles not´esA_m pourm∈[1,· · ·, M]. Les symboles peuvent prendre les valeurs donn´ees par

A_m= (2m−1−M)d (3.2)

o `u2dest la distance entre symboles. Le signalg(t)est une forme d’onde qui inßuence le spectre occup´e par le signal modul´e. Ce point sera analys´e plus tard. Cette modulation fait apparaˆõtre une seule composante de Rice, qui est encore ´egale `a l’enveloppe. Si le d´ebit binaire de d´epart estRbits/sec,R/kest le d´ebit symbole qui s’exprime ensymboles/secoubauds. Si la dur´ee des bits¹ d’entr´ee est not´eeTb, la dur´ee des symboles est donn´ee parT =kTbet le d´ebit symbole est donc1/T = 1/kT_b=R/k. Les ´energiesEmdes diff´erentes formes d’onde sont donn´ees par

Em = T

0

s²_m(t)dt

= A²_m 2

T

0

g²(t)dt

= A²_m

2 E^g (3.3)

o `uEgest l’´energie de la forme d’onde de mise en forme. Cette modulation porte encore le nom de ASK : Amplitude Shift Keying.

La mise en correspondance des mots dekbits avec les symbolesA_m peut se faire de diff´erentes mani`eres. Il est cependant un arrangement pr´ef´er´e en pra- tique, appel´eencodage de Gray. Il consiste `a associer `a des symbolesAmvoisins, des mots binaires qui ne diff`erent que par un seul bit. Cette fac¸on de faire est justif´ee, car en pratique les erreurs les plus probables consistent `a confondre des symboles voisins lors de la d´etection. Si l’encodage de Gray est utilis´e, ce type d’erreur se soldera par un seul bit erron´e. L’encodage de Gray est donn´e

`a laÞgure3.1pour des symboles `a2,4et8niveaux.

Le signal modul´e d´eÞni par l’´equation 3.1est `a double bande lat´erale (DSB- double sideband), ce qui n’est pas efÞcace du point de vue de l’occupation du spectre. On peut rendre ce signal `a bande lat´erale unique en lui ajoutant sa

1Rigoureusement, il faut parler de symboles binaires. Un bit est une unit´e d’information.

Chaque symbole binaire ne v´ehicule pas n´ecessairement un bit d’information. Par facilit´e on utilis- era dans la suite le vocable bit.

3.2. MODULATIONS LIN ´EAIRES SANS M ´EMOIRE 15

0 1

00 01 11 10

000 001 011 010 110 111 101 100

FIG. 3.1 – Encodage de Gray pour des symboles `a2,4et8niveaux.

transform´ee de Hilbert :

s_m(t) = ℜ{A_m[g(t) +jˆg(t)] exp^2πjfct]

= Amg(t) cos(2πfct)−Amg(t) sin(2πfˆ ct) (3.4) pour0 ≤ t ≤ T, o `uˆg(t)est la transform´ee de Hilbert deg(t). Dans ce cas, la bande du signal SSB (single sideband) n’est plus que la moiti´e de celle occup´ee par le signal DSB.

La modulation PAM peut aussi ˆetre employ´ee sans porteuse. On parle alors de PAM en bande de base et les formes d’onde sont simplement donn´ees par

sm(t) =Amg(t) (3.5)

D’autre part, dans le cas particulier de symboles binaires+det−d, on a

s2(t) =−s1(t) (3.6)

Ces signaux sont ditsoppos´eset ont mˆeme ´energieEdonn´ee par E=

T

0

s²₁(t)dt= T

0

s²₂(t)dt (3.7)

et un coefÞcient de corr´elation²ρdonn´e par

ρ = 1

E T

0

s1(t)s2(t)dt

= −1 (3.9)

2La corr´elationρ12entre deux signauxs1(t)ets2(t)d’´energiesE¹etE²est donn´ee par

ρ12= 1

√E¹E²

T

0

s1(t)s2(t)dt (3.8)

3.2.2 Modulation PSK

La modulation PSK (Phase Shift Keying) ou modulation de phase (MDP) est une modulation pour laquelle les formes d’ondes sont donn´ees par

s_m(t) = ℜ[exp^{2πj(m−1)/M}g(t) exp^2πjfct]

= g(t) cos

2πfct+2π(m−1) M

(3.10) o `uθm = 2π(m−1)/Msont les diff´erentes phases possibles de la porteuse qui v´ehicule l’information. Ces signaux ont tous mˆeme ´energie donn´ee par

E = T

0

s²_m(t)dt

= 1

2 T

0

g²(t)dt

= Eg

2 (3.11)

Cette modulation fait appel cette fois `a deux composantes de Rice. L’enveloppe ou le phaseur est complexe. L’ensemble des symboles possibles, que l’on ap- pelleconstellationest repr´esent´e `a laÞgure 3.2pour des nombres d’´etatM = 2,4,8ainsi que la mise en correspondance avec les mots binaires par encodage de Gray.

3.2.3 Modulation QAM

La modulation QAM (Quadrature Amplitude Modulation) ou modulation d’am- plitude en quadrature (MAQ) est une modulation o `u l’on effectue de la PAM sur les deux porteuses en quadrature associ´ees `a une mˆeme fr´equence c’est-`a- dire `a la fois sur le cosinus et le sinus de la mˆeme porteuse. Les formes d’onde sont donn´ees par

sm(t) = ℜ[(Amc+jAms)g(t) exp^2πjfct]

= Amcg(t) cos(2πfct)−Amsg(t) sin(2πfct)

= Vmg(t) cos(2πfct+θm) (3.12) avec

V_m = A²_mc+A²_ms

θm = ATN(Ams/Amc) (3.13)

Ces diff´erentes ´equations servent `a mettre en ´evidence que cette modulation peut aussi ˆetre vue comme une modulation combin´ee de phase et d’amplitude.

En combinantM1niveaux d’amplitude avecM2valeurs de phase, on aM1M2

symboles dans la constellation. Des exemples de constellations sont donn´es

3.2. MODULATIONS LIN ´EAIRES SANS M ´EMOIRE 17

M=2

M=8

M=4

0 1

0 1

0 0

1 0 1 1

0 0 1 0 0 1

0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 1 0

FIG. 3.2 – Encodage de Gray pour des symboles `a2,4et8niveaux et modula- tion PSK.

par la partie gauche de laÞgure3.3pourM = 8symboles. Des constellations carr´ees sont donn´ees par la partie droite de laÞgure 3.3pour M = 4et16.

On pourrait cependant avoir des nombres de niveaux diff´erents ainsi que des distances entre symboles diff´erentes sur les deux branches.

3.2.4 Modulation FSK

Une autre quantit´e sur laquelle l’information peut ˆetre imprim´ee est la fr´equence.

Une version tr`es simple de la modulation de fr´equence num´erique, mais suff- isante pour en ´etudier les performances dans un canal de type BBGA (Bruit Blanc Gaussien Additif) est celle o `u les formes d’ondes sont donn´ees par

sm(t) = ℜ[slm(t) exp^2πjfct]

= 2E

T cos [2πfct+ 2πm∆ft] (3.14) Les formes d’onde en bande de baseslm(t)sont donn´ees par

slm(t) = 2E

T exp^2πjm∆ft (3.15)

Ce type de modulation porte le nom de FSK : Frequency Shift Keying. L’´ecart de fr´equence entre les diff´erentes formes d’onde est donn´e par∆_f. Toutes les

M=8

M=16

M=4

FIG. 3.3 – Constellations pour la QAM formes d’onde ont mˆeme ´energie donn´ee par

E = T

0

s²_m(t)dt

= 2E T

T

0

cos²[2πf_ct+ 2πm∆_ft]dt (3.16) Elles ont des coefÞcients de corr´elationρkrdonn´es par

ρkr = 1

√EE T

0

sk(t)sr(t)dt

= 2

T T

0

cos [2πf_ct+ 2πk∆_ft] cos [2πf_ct+ 2πr∆_ft]dt

= 1

T T

0

cos [2π(k−r)∆_ft]dt

= 1

T2π(k−r)∆f

sin [2π(k−r)∆_fT] (3.17) L’´ecartement minimal consiste `a prendre(k−r) = 1. Dans ce cas, la corr´elation s’annulera `a condition que

2π∆fT =nπ, n= 0 (3.18)

L’espacement minimal est donn´e par le choix

∆_fT = 1/2 (3.19)

Les diff´erents signauxs_m(t)sont alors ditsorthogonaux. Comme mentionn´e ci- avant, cette d´eÞnition de la FSK est simpliÞ´ee. Elle consisterait `a commuter au rythme des symboles entre diff´erents oscillateurs. Le signal produit con- tiendrait des discontinuit´es de phase, qui auront pour effet d’´elargir le spectre.

Une d´eÞnition de la modulation de fr´equence avec phase continue sera vue dans le cadre des modulations non lin´eaires.

3.3. MODULATIONS LIN ´EAIRES AVEC M ´EMOIRE 19

1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1

NRZ

NRZI

MILLER

FIG. 3.4 – Codage des donn´ees de type NRZ, NRZI et Miller.

3.3 Modulations lin´eaires avec m´emoire

Comme mentionn´e dans l’introduction, la m´emoire introduite dans le signal sert `a mettre le spectre en forme et ´eventuellement de pouvoir augmenter les performances d’un d´etecteur qui utiliserait cette m´emoire.

Consid´erons divers codes pour symboles binaires et de la transmission en bande de base. Dans la conÞguration de base, les symboles binaires ”1” sont mis en correspondance avec un niveau ”A” et les symboles ”0”, avec le niveau ”-A”.

Ce type de codage est dit NRZ : Non Return to Zero. Ce type de codage est en fait sans m´emoire et correspond `a une modulation de type PAM. Un signal de type NRZI est obtenu par encodage diff´erentiel. Cela signiÞe que lorsqu’un ”0”

est rencontr´e, on n’op`ere pas de transition dans le signal. Inversement, on passe

`a la polarit´e oppos´ee `a la pr´ec´edente si un ”1” doit ˆetre transmis. Cet encodage peut encore ˆetre mis en oeuvre apr`es encodage NRZ des bits modiÞ´es. En effet,

`a partir des bitsa_k de d´epart, on produit les symbolesb_kparb_k = a_k⊕b_k−1

o `u⊕signiÞe addition modulo 2. Cet encodage est illustr´e `a la deuxi`eme ligne de laÞgure3.4. Notons que dans laÞgure, le ”0” est repr´esent´e par le niveau haut, et le ”1”, par le niveau bas. Un autre encodage plus sophistiqu´e est celui de Miller. Il est d´eÞni comme suit. Un ”1” lieu `a une transition au milieu de la p´eriode symbole. Un ”0” ne donne pas de transition, `a moins qu’il ne soit suivi par un autre ”0”. Dans ce cas, une transition est plac´ee `a laÞn de la p´eriode symbole du premier ”0”.

Voyons comment le spectre est inßuenc´e par la m´emoire des symboles. En toute g´en´eralit´e, l’enveloppe complexeex(t)associ´ee `a un signal modul´e (pour une modulation lin´eaire), est donn´ee par

ex(t) =

∞

n=−∞

Ing(t−nT) (3.20)

o `u lesInsont les symboles complexes de moyenne suppos´ee nulle, etg(t), leÞl- tre de mise en forme. On sait la fonction de covarianceΓ_x(t)du signal modul´e

x(t)est donn´ee en fonction de la fonction de covarianceΓex(t)de l’enveloppe par

Γx(τ) = 1

2ℜ[Γex(τ) exp^jωcτ] (3.21) L’enveloppe telle que d´eÞnie par l’´equation3.20n’est pas stationnaire. On la stationnarise en ins´erant une incertitude sur l’instant d’origine,T0variable de chance entre0etT. De ce fait, l’enveloppe du signal stationnaris´eex,s(t)est d´eÞnie comme ´etant

ex,s(t) =

∞

n=−∞

Ing(t−nT −T0) (3.22) La fonction de covariance de l’enveloppe est donn´ee par

Γ_ex,s(τ) = E[e_x,s(t+τ)e^∗_x,s(t)]

=

∞

n=−∞

∞

n^′=−∞

E[(In)(In^′)^∗]

× 1 T

T

0

g(t+τ−nT−T0)g^∗(t−n^′T −T0)dT0 (3.23) Posantm=n−n^′, et utilisant la covarianceµ_i=E[(I_n+i)(I_n)^∗]des symboles, Γex,s(τ) =

∞

m=−∞

µm

∞

n=−∞

1 T

T

0

g(t+τ−nT−T0)g^∗(t−nT +mT−T0)dT0

=

∞

m=−∞

µ_m1 T

^∞

−∞

g(t+τ−u)g^∗(t+mT −u)du

=

∞

m=−∞

µ_m

T C_g(τ−mT) (3.24)

o `uC_g(t)est la fonction de corr´elation deg(t). La transform´ee de Fourierγ_ex,s(ω) de cette fonction de covariance est donn´ee par

γex,s(ω) = 1 T

i

µi exp^−jiωT

|G(ω)|² (3.25) On voit donc comment les corr´elations entre symboles et leÞltre de mise en forme interviennent dans la mise en forme du spectre de l’enveloppe ´emise.

A titre d’illustration, laÞgure3.5, donne la densit´e spectrale de puissance de signaux en bande de base de type NRZ, de signaux cod´es de type Miller et de signaux biphase (encore appel´e code de Manchester), dont la d´eÞnition peut

ˆetre trouv´e dans [2].

3.4. MODULATION NON LIN ´EAIRE AVEC M ´EMOIRE 21

Miller NRZ Biphase

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

0 0.5 1 1.5 2 2.5

fT

spectral density

PSDs of different codes

FIG. 3.5 – Densit´es spectrales de signaux NRZ, Miller et biphase (Manchester)

3.4 Modulation non lin´eaire avec m´emoire

Cette partie est relative aux modulations o `u la phase est continue. Cette con- trainte de continuit´e se traduit par l’apparition d’une m´emoire dans le signal, de mˆeme qu’un caract`ere non lin´eaire.

3.4.1 Modulation de fr´equence `a phase continue

Le signal de type FSK d´eÞni plus tˆot n’est pas `a phase continue. Ceci se traduit par l’apparition de lobes lat´eraux relativement ´elev´es dans le spectre du signal construit de cette fac¸on. En vue de les ´eviter, on utilise de la modulation de fr´equence `a phase continue (CPFSK : Continuous Phase FSK). Ce type de signal

`a de la m´emoire en raison du fait que la phase est soumise `a une contrainte de continuit´e.

Ce signal se construit `a partir d’un signal PAMd(t)construit `a partir de sym- boles r´eelsInet d’unÞltre de r´eponse impulsionnelleg(t)par

d(t) =

∞

n=−∞

I_ng(t−nT) (3.26)

Les symbolesI_npeuvent prendre les valeurs±1,±3,· · ·,±(M−1). Le signal g(t)est un signal rectangulaire de dur´eeT et hauteur1/2T. De ce fait, le signal passe-bas ´equivalentv(t)(l’enveloppe complexe) est donn´e par

v(t) = 2E

T exp

j

4πT f_d t

−∞

d(τ)dτ+φ₀

(3.27)

o `ufdest la d´eviation de fr´equence etφ0est la phase initiale de la porteuse. On peut de ce fait ´ecrire le signal modul´es(t)comme ´etant

s(t) = 2E

T cos [2πf_cT+φ(t;I) +φ₀] (3.28) o `u

φ(t;I) = 4πT fd

t

−∞

d(τ)dτ

= 4πT f_d t

−∞

∞

n=−∞

I_ng(τ−nT)dτ (3.29) Bien que le signal d(t)contienne des discontinuit´es, l’int´egrale est continue.

De ce fait, la phase est ´egalement continue. En regardant la valeur du signal modul´es(t)pendant l’intervallenT ≤t≤(n+ 1)T, on trouve

φ(t;I) = 4πT fd

t

−∞

d(τ)dτ

= 2πT f_d

n−1

k=−∞

I_k + 2πT f_d(t−nT)I_n

= θn+ 2πhInq(t−nT) (3.30)

avec les param`etres suivants :

h = 2fdT (3.31)

θn = πh

n−1

k=−∞

Ik (3.32)

q(t) =

0 t <0 t/2T 0≤t≤T 1/2 t > T

(3.33) La phaseθn repr´esente l’accumulation de la phase jusqu’`a l’instant(n−1)T. Le param`etrehs’appelle l’indice de modulation.

3.4.2 Modulation de phase continue

Comme toujours un signal modul´e en fr´equence est un cas particulier de signal modul´e en phase. Les signaux modul´es `a phase continue (CPM : continuous phase modulation) sont caract´eris´es par leur phase instantan´eeφ(t;I)donn´ee par

φ(t;I) = 2πh

n

k=−∞

I_kq(t−kT) (3.34)

3.4. MODULATION NON LIN ´EAIRE AVEC M ´EMOIRE 23

+1

+1

+1

+1

- 1

- 1

- 1

- 1

- 1 +1 +1

+1

- 1 +1 - 1

- 1 +1

+1 - 1 0

!h 2!h 3!h 4!h

-!h

0 T 2T 3T 4T

FIG. 3.6 – Arbre des ´etats pour une modulation de fr´equence binaire, `a phase continue (CPFSK)

pournT ≤ t ≤ (n+ 1)T. En toute g´en´eralit´e, la forme d’ondeq(t)peut ˆetre obtenue par int´egration d’une autre,g(t), donnant

q(t) = t

−∞

g(τ)dτ (3.35)

On distingue le cas o `ug(t) = 0pourt≥Tdu cas contraire. Une repr´esentation parlante de ce type de modulation est le diagramme des ´etats de phase qui peuvent ˆetre ceux du signal modul´e `a laÞn de p´eriodes deT secondes, pour toutes les valeurs successives possibles des symbolesI_k. Ces diagrammes sont appel´esarbres de phase.

Par exemple, dans le cas de la modulation de fr´equence continue binaire, en vertu de l’´equation3.30, les sauts de phase `a laÞn de chaque p´eriode valent

±hπ. Ceci donne lieu `a l’arbre de phase illustr´e `a laÞgure3.6, supposant que l’on parte d’une phase nulle.

L’arbre de phase croˆõt avec le temps. Si par contre on repr´esente la phase mod- ulo2π, on va avoir des replis. Cette repr´esentation-l`a porte le nom detreillis de phase.

Consid´erons le cas particulier de la modulation MSK (Minimum Shift Keying).

Elle correspond `a un cas particulier de la CPM avech= 1/2, ce qui fait que la phaseφ(t;I)est donn´ee, pournT ≤t≤(n+ 1)T :

φ(t;I) = 1 2π

n−1

k=−∞

I_k+πI_nq(t−kT)

= θn+1 2πIn

t−nT

T (3.36)

L’arbre de phase et le treillis de phase correspondants sont donn´es `a laÞg- ure3.7:

Le signal modul´e en MSK peut encore s’exprimer comme ´etant s(t) =

2E T cos

2πfct+θn+1 2πIn

t−nT T

(3.37)

= 2E

T cos

2π

f_c+ I_n 4T

t+θ_n−nπI_n 2

(3.38) Cette formulation permet de mettre en ´evidence le fait que le signal de type MSK peut aussi ˆetre vu comme un signal modul´e en fr´equence avec deux fr´equences possiblesf_c±1/4T . La s´eparation entre fr´equences est minimale pour avoir l’orthogonalit´e. Ceci justiÞe la d´enomination de la modulation. La diff´erence par rapport `a la d´eÞnition simpliÞ´ee vue pr´ec´edemment est le terme nπIn/2qui apparaˆõt en raison des contraintes de continuit´e de phase.

3.5 R´eception optimale pour le canal BBGA : d´emodulation coh´erente

L’objet de cette partie est d’´etudier les structures de r´eception optimales `a utiliser pour un signal qui est rec¸u apr`es passage dans un canal du type BBGA : Bruit Blanc Gaussien Additif. Cela signiÞe qu’`a la sortie du canal, on retrouve le signal ´emis, entach´e d’un bruit blanc, Gaussien et additif (non corr´el´e avec le signal ´emis).

Le syst`eme auquel on s’int´eresse est mod´elis´e comme suit :

– un ´emetteur envoie de l’information `a l’aide deMformes (M= 2^ksi chaque symbole contientksymboles binaires). Ces formes d’onde sont not´eessm(t).

La dur´ee de chaque signal estT.

– le canal corrompt ce signal en y superposant un bruit blanc gaussien addi- tif (c’est-`a-dire ind´ependant des signaux ´emis)n(t)de moyenne nulle et de densit´e spectrale bilat´eraleN0/2. On parle commun´ement de canal BBGA (AWGN, Additive White Gaussian Noise en anglais).

– le r´ecepteur observe le signal rec¸u et doit d´ecider³ de la fac¸on la plus judi- cieuse possible quel est le symbole qui a ´et´e ´emis et se cache derri`ere le signal rec¸u.

Le mod`ele du syst`eme est repr´esent´e sch´ematiquement `a laÞgure 3.8.

Il est utile de pr´eciser le sens exact d’un certain nombre de termes qui ap- paraˆõtront r´eglui`erement par la suite :

3Lorsque la quantit´e `a ´evaluer est `a valeurs continues, on parle d’estimation. Lorsque la quantit´e

`a ´evaluer est `a valeurs discr`etes, on parle de d´etection.

3.5. CANAL BBGA : D ´EMODULATION COH ´ERENTE 25

+1

+1

+1

+1

- 1

- 1

- 1

- 1

- 1 +1 +1

+1

- 1 +1 - 1

- 1 +1

+1 - 1 0

!/ 2 ! 3!/ 2 2!

-!/ 2

0 T 2T 3T 4T

+1

+1

+1

+1

- 1

- 1

- 1

- 1

- 1 +1 +1

+1

- 1 +1 - 1

- 1 +1

+1 - 1 0

!/ 2 ! 3!/ 2 2!

-!/ 2

0 T 2T 3T 4T

FIG. 3.7 – Arbre des ´etats et treillis de phase pour une modulation MSK

sm(t)

n(t)

r ( t )

émetteur canal récepteur

FIG. 3.8 – Canal de type BBGA

1. und´emodulateurest l’organe qui convertit le signal rec¸ur(t)en une autre repr´esentation (par exemple, les coordonn´ees du signal rec¸u dans un es- pace dont la dimensionnalit´e estÞx´ee par la modulation avec laquelle on travaille) ;

2. led´etecteurest l’organe qui d´ecide, `a partir de la repr´esentation produite par le d´emodulateur, quelle est la forme d’onde qui a effectivement ´et´e transmise. Le d´etecteur peut parfois commettre des erreurs, et l’objet de ce chapitre est d’´evaluer les performances des r´ecepteurs qui seront pro- pos´es

3.5.1 Repr´esentation des signaux

Un signal peut ˆetre enti`erement d´ecrit si on connaˆõt ses coordonn´ees dans un espace d´ecrit par des fonctions de base orthonormales, qui constituent un en- semble complet. Les fonctions de base dont on a besoin d´ependent de la modu- lation en question. Passons-les en revue, en accord avec les d´eÞnitions donn´ees auparavant. On note parNla dimension de l’espace auquel il faut recourir.

1. La modulation PAM requiert une seule fonction de base orthonormale (N= 1), donn´ee par

f(t) =

2

E^gg(t) cos(2πf_ct) (3.39) Les diff´erentes formes d’onde possibles,sm(t), ont des coordonn´ees not´ees s_m, valants_m=A_m Eg/2. D`es lors,

sm(t) =smf(t) (3.40)

3.5. CANAL BBGA : D ´EMODULATION COH ´ERENTE 27 2. La modulation QAM requiert deux fonctions de base (N = 2), f1(t)et

f2(t), donn´ees par

f1(t) = 2

E^gg(t) cos(2πfct) (3.41) f2(t) =

2

E^gg(t) sin(2πfct) (3.42) Les formes d’ondes_m(t)sont donn´ees par

sm(t) =sm1f1(t) +sm2f2(t) (3.43) avec

s_m1 = A_mc E^g

2 (3.44)

sm2 = Ams

E^g

2 (3.45)

3. La modulation M-PSK est semblable `a la QAM. Elle requiert les mˆemes fonctions de base, mais cette fois les coordonn´ees possibles des formes d’ondes sont

sm1 = Eg

2 cos[2π(m−1)/M] (3.46) s_m2 =

Eg

2 sin[2π(m−1)/M] (3.47) 4. Pour la modulation M-FSK, on a besoin deN = M fonctions de base

donn´ees par

fk(t) = 2

T cos [2πfct+ 2πk∆ft] (3.48) Chaque forme d’onde possible est donn´ee par sesN coordonn´ees dont une seule `a chaque fois est non nulle. On a donc

s_m(t) =

N

k=1

s_mkf_k(t) (3.49)

avec un seuls_mk=√

Eet les autres, nuls.

Dans le cas o `u le signal ´emis n’est pas corrompu par du bruit, le d´emodulateur peut projeter le signal rec¸u (c’est-`a-dire aussi celui ´emis puisqu’il n’y pas de bruit) sur les fonctions de base associ´ees `a la modulation utilis´ees et le d´etecteur peut comparer les coordonn´ees ainsi obtenues avec celles des signaux possi- bles, et d´ecider.

Le signal rec¸u est cependant entach´e de bruit, ce qui a pour effet de modi- Þer les coordonn´ees observ´ees par rapport `a la situation id´eale. En projetant le signal rec¸ur(t) = s_m(t) +n(t)sur les fonctions de base, on trouve alors des coordonn´eesrkdonn´ees par

rk = T

0

r(t)fk(t)dt (3.50)

= T

0

s_m(t)f_k(t)dt+ T

0

n(t)f_k(t)dt (3.51)

= s_mk+n_k (3.52)

Ces coordonn´ees sont de moyennes_mk, car le bruitn(t)est centr´e, et de vari- ance donn´ee par

E

(r_k−s_mk)²

= E n²_k

= E

T

0

n(t)fk(t)dt T

0

n(t^′)fk(t^′)dt^′

= T

0

dt T

0

dt^′E[n(t)n(t^′)]f_k(t)f_k(t^′)

= T

0

dt T

0

dt^′N0

2 δ(t−t^′)fk(t)fk(t^′)

= N0

2 T

0

dt f_k²(t)

= N0

2 (3.53)

o `u la derni`ere ´egalit´e s’obtient en tenant compte du caract`ere orthonormal des fonctions de base. Par ailleurs, les coordonn´eesr_k sont aussi d´ecorr´el´ees puisque

E[(r_k−s_mk)(r_l−s_ml)] = E[n_kn_l]

= E T

0

n(t)fk(t)dt T

0

n(t^′)fl(t^′)dt^′

= T

0

dt T

0

dt^′E[n(t)n(t^′)]f_k(t)f_l(t^′)

= T

0

dt T

0

dt^′N₀

2 δ(t−t^′)fk(t)fl(t^′)

= N0

2 T

0

dt fk(t)f_l(t)

= N₀

2 δkl (3.54)

Les coordonn´eesnksont donc gaussiennes car obtenues par transformation de n(t), gaussienne, et non corr´el´ees. De ce fait, elles sont aussi ind´ependantes. Il

3.5. CANAL BBGA : D ´EMODULATION COH ´ERENTE 29 en est de mˆeme pour lesrk, qui sont donc de moyennesmk, de varianceN0/2 et constituent un vecteur de variables ind´ependantes.

On peut d`es lors reconstituer le signal rec¸ur(t) `a partir de ses coordonn´ees comme suit,

r(t) =

N

k=1

rkfk(t) +n^′(t) (3.55) En effet, l’espace des fonctions de base n’´etant pas n´ecessairement complet pour ce qui est du bruit, il faut tenir compte de l’´eventuelle diff´erence qu’il y a entre le bruitn(t)et ce qui peut ˆetre reconstitu´e `a partir des coordonn´ees nk. En clair,

n^′(t) =n(t)−

N

k=1

nkfk(t) (3.56)

On peut montrer cependant que les coordonn´eesr_ksufÞsent enti`erement car le r´esidun^′(t)ne contient plus d’information utile pour prendre la d´ecision. Les r_k contiennent l’information relative au signal (less_mk), et le r´esidun^′(t)est non corr´el´e avec lesrk. En effet,

E[r_kn^′(t)] = E[(s_mk+n_k)n^′(t)] (3.57)

= E[(smk+nk)n^′(t)]

= E[nkn^′(t)]

= E

nk(n(t)−

N

l=1

nlfl(t))

= T

0

E[n(t^′)n(t)]fk(t^′)dt^′−

N

l=1

E[nknl]fl(t)

= N₀ 2 fk(t)−

N

l=1

N₀ 2 δklfl(t)

= 0

De ce fait, on peut consid´erer que lesrkconstituent une repr´esentation ´equivalente

`a la connaissance der(t), en tout cas pour ce qui est de l’information dont on a besoin pour prendre la d´ecision. Autrement dit encore,la connaissance des coordonn´eesr<sub>k</sub>est ´equivalente `a celle der(t)pour ce qui est du probl`eme de d´etection.

En raison du bruit, les rk sont donc des quantit´es non pas certaines, mais al´eatoires, qui constituent un vecteur de dimensionN. Sa densit´e de probabilit´e peut ˆetre obtenue ais´ement. En effet, lesr_ksont gaussiennes et ind´ependantes.

En notantrle vecteur desrk, on a donc que la densit´e de probabilit´econdi- tionnellep(r|s_m)(on suppose ques_m(t)a ´et´e transmis) desr_kest donn´ee par

p(r|sm) =

N

k=1

p(rk|sm)

= 1

(πN0)^N/2exp

−

N

k=1

(rk−smk)²/N0

(3.58)

o `u lesp(r_k|s_m)sont les densit´es de probabilit´e marginales.

3.5.2 D´etecteur optimal

A partir de la repr´esentation construite par le d´emodulateur, c’est-`a-dire lesr<sub>k</sub>, comment le d´etecteur peut-il d´ecider au mieux du signal qui se cache derri`ere ces coordonn´eesrk? Ce qui int´eresse l’utilisateur, c’est que le r´ecepteur com- mette le moins d’erreurs de d´ecision possible. On montrera plus loin que le crit`ere d’optimisation du d´etecteur qui correspond `a la probabilit´e d’erreur minimale, est le crit`ere du maximum a posteriori. Cela signiÞe que l’on d´ecide quesm(t)a ´et´e transmis si la densit´e de probabilit´e desm(t)conditionn´ee `ar est maximale. Notants_mle vecteur des coordonn´ees associ´ees au signals_m(t), le choix se porte sur le signals_m(t)tel que l’on maximise

p[s_m|r] (3.59)

qui est la probabilit´e a posteriori des_m. En utilisant la formule de Bayes, on a encore

p[s_m|r] = p[r|s_m]p[s_m] p[r]

= p[r|s_m]p[s_m]

M

m=1

p[r|s_m]p[s_m]

(3.60)

On voit apparaˆõtre

1. les densit´es de probabilit´e a priori des coordonn´ees des diff´erents sym- boles, lesp[s_m],

2. la densit´e de probabilit´e des coordonn´ees du signal rec¸u conditionn´ee

`a l’envoi d’un signal pr´ecis, les p[r|s_m], que l’on appelle fonctions de vraisemblancedu signalsm(t), ou plus rigoureusement, du vecteur de co- ordonn´eess_m.

On voit donc qu’en toute g´en´eralit´e, la r`egle de d´ecision optimale requiert la connaissance des probabilit´es a priori et des fonctions de vraisemblance.

Dans le cas particulier o `u les diff´erents symboles sont ´equiprobables, on aura p[s<sub>m</sub>] = 1/Met dans ce cas, le crit`ere se simpliÞe. Le choix se porte dans ce cas sur le signalsm(t)qui donne lieu `a la fonction de vraisemblance la plus

´elev´ee. La r`egle de d´ecision porte le nom de d´ecision au sens du maximum de vraisemblance.Ce n’est que dans le cas o `u les diff´erents symboles sont ´equiprobables a priori que le crit`ere du Maximum A Posteriori (MAP) se ram`ene au Maximum de Vraisemblance (MV). Les fonctions de vraisemblance associ´ees aux diff´erents

3.5. CANAL BBGA : D ´EMODULATION COH ´ERENTE 31 symboles ont ´et´e donn´ees par3.58. En particulier, la fonction de vraisemblance λ(sm)associ´ee au symbolesm(t)est donc donn´ee par

λ(sm) = 1

(πN₀)^N/2exp

−

N

k=1

(rk−smk)²/N0

(3.61) Consid´erons le cas binaire avec des symboles de probabilit´es a priori qui peu- vent ˆetre diff´erentes. On d´ecidera ques1(t)a ´et´e transmis si

p[s₁|r]

p[s₂|r] >1 (3.62)

soit encore

p[r|s₁]

p[r|s₂]> p[s₂]

p[s₁] (3.63)

On peut appliquer `a cette in´egalit´e n’importe quelle fonction monotone crois- sante, par exemple le logarithme naturel. Comme

p[r|s₁] p[r|s₂] = exp

−

N

k=1

(rk−s1k)²/N0+

N

k=1

(rk−s2k)²/N0

(3.64) on a que

ln

p[r|s₁] p[r|s₂]

=−

N

k=1

(r_k−s_1k)²/N₀+

N

k=1

(r_k−s_2k)²/N₀ (3.65) et donc on d´ecidera ques₁(t)a ´et´e transmis si

−

N

k=1

(r_k−s_1k)²/N₀+

N

k=1

(r_k−s_2k)²/N₀>ln p[s₂]

p[s₁]

(3.66) Si les symboles sont ´equiprobables, on d´ecidera ques₁(t)a ´et´e ´emis si

N

k=1

(rk−s2k)²>

N

k=1

(rk−s1k)² (3.67)

D`es lors, lorsque les signaux sont ´equiprobables, le choix se portera clairement, sur le signalsm(t)dont les coordonn´eessmkmaximisent

−

N

k=1

(r_k−s_mk)² (3.68)

ou minimisent

N

k=1

(rk−smk)² (3.69)

On voit donc que dans le cas o `u la perturbation introduite par le canal est un BBGA, et les symboles sont ´equiprobables, le crit`ere du MAP revient `a minimiser une distance quadratique entre les coordonn´ees du signal re¸cu et celles associ´ees aux diff´erents signaux susceptibles d’ˆetre transmis. Cette distance peut ˆetre perc¸ue comme une mesure de ressemblance entre les coor- donn´ees du signal rec¸u et celles associ´ees aux diff´erents signaux possibles.

On peut encore ´ecrire que le crit`ere `a minimiser est donn´e, apr`es avoir retir´e ce qui ne d´epend pas des diff´erentes hypoth`eses, par

−2

N

k=1

r_ks_mk+

N

k=1

s²_mk =−2r^Ts_m+s_m^Ts_m (3.70) o `u l’on a utilis´e les vecteurs de coordonn´ees du signal rec¸ur^T = [r1, r2,· · ·, rN] et du signal suppos´esm(t),s_m^T= [s1m, s2m,· · ·, sNm].

Il est utile de noter quer^Ts_m repr´esente la projection du signal rec¸u sur le signalsm(t). En effet,

T

0

r(t)s_m(t)dt = T

0 N

i=1

r_if_i(t)

N

j=1

s_mjf_j(t)dt

=

N

i=1

ri N

j=1

smj

T

0

fi(t)fj(t)dt

=

N

i=1

ri N

j=1

smjδij

=

N

i=1

rismi

= r^Ts_m (3.71)

De fac¸on semblable,s_m^Ts_m repr´esente l’energie du symbolesm(t)et inter- vient comme un facteur correctif dans la mesure de ressemblance, pour tenir compte du fait que tous les signaux ´emis peuvent ne pas avoir la mˆeme ´energie.

En effet, si l’on remplacer(t)parsm(t)dans le jeu d’´equations3.71, on arrive au r´esultat voulu, `a savoirs_m^Ts_m=Em.

Il apparaˆõt donc que le r´ecepteur optimal effectue la corr´elation entre le sig- nal re¸cur(t)et toutes les hypoth`esessm(t), et, apr`es correction li´ee `a l’´energie E<sup>m</sup>du signal ´emis, choisit la plus ´elev´ee.Le sch´ema de principe associ´e `a ce r´ecepteur est donn´e `a laÞgure3.9.

Ce r´esultat appelle plusieurs commentaires, sur lesquels on reviendra par la suite.

– On voit que ce r´ecepteur requiert de calculer la corr´elation sur une fenˆetre bien pr´ecise du signal rec¸u. Cet aspect est mat´erialis´e par la pr´esence d’un

3.5. CANAL BBGA : D ´EMODULATION COH ´ERENTE 33

$

%

&0 T

d t

s1(t) E1/ 2

$

%

&0 T

d t

s2(t) E2/ 2

$

%

&0 T

d t

sM(t) EM/ 2

r ( t )

M A X

FIG. 3.9 – Structure de r´eception optimale de type coh´erent pourMsignaux.

organe d’´echantillonnage `a la sortie des int´egrateurs dans laÞgure 3.9, qui signiÞe bien que l’on prend la valeur de la corr´elation effectu´ee en continu,

`a un instant bien pr´ecis. En pratique, on regardera la sortie de ce corr´elateur toutes lesTsecondes, en synchronisme avec la position des symboles dans le signal rec¸ur(t). On voit donc que la mise en oeuvre exacte de cette structure de r´eception requiert une synchronisation temporelle, dont l’objet est de cal- culer la corr´elation ”aux bons endroits”. En pratique, cette op´eration doit ˆetre impl´ement´ee dans le r´ecepteur. Il faut estimer les instants d’´echantillonnage en sortie des corr´elateurs. Le caract`ere n´ecessairement imparfait de cette op´eration donne lieu `a des d´egradations de performances. Cette op´eration porte encore le nom der´ecup´eration de l’instant d’´echantillonnage ou synchroni- sation temporelle.

– Le r´ecepteur effectue la corr´elation entre ce qui lui arrive, r(t), et tous les signaux qui auraient pu se pr´esenter`a son entr´eeen l’absence de bruit BBGA.

Cela signiÞe en particulier que le r´ecepteur doit pouvoir reproduire locale- ment les formes d’ondes qui sont susceptibles de lui ˆetre envoy´ees, avec no- tamment la bonne phase. Nous reviendrons sur cet aspect plus tard. Cette exigence qui est extrˆemement importante dans le caract`ere non seulement optimal mais aussi pertinent de la structure de r´eception, donne lieu `a l’ap- pellationr´eception coh´erente.

3.5.3 Corr´elation et Þ ltrage adapt´e

Le r´ecepteur optimal d´ecrit ci-dessus fait abondamment usage de la corr´elation.

La corr´elation est une op´eration qui peut aussi ˆetre r´ealis´ee `a l’aide d’unÞltre dont la r´eponse impulsionnelle est construite de fac¸on pr´ecise `a partir du sig- nal avec lequel on corr`ele. En clair, regardons la corr´elation entrer(t)etf(t).

f ( t ) h(t)

FIG. 3.10 – Signal et leÞltre adapt´e lui correspondant.

Elle est d´eÞnie par

T

0

r(t)f(t)dt (3.72)

A partir def(t), on peut construire unÞltre dont la r´eponse impulsionnelle h(t)est donn´ee par

h(t) =f(T −t) (3.73)

Un telÞltreh(t)est ditadapt´e `af(t). LaÞgure3.10illustre sch´ematiquement cette situation.

La sortie de ceÞltrey(s)est donn´ee par y(s) =

T

0

r(t)h(s−t)dt

= T

0

r(t)f(T −s+t)dt (3.74) En regardant la valeur de ceÞltre pours = T, on trouve bien la corr´elation escompt´ee. En r´esum´e, la corr´elation entre deux signaux r(t) et f(t) peut s’obtenir en prenant `a l’instantT la sortie d’un Þltreh(t)adapt´e `af(t), et ayant r(t) `a son entr´ee. En cons´equence, la structure de r´eception optimale pr´esent´ee `a laÞgure3.9peut encore ˆetre redessin´ee comme pr´esent´e `a laÞg- ure3.11.

LeÞltre adapt´e `a un signal a une propri´et´e importante qui va ˆetre d´emontr´ee maintenant. Supposons que l’on dispose d’un signalr(t) =s(t) +n(t), o `us(t) est la partie utile du signal, etn(t), un bruit blanc et additif de densit´e spectrale N0/2. Regardons ce que l’on obtient en passant le signalr(t)dans unÞltre de r´eponse impulsionnelleh(t)a priori quelconque et ´echantillonnant la sortiey enT. On a

y(T) = T

0

r(t)h(T −t)dt

3.5. CANAL BBGA : D ´EMODULATION COH ´ERENTE 35

s1(T-t)

E1/ 2

E2/ 2

EM/ 2

r ( t ) M

A X s2(T-t)

sM(T-t)

FIG. 3.11 – Structure de r´eception optimale de type coh´erent pourM signaux bas´ee sur desÞltres adapt´es.

= T

0

s(t)h(T −t)dt+ T

0

n(t)h(T −t)dt

= y_s(T) +y_n(T) (3.75)

Le rapport signal `a bruit not´e SNR caract´erisanty(T)est donn´e par SNR = y_s²(T)

E[y²_n(T)]

= T

0

s(t)h(T −t)dt 2

E[ T

0

n(t)h(T−t)dt]²

= T

0

s(t)h(T −t)dt 2

0.5N0

T

0

h²(T −t)dt

= T

0

h(t)s(T −t)dt 2

0.5N₀ T

0

h²(T −t)dt

(3.76)

Le th´eor`eme de Cauchy-Schwarz nous dit que ^∞

−∞

g₁(t)g₂(t)dt 2

≤ ^∞

−∞

g²₁(t)dt ^∞

−∞

g²₂(t)dt (3.77)

L’´egalit´e est obtenue pourg1(t) =Cg2(t). D`es lors, le num´erateur de SNR sera maximis´e ici sih(t) =Cs(T−t). D`es lors,

SNR =

T

0

Cs(T −t)s(T −t)dt 2

0.5N0C² T

0

s²(T −t)dt

= T

0

s(t)s(t)dt

0.5N0

= 2E^s N0

(3.78) Le rapport SNR signal `a bruit le plus favorable qui puisse ˆetre obtenu en pas- sant un signal entach´e de BBGA dans unÞltre, est atteint lorsque la r´eponse impulsionnelle duÞltre est adapt´ee au signal. Le SNR obtenu vaut le rapport

´energie du signalE^s `a densit´e spectrale de bruitN0/2.

La r´eponse en fr´equenceH(ω) d’unÞltreh(t) = s(T −t), adapt´e `as(t), est donn´ee par

H(ω) = ^∞

−∞

h(t) exp^−jωtdt

= ^∞

−∞

s(T−t) exp^−jωtdt

= ^∞

−∞

s(t^′) exp^{jω(t′−T)}dt^′

= exp^−jωTS^∗(ω) (3.79)

En passant un signal dans unÞltre qui lui est adapt´e, on obtient un signal dont le spectre est donn´e parexp^−jωT|S(ω)|².

3.5.4 D´etection coh´erente de PAM binaire en bande de base

La modulation PAM binaire est caract´eris´ee par une fonction de basef(t)donn´ee par

f(t) = 1

E^gg(t) (3.80)

et des signaux possibless1(t) = E^gf(t)ets2(t) = −s1(t) = − E^gf(t). La r`egle de d´ecision est de choisir parmir^Ts

1− E1etr^Ts

2− E2 le signals₁ou s2 donnant lieu `a la valeur maximale. Comme les signaux sont oppos´es, et les ´energies ´egales (E<sup>1</sup> = E<sup>2</sup> = E<sup>g</sup>), la r`egle d´ecision revient `a choisirs1(t)si r est positif, ets₂(t)si rest n´egatif. Cette fac¸on de proc´eder provient de ce

3.5. CANAL BBGA : D ´EMODULATION COH ´ERENTE 37 que le seuil de d´ecision estÞx´e `a la coordonn´ee0, ce qui est une cons´equence imm´ediate de ce que les symboles sont ´equiprobables. Si c’est le signals1(t) qui a ´et´e envoy´e, on rec¸oitr(t)donn´e par

r(t) = s1(t) +n(t)

= Egf(t) +n(t) (3.81)

On a donc

r = [r]

r = T

0

r(t)f(t)dt

= T

0

s1(t)f(t)dt+ T

0

n(t)f(t)dt

= E^g+ν (3.82)

Il apparaˆõt donc querest une variable al´eatoire gaussienne de moyenne E^g et de varianceN0/2. D`es lors, la densit´e de probabilit´e derconditionn´ee `as1(t) est donn´ee par

p[r|s1] = 1

(πN0)^1/2exp

−(r− E^g)²/N0

(3.83)

On peut montrer que, de fac¸on semblable, p[r|s2] = 1

(πN₀)^1/2exp

−(r+ E^g)²/N0

(3.84)

Ces deux densit´es de probabilit´e conditionnelles sont illustr´ees `a laÞgure3.12.

Si donc le canal n’introduisait pas de bruit, lorsques1(t)(resp.s2(t)) est ´emis, le d´emodulateur produirait une coordonn´ee valantEg(resp.−Eg). En raison du bruit, la coordonn´ee devient une variable al´eatoire dont le centre est donn´e par la coordonn´ee recherch´ee. Le d´etecteur choisits1si la coordonn´eerest positive ets₂sinon. En raison du bruit, le d´etecteur peut prendre une d´ecision erron´ee.

La d´ecision sera erron´ee lorsque la coordonn´ee sera n´egative (resp. positive) alors ques₁(resp.s₂) a ´et´e ´emis. Cette probabilit´e est donn´ee dans le cas de s₁par la surface gris´ee sous la courbe de densit´e de probabilit´e. La probabilit´e d’erreur not´eepeest donc donn´ee par

pe = p[r≤0|s1]

= 0

−∞

p[r|s1]dr

= 1

(πN0)^1/2 0

−∞

exp

−(r− E^g)²/N0

dr

= 1

(2π)^{1/2 ∞}

√2E_g/N0

exp^−x2/2dx

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04

-'E 0 'E

FIG. 3.12 – Densit´es de probabilit´e de la coordonn´ee correspondant au sig- nal rec¸u, sous les deux hypoth`eses du signal ´emiss1ets2. La zone hachur´ee repr´esente la probabilit´e d’erreur lorsques1a ´et´e ´emis.

= Q

2E^g/N0

= 0.5erfc E^g/N0

(3.85) Pour rappel,

Q(x) = 1

√2π ^∞

x

exp^−x2/2dx erfc(x) = 2

√π ^∞

x

exp^−x2dx (3.86)

La courbe donnant le taux d’erreur en fonction du rapportEg/N₀en dB est donn´ee `a laÞgure3.13. Ce r´esultat appelle plusieurs commentaires :

– les transmissions num´eriques ne pr´esentent pas une d´egradation progres- sive en fonction du rapportEg/N₀. Sur une plage de quelques dB, on passe d’un taux d’erreur de10⁻⁵`a10<sup>−2</sup>par exemple. On dit souvent des syst`emes de transmission num´eriques ”qu’ils marchent ou ne marchent pas”.

– les performances d´ependent du rapportE^g/N0et pas exactement d’un rap- port signal `a bruit. Il y a bien s ˆur un lien entre les deux. En notantP la puis- sance ´emise,T la dur´ee d’un symbole binaire, etR= 1/Tle d´ebit binaire, on

3.5. CANAL BBGA : D ´EMODULATION COH ´ERENTE 39

0 5 10 15

10^-6 10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

E_g/N_0 (dB)

Taux d'erreur

Taux d'erreur pour modulation PAM binaire (signaux opposés)

FIG. 3.13 – Courbe donnant le taux d’erreur en fonction du rapportEg/N₀en dB pour des signaux binaires oppos´es.

aEg=P T =P/R. D’autre part, pour pouvoir parler de puissance de bruit, il faut dire quelle bande a ´et´e utilis´ee pour la mesure. Si la largeur de bande estW, on a que la puissance de bruit not´eeσ²_nest donn´ee parσ²_n = N0W. D`es lors, le rapport signal `a bruit not´e SNR est reli´e au rapportEg/N₀par

SNR= Eg

N0

R

W (3.87)

3.5.5 D´etection coh´erente de PAM binaire en bande passante

La modulation PAM binaire en bande passante, ´equivalente `a la modulation de phase `a deux ´etats not´eeBPSKpour Binary PSK, est caract´eris´ee par une fonction de basef(t)donn´ee par

f(t) = 2

Eg

g(t) cos(ωct+θ) (3.88) et des signaux possibless₁(t) = Eg/2f(t)ets₂(t) = −s₁(t) = − Eg/2f(t).

La phaseθest celle du signal qui se pr´esente `a l’entr´ee du r´ecepteur. Comme les signaux sont oppos´es, et les ´energies ´egales (E<sup>s</sup> =E<sup>1</sup>=E<sup>2</sup> =E<sup>g</sup>/2), la r`egle de d´ecision revient `a choisirs₁(t)sirest positif, et vice-versa. Si c’est le signal

s1(t)qui a ´et´e envoy´e, on rec¸oitr(t)donn´e par r(t) = s₁(t) +n(t)

= E^g

2f(t) +n(t) (3.89)

On a donc

r = [r]

r = T

0

r(t)f(t)dt

= T

0

s₁(t)f(t)dt+ T

0

n(t)f(t)dt

= Eg

2 +ν (3.90)

Il apparaˆõt donc querest une variable al´eatoire gaussienne de moyenne Eg/2 et de varianceN0/2. D`es lors, la densit´e de probabilit´e derconditionn´ee `as1(t) est donn´ee par

p[r|s1] = 1

(πN0)^1/2exp

−(r−

E^g/2)²/N0

(3.91) Conform´ement aux r´esultats pr´esent´es dans le paragraphe pr´ec´edent, la prob- abilit´e d’erreurp_eest donn´ee par

pe = Q

E^g/N0

= Q 2E^s/N0

= 0.5erfc

Eg/2N₀

= 0.5erfc E^s/N0

(3.92)

Il est utile ici encore de commenter les conditions sous lesquelles le r´ecepteur peut pr´etendre `a ce niveau de performance. Pour r´ealiser la corr´elation requise par la d´emodulation, il faut donc que localement, le r´ecepteur soit capable de r´eg´en´ereravec la bonne phasela fonction de base, ou encore le signal arrivant.

Ce n’est pas trivial. L’op´eration de r´ecup´eration locale de la phase peut se faire de deux fac¸ons :

1. soit on envoie avec les donn´ees un r´esidu de porteuse (non modul´e) qui permettra au r´ecepteur d’observer la phase voulue. En pratique, ce r´esidu de porteuse consomme de l’´energie, et par ailleurs, il est aussi corrompu par du bruit. Un organe de r´ecup´eration de phase devra ˆetre mis en

3.5. CANAL BBGA : D ´EMODULATION COH ´ERENTE 41 oeuvre au r´ecepteur pour poursuivre les variations de la phase (le canal peut ˆetre tel que la phase varie) tout en minimisant l’effet du bruit. Cette op´eration est g´en´eralement r´ealis´ee `a l’aide d’une boucle `a verrouillage de phase, dont l’objet est effectivement de faire la part entre les variations de la phase qu’il convient de poursuivre et celles qui sont dues au bruit et qu’il convient de minimiser.

2. soit on n’envoie pas de r´esidu de porteuse. A ce moment-l`a, le r´ecepteur doit estimer la phase du signal qui arrive `a partir du signal modul´e lui mˆeme, dont il faut gommer les donn´ees. Cela se fait en ´elevant le signal rec¸u `a une puissance qui permet de faire disparaˆõtre l’effet des donn´ees (´el´evation au carr´e pour des donn´ees binaires, etc ...). Une boucle `a ver- rouillage de phase se charge ensuite `a nouveau de poursuivre les varia- tions ”utiles” de la phase et de minimiser celles dues au bruit. On peut montrer dans ce cas que le signal r´eg´en´er´e localement (dans le cas bi- naire) est du typecos(2ωct+ 2θ) `a cause de l’´el´evation au carr´e. En di- visant la phase par deux, il y a une ambigu¨õt´e de phase de180degr´es qui peut ˆetre lev´ee par encodage diff´erentiel par exemple. L’encodage diff´erentiel revient `a dire que les donn´ees d´eterminent non pas l’´etat du syst`eme, mais le changement d’´etat par rapport `a l’´etat pr´ec´edent. L’in- formation est donc contenue dans la diff´erence entre ´etats (phases pour une 2PSK par exemple) et donc, l’ambigu¨õt´e de phase sera lev´ee par la prise de diff´erence.

En pratique le caract`ere imparfait de l’estimation de phase qui peut ˆetre obtenue produit une d´egradation de la probabilit´e d’erreurpe.La n´ecessit´e pour ce type de d´emodulateur de reg´en´erer localement la phase du signal re¸cu jus- tiÞe l’appellation ”r´ecepteur coh´erent” et est la cl´e des performances de ce type de d´emodulateur.

Dans la d´eÞnition qui a ´et´e donn´ee des signaux de type PAM, QAM PSK, FSK au d´ebut de ce chapitre, on a suppos´e sans perte de g´en´eralit´e que la phase θ= 0. En vue de montrer par quoi se traduit l’exigence de coh´erence, `a savoir r´eg´en´erer localement la phase du signal rec¸u (hors inßuence des donn´ees), il est plus parlant de faire apparaˆõtre explicitement unθdans les relations. Si on avait utilis´e ici aussiθ= 0, cet aspect des choses serait peut-ˆetre apparu moins clairement.

3.5.6 D´etection coh´erente de signaux binaires orthogonaux

Cette situation est repr´esentative par exemple de la modulation FSK de type binaire (M = 2). On a besoin dans ce cas de deux fonctions de basef1(t)et f2(t)donn´ees par

f1(t) = 2

T cos [2πfct+ 2π∆ft+θ]

f2(t) = 2

T cos [2πfct+ 2π2∆ft+θ] (3.93)