EPREUVE DE MATHÉMATIQUES SÉRIE COLLÈGE

EPREUVE DE MATHÉMATIQUES SÉRIE COLLÈGE

Mai 2011

Durée de l’épreuve : 2 Heures

 Le sujet est composé de 3 parties indépendantes : 1

partie (12 points) : Activités numériques

2

partie (12 points) : Activités géométriques 3

partie (12 points) : Problème

 La qualité de la rédaction et la présentation seront notées sur 4 points.

 L’usage de la calculatrice est autorisé.

ACTIVITÉS NUMÉRIQUES

Exercice 1 4.5

Dans cet exercice, les étapes de calculs devront être détaillées.

On donne les expressions suivantes : 4

9 15

2 15

7  



A

 

4 2

10 12

10 5 10 30







 

B _{C 6 203 12511 45}

1) Ecrire A sous la forme d’une fraction la plus simplifiée possible. 1.5 2) Donner l’écriture décimale puis l’écriture scientifique de B. 1+0.5+0.5 3) Ecrire C sous la forme ^{a 5} où a est un nombre entier. 1

Exercice 2 4.5pts

On considère le programme de calculs suivant :

 Choisir un nombre de départ

 Ajouter 1

 Calculer le carré du résultat obtenu

 Lui soustraire le carré du nombre de départ

 Ecrire le résultat final

1)a) Vérifier que lorsque le nombre de départ est 1, on obtient 3 au résultat final. 0.75 b) Lorsque le nombre de départ est 2, quel résultat final obtient-on ?0.75

c) Le nombre de départ étant

x

x

2) On considère l’expression Px1²x². Développer puis réduire l’expression P.1 3) Quel nombre de départ doit-on choisir pour obtenir un résultat final égal à 15 ?1

Exercice 3( 3pts)

1) Déterminer le PGCD de 186 et 155 en expliquant la méthode utilisée (faire apparaître les calculs intermédiaires).(1pts)

2) Un chocolatier a fabriqué 186 pralines et 155 chocolats.

Les colis sont constitués ainsi :

- le nombre de pralines est le même dans chaque colis ; - le nombre de chocolats est le même dans chaque colis ; - tous les chocolats et toutes les pralines sont utilisées.

a) Quel nombre maximal de colis pourra-t-il réaliser ?(0.5+0.5)

b) Combien y aura-t-il de chocolats et de pralines dans chaque colis ?(1pt)

ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES

Exercice 1 (7pts)

Sur la figure ci-contre, qui n’est pas en vraie grandeur, nous savons que :

 C est un cercle de centre E dont le diamètre [AD] mesure 9 cm.

 B est un point du cercle C tel que AE^ B _60_.

1) Faire la figure en respectant les dimensions données.(1pt+0.5pt) 2) Montrer que le triangle ABD est un triangle rectangle.(1.5pts) 3) Justifier que _AD^ _B30.(1.5pt)

4) Calculer la longueur AB.(1pt)

5) Tracer la droite parallèle à la droite (AB) passant par E. Elle coupe le segment [BD] au point F.

6) Calculer la longueur EF.(1.5pts) .

Exercice 2(5pts)

La figure ci-contre n’est pas en vraie grandeur. On ne demande pas de la reproduire.

SABC est une pyramide telle que :

 La base ABC est un triangle rectangle en B ;

 AC = 5,2 cm et BC = 2 cm ;

 La hauteur [SB] de la pyramide mesure 6 cm.

1) Montrer que : AB = 4,8 cm.(1.5)

2) Montrer que le volume de la pyramide SABC est égal à 9,6 cm³.(1.5pt)

3) On coupe la pyramide SABC par un plan parallèle à sa base pour obtenir une pyramide réduite SA’B’C’ telle que SB’ = 3 cm.

a) Calculer le coefficient de réduction.(1pt)

b) En déduire le volume de la pyramide SA’B’C’ en cm³.(1pt)

B

PROBLÈME

Dans ce problème, les trois parties sont indépendantes.

Partie A (2.5pts)

Une compagnie de transport maritime met à disposition deux bateaux appelés CatamaranExpress et FerryVogue pour une traversée inter-îles de 17 kilomètres.

1) Le premier départ de CatamaranExpress est à 5h45 pour une arrivée à 6h15.

Calculer sa vitesse moyenne en km/h.(1)

2) La vitesse moyenne de FerryVogue est de 20 km/h.

A quelle heure est prévue son arrivée s’il quitte le quai à 6h ?(1.5)

Partie B (5.5pts)

On donne en document annexe les représentations graphiques C1 et C2 de deux fonctions.

L’une d’entre elles est la représentation graphique d’une fonction affine g définie par : 600

100 )

(x  x g

A l’aide du graphique, répondre aux questions suivantes en faisant apparaître les tracés nécessaires à la lecture graphique.

1) Lire les coordonnées du point E.(0.5pt)

2) Quelles sont les abscisses des points d’intersection des deux représentations graphiques ?(0.5) 3) Laquelle de ces représentations est celle de g ? Justifier.(1.5pt)

4) Graphiquement, quelle est l’image de 12 par la fonction g ? Vérifier votre réponse par le calcul.

(0.5+1)

5) Graphiquement, quel est l’antécédent de 1 500 par le fonction g ? Retrouver votre résultat par le calcul.(0.5+1)

Partie C ( 4.pts

La compagnie de transport maritime propose trois tarifs pour un voyage quel que soit le bateau choisi :

 Tarif M : on paie 250 € chaque voyage.

 Tarif N : on paie une carte mensuelle à 600 € auquel s’ajoute 100 € pour chaque voyage.

 Tarif P : on paie 300 € par voyage jusqu’au septième voyage puis on effectue gratuitement les autres traversées jusqu’à la fin du mois.

1) Les prix à payer en fonction du nombre de voyages, avec deux de ces tarifs, sont représentées par les courbes C1 et C2. Indiquer sur votre copie pour chaque courbe, le tarif associé.(0.5+0.5)

2) Sur le document annexe (à rendre avec la copie) où figurent C1 et C2, construire la représentation graphique de la fonction f définie par : ^{f :x}^250x.(1pt+1pt)

3) Par lecture graphique, trouver pour combien de voyages le tarif N est plus avantageux que les deux autres.(1pt)