Théorème de Grothendieck

Théorème de Grothendieck

Référence :Zavidovique: Un max de Math, p. 180 +Rudin: Analyse fonctionnelle p.115 pour l’étape 3 Contexte: (Ω,F, µ) un espace probabilisé. (doncµ(Ω) = 1)

Prérequis: Pour 16p6∞, Déf deL^p(µ) des fonctions de Ω dans R,L^p(µ) muni dek·k_p est un espace de Banach, Thm du graphe fermé, Inégalité de Hölder, base hilbertienne, théorème de Pythagore.

Soit 16p <+∞.

Tout sous-espace vectoriel fermé deL^p(µ) qui est inclus dansL^∞(µ) est de dimension finie.

Théorème (Théorème de Grothendieck - 1954)

Note : CommeS⊂L^∞(µ) et queµest finie, lesL^p sont décroissants et S⊂L^q(µ) pour n’importe quelq.

Preuve du théorème : But :se ramener àL²(µ).

SoitS un sous-espace vectoriel fermé deL^p(µ) inclus dansL^∞(µ).

Etape 1 On montre qu’il existe une constanteK >0 telle que∀f ∈S, kfk_∞6Kkfk_p. On définit, comme (S ⊂L^∞),

Φ : (S,k·k_p) −→ (L^∞,k·k_∞)

f 7−→ f

S est un sev fermé de L^p qui est complet doncS est complet.

S est donc un Banach (evn complet),L^∞aussi et Φ est linéaire.

On peut donc appliquer le théorème du graphe fermé : pour montrer que Φ est continue, il suffit de montrer que son graphe est fermé.

Soit (fn,Φ(fn)) une suite de son graphe qui converge vers (f, g).

On a f ∈S⊂L^p carS est fermé etg∈L^∞ carL^∞est un Banach (voir Notes pour détails).

Φ(fn) = fn et la convergence L^∞ implique la convergence L^p car µ est une mesure finie¹. Donc, par unicité de la limite dansL^p,g=f = Φ(f).

Le graphe de Φ est ainsi fermé donc Φ est continue.

Il existe donc une constante K >0 telle que

∀f ∈S, kfk_∞=||Φ(f)||_∞6Kkfk_p.

Etape 2 On montre qu’il existe une constanteM >0 telle que∀f ∈S, kfk_∞6Mkfk₂. Distinguons deux cas.

Sip <2 alors 1<2

p, et l’inégalité de Hölder implique

kfk^p_p= Z

Ω

|f|^p×1 dµ6 Z

Ω

(|f|^p)^2p dµ ^p₂Z

Ω

1^2−p2 dµ ^2−p₂

| {z }

=µ(Ω)=1

6kfk^p₂.

En élevant à la puissance 1

p, on trouve

kfk_p6kfk₂.

1. kfn−gk^p_p=

Z

Ω

(fn−g)^p6µ(Ω)kfn−gk^p_∞= 1× kfn−gk^p_∞→0

Laura Gayd’après KévinLe Balc’h p.1 31 mai 2015

Ce qui donne le résultat annoncé en prenantK=M (kfk_∞6Kkfk_p6Kkfk₂).

Soitp>2.

Par définition du supremum essentiel, il existe alorsN un ensemble de mesure nulle tel que

∀x∈Ω\N, |f(x)|6kfk_∞. On obtient donc

∀x∈Ω\N, |f(x)|^p=|f(x)|^p−2|f(x)|²6kfk^p−2_∞ |f(x)|².

On intègre ces inégalités sur Ω\N, ce qui revient exactement à intégrer sur Ω comme N est de mesure nulle.

kfk^p_p6kfk^p−2_∞ kfk²₂. On utilise la question précédente pour obtenir :

kfk^p_∞6K^pkfk^p_p6K^pkfk^p−2_∞ kfk²₂. D’où,

kfk_∞6K^p/2kfk₂.

On prend alorsM = max(K, K^p/2).

∀f ∈S, kfk_∞6Mkfk₂.

Etape 3 On considère (fi)16i6n une famille de fonctions deS. On suppose que cette famille est orthonormée deL²(µ) (possible carS⊂L²(µ) par note en dessous duThéorème).

SoitQune partie dénombrable dense² deRⁿ (possible parRséparable). Soient c= (c1, . . . , cn)∈Qⁿ et posonsfc =X

cifi. On a,

kfck_∞6Mkfck₂=M v u u t

n

X

i=1

c²_i.

La dernière égalité provient du théorème de Pythagore dans L² en utilisant le fait que (fi) forment une famille orthonormée deL².

Puisque Qest dénombrable, il existe Ω⁰⊂Ω tel queµ(Ω⁰) = 1 et tel que³

∀x∈Ω⁰, |fc(x)|6kfck_∞.

Soitx∈Ω⁰ fixé. Commec7→fc(x) est continue (polynomial en lesci) surRⁿ, et commeQest dense dans Rⁿ, on aura,

∀x∈Ω⁰, ∀c∈Rⁿ, |fc(x)|6kfck_∞6M v u u t

n

X

i=1

c²_i.

Etape 4 On en déduit quen6M².

On applique l’étape 3 avecc_i=f_i(x),⁴et on élève au carré.

On trouve alors, pour tout x∈Ω⁰,

n

X

i=1

f_i(x)²

!² 6M²

n

X

i=1

f_i(x)².

2. Ici, on ne peut plus faire le truc du Max de Maths car l’ensemble de mesure nulle depend desci du coup on ne peut pas intégrer.

3. L’idée est : On veut inverser pour toutx, presque surement, on a : ... Et remplacer par presque surement, pour toutx, on a : ...

4. Si on reprend les inégalités, cela est bien possible. Il suffit de garder en tête quexest fixé et que l’on considèreci =fi(x) comme constante etficomme fonction. Si on poseϕ:t7→

n

X

i=1

fi(x)fi(t) (ieϕ=

n

X

i=1

fi(x)fi).

Alors, par exemple pour la première inégalité, pour toutt,

n

X

i=1

fi(x)fi(t)

=|ϕ(t)|6kϕk_∞=

n

X

i=1

fi(x)fi

_∞

. On peut appliquer

a fortiori ent=xet on a

n

X

i=1

fi(x)²

6

n

X

i=1

fi(x)fi

∞

. On peut faire ce procédé pour chaque inégalité.

Laura Gayd’après KévinLe Balc’h p.2 31 mai 2015

Lorsque

n

X

i=1

f_i(x)²6= 0, on simplifie :

n

X

i=1

fi(x)²6M²,

et cette inégalité reste bien entendue vraie quand

n

X

i=1

fi(x)²= 0.

On intègre alors sur Ω⁰, ce qui exactement pareil que d’intégrer sur Ω car Ω⁰ est de mesure pleine. Et comme les f_i sont de norme 1 (ie

Z

f_i ²= 1), on obtient

n= Z

Ω n

X

i=1

fi(x)²

!

dµ6M² Z

Ω

1 dµ=M²µ(Ω) =M².

Ce qui prouve l’étape 4.

Etape 5 (Conclusion)

Supposons par l’absurdeSde dimension infinie. Si toutes les familles deS àM²+ 1 éléments étaient liés, la dimension serait finie. Donc on peut trouver une famille libre àM²+ 1 éléments. En orthonormalisant cette famille (Gram-Schmidt par exemple), on a une famille orthonormée àM²+ 1 éléments. Absurde car le cardinal de la famille doit être inférieur àM² avec l’étape 4.

DoncS est bien de dimension finie.

Notes :

XA l’oral, on fait tout. Si pas assez de temps sauter l’étape 5. S’il reste du temps, détaillerc_i=f_i(x).

XRappel : Théorème du Graphe Fermé. SoientE,F des espaces de Banach.

Une application linéaire f de E dansF est continue ssi son grapheGf ={(x, f(x))| x∈E} est fermé dans E×F.

XRappel : Inégalité de Hölder.

SoientS un espace mesuré,p, q >0 (la valeur +∞étant permise) tq 1 p+1

q = 1,f ∈Lp(S) etg∈Lq(S).

Alors, le produitf g appartient àL1(S) etkf gk₁6kfk_pkgk_q. En fait, les conditions surpet qdonnent quep, q >1.

XRappel : Théorème de Pythagore.

Si une famille est orthogonale,

X·

2

=X

k·k².

X Rappel : Dans un espace métrique (par exemple un evn), toute suite convergente est de Cauchy. Donc a fortiori si une suite d’un Banach converge, c’est une suite de Cauchy donc elle converge dans le dit Banach.

XL’hypothèse de fermeture est indispensable.

XL’hypothèse d’inclusion dansL^∞est également fondamentale, et ne peut pas être remplacée par une inclusion dans unL^q avecp < q <+∞. Rudin construit, juste après avoir énoncé ce théorème, un sous-espace fermé de L¹, qui vit dansL⁴ et qui est de dimension infinie.

X On peut mettre un espace mesuré de mesure finie (pas forcément de mesure de probabilité) et les fonctions peuvent aller dansC. La preuve reste essentiellement la même.

XOn a décroissance des L^p car la mesure est finie.

♣ Alexandre (ou Alexander) Grothendieck (1928 - 2014) est un mathématicien né à Berlin, apatride puis français. Il est considéré comme le refondateur de la géométrie algébrique. Il était connu pour son intuition ex- traordinaire et sa capacité de travail exceptionnelle. Entre 20 et 23 ans, il va résoudre 14 questions sur lesquelles DieudonnéetSchwartz(ses directeurs de thèse) “butent” et rédige l’équivalent de six thèses de doctorat. La médaille Fields lui a été décernée en 1966.

Laura Gayd’après KévinLe Balc’h p.3 31 mai 2015