EM10 - Ondes électromagnétiques dans le vide
De la même façon qu’une perturbation mécanique peut se propager spontanément dans une corde ou à la surface de l’eau, nous allons montrer qu’une perturbation des champs électriques et magnétiques peut se propager dans le vide, en l’occurence à la vitesse de la lumière... ce qui n’est pas un hasard puisque la lumière n’est rien d’autre qu’une onde électromagnétique.
1 Existence des ondes électromagnétiques (OEM)
1.1 Equations de Maxwell
Les 4 équations fondamentales de Maxwell, résumant l’électromagnétisme, sont : Maxwell-Gauss : div ~E= ρ
o
Maxwell-Thomson : div ~B = 0 Maxwell-Faraday : rot ~~ E=−∂ ~B
∂t Maxwell-Ampère : rot ~~ B =µo~j+oµo∂ ~E
∂t
Dans le vide, c’est-à-dire en l’absence de charge et de courant :ρ= 0 et~j=~0 , elles deviennent donc : div ~E= 0 div ~B= 0 rot ~~ E=−∂ ~B
∂t rot ~~ B=oµo
∂ ~E
∂t
1.2 Equation de propagation des OEM (Question de cours)
Pour obtenir l’équation vérifiée parE~ ou celle vérifiée parB, on applique la même stratégie, fondée sur une~ relation du formulaire sur les opérateurs :
rot(~ rot ~~ E) =grad(div ~~ E)−∆E~
On utilise ensuite successivement les relations de Maxwell jusqu’à obtenir une équation différentielle simple : rot(−~ ∂ ~B
∂t) =grad(0)~ −∆E~
On peut inverser l’ordre des dérivées spatiales et temporelles :rot(−~ ∂ ~∂tB) =−∂t∂(rot ~~ B), d’où
−∂
∂t(rot ~~ B) =−∆E~ Enfin on élimineB~ par Maxwell-Thomson :
∂
∂t(oµo∂ ~E
∂t) = ∆E~ ⇒ ∂2E~
∂t2 = 1 oµo
∆E~
Rq :B~ vérifie exactement la même équation. S’entraîner à la retrouver en partant derot(~ rot ~~ B) =...
On reconnaît une équation de d’Alembert à 3 dimensions, de céléritéc telle quec2=1
oµo. Sachant qu’une telle équation admet des solutions de type ondulatoire progressive (entre autre), ce résultat permet d’affirmer que le champ électrique et le champ magnétique peuvent se propager dans le vide... en d’autre terme que les ondes électromagnétiques existent ! De plus l’expression de la céléritéc des ondes solutions permet de prédire la vitesse à laquelle elles se propagent :
c2µoo= 1 ⇒ c = 1
√oµo
≈ 3.108m/s
1.3 Opérateur laplacien vectoriel
Même si l’équation précédente ressemble fortement à l’équation de d’Alembert que nous avons découverte au chapitre sur les ondes le long des cordes, elle possède une légère différence qui provient de la nature vectorielle de la fonction qui la vérifie. En l’occurence le membre de droite fait apparaître le Laplacien du vecteur E, ce~ qui est à priori impossible vu notre définition du Laplacien (prévu pour digérer un scalaire...), pour rappel :
∆P= ∂2P
∂x2 +∂2P
∂y2 +∂2P
∂z2
En fait nous avons ici affaire à un Laplacien vectoriel, dont l’expression en coordonnées cartésiennes est, pour tout vecteurA~ :
∆A~ =
∆Ax
∆Ay
∆Az
2 Ondes électromagnétiques
2.1 Solutions de l’équation de d’Alembert 3D
Rappel M9 : parmi les solutions d’une équation de d’Alembert "1D", du type ∂∂t2E2~ =c2∂∂x2E~2, il en est qui correspondent à des ondes progressives se propageant selon±~ux.
En généralisant le résultat précédent, parmi les solutions d’une équation de d’Alembert "3D", du type
∂2E~
∂t2 =c2∆E, on va trouver :~
— des ondes progressives se propageant selon n’importe quelle direction~ude l’espace.
— des ondes progressives se propageant dans toutes les directions de l’espace à la fois... si l’on cherche à représenter qualitativement la progression d’une telle onde, on se convainc facilement du qualificatif de
"sphérique" qu’on lui attribue. L’onde sphérique est le modèle d’onde qui s’approche le plus de la réalité, en particulier lorsqu’on cherche à décrire l’onde qu’émet une source peu étendue (comme une ampoule).
2.2 Etude des OEMPPH à polarisation rectiligne
Attention, une onde électromagnétique est décrite par ses DEUX champsE(M, t) et~ B(M, t). D’après les~ équations de Maxwell, l’un ne peut exister sans l’autre.
2.2.1 Onde électromagnétique progressive
Le caractère progressif d’une onde a déjà été défini au M9, il est conditionné par la présence dans l’expression du champ de l’onde d’une variable couplée temps-espace du type :x−ct, t+z/c, ωt−ky, etc.
Rappel : on oppose ondes progressives à ondes stationnaires, pour lesquelles les variables temps et espace sont découplées.
2.2.2 Onde électromagnétique plane
On appelle surface d’onde un ensemble de points de l’espace où le champ de l’onde a la même valeur à un instant fixé. Exemple d’onde :
E~ =E~ .cos(ωt−kx+φ) ; B~ =B~ .cos(ωt−kx+ψ)
A quoi ressemble ses surfaces d’onde ? Pour le savoir, cherchons l’ensemble des points tels que : E~ =cst~ avect=cst ⇔ cos(ωt−kx+φ) =cst avect=cst ⇔ x=cst
Cette équation étant celle d’un plan (cf cours de math), les surfaces d’onde d’une telle onde sont qualifiées de plans d’onde, et l’onde elle-même deplane. On pourrait montrer de la même manière qu’une onde sphérique a des surfaces d’ondes en forme de sphères (elles apparaissent sur les schémas du 2.1).
Toute onde ne dépendant que d’une variable cartésienne est nécessairement plane.
2.2.3 Onde électromagnétique plane progressive harmonique (OEMPPH)
Le caractère harmonique d’une onde a déjà été défini au M9, il s’agit simplement du caractère sinusoïdal du champ. Typiquement :
E~ =E~m.cos(ωt−kx+φ)
avec ω etkles pulsations temporelle et spatiale de l’onde, reliées par la relation ω=kc ⇔ λ=cT.
Etant donné la possibilité qu’ont les ondes électromagnétiques de se propager dans n’importe quelle direction
~
u(vecteur unitaire), il faut bâtir une expression plus générale pour décrire une OEMPPH :
E~ =E~m.cos(ωt−~k.~r+φ) ; B~ =B~m.cos(ωt−~k.~r+ψ) avec ~k=k~u et ~u= direction de propagation (||~u||= 1)
~
r=x~ux+y~uy+z~uz décrit la position du point quelconque où on observe l’onde. Ainsi dans le cas où l’onde se propage par exemple selon +~ux, on retrouve l’expression habituelle :
E~ =E~m.cos(ωt−~k.~r+φ) =E~m.cos(ωt−k~ux.(x~ux+y~uy+z~uz) +φ) =E~m.cos(ωt−kx+φ)
2.2.4 Onde électromagnétique plane progressive harmonique à polarisation rectiligne
Le caractère vectoriel des champsE~ (et B) décrivant une onde électromagnétique introduit une nouvelle~ variété d’ondes, classés en fonction du comportement de la direction des champs E~ (etB) au cours du temps,~ appeléétat de polarisation de l’onde.
Polarisation d’une onde EM = direction du champE~ (6= direction de propagation~u...)
En l’occurence nous n’étudierons qu’une seule possibilité, celle dite de la polarisation rectiligne, pour laquelle la direction des champsE~ (etB) est constante. En fait, une onde décrite par~ E~ =E~m.cos(ωt−~k.~r+φ) possèdera une polarisation rectiligne siE~m=cst, ce qui était implicite dans la notation...~
Polarisation rectiligne = direction deE~ (donc de E~m) constante au cours du temps.
2.2.5 Critique du modèle de l’OEMPPH à polarisation rectiligne Discutons de la pertinence du modèle de l’OPPH à polarisation rectiligne :
— plane : dans les faits toutes les ondes sont sphériques au voisinage de leur point d’émission. Cependant, si on l’observe loin de sa source, une onde apparait localement plane, ce qui rend l’hypothèse acceptable :
— harmonique : le caractère sinusoïdal pur de l’OPPH implique pour l’onde de vibrer à une pulsation ω unique parfaitement définie, ce qui est impossible en pratique (même un laser émet sur une bande de fréquence et non pas à une seule fréquence). De plus, une fonction du type cos(ωt−kx) décrit un phénomène qui n’a ni début, ni fin... cette infinité temporelle rend l’OPPH non réaliste.
Pour autant la théorie de Fourier assure que toute fonction peut être décomposée en une superposition de fonctions sinusoïdales. Ainsi l’OPPH est une onde élémentaire non réaliste qui permet de recréer par combinaison des ondes qui le sont.
— à polarisation rectiligne: la plupart des OEM n’ont pas cet état de polarisation, en particulier la lumière émise par des phénomènes naturels. Néanmoins, c’est une fois encore la possibilité de créer des ondes de polarisations quelconques par superposition de 3 ondes à polarisation rectiligne (selon~ux,~uy et~uz) qui donne du sens à notre démarche.
2.3 Notation complexe et comportement des opérateurs
On travaille souvent avec les OPPH en notation complexe :
E~ =E~m.cos(ωt−~k.~r+φ) ⇔ E~ =E~m.ej(ωt−~k.~r)
Comme toujours avec les complexes, les dérivées deviennent simplissimes. Les opérateurs étant constitués de dérivées, il convient de "sentir" les résultats suivants (a priori HP...) :
avec A~ =A~m.ej(ωt−~k.~r) : ∂ ~A
∂t =jω~A ; div(A) =~ −j~k.~A ; rot(~ A) =~ −j~k∧A~ ; ∆A~ = (−j~k)2.~A
2.4 Structure de l’OEMPPH dans le vide
Les équations de Maxwell imposent leur structure aux OEMPPH. Construisons la par étape.
- Maxwell-Gauss :div ~E= 0 ⇔ (−j~k).~E= 0 ⇔ ~u.~E= 0 ⇔ E~ ⊥~u - Maxwell-Thomson :div ~B= 0 ⇔ (−j~k).~B= 0 ⇔ ~u.~B = 0 ⇔ B~ ⊥~u
Ainsi les deux premières équations de Maxwell imposent aux champs (E, ~~ B) de l’onde d’être orthogonaux à sa direction de propagation. On dit quel’OEMPPH est transversale.
- Maxwell-Faraday :rot~~ E=−∂ ~∂tB ⇔ −j~k∧E~ =−jω ~B ⇔ ~k∧E~ =ω ~B ⇔ B~ = k~u∧ωE~ Sachant de plus queω=kc, on obtient :
B~ =~u∧E~
c , relation permettant de déduireB~ deE~ dans le cas d’une OEMPPH dans le vide
- Maxwell-Ampère : donne le même genre de relation que précédemment mais permettant cette fois de déduireE~ deB. A faire chez vous.~
Synthèse résumant l’ensemble des propriétés de structure d’une OEMPPH dans le vide :
(~u, ~E, ~B) forment un trièdre orthogonal direct. On peut donc trouver la direction de l’un de ces trois vecteurs grâce aux deux autres via les 3 doigts de la main droite. De plus, en norme on a :
B =E/c
En cas de doute sur les conditions de validité (OPPH, vide), mieux vaut revenir à Maxwell- Faraday pour déduireB~ de E...~
2.5 Spectre des ondes électromagnétiques
Le WiFi, la lumière, les "infrarouges", les ondes hertziennes, les rayons X,... ne sont rien d’autres que des ondes électromagnétiques de fréquence différente. Elles sont arbitrairement classées en domaines (cf ci-après).
Vous devez connaître leur nom + position approximative et être capable de citer une application pour chacun d’eux.
L’être humain n’est sensible qu’aux OEM de certains domaines de fréquence : les cônes et bâtonnets tapissant la rétine les détectent dans le visible, les mélanocytes réagissent au rayonnement UV, tandis que les cellules du corps en général captent les infrarouges. L’ADN et les molécules en général sont sensibles au rayons X etγ.
Les OEM peuvent également être décrites par des particules sans masse appeléesphotons, dont l’énergie cinétique dépend de la fréquence de l’OEM via la formule de Planck-Einstein (pas à savoir) :E =h.f, avech la constante de Planck.
3 Aspect énergétique
3.1 Rappel
On sait que l’existence d’un champ électrique ou magnétique dans un volume d’espace est associée à une énergie potentielle, dont la densité volumique s’écrit :
densité volumique d’énergie électromagnétique =eem =1
2oE2+ 1 2µo
B2 avec E2=E~2...
3.2 Vecteur de Poynting
Faisons un bilan d’énergie électromagnétique afin de retrouver une relation analogue aux équations de conservation de la masse ou de la charge. En effet, dans le vide, l’énergie électromagnétique ne peut être ni créé, ni annihilé (pas d’effet Joule possible puisque pas de charge) mais seulement échangée. La variation d’énergie EM dans un volumedτ entre deux instants proches est donc égale à ce qui y est entré algébriquement pendant cet intervalle.
Considérons un volumedτ, sa variation d’énergie EM entretet t+dt est : dτ.eem(t+dt)−dτ.eem(t) =dτ∂eem
∂t dt=dτ dt(oE~∂ ~E
∂t + 1 µo
B~∂ ~B
∂t)
La suite de la démonstration n’est pas triviale, il s’agit d’exprimer les dérivées avec des relations de Maxwell puis d’exploiter une relation du formulaire :
∂eem
∂t =oE~∂ ~E
∂t + 1 µo
B~∂ ~B
∂t = 1 µo
E. ~~ rot ~B− 1 µo
B. ~~ rot ~E=− 1
µo.div(E~ ∧B~) ⇒ ∂eem
∂t +div(
E~ ∧B~ µo ) = 0 On retrouve alors une équation de conservation analogue à ∂ρ∂t +div(~j) = 0 (conservation de la masse ou de la charge), avec eem jouant le rôle de ρpour l’énergie électromagnétique (c’est-à-dire de densité volumique), ce qui permet d’identifier le "~j" de l’énergie électromagnétique (c’est-à-dire la densité de flux d’énergie électroma- gnétique échangée) avec E∧~µB~
o .
On appelle vecteur de Poynting, la densité de flux d’énergie électromagnétique ou plus simplement la puissance électromagnétique échangée/transportée parm2 :
~π= E~ ∧B~
µo
[π] =W/m2 NB : on pourrait le noter plus judicieusement~jem...
Pour obtenir la puissance électromagnétique traversant une surfaceS, on procède comme avec~jth : Pem=
¨
S
~π. ~ds =
souvent|{z}
πS
3.3 Cas de l’OPPH (Question de cours)
3.3.1 Puissance transportée
Quelle puissance transporte une onde électromagnétique ? Dans la plupart des exercices l’onde en question sera une OPPH bornée spatialement dans un faisceau. Exemple d’un laser :
Faisceau laser et sa modélisation en OPPH
D’après le schéma l’OPPH s’écrit en complexe :E~ =Em.ej(ωt−kx)u~y, en prenant E~ à l’origine des phases.
D’après 2.4, puisqu’on étudie une OPPH, on peut en déduire l’expression du champ magnétique : B~ =~ux∧E~
c = Em
c .ej(ωt−kx)~uz
ATTENTION : ne jamais utiliser les complexes pour évaluer les grandeurs énergétiqueseem et~π car ce sont des grandeurs non linéaires... ExprimerE~ etB~ en réels.
On a ici :E~ =Emcos(ωt−kx)~uy etB~ = Ecm.cos(ωt−kx).~uz Le vecteur de Poynting associé à cette onde EM vaut :
~ π=
E~ ∧B~ µo
=Em2
µoccos2(ωt−kx)~ux
Premier résultat remarquable et rassurant :~πest orienté dans la direction de propagation de l’onde. Il semble en effet logique que la puissance transportée par l’onde le soit dans la direction où elle se propage...
Ensuite on passe souvent à la valeur moyenne, il suffit alors de se rappeler que<cos2(...t)>= 1/2 :
< ~π >= Em2 2µoc~ux
Enfin on peut exprimer la puissance moyenne propagée par le laser à travers son faisceau tout entier : P =
¨
S
~ π ~ds=
¨
S
π.ds ⇒ < P >=
¨
S
< π > .ds=
¨
S
Em2
2µoc.ds=SEm2 2µoc
En l’absence de précision dans un énoncé, une puissance de valeur constante est implicitement la puissance moyenne.
3.3.2 Densité volumique d’énergie
En exploitant le fait queB =E/cpour une OPPH, on simplifie trés vite l’expression deeem : eem= 1
2oE2+ 1 2µo
B2= 1
2oE2+ 1 2c2µo
E2= 1
2oE2+1
2oE2=oE2 En moyenne on obtient :< eem>=< oEm2 cos2(ωt−kx)>= 12oEm2
