Algèbre de Lie des champs feuilletés d une extension d un feuilletage de Lie à feuilles denses sur une variété compacte

Algèbre de Lie des champs feuilletés d’une extension d’un feuilletage de Lie à feuilles denses sur une variété compacte

Cyrille Dadi

et Adolphe Codjia

Fundamental Mathematics Laboratory , University Felix Houphouet-Boigny , ENS

08 PO Box 10 Abidjan ( Ivory Coast)

email

:cyriledadi@yahoo.fr , email

:ad_wolf2000@yahoo.fr August 25, 2020

Abstract

Is shown in([3];[4])as any extension of a G-foliationFhaving denses leaves on a compact manifoldM corresponds a Lie subalgebraHofG=Lie(G).

We denote byFH the extension corresponding to the subalgebraH. In this paper we seek to determine the Lie algebra`(M;FH) of transverse foliated vectors …elds of an extensionFH

This study show us that we have

!(`(M;FH)) =fu2 H^?=[u; h] = 0 for everyh2 Hg where! is the 1-form of Fedida ofF.

Résumé

On montre dans([3];[4])qu’à toute extensionF⁰d’unG-feuilletageF c’est à direF F⁰ de Lie ayant ses feuilles denses sur une variété compacte correspond une sous-

algèbre de LieHdeG.

On note parFHl’extension F⁰:

Dans cet article on montre à isomorphisme d’algèbres de Lie près que l’algèbre des champs feuilletésFH transverses`(M;FH)est

fu2 H^?=[u; h] = 0pour touth2 Hg:

12010Mathematics Sub ject Classi…cation: 53C05, 53C12, 58A30

Keywords and phrases : feuilletage, feuilletage ayant ses feuilles denses, extension de feuilletage,feuilletage de Lie, algèbre de Lie, sous- algèbre.groupe de Lie, sous-groupe de Lie

1 Introduction

On montre dans([3];[4])qu’à toute extension d’unG-feuilletage de LieF ayant ses feuilles denses sur une variété compacteM correspond une sous-algèbre de LieHdeG=Lie(G).

On note parFHl’extension correspond à la sous-algèbre de LieH.

Le but de cet article est de calculer l’algèbre de Lie `(M;FH) des champs de vecteursFH-feuilletés transverses:

Pour y arriver on commence par établir que si F⁰⁰ est une extension d’un feuilletage de LieF⁰ayant ses feuilles denses sur une variétéM alors`(M;F⁰⁰)

`(M;F⁰).

Ceci étant, on montre dans cet papier que toutes les informations conser- nant `(M;FH) sont contenues dans l’algèbre de Lie G. En e¤et on établit à isomorphisme d’algèbreS de lie près que

`(M;FH) =fu2 H^?=[u; h] = 0 pour touth2 Hg: Notre papier est divisé en trois parties:

- la première partie est consacrée à l’introduction,

- la deuxième partie est consacrée aux rappels sur les feuilletages et sur les extensions de feuilletages,

- la troisième partie partie est consacrée au calcul de l’algèbre de Lie

`(M;FH)des champs feuilletés tranverses d’une extensionFHd’unG-feuilletage de Lie ayant ses feuilles denses sur une variété compacte correspondant à la sous- algèbre de LieH G.

2 Dé…nitions et Rappels

Dans ce paragraphe, nous réformulons dans le sens qui nous est utile certaines dé…nitions et certains théorèmes qui se trouvent dans ([3];[4];[5];[6] ):

De…nition 2.1 Un feuilletage (M;F) de codimension q sur M est la donnée d’un recouvrement ouvert (U_i)_i2I de M; de submersion f_i : U_i ! T où T est une variété de dimension q et, pourU_i\U_j 6=;, d⁰un di¤ éomorphism

ij :f_j(U_i\U_j) T !f_i(U_i\U_j) T satisfaisant :

f_i(x) = ( _ij f_j)(x) pour toutx2U_i\U_j:

On dit que(U_i; f_i; T; _ij)_i2I est un cocycle feuilleté du feuilletage(M;F) . La variétéT est appelée variété transverse du feuilletage(M;F):

Le quotient

V(F) =T M TF est le …bré transverse du feuilletageF.

L’ensemble des …bres des submersionf_i:U_i!T est le feuilletage F sur U_i il noté(U_i;F).

Le feuilletage (U_i;F) est dit simple et chaque …bre de f_i :U_i !T est une plaque deF dansU_i:

De…nition 2.2 Si T =G est un groupe de Lie connexe et si les _ij sont des restrictions des translations à gauche deGalors, on dit que le feuilletageF est un feuilletage de Lie. On l’appelle aussi un G feuilletage de Lie où G=Lie(G) .

Proposition 2.3 [6]SoitF un G feuilletage de Lie sur une variétéM: Alors il existe:

- un homomorphisme : ₁(M)!G;

- une submersion D:Mf!G, telle que:

i) Le feuilletage relevéFe deF surMfest simple et est dé…ni par la submer- sionD.

ii) Dest équivariante par .

Une autre proposition donnée par FEDIDA avec les formes di¤érentielles est la suivante:

Proposition 2.4 [6] Une structure de G-feuilletage de Lie F sur une variété M est équivalente à la donnée d’une 1-forme di¤ érentielle ! sur M à valeurs dans l’algèbre de LieG deGtelle que:

1) Pour tout x2M, l’application linéaire!_x:T_xM ! G est surjective;

2)! véri…e l’équation de Maurer-cartan d!+¹₂[!; !] = 0;

3) deux 1-forme ! et!⁰ véri…ant ces propriétés sont liées par la rélation

!⁰=ad_g(!); pour un certaing2G:

SiGdésigne l’algèbre de Lie d’un groupe de LieGde dimensionq;Hest une sous- algèbre de Lie deGde codimensionq⁰; e₁; :::; e_q est une base de l’algèbre de LieG telle que e_q⁰₊₁; :::; e_q soit une base deH,! est une 1-forme sur une variétéM à valeurs dansG;relativement à cette base, on a!=

Pq i=1

!ⁱ e_i cela s’écrit aussi!= !¹; :::; !^q :

Sid!+¹₂[!; !] = 0et que!¹; :::; !^q0sont linéairement indépendantes en tout point deM alors le système di¤érentiel!¹=:::=!^q0 = 0dé…nit un feuilletage FH de codimensionq⁰:

Le feuilletage FH ainsi dé…ni est appelé un ^G

H feuilletage dé…ni par la 1- forme!:

Proposition 2.5 [5] SoitFH un _H^G feuilletage sur une variété M; dé…ni par une 1-forme! et soitFeH= FH le feuilletage relevé de FH sur le revêtement universel :Mf!M: Alors, il existe une application di¤ érentiable D: Mf! G transverse pour le feuilletage FG;H des orbites à gauche de H c’est à dire

pour toutxe2 M ; Tf _D(ex)G =T_exD Tx_eMf +T_D(ex)F^G;H et un homomorphisme : ₁(M)!Gtelles que:

(i)Dest équivariant par i.eD( :x) =e ( ):D(ex)où : ₁(M)!Gest un homomorphisme;

(ii) ! =D i.e FeH =D F^G;H où est la forme de Maureur cartan deG:

On dira que D est une application développante sur Mf du _H^G feuilletage FH:

Si la 1-forme! est la 1-forme de Fédida[6]d’un feuilletage de LieF;alors tout application développante de F est aussi une application développante de FH:

De…nition 2.6 Soit(U_i; f_i; T; _ij)i2I un cocycle feuilleté dé…nissant un feuil- letage(M;F)sur une variétéM:

S’il existe une métrique riemannienneg_T sur T invariant par les _ij, on dit queF est un feuilletage riemannien. La métrique riemannienneg_T est dans ces conditions appelée métrique transverse du feuilletage riemannienF:

La métrique transverse g_T et une identi…cation du …bré tangent T M à la somme directe des …brés tangentTF et normal V(F) àF permettent de con- struire une métrique riemannienneg surM ayant les propriétés suivantes:

1) les sous-…brésTF et V(F)sont orthogonaux pourg;

2) pour chaque application f_i : U_i ! T et pour chaque point x de U_i l’application tangenteT_xf_i induit une isométrie de la …bre V_x(F) sur l’espace tangentT_fi(x)(T).

Dans ce cas on identi…eV^x(F)et(TxF)^?où(TxF)^?est l’orthocomplentaire deTxF relativement à la métriqueg.

Une métrique véri…ant les conditions 1) et 2) est dite quasi-…brée relative- ment àF:

L’existence d’une métrique quasi-…brée caractérise les feuilletages rieman- niens[10].

De…nition 2.7 Soit X 2 (M) où (M) est l’algèbre de Lie des champs de vecteurs tangents à la variétéM et (F)l’algèbre de Lie des champs de vecteurs tangents au feuilletageF:

X est dit feuilleté si et seulement si

8Y 2 (F); [X; Y]2 (F) :

L’ensemble des champs feuilletés est noté L(M;F ); c’est une sous-algèbre de Lie de (M):

(F)est un idéal de L(M;F ):On a la suite exacte suivante:

0! (F)! L(M;F)!L(M;F) (F) !0:

Le quotient

`(M;F) =L(M;F) (F)

est appelé l’algèbre de Lie des champs feuilletés transverses au feuilletage F: On remarquera que c’est un sous-ensemble de l’ensemble de toutes les sections du …bré transverse V(F):

On montre dans[8]que les propriétés suivantes sont équivalentes : Proposition 2.8 [8]

i)X est feuilleté,

ii) si ('^X_t )_jtj<" est le groupe local à un paramètre associé àX au voisinage d’un point arbitraire deM; pour

toutt;le di¤ éomorphisme local'^X_t laisse invariantF,

iii) dans tout ouvert simple distingué, de coordonnées locales (x₁;..., x_p; y₁;...,y_q); lesqdernières composantes

deX s’expriment comme fonction des seules variables y₁;...,y_q:

Proposition 2.9 [8]Dans tout ouvert simple distinguéU;un champ de vecteur X est feuilleté si et seulement s’il est projetable en un champ de vecteurs sur la variété quotient localeU

De…nition 2.10 Soitf 2 A⁰(M;F )une fonction di¤ érientiable surM. On dit que f estbasiquepour le feuilletage F si et seulement si 8X 2 (F ),Xf est identiquement nulle .

L’ensemble des fonctions basiques pour le feuilletage F est notéA⁰b(M;F ).

On montre dans[8]que les propriétés suivantes sont équivalentes : i)f est basique,

ii) f est constante sur chaque feuille de F,

iii) dans tout ouvert simple distingué, de coordonnées locales(x₁; :::; x_p; y₁; :::; y_q); f s’exprime comme fonction des seules variables y₁;...,y_q:

On remarquera en particulier que siF admet une feuille partout dense alors toute fonction basique est constante surM.

De…nition 2.11 Une extension d⁰un feuilletage (M;F) de codimension q est un feuilletage (M;F⁰) de codimension q⁰ tel que 0 < q⁰ < q et les feuilles de (M;F⁰)sont des réunions de feuilles de (M;F) (on notera F F⁰).

On montre que si (M;F⁰) est une extension simple d’un feuilletage simple (M;F)et si(M;F)et (M;F⁰)sont dé…nis respectivement par les submersions :M !T et ⁰ :M !T⁰;alors il existe une submersion :T !T⁰ telle que

0= :

On dira que la submersion est une liaison entre le feuilletage (M;F) et son feuilletage extension(M;F⁰):

On montre dans[3]que si le feuilletage(M;F)et son extension(M;F⁰)sont dé…nis respectivement par les cocycles (U_i; f_i; T; _ij)i2I et (U_i; f_i⁰; T⁰; ⁰_ij)i2I

alors on a

f_i⁰= _i f_i et ⁰_{ij j} = _{i ij}

où _s est une liaison entre le feuilletage (U_s;F) et son feuilletage extension (U_s;F⁰):

Avant de terminer cette partie des rappels, nous donnons l’énoncé du théorème de correspondance biunivoque entre les sous-algèbres de Lie de G=Lie(G) et les extensions d’unG feuilletage de Lie ayant ses feuilles denses sur une variété compacte se trouvant dans([3][4]):

Theorem 2.12 ([3][4]) Soit(M;F)un G-feuilletage de Lie ayant ses feuilles denses sur une variété compacte et connexe, d’algèbre de LieG:

Alors:

1-Il y a une correspondance biunivoque entre les sous-algèbres de Lie de G=Lie(G) (ou si l’on préfère entre les sous-groupes de Lie connexes deG)et les extensions deF:

2- Une extension de F est un ^G

H-feuilletage transversalement riemannien à

…bré normal trivial, dé…nie par une 1-forme vectorielle à valeurs dans _H^G. 3- Une extension de F est transversalement homogène (resp:de Lie) si et seulement si le sous-groupe de Lie deGcorrespondant est un sous-groupe fermé (resp. un sous-groupe normal) dansG:

Remarque 2.13 SoitFH une extension d’unG feuilletage de LieF ayant ses feuilles denses sur une variété compacte correspondant à la sous-algèbre de Lie HdeG,Mfle revêtement universel de M, :Mf!M la projection de Mfsur M,D:Mf!G la developpante deF associé à une 1-forme de fedida !; la forme de Maureur cartan de G; FeH le relevé de FH sur Mf, U un ouvert de trivialisation local deMfdistingué à la fois pour F etFH; f

H une submersion dé…nisantFH sur U etU une variété quotient locale deFH surU:

i) Pour x_o 2 M et (xf_o) =x_o; il existe un ouvert Ue_xfo de Mf contenant f

x_o , un ouvert U_e de G contenant l’élement neutre e de G, un voisinage U_xo de x_o distingué pour F et FH et il existe une submersion riémannienne f : U_xo !U_e dé…nissant F sur U_xo et une submersion riemannienne _H : U_e! U representant une liaison entre (Uxo;F) et (Uxo;FH) tels que le diagramme suivant soit commutatif:

Ue_xoe !^D Ue

# %^f # H

U_xo ^f!^H U :

ii) Pour toutXx2TxU_xo;

!_x(X_x) = L_f(x) ¹ f _x(X_x) c’est à dire la di¤ érentielle de darboux def est!:

iii) On a

f x(TxFH) =Lf(x) (H) =TxF pour toutx2U_xo c’est à dire

f(FH) =FUe;H =F H

oùFUe;H est la restriction àUe deF^G;H:

iv) SoitHela sous-algèbre de Lie des champsF-feuilletés transverses associée àH.

TFH=TF He et pour toutXx2TxM;

X_x2T_xFH () !_x(X_x)2 H de plus

!_x(T_xFH) =H et!_x (T_xFH)^? =H^?

v) F étant à feuilles denses, on a pour tous champ de vecteurs X et Y F feuilletés transverses

!([X; Y]) = [!(X); !(Y)]:

vi) ! est une est une isométrie d’algèbres de Lie de G sur l’algèbre de Lie

`(M;F) des champs de vecteursF feuilletés transverses.

vii) pour x2M;

!x: (TxF)^? ! G Xx !x(Xx)

est isonorphisme d’espaces vectoriels et !_x(X_x) est constante pour tout X 2

`(M;F) de plus l’aplication deG dans`(M;F)telle que pourx2M et k2 G

( (k)) (x) = (!_x ev_x) ¹(k)

est une isométrie d’algébres de Lie où pourX 2`(M;F)etevx(X) =Xx on a

1=!;

dans ce qui suit on notera (k) =ekle champ de vecteursF-feuilletés transverses obtenus à partir dek2 G.

viii) SoitX(FH)(resp.X(F)) l’algèbre de Lie des champs de vecteurs tan- gents àFH (resp.F), A¹(M)l’espace des fonctions di¤ érentiables surM etHe l’algèbre des champs de vecteursF-feuilletés transverses obtenus à partir deH:

On a

X(FH) =X(F) A⁰b(M;F) He

oùA⁰b(M;F)l’anneau des fonctions di¤ érentiables etF-basiques.

IX) On a en…n

(TF)^? = (TF)^?\TFH (TFH)^?; Tf(x) Ue =Txf (TxF)^?\TxFH Txf (TxFH)^? ; Txf (TxF)^?\TxFH

?=Txf (TxFH)^? , f x (TxF)^?\ Txf

H =T_f(x)F H

et

f _x (T_xF)^?\ T_xf

H

? = T_f(x)F H

?

3 Résultats principaux

Cette partie est consacrée au calcul de`(M;FH):

Proposition 3.1 Soient FH etFK deux extensions d’un G-feuilletage de Lie F à feuilles denses sur une Variété compacte correspondant respectivement aux sous-algèbresH,K G.

SiK Halors

`(M;FH) `(M;FK ): Preuve. Notons que

X(FK) =X(F) A⁰b(M;F) Ke et

X(FH) = X(F) A⁰b(M;F) He

= X(F) A⁰b(M;F) Ke gK^?_H oùK^?_H est l’orthocomplementaire de KdansH

= X(F) A⁰b(M;F) Ke A⁰b(M;F) gK^?_H

= X(F) R Ke R gK^?_H car toutes les fonctions basiques sont constantes puisqueFH est à feuilles denses Notons aussi que tout champ de vecteures degK^?_HestFK feuilleté transverse

etKe X(FK)

SoitXe 2`(M;FH)et Y 2 X(M;FK):

Ils existentY_F2 X(F),ek2Ke,ke⁰ 2gK^?H; c12R,c22Rtels que h

Y;Xei

= h

Y_F+c₁ek+c₂ke⁰;Xei

= h

Y_F;Xe i

+c1: hek;Xe

i +c2:

hke⁰;Xe i or

h Y_F;Xe

i

2 X(M;FH), hek;Xe

i

2 X(M;FH) (puisque ek2Ke X(M;FH)), hke⁰;Xei

2 X(M;FH)(puisqueke⁰2`(M;FH)etXe 2`(M;FH)) donch Y;Xei

2 X(M;FH)et cela implique Xe 2`(M;FH):Ainsi

`(M;FK) `(M;FH)

Remarque 3.2 Soit FH une extension d’unG-feuilletage de LieF à feuilles denses sur une Variété compacte correspondant à la sous-algèbresH G.

Alors : 1)

`(M;FH) `(M;F) car F=Fh0i eth0i H 2)

` M;Fhhi `(M;F ) pour tout h2 G c arF=Fh0i ethhi H Proposition 3.3 SoitG=Lie(G)l’algèbre de Lie structurale du feuilletage de Lie à feuilles denses F sur une variété compacte, ! une 1-forme de Fedida dé…nisantF,Fhhiune extension de F correspondant à une sous-algèbrehhide G où hhi est la droite généré par hhi, `(M;F) l’algèbre de Lie des camps de vecteuresF-feuilletés transverses et` M;Fhhi l’algèbre de Lie des champs de vecteuresFhhi-feuilletés transverses.

Alors à isomorphisme l’algèbre de Lie! près ` M;Fhhi est fu2 hhi^?= [u; h] = 0 etu?hg

Preuve. SoitF un G-feuilletage de ayant ses feuilles denses, u2 G, h2 G, hui la droite vectorielle engendrée par u;Fhui le feuilletage extension deF correspondant àhuietFhhile feuilletage extension deFcorrespondant àhhi; ! une 1-forme de FEDIDA deF d’application dévéloppanteFet :G !`(M;F) l’isomorphisme linéaire véri…ant8 2 G,8x2M; ( ( )) (x) = (!_x) ¹( ) où

!_x: (T_xF)^? ! G X_x !(X_x)

on note en fait que!xest la restriction de !x à(TxF)^?:On a aussi d’après la remarque 2.13 vii) est une isometrie d’algèbre de Lie et

1

x =!x où x( ) = ( ( )) (x) Montrons maintenant que

! ` M;Fhhi fu2 hhi<sup>?</sup>= [u; h] = 0 et u?hg Soitev2` M;Fhhi et v=!(ev):

Notons avant tout que ev?eh et que eh 2 X Fhhi : D’où le fait que ev 2

` M;Fhhi entraine queh e v;ehi

2 X Fhhi :Or comme

! h

e v;eh

i

= h

!(ev); ! eh i

= [v; h]

et

! TFhhi =hhi: donc

[v; h]2 hhi:

Il résulte de ce qui précède qu’il existe une constantec tel que [v; h] =c:h:etv?hcarve?eh

Considerons maintenant le fait que [v; h] =c:h:pour montrer que [v; h] = 0:

Pour y ariver nous considérons les champs (v) =ev et (h) =ehtel quev?h.

On ave2 X M;Fhvi eteh2` M;Fhvi : D’où

h e v;eh

i

2 X M;Fhvi :Ce qui entraine que [v; h] = h

!(ev); ! eh i

= ! h

e v;ehi

= c:v oùc2Rcar! h

e v;eh

i

2! TFhvi =hvi. Il résulte de tout ce qui précède que

[v; h] = 0 carv?het[v; h] = :het[v; h] =c:v:

Ceci entraine par la suite que

v2 fu2 hhi^?= [u; h] = 0 etu?hg: Ainsi

! ` M;Fhhi fu2 hhi^?= [u; h] = 0 et u?hg Montrons maintenant que

fu2 hhi^?= [u; h] = 0 et u?hg ! ` M;Fhhi

Notons avant de continuer que montrer

fu2 hhi^?= [u; h] = 0 et u?hg ! ` M;Fhhi

revient à montrer que

fu2 hhi^?= [u; h] = 0 etu?hg ` M;Fhhi

Soit v 2 fu 2 hhi^?= [u; h] = 0 et u?h g et montrons que (v) 2

` M;Fhhi :

Pour cela consdéronsY 2 X Fhhi :

CommeFhhi=TF hehialors il existeY_F 2 X(F) et une fonctionFhhi basique tels que

Y =Y_F + :eh:=Y_F +c:eh:

(carF etFhhisont à feuilles denses et est fonctionFhhi basique) [Y; (v)] =

h

Y_F +ceh; (v) i

= [Y_F; (v)] + h

ceh; (v) i

= [Y_F; (v)] + [c: (h); (v)]

= [Y_F; (v)] + [ (c:h); (v)]

= [Y_F; (v)] + ([c:h; v])

= [Y_F; (v)] +c: ([h; v])

= [Y_F; (v)] car [h; v] = 0

Or (u) est F feuilleté transverse donc [Y; (v)] = [Y_F; (v)] 2 X(F) X Fhhi :

D’où

(v)2` M;Fhhi : Ceci entraine que

! ` M;Fhhi fu2 hhi^?= [u; h] = 0 pour touth u?hg: En conclusion, il résulte de ce qui précède que

! ` M;Fhhi =fu2 hhi^?= [u; h] = 0 et u?hg

Theorem 3.4 Soit H une sous-algèbre de lie de l’algèbre de lie G d’un feuil- letage de Lie F ayant ses feuilles denses sur une variété compacte admettant une métrique quasi-…brée de métrique transverse bi-invariante, ! une 1-forme de Fedida dé…nissantF etFH l’extension de F correspondant à H.

Alors:

i)`(M;FH) = \

h2H`(M;F<h>)oùF<h>est l’extension de F correspondant à la sous-algèbre de lie< h >deG engendrée parh:

ii) !(`(M;FH)) H^? où H^? est l’orthocomplémentaire de H dans G par la métrique transverse associée àF.

iii)

!(`(M;F^<h>)) =fu2< h >^?=[u; h] = 0g: iv)

!(`(M;FH)) =fu2 H^?=[u; h] = 0pour touth2 Hg :

Preuve. i) Montrons d’abord que

`(M;FH) \

h2H`(M;F<h>)pour touth2 H:

Pour touth2 H,F<h> FH. D’où`(M;FH) `(M;F<h>)pour touth2 H (remarque 3.2). Et, ceci entraine que

`(M;FH) \

h2H`(M;F^<h>):

Montrons maintenant que

h\2H`(M;F<h>) `(M;FH) Soit

Y 2 \

h2H`(M;F^<h>):

Montrons queY estFH feuilleté transverse.

pour cela on consdère un champ de vecteursX tangent à FH. Comme

X(FH) = X(F) A⁰b(M;F) He

= X(F) R He alors ils existentX_F 2 X(F),eh2He etc2Rtels que

X=X_F+c:eh:

On a

[Y; X] = [Y; X_F] +c:

h Y;eh

i OrY 2 \

h2H`(M;F<h>) `(M;F) car`(M;F<h>) `(M;F)pour touth2 H donc

[Y; X_F]2 X(F) X(FH) de pluseh2 X(F<h>)Y 2`(M;F<h>)par conséquent

h Y;eh

i

2 X(F^<h>) X(FH): Le fait que[Y; X_F]2 X(FH),

h Y;eh

i

2 X(FH)et[Y; X] = [Y; X_F] +c:

h Y;eh

i montre que[Y; X]2 X(FH):

Il résulte de ce qui précède que[Y; X]est tangent àFH:Ce qui montre que Y estFH feuilleté transverse.

Ainsi

h\2H`(M;F<sup><h></sup>) `(M;FH):

En dé…nitive on a

`(M;FH) = \

h2H`(M;F<h>):

ii) Montrons que

!(`(M;FH)) H^?:

Soitek2`(M;FH);on ax!!_x ek(x) est un fonction constante surM carF est de Lie à feuilles denses. On notera pour la suite! ek(x) =k:

Comme ek2 `(M;FH) alors on aek(x)?TxFH: Or !x : TxM ! G est une isométrie donc!_x ek(x) ?!_x(T_xFH):

D’oùk?H. Ainsi

!(`(M;FH)) H^?: iii)Montrons maintenant que

!(`(M;F^<h>)) =fu2< h >^?=[u; h] = 0g:

Soitv2!(`(M;F<h>))etehle champF feuilleté transverse associé àh:

Commev2!(`(M;F<h>))alors il existeev2`(M;F<h>)tel que!(ev) =v:

On a h

e v;eh

i

qui est tangent à F^<h> puisque eh est tangent à F^<h> et ev 2

`(M;F<h>):Par conséquent

! h

e v;eh

i

2!(TF^<h>) =< h >

où< h > est la sous-algèbre de Lie engendrée parh:

De plus, le feuilletage de lieF étant à feuilles denses, on a

! h

e v;eh

i

= h

!(v)e ; ! eh i

= [v; h]: Il résulte de ce qui précède que

[v; h]2< h > :

Notons queev2`(M;F<sup><h></sup>)entrainev?h de pluseh2`(M;F^<v>):D⁰où le fait queve2 X(F<v >)montreh

e v;ehi

2 X(F<v >): Ainsi [v; h] =

h

!(v)e ; ! eh i

=! h

e v;eh

i

2!(TF^{<v >}) =< v >

Le fait quev?h;[v; h]2< h > et[v; h]2< v > entraine que [v; h] = 0

puisque[v; h]est orthogonal et colinéaire aux vecteurs orthogonauxv eth:

Il résulte du fait quev?het [v; h] = 0que

v2 fu2< h >^? =[u; h] = 0g: Ce qui prouve

!(`(M;F<h>)) fu2< h >^?=[u; h] = 0g: Montrons maintenant que

fu2< h >^?=[u; h] = 0g !(`(M;F^<h>)):

Soitb2 fu2< h >^?=[u; h] = 0g,eble champF feuilleté transverse associé àbet X un champ de vecteurs tangent à F^<h>:

Prouvons queeb2`(M;F^<h>):PourX 2 X(F^<h>)il s’agit de prouver que heb; Xi

2 X(F<h>)eteb?TF<h>:

Il existeX_F 2 X(F)et une constantec2R tels que X=X_F+c:eh:

D’où

heb; Xi

= h

eb; X_Fi +h

eb; c:ehi

= h

eb; X_Fi +c:h

eb;ehi

=

heb; X_F i

car 0=[b; h] =! heb;eh

i

Or eb2`(M;F)donc heb; X_Fi

2 X(F) X(F<h>)

eteb?TF<h>. Ce qui montre queeb 2`(M;F<h>) en d’autres termes (b) = eb2`(M;F<h>)c’est à dire

b=!( (b)) =! eb 2!(`(M;F<h>)) Ainsi

fu2< h >^?=[u; h] = 0g !(`(M;F^<h>)): Il résulte de tout ce qui précède que

!(`(M;F<h>)) =fu2< h >^?=[u; h] = 0g: iv) Montrons en…n que

!(`(M;FH)) =fu2 H^?=[u; h] = 0pour touth2 Hg

Il est aisé de voir que

! \

h2H`(M;F^<h>) \

h2H!(`(M;F^<h>)) ( ) car

h\2H`(M;F<sup><h></sup>) (`(M;F^<h>)) pour touth2 H: Etablissons maitenant que

h2H\ !(`(M;F^<h>)) ! \

h2H`(M;F^<h>) : Soit

u2 \_h

2H!(`(M;F^<h>)): Comme u 2 \

h2H!(`(M;F<h>)) alors pour tout h 2 H il existe ue_h 2

`(M;F<sup><h></sup>) tel que !(ueh) = u:Or `(M;F^<h>) `(M;F) pour tout h 2 H donc

e

uh2`(M;F):

! étant un isomorphisme d’algèbre de Lie entre `(M;F)et G.alors il exste u2 Htel que

e uh=ue Il est aiser de voir que

e u2 \

h2H`(M;F<h>):

Et, ceci entraine que

u2! \

h2H`(M;F^<h>) : Ainsi

h2H\ !(`(M;F^<h>)) ! \

h2H`(M;F^<h>) ( ): Il résulte de( )et( )que

h\2H!(`(M;F^<h>)) =! \

h2H`(M;F^<h>) : Par suite en utilisant les égalités

`(M;FH) =_h\

2H`(M;F^<h>) et

! `(M;F_<eh>) =fu2< h >^?=[u; h] = 0g

on obtient

!(`(M;FH)) = ! \

h2H`(M;F<eh>)

= \

h2H! `(M;F<eh>)

= \

h2Hfu2<eh >^?=[u; h] = 0g

= fu2 H^?=[u; h] = 0 pour touth2 Hg:

References

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