U N E CLASSE DES PROCESSUS DE R I S Q U E ET L E U R A L G O R I T H M E DE R E S O L U T I O N
~ED. FRANCKX B r u x e l l e s
§ I . LA CLASSE DES PROCESSUS DE RISQUE DISGRETS
A) Le probl~me du ehoix des bases' actuarielles
A l'encotltre de la thdorie classique de l'assurance collective, qui s'int6resse plus particuli~rement attx probl~mes asymptotiques, Its praticielas de l'assurance ,,non life" et les autoritds de contr61e souhaitent disposer d'une mdthode effective de calcul permcttant de chiffrer la valeur rfielle des probabilitds de ruine dans un avenir plus ou moins rapproch~.
Telle fat la remarque de notre coll~gue Bichsel au colloque d'ASTIN en 1967 ~t Arnhem. Darts le 1)tdletin des Actuaires Suisses nous avons publid deux notes sur ,,une thdorie opdrationnelle du risque". A la base se trouve l'emploi des processus markoviens discrets. Ces dtudes prolongeaient un premier essai, expos6 5.
l'Universit6 de Trieste en t963; une confdrence donnde ~k Tel Aviv en 1967 d6veloppait le meme th6me. Dans un autre domaine, celui de la Recherche Opdrationnelle, les ingdnieurs utilisent depuis long- tenlps les mfimes processus de Markov pour dtudier, par la dyna- mique stochastique, l'dvolution d'un syst~me al6atoire.
Au colloque d'ASTIN de 197o, le professeur ]3orch a prdsent6 une note qui dtait tr&s voisine de nos conceptions. Toutefois nous dif- fdrons sur un point essentiel et d'aiileurs tr~s comprdhensible. Les conditions compdtitives du marchd imposent des restrictions, des contraintes compl~mentaires quc Borch exprime sous la forme d'un principal gfin~ral d'dquivalence. I1 lie les primes encaissdes et les risques couverts.
Sur le plan thdorique ce principe n'est pas ,,indispensable". Le supprimer revient ~ introduire l'inddpendance du ,,risk-process"
et du ,,premium-process". Fait surprenant, l'extension ainsi in- troduite permet de faire une synth~se entre les deux domaines
7
10 4 U N E CLASSE DES PROCESSUS DE R I S Q U E
aussi distincts que l'assurance viag~re et non viag~re. Nous avons d6velopp6 ces iddes 5. Randers sans entrer darts le d6tail des calculs.
La note pr~sent6e au Congr~s a pour obiectif de pr~ciser le point de vue, mais s u r t o u t de prouver qu'un seul et mdme algorithme, susceptible d'dtre mis sur ordinateur permet de chiffrer les rdsultats en pratique.
L a pr6sentation formelle de la note est v o l o n t a i r e m e n t syst6ma- tique. Elle a pour b u t de m e t t r e en lumi~re la g6n6ralitd et la souplesse du mod~le admis. Ce dernier nous semble a d f q u a t pour ,,structurer" l'ensemble des opdrations actuarielles sur le plan pratique. II constitue un choix de bases actuarielles. Mais il doit 6tre e n t e n d u t~ priori que nous n'affirmons pas que la classe des processus considdr6e est la plus g6n6rale, loin de 1~. Cependant t o u t actuaire apprend que la th~orie la plus g6nfrale des opfrations viag~res exige le continu et le m a n i e m e n t d'intfgrales. Mais t o u t actuaire salt, d'exp6rience personnelle, qu'en pratique il ne calcute jamais une int6grale et que la ,,vraie" solution du ,,m6tier" est donn6e par le procfd6 discontinu des c o m m u t a t i o n s de Davies. C'est 1~ que get la diffdrenee entre le praticien et le thdoricien. E t cette difference s'ac- centue encore par l'utilisation des orclinateurs ou les donndes discr~tes sont d'absolue nfcessit6.
T o u t mod~le doit pouvoir se raisonner. I1 doit p e r m e t t r e d ' f t a b l i r des pr6visions. Mais il dolt ~tre efficient, c'est-5.-dire servir tt chiffrer des risques. En derni~re analyse c'est souvent cela q u ' o n exige de l'actuaire.
]3) La classe des processus stochastiques discrets I. L e s d o n n 6 e s
a) Nous utiliserons le language des processus temporiels discrets.
L a variable principale est le temps t, il conditionne routes les op6rations d'assurance.
Les opdrations commerciales puss&dent le caract&re ,,r@6titif".
P o u r chaque ensemble de contrats l'assureur fait le bilan fin d'exercice. Cela conduit 5. consid6rer le temps t comme une variable discrete :
- - p r e n a n t les valeurs o, I, 2, . . . k, k + I
- - imposant l'intervalle (k, k + z) comme k ~ exercice.
-- fixant le temps o, comme temps initial.
UNE CLASSE DES PROCESSUS DE RISQUE Io5 b) I °) Quel que soit l'exercice k, nous a d m e t t o n s a priori qu'il e x i s t e une variable ,,globale" (ou collective) Xe, qui ddfinit les possibilit6s al6atoires de p a y e m e n t de l'assureur. C'est le ,.risk p r o c e s s " .
Nous supposons connus les nombres:
t
p~ = prob du p a i e m e n t de i unitds mondtaires au cours!du k e exercice 1 (I)
l
avec p~ > / o Z p~ = I.Le processus de risque comporte la donn~e a priori de la suite des variables
Xl X2 . . . X~ . . . (2) C'est la p r a t i q u e ou le probl&me de recherche scientifique qui sp6cifie cette suite. L a thdorie des processus de risque dolt 6tre valable quelle que soit la n a t u r e particuli6re de cette suite.
2 °) De m&ne au cours du k e exercice, l'assureur constate ou s ' a t t e n d ~ un encaissement global M k. Peu importe le m o m e n t de l'encaissemcnt. En vie, on le suppose en m o y e n n e au milieu de l'exercice; cela afin de tenir comptc du facteur d'int~rfit. Sur le plan du risque put, le m o m e n t est indiff6rent et nous sup- poserons d.ans la suite que cet encaissement a lieu globalement d f b u t exercice. 0~1 se r e n d r a compte que cette hypoth6se ne nuit en rien h la gdndralit6 de la m f t h o d e .
En bref, un processus de risque comporte la donn6e a priori de la suite des encaissements: le ,,premium process".
Mo M1 . . . M k . . . (3) c) Enfin comme dans t o u t probl~me mficanique ou physique, il y a lieu de fixer les conditions initiales. Le joueur, l'organisme d'as- surance qui s'engage, poss~de une fortune personnelle f, et nous la supposons a priori non ndgative f > / o .
II. L e j e u
Sous l'effet superpos6 du ,,risks process" (2) d ' u n e part, du ,,premium process" (3) d ' a u t r e part, la fortune propre de l'assureur va subir des fluctuations. Son dvolution est de n a t u r e essentiellement stochastique.
lO6 U N E C L A S S E D E S P R O C E S S U S D E R I S Q U E
Le ph6nom6ne r6pfititif qui c o n d i t i o n n e le jeu, consiste h 6tablir le bilan fin d'exercice et d ' a c c e p t e r la r~gle de ddcision uniforme suivan te :
ou bwn la f o r t u n e de l'assureur est non n6gative; alors on engage unc nouvelle p a t t i e sur l'exercice qui suit,
ou bien la f o r t u n e de l'assureur d e v i e n t udgative; dans ces con- ditions le jeu se t e r m i n e et l'assureur est ddclar6 ,,ruin6".
[II. L e p r o b l 6 m e h r d s o u d r e
a) L a variable aldatoire ,,flat du systkme"
Quel que soit l'exercice k, ddbut d'exercice c'est-h-dire au t e m p s k, l ' , , 6 t a t " de ta f o r t u n e du j o u e u r est
ou bien l'dtat de ruine c,., (quand on est ruin6 on reste ruin6)
ou bien it n ' a p p a r t i e n t pas h l'dtat de ruine et dans ce cas la f o r t u n e est non ndgative: o , I , 2 . . . . ] > o . . . exprim6 en unit6s naon6taires.
L ' e n s e m b [ e des dtats clu syst6me aldatoire qui reprdsente la f o r t u n e de l'assureur scra
0~; O, 1 , 2 , . . . j . . .
et c e i l induit l'existence d ' u n e variable aldatoire ,,6tat" no%e Yk, qui ddfinit les possibilit& de la f o r t u n e de l'assureur, d d b u t du le e exercice.
Y~ Y 2 . . . Y ~ . . . (4)
lavec • 0': 0o ..
{0: >
o > o 0 : + = i(5)
P a r ddfinition, la suite des variables al_~atoires Y i . . . Y e . . . d6finit le ,,state process".
b) D i s lors le probl~me gdndral de la d y n a m i q u e s t o c h a s t i q u e ap- pliqud au fonds mondtaire disponible p o u r l'assureur p e u t s'dnoncer colnme suit :
Q u d s que soient les trois dldmenls constztutifs d ' u n processus de risque discrel.
UNE CLASSE DES PROCESSUS DE RISQUE 10 7 I °) la f o r t u n e f.
2 ° ) le ,,risk process" Xo X1 X2 . . . X~ . . . (I) 3 °) le , , p r e m i u m processus" Mn 21,/~ . . . M a . . . . (2)
On demande de ,,calculer" la suile de variables {Yk} qui ddfinissent le ,,slate process".
S i c e probl&me g4n4ral a d m e t une solution, on c o n s t a t e r a qu'ipso f a c t o on zura la solution n u m 4 r i q u e du probl~me de la ruine, qui n ' e s t q u ' u n aspect du state-process. Car si le ,,state process" est connu, on obtimlt, en particulier, la suite des probabilitds:
...
qui donrte pr4cisdment les probabilit6s de ruine apr6s I, 2 . . . k exercices . . . Mais ce n'est lit q u ' u n seul sous-produit de la m 6 t h o d e gdndrale. On c m l s t a t e r a qu'il y e n a d'autres. C'est utile si nous voulons faire une synth~se de d o m a i n e life et non life.
§ 2, L E THI~OR~ME DE L'ALGORITHME OU LE PRINCIPE DE SUPERPOSITION
A)
Le principe de la superposition des effets exterieurs
a) Ce thdor~me constitue le point central de la COlmnunication.
I1 d o m i n e t o u t e la th4orie des processus de risque ddfinis au p a r a - g r a p h e prdc4dant.
Aussi convient-il a v a n t de ddvelopper la d d m o n s t r a t i o n que nous dormions une idde concrete de son contenu.
Nous nous t r o u v o n s d e v a n t un probl&me itdratif, de d y n a l n i q u e stochastique. Nous connaissons la s i t u a t i o n initiale, la f o r t u n e de l ' a s s u r e u r au teml)s initial. C'est une dormde (dans c h a q u e cas particulier) (un p a r a m ~ t r e dans le cas gdndral).
R4soudre le probl~me itdratif consiste 5
,,fixer les ragles"
qu'il suffit de suivre a v e u g l d m e n t (el p a r suite q u ' u n o r d i n a t e u r exdcu- t e r a servilemertt) p o u r passer de la variable d ' d t a t q u e l c o n q u e Yk h la variable d ' d t a t s u i v a n t e Ye+l. L ' e n s e m b l e de ces r6gles constitue l ' a l g o r i t h m e g4n4ral de rdsolution.z °) il d o n n e r a la solution quel que soil le processus particuUer de la classe consid4r4e; il est donc
umformdmenl a15plicable
et rdsoud t o u t probl&me de ruine.2 °) il constitue un algorithme, au sens moc[erne du mot, car les instructions & e x 6 c u t e r sont en
hombre fi~2i.
I O 8 UNE CLASSE DES PROCESSUS DE RISQUE
Tel est le sens prfcis que nous a t t r i b u o n s ~. la m 6 t h o d e de r6solu- tion que nous appelons ,,le thdor6me de l ' M g o f i t h m e " .
b) Mais il y a plus. Le th6or6me de l ' a l g o r i t h m e m e t en lumi6re que le passage de la variable d ' 6 t a t Yk 5. la variable d ' 6 t a t Yk+t, p e u t se faire
s@ardment en deux stades ind@endants.
I1 r6sulte de lasuperposilion de de~tx transformations successives."
- - la premi6re ne t i e n t c o m p t e que du premier f a c t e u r d'influence;
le p a y e m e n t de la p r i m e globale ]Ilk du
k e
exercice.-- la seconde fait i n t e r v e n i r u n i q u e m e n t le deuxi6me f a c t e u r d'in- fluence, le p a y e m e n t a l f a t o i r e des sinistres, ddffni p a r Ia variable risque X e de marne exercice.
C'est ce r6sultat f o n d a m e n t a l que nous appelons le principe de superposition des effets e x t f r i e u r s ; l'un et l ' a u t r e effet ne d 6 p e n d e n t pas de l'organisme d'assuranee, d6s que nous s u p p r i m o n s l'action de principe d ' d q u i v a l e n c e de Borch, ils c o n s t i t u e n t des causes e x t f r i e u r e s /1. l'organisme. L a premi6re t r a n s f o r m a t i o n rk, a u r a p o u r o b j e t de dffinir une variable aldatoire intermddiaire
Yk,
telle q u ' a u p o i n t de v u e f o a c t i o n n e l on ait:~'~ = ~ 0 % ; Mk) (~)
La deuxi6me t r a n s f o r m a t i o n q~k, p e r m e t t r a de passer de la variable interm6diaire Y~ h la nouvelle variable d ' 6 t a t Yk+t; nous noterons
Yk+~= ~ ( k; f~ Xk) (~)
L a superposition de ces d e u x t r a n s f o r m a t i o n s d o n n e la solution du probl6me it4ratif.
c) N o t o n s p o u r finir une diff6rence essentieUe e n t r e tes d e u x t r a n s f o r m a t i o n s successives
- - la premi6re est une
pseudo-translalion,
elle a p p a r t i e n t au d o m a i n e des t r a n s f o r m a t i o n s certaines ou d f t e r m i n i s t e s .-- la seconde p a r c o n t r e est une
transformation markovieune
; elle est trhs partieuli6re mais elle a p p a r t i e n t t o u j o u r s au d o m a i n e des t r a n s f o r m a t i o n s stochastiques.Ainsi se t r o u v e
ddcomposde
l'6volution s t o c h a s t i q u e de la f o r t u n e de l'assureur. Nous p o u v o n s dortc 6noncer leprincipe gdndral de la
dynamique stochaslique des processus de risque.
U N E CLASSE DES PROCESSUS DE R I S Q U E lO9 Quel que soil le stade alteint, au cours du nouvel exercice, l'dvolution de la fortune de l'assureur est toujours le rdsullat successif d'une pseudo-translation, suivie d'une transformation markovienne.
De plus, la premikre transformation ne ddpend que de l'encaissement de l'exerciee, la seconde transformation ddpend unique-
ment des risques acceptds au cours du mgme exercice.
I1 nous reste m a i n t e n a n t h dnoncer et h justifier ce principe g~n6ral.
B) Les regles de l'algorilhme
Quels que soient les trois 616ments variables d ' u n processus de risque, le passage d ' u n e variable d ' 6 t a t Yk h la s u i v a n t e Yx+a s ' o b t i e n t en s u i v a n t les 3 r&gles ci-apr~s:
R~gle 2".
Q~ Qo . . - Q f . . . Q~ on i~ltroduit entre Si Yk est d~fini p a r la suite x J:
Q~ et Q0 ~ a u t a n t de z6ros qu'il y a d'unit6s mon6taires clans Mk. On d6finit de la sorte la variable intermddiaire ~7~ ,/tat aprks encaisse- ment des primes Mb; elle est d6fini p a r la suite:
o o . . . o Q o . . . ( 5 )
M k
C o m m e Qo ~ reste en place, ce n'est pas uue t r a n s l a t i o n pure, mais u n e pseudo translation qui d6place u n i f o r m 6 m e n t tous les t e r m e s de la suite Ye, saul le premier.
Regle 2.
A p a r t i r de la variable X k du nouvel exercise on c o n s t r a i t le a) t a b l e a u dit t a b l e a u des " r e s t e s " , qui c o m p o r t e deux lignes
l
p o p C . . .ro ~ = I r~ . . . r f a v e c r ~ = Z p o k
(6)
les restes r~ = prob d o m m a g e global du k e exercice a t t e i g n e au moins l
I I O U N E CLASSE DES PROCESSIJ'S D E R I S Q U E
b) la matrice de Markov de l'exercice h.
- ~ ~ ~ . . . ~ . . . o ~o ~ ~ ~ _ ~ p~ . . .
o o ... -..
(7)
o o . . . " ~ >~ . . . ou ]a premi6re ligne k la l[gne des testes du t a b l e a u prde~dcnt.
its ligncs suivalCtcs reproduisent la prcmihre ligne du tableau des testes mais translatdcs d ' u n rang vers la droite; on compl6te par des zdros.
Cette matrice n o n ndgative [Mz.] d o n t routes Its colom~es poss~dent la prol)ri4td que la somme de termes d'tule m~me co]mute esfi tou- jours unitaire est donc une
malrice "markowem~e,
mais tr[s particu- li6re puisqu'elle est de pluslriang,ulaire.
R~gle
3.On effectue la
lra~zsfor~nalio~ tab2daire
de la variable interm6diaire Y~ par la matrice Markovienne [;lirz,:] et on obtient la nouvelle variable 4tat Y~+~.eo ~ ÷ l =
i
i
q~ o ... o q~ q~ . . .
i ,~ ~ . . . , L ÷ ~ , L + ~ . . .
o ~o ~ ~ . . . ~ , ~ + ~ # L + . .
... (8) Ce]a suppose qu'en
ligne opdraliom~elle supdrieure Yk,
on i n t r o d u i t l e s c o n s t i t u a n t s de la variable al6atoire iixterm6diaire, fix6e par la r 6 g l e i .UNE CLASSE DES PROCESSUS DE RISQUE I l l
On effectue la multiplication ,,ligne p a r ligne" de la ligne opdra- tionnelle p a r toutes les lignes de la m a t r i c e de M a r k o v (indiqu6 p a r la fl&che).
On o b t i e n t c o m m e , , o u t p u t " en colonne opdratiomwlle Yk+~, les c o n s t i t u a n t s de Ye+,.
E n particulier, le p r e m i e r dl6ment q~ + t d o n n e la valeur n u m 6 r i q u e de la probabilit6 de ruine 5~ la fin du k e exercice.
c) L a j u s t i f i c a t i o n des r~gles.
Elle est ~Idmentaire. Au h e exercice uous disposons d ' u n e variable c o n t r a d i c t o i r e Xk. On p e u t p a r suite calculer la probabilitd d ' a t - teindre u n dtat q u e l c o n q u e ~, o, i . . . fin d'exercice, en ddcom- p o s a n t p a r r a p p o r t h t o u t e s les valeurs possibles du t o t a l des sinistres Xk de cet exercice.
I1 suffit donc de p r o u v c r q u ' e n e x d c u t a n t la multiplication ligne p a r ligue, nous effectuons bien c e t t e ddcomposition prdvue p a r r a p p o r t h X~, variable spdcifique du risk-process.
I1 en est bien ainsi car:
q0rlw~+l + qlrM,+L • " • + q i r M ~ : ~ + t + • ' ' (9) dorme bien la s o m m e des probabilit4s de diff6reutes mani~res d ' a r r i v e r h l'dtat de ruine fin du k c exercice.
- - le p r e m i e r t e r m e nous dit que si l'assureur est ruind, iI le reste.
-- le second indique que si sa f o r t u n e est nulie au d @ a r t du k e exercice et s'il encaisse la p r i m e globale Ma:, il sera ndanrnoius ruind s'il ddbourse plus que M~.
-- err g6ndral le
(i
+ i) e t e r m e que c'est une mani&re d ' e t r e ruin6 que de c u m u l e r au d @ a r t i + Mk, mais de subir des pertes supdrieures h e e m o n t a n t disponible.Cette s o m m a t i o n reprdsente bien q2+ J De m~me
k ~ k ~ qkpk (IO)
qoPm~ + q~Pm~+, • . . . * M~+, + . . .
reprdsente la s o m m e des probabilit6s des diffdrerttes mani~res d ' a t t e i u d r e urle f o r t u n e nulle fin d'exercice, c h a q u e mani~re sup- p o s a n t que It disponible
(Me + i)
est consomm6 p a r le d o m m a g e pay6.112 UNE CLASSE DES PROCESSUS DE RISQUE
E n t r a n s l a t a n t s y s t ~ m a t i q u e m e n t la deuxi~me ligne de [Mk] d ' u n rang, le m~me r a i s o n n e m e n t p r o u v e que l'on a les probabilit6s des diffdrentes mani~res d ' a t t e i n d r e fin d'exercice la f o r t u n e I, 2 . . . . etc.
Ce r a i s o n n e m e n t g6n6raI justifie la validit6 de l ' a l g o r i t h m e et ipso facto le principe de superposition.
E n fait l ' a s t u c e de ce p a r a g r a p h e ne r6side pas darts la d~monstra- tion, mais dans la ddcompositJon et la codification des opdrations/~
effectuer.
R~gle initiale.
A cet ensemble de 3 r~gles, qui c o n d i t i o n n e la m ~ t h o d e it6rative, il f a u t p o u r m e t t r e le proeessus de calcul en r o u t e fixer la premiere suite A i n t r o d u i r e en ligne op6rationnelle. Elle dolt r e p r d s e n t e r le disponible au d6part. Or ce dernier v a u t le c m n u l de la f o r t u n e initiale fo et du p r e m i e r encaissement 2110 p a r suite, on m e t t r a en ligne op6rationnelle la suite:
o o o . . . o oo . . .
( i i )
fo + Mo
Le p r e m i e r zdro e x p r i m e q u ' a u d 6 p a r t q0 = o, le jeu est possible, l ' a s s u r e u r n ' e s t pas ruin6.
§ 3. LES APPLICATIONS DIVERSES A) Les probl~mes non life - - thdorie de la solvabilitd
a) U n des buts essentiel poursuivi dans c e t t e 6tude 6tait c o m m e nous l'avons dit au § I A, de r6soudre n u m 6 r i q u e m e n t ]e probl~me de la ruine sur urt horizon limit6.
Ce b u t est r6alis6 p a r l ' a l g o r i t h m e g6n6ral.
N o t o n s s i m p l e m e n t les donn6es d u probl~me prirmipal des as- surances non life, le probl~me stalionnaire. Ce dernier suppose:
a) une f o r t u n e initiale f.
b) urt risque a n n u e ! invariiant, donc le ,,risk process"
X -~ Xo = X t . . . . Xk . . .
nous d6signons p a r E~ la valeur m o y e n n e de c e t t e variable globale.
UNE CLASSE DES PROCESSUS D E R I S Q U E 113
c)
u n encaissement annuel invariant, donc le ,,pre- m i u m process"{M = M~ . . . . M~c . . . E ( I + k) = E ~ xE 6tant le chargement de sdcurit6
Donc comme l'exige les conditions du march6, primes et risques sont li6s; le jeu est presque 6quitable, mais favorable/~ l'assureur.
b) Ce module sera certainement dans l'avenir le
module central,
de l'assureur, car il suppose que ,,l'avenir prolonge le pr6sent" et que toutes choses ~gales on se fixe pour objectif de se rendre compte de l'6volution du fonds de s6curit6 dans cette hypoth&se de permanence.Avec ces donn4es on peut s ' a t t a q u e r h. la
thdorie de la solvabilitd.
Si on se fixe un horizon limit6 (5 ans p a r exemple) la valeur f0 de la fortune propre de l'assureur, si on connait la variable X, ]e seul param&tre qui subsiste est le param~tre de sfcurit6 X.
Alors pour chaque valeur de X, l'algorithme donnera la valeur
Q~(X/fo)
d'etre ruind a v a n t la fin du 5 e exercice si la fortune initiale est fo.A l'aide de l ' o r d i n a t e u r on obtient une fonction dfcroissante de X, car an plus fort le coefficient de sdcurit6 au plus petite la pro- babilit6 de ruine.
On peut, des lors, construire un
diagramme
reprenant les courbes Q~(x) pour diff6rents niveaux de la fortune initiale f et il est bien certain que si f~ < f2 on aura, quel que soit X Qx param~tre de sdcmit6 Ce d i a g r a m m e est un d i a g r a m m e de d6cision pour l'assureur, car il peut l'aider 5. fixer son comportement.
I I 4 UNE CLASSE DES PROCESSUS DE RISQUE
I1 lui suffit de fixer un ,,niveau de solval)ilit6" - - accept6 volon- t a i r e m e n t ou impos6 par les autoritds de contr61e et d ' a d m e t t r e la r6gle de f o n c t i o n n e m e n t .
L a valeur de ~, dolt c o m p t e t e n u de la f o r t u n e p r o p r e f fitre telle que ]a probabilitd de ruine sur l'horizon de 5 ans soit inf6rieur au niveau de solvabilit6 accept6. II est dvident que le d i a g r a m m e de ddcision fixe, quel que soit f , une valeur critique ?,(f) en dessous de laquelle, il ne c o n v i e n t pas de tomber.
c) Au p o i n t de vue de l'algorithme, t o u t se simplifie puisque la p s e u d o - t r a n s l a t i o n et la m a t r i c e de Markov r e s t e n t i n v a r i a n t e , ce qui p e r m e t d'ailleurs de simplifier l'algorithme.
]3) L e s p r o c e s s u s de ,,mdchne"
~) tm mdc~ne est un. h o m m e , ou un organisme qui accepte d ' i n - d e m l d s e r des risques sans p a i e m e n t de primes.
On stippose doric:
I °) disposer d ' u n fonds d'irtdemnisation f.
2 ° ) subir un ,,risk process" Xo X1 . . . Xk 3 ° ) a d m e t t r e le ,,premium process" o, o, o . . .
I1 est bien 6vident que le march6 capitaliste ne p e r m e t pas ce processus de risque; p a r c o n t r e c'est la forme admise a priori en r4gime collectiviste.
Le probl6me de l'6volution stochastique r e v i e n t 5. se rendre c o m p t e de l'6volution du fonds d ' i n d e m n i s a t i o n , c'est-5.-dire de la probabilit6 de survie, sur un horizon limit6.
~) Mais on se rend c o m p t e que t o u s l e s p r o c e s s u s d ' u s u r e partici- p e n t des m i m e s caract6ristiques et q u ' e n particulier le processus de mortalit6, i n t r o d u i t p a r Dodson, et classique en assurance-vie p e u t se r a m e n e r 5- un processus de ,,m6c6ne". Nous considdrons le processus particulier.
a) la f o r t u n e initiale est nulle f = o
b) le risk process est d6fini p a r une suite de variables , , i n d i c a t e u r "
X o X t . . . X ~ . . .
UNE CLASSE DES PROCESSUS DE RISQUE 115
c)
X~ est relatif, /t l'intervalle d'age (k,k -I- z) et p r e n d les valeurs
o avec la probabilitd/Se
I avec la probabilitd Qk = I - - p k le p r e m i u m process
quelque soit k = o,I . . . 2kIk = o
C'est lk une c e r t i t u d e un processus de nlecene. Le m o u v e m e n t de la f o r t u n e f consiste done 5. ce m a i n t e n i r au n i v e a u o, le jeu p r e n d fin dos q u ' o n passe h la fortune ( - - I).
Or cela ddcrit e x a c t e m e n t le modSle de Dodson ou Qtc reprdsente la probabilitd de ddc& e n t r e les ttges k et k + I.
Ainsi le modOle de base des opdrations de vie et les modules d ' u s u r e classique de Ja thdorie de la fiabilitd a p p a r t i e n n e n t ~. la classe g6ndrale des processus de risque consid6rd dans c e t t e note.
Si nous appliquons l ' a l g o r i t h m e c e t t e corrdlation devient dvidente z °) dans t o u t processus de ,,mdc~ne" Y k = Y e , il n ' y a pas de pseudo-translation.
2 °) quel q u e soit le temps, J l n ' y a q u e deux dtats i °) l'~tat de ruine ~ ~tat de ddc6s
2 °) la f o r t u n e f = o ~ ~tat de vie D~s lors le tableau opdrationnel d e v i e n t :
0a
= I Qk = Q~ + QkoQe 1)robabilitd de ddc~s au plus
t a r d 5. ['fi.ge k
= pkQo ~ probabilitd de survie 5. l'5.ge k H - I
y) I1 y a m o y e n de considdrer d ' u n e mani6re similaire toutes les opdrations viag6res lnais il y a lieu d ' i n t r o d u i r e le f a c t e u r intdr~t, et de travailler sur les va[eurs moye~mes escomptdes, des variables.
L ' a l g o r J t h m e d o n n e alors la c~l&bre relation de F o u r r e t e n t r e r6serves m a t h d m a t i q u e s successives. Ce point de vue a ~t~ ddvelopt%
dans nos legons de Trieste.
Mais ce qui est intdressant c'est de signaler q u ' e n fait t o u t e
1 1 6 U N E C L A S S E D E S P R O C E S S U S D E R I S Q U E
op4ration viag~re est un jeu qui se joue sur la p4riode , , t r a n s i t o i r e "
de vie d'assur4. C'est la un aspect t o t a l e m e n t diff4rent du probl&me non-life, de la ruine, a u q u e l on accorde p r o b a b l e m e n t trop de consid4ration. Ce n'est q u ' u n des aspects de l'ensemble de tous les jeux, que l'on p o u r r a i t consid6rer, sur la p4riode de non-ruine de l'assureur. A cet ensemble a p p a r t i e n t d'ailleurs les j e u x de r4as- surance.
C) Les processus de ,,filou"
a) A l'oppos4 du m4c~ne se t r o u v e le filou, celui d o n t l'exigence de p r i m e ddpasse de loin les conditions normales du march6. L e jeu des usuriers p a r t i c i p e n t de c e t t e classe. Ils ne sont pas ,,acceptables"
darts des conditions normales et p o u r t a n t ils e x i s t e n t et des mal- h e u r e u x se t r o u v e n t parfois c o n t r a i n t s de les jouer.
b) Ce qui est aussi s u r p r e n a n t , c'est que de tels processus p e r m e t - t e n t de r4soudre certains probl~mes actuariels et en particuiier le f a m e u x probl&me des c o n v o l u t i o n s que ]es actuaires non life r e n c o n t r e n t t o u j o u r s dans les processus de risque composds. A t i t r e d ' e x e m p l e prenons ]e processus de risque s u i v a n t :
I °) la f o r t u n e initiale est nulle
2 °) le processus de risque est s t a t i o n n a i r e et est fix4 p o u r la variable , , i n d i c a t e u r "
o avec la probabilit4 p X
I avec la probabilit4 Q = I - - p 3 °) le processus de p a i e m e n t est s t a t i o n n a i r e
M = I I I . . . I . . .
I1 est 4vident q u ' o n a affaire h u n processus de filou puisque le j o u e u r r e n d la raise I, si o sort, il l ' e m p o c h e dans le cas c o n t r a i r e si I se pr4sente. I1 ne p e u t jamais ~tre ruin4. A p r [ s k parties sa f o r t u n e p r o p r e v a r i e r a e n t r e o e t k. I1 est bien connu que la f o r t u n e p r e n d la v a l e u r i avec la probabilit4 de Bernoulli
P a r suite, en utilisant l ' a l g o r i t h m e g4ndral, la variable 6tat Yk, doit co~ncider avec la loi de Bernoulli qui est la variable s o m m e
Zk = X t + X2 . . . + X~
UNE CLASSE DES PROCESSUS DE RISQUE 117 c) Si nous appliquons l'algorithme
I °) Ye est obtenu par la pseudo-translation d ' u n seul z6ro, 2 °) L a matrice de Markov est invariante et p r e n d la forme
I q o o . . .
o p q o o o p q o
elle se r6duit h deux diagonales caract6ristiques,
3 °) au stade kl on devra introduire en ligne op6rationnelle:
o , o ,
Q< Q -i p,
. . .et la multiplication tabulaire donnera:
I °) Q~+~ le filou n'est ]amais ruin6.
Q f + , = p Q e + c ~ P e k : C k ÷ ~ Q ~ p
Q~+ i = pC~- i Qk÷ ~-, p , - ~ + Q C~ Qk-, p,+ l : c~ ÷ ~ Qe+ ' - ' p'
...................................................................
Ainsi se trouve d6montr6 par rfcurrence la loi de Bernoulli. Le Prof. Btihlman a fair r e m a r q u e r que le prof. P o l y a avait utilis6 la m i m e m6thode de r6currence.
d) la m~thode se g4ndralise, soit une variable X stationnaire d o n t on d~sire calculer n u m 4 r i q u e m e n t les convolutions. E n pratique, X a u r a un domaine d'arriv~e fini que nous supposons ~tre de o & R (,,range").
D~s lors le processus de ,,filou" s u i v a n t I °) la fortune initiale est nulle
2 °) le processus de risque est stationnaire V ~ X k = X 3 °) le processus de prime est i n v a r i a a t
Vx: M ~ = R
118 O N E CLASSE D E S PROCESSUS DE R I S Q U E
Le raisonnemexlt prouve que la ,,filou" ne perdra jamais et au stade k, la variable d'6tat sera toujours la somme.
Z k = X ~ + X = . . . . + X k
et l'algorithme rdalise le calcul effectif des convolutiorls. On pour- rait d'ailleurs non seulement vdrifier la loi des grands nombres, mais de plus calculer les probabilitds de fluctuations de Zk/le autour de la moyenne Ez.
Pour k grand la tendance centrale joue. C'est gdn6ralement par l'approximatiorl de la loi de Gauss qu'on 6value les chances d'dvo- lution de Z~/k autour de la moyenne.
Los processus de ,,filou" p e r m c t t e n t non seulement de constater cette tendance centrale, mais de plus ils nous donnertt le moyen pratique d'estimer les possibilitSs de fluctuations dans le domaine de le petit, et cela quelque suit x.
C'est 15. un rdsultat thdorique dont l'importance est non n6glige- able.
D) Conclusions et rdsumd
P a r t a n t du prob]~me de la ruine, nous avons dtd amend £ intro- duire une dasse tr&s gdndrale de processus de risque discrets.
Nous avons prouvd que, quel que suit le processus particulier, un et un soul algorithme itdratif donne la solution numdrique du pro- blame de l'dvolutioll du syst~me aldatoire induit par le processus.
De plus en nuan~ant le processus de risque et surtout le processus d'encaissemcnt, on englobe dans une seule et m6me th6orie non seulement les problbmes viagers et non viagers, mais dgalement des problSmes non actuariels tels les processus d'usure de la recherche opdrationnelle et le problSme gdndral des convolutions des variables aldatoires.
La gdndralit4 de la mfithode, l'dconomie de perLsde qu'elle ap- porte, son efficience sur le plan numdrique, nuns fait esp~rer que dans l'avenir elle appartiendra aux routines normales de l'actuaire et h l'ensemble des programmes des centres de calcul.
