Maître Jean-Marie Delley
Date 30 novembre 2020
Durée 90 minutes
Documents et matériel autorisés
personnels :
• table numérique ;
• calculatrice TI30, TI34 ou modèle équivalent (non graphique, non programmable).
Consignes • répondre sur l'énoncé ; vous pouvez joindre si nécessaire une feuille en y ajoutant votre nom ;
• la présentation doit être soignée, l'écriture lisible ;
• toutes les réponses doivent être justifiées par un raisonnement ou un calcul ;
• tous les calculs doivent figurer sur les feuilles d'énoncé.
Nom : ……….. Prénom : ………...Groupe : …….
Répartition des points Exercice 1 : 16 points Exercice 2 : 8 points Exercice 3 : 10 points Exercice 4 : 8 points Exercice 5 : 8 points Exercice 6 : 10 points Exercice 7 : 17 points Total : ……. / 77 points
Notations : …………. → …. / 2 points
Français (facultatif) : …………. → …. / 1 point Total final : ……. / 79 points
Note : ………/ 6
1 / 10
Exercice 1 (environ 16 points)
Pour chaque fonction ci-dessous, déterminer une primitive en donnant une réponse ne contenant aucun exposant négatif ou fractionnaire et sous la forme la plus simplifiée possible :
(a) f1(x)=
√
2x2− 3 7√
x(b) f2(x)= x (3x2+5)6
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(d) f4(x)= πx8−2x x4
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Exercice 2 (environ 8 points)
On considère la fonction f définie par f (x)=sin(−2x). (a) Déterminer une primitive de f.
(b) Déterminer toutes les primitives de f.
(c) Déterminer la primitive F de f telle que F(−3π 2 )=1
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Soit les fonctions f et g définies par f(x)=−x+1etg(x)=−(x−1)2+2:
On considère la surface S délimitée par les courbes représentatives de f et g
Hachurer S sur le schéma, identifier graphiquement les données utiles, puis calculer l'aire A de S ; donner la réponse en valeur exacte simplifiée au maximum.
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Exercice 4 (environ 8 points)
Soit la fonction définie par f(x)=
{
−0,si2,six=x3∈[1;3[ .Calculer sn, Sn puis
∫
1 3
f(x)dx avec la définition de l’intégrale en donnant les détails des calculs.
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Pour chacune des conjectures suivantes, déterminer si elle est vraie ou fausse et justifier précisément votre réponse en vous appuyant sur un contre-exemple détaillé ou en vous basant explicitement sur les définitions et théorèmes vus au cours.
(a) Si f est dérivable sur I, alors f est intégrable sur I
(b) Si f est intégrable sur [0;2], alors
∫
0 2
f(x)dx=2
∫
0 1
f(x)dx
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Exercice 6 (environ 10 points)
On considère la fonction f définie sur [0;2] par
f (x)=x2+1 , et S la surface délimitée par la courbe représentative de f, l'axe Ox et les droites d'équations x = 0 et x = 2.
(a) Peut-on appliquer le théorème de la moyenne dans cette situation? Justifier.
(b) Déterminer la valeur de d=f(c) et de c du théorème de la moyenne appliqué à f sur [0;2].
(c) Interpréter graphiquement les c et d obtenus en (b) sur le repère fourni.
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Exercice 7 (environ 17 points)
On considère la fonction f définie sur [0;2] par
f (x)=x2+1 , et S la surface délimitée par la courbe représentative de f, l'axe Ox et les droites d'équations x = 0 et x = 2.
Partie I : on considère un partage de l'intervalle [0;2] en n sous-intervalles égaux.
(a) Déterminer la longueur x de chaque sous- intervalle et les valeurs de x0, x1, x2, xn−1 et xn , points frontières de ces sous-intervalles.
(b) Compléter le calcul de grande somme ci-dessous :
S
n= ...
... ⋅
f( ... )+ ...
... ⋅
f( ... )+[ etc ]+ ...
... ⋅
f( ... ) = ...
... ⋅ [ [( ... )
2+ 1 ]+[( ... )
2+ 1 ]+[ etc ]+[( ... )
2+ 1 ] ]
= ...
... ⋅ [ ( ... )
2+( ... )
2+[ etc ]+( ... )
2+ 1 + 1 + ... + 1 ]
= ...
... ⋅ [ ( ... ... )
2⋅ ( ...
2+ ...
2+[ etc ]+ ...
2) +
n]
= ...
... ⋅ [ ( ... ... )
2⋅ (
n⋅(
n+ 1 )⋅( 6 2
n+ 1 ) ) +
n]
= 8
n⋅( ... )⋅( ... )
... + ...
... ⋅
n= 4 (
n+ 1 )( 2
n+ 1 )
3
n2+ 2
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(c) Calculer lim
n→+∞Sn en donnant les détails des calculs.
lim
n→+∞Sn=lim
n→ +∞
4(n+1)(2n+1) 3n2 +2=
(d) Est-il nécessaire de calculer encore lim
n→+∞sn pour connaître
∫
0 2
f (x)dx ? Justifier.
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