Introduction topologique à la géométrie

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Introduction topologique à la géométrie

Frédéric Paulin

Professeur à l’Université Paris-Saclay (Faculté des sciences d’Orsay)

Cours de première année de Master (M1), parcours : Mathématiques fondamentales (MF)

et Voie Hadamard (VH), Université Paris-Saclay

Année 2021-2022

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Table des matières

Préambule . . . 5

1 Homotopie et groupe fondamental 7 1.1 Homotopie . . . 7

1.2 Groupe fondamental . . . 9

1.3 Autres exercices . . . 15

1.4 Indications pour la résolution des exercices . . . 18

2 Revêtements 19 2.1 Définitions . . . 19

2.2 Homéomorphismes locaux et revêtements . . . 20

2.3 Actions de groupes topologiques . . . 22

2.4 Actions de groupes et revêtements . . . 26

2.5 Unicité des relèvements . . . 28

2.6 Relèvement des chemins et des homotopies . . . 29

2.7 Action sur la fibre du groupe fondamental de la base . . . 31

2.8 Groupe fondamental des graphes . . . 34

2.9 Relèvement des applications . . . 36

2.10 Structure des morphismes de revêtements . . . 38

2.11 Revêtements galoisiens . . . 42

2.12 Revêtements universels . . . 44

2.13 Classification des revêtements . . . 47

3 Présentation de groupes fondamentaux 64 3.1 Propriétés universelles sur les groupes . . . 64

Somme amalgamée de groupes . . . 64

Formes normales dans les produits amalgamés . . . 67

3.2 Le théorème de van Kampen . . . 69

4 Sous-variétés différentielles 89 4.1 Variétés topologiques . . . 89

4.2 Sous-variétés deRⁿ . . . 94

4.3 Applications différentiables . . . 97

4.4 Espaces tangents et applications tangentes . . . 101

4.4.1 Sous-espace tangent en un point . . . 101

4.4.2 Fibré tangent . . . 102

4.4.3 Applications tangentes . . . 103

4.5 Exemples . . . 104

4.6 Variétés différentielles . . . 110

(3)

5 Théorème de Sard et théorie du degré 120

5.1 Le théorème de Sard . . . 120

5.2 Sous-variétés différentielles à bord . . . 124

5.3 Le théorème du point fixe de Brouwer . . . 129

5.4 Sous-variétés différentielles orientables . . . 130

5.5 Degré des applications différentiables . . . 133

6 Théorie de Morse 138 6.1 Points critiques non dégénérés . . . 139

6.2 Existence de fonctions de Morse lisses . . . 144

6.3 Flot local d’un champ de vecteurs . . . 148

6.3.1 Opérations sur les champs de vecteurs . . . 149

6.3.2 Équation différentielle associée à un champ de vecteurs sur une sous- variété . . . 150

6.3.3 Dérivation des fonctions associée à un champ de vecteurs . . . 154

6.4 Structure des variétés entre deux niveaux critiques . . . 156

6.5 CW-complexes finis et caractéristique d’Euler . . . 158

6.6 Décomposition en anses des variétés différentielles . . . 163

7 Topologie des surfaces 167 7.1 Recollements lisses de variétés et sommes connexes . . . 167

7.2 Les surfaces compactes connexes modèles . . . 173

7.3 Classification lisse des surfaces à bord compactes connexes . . . 180

8 Courbure des courbes et surfaces de l’espace euclidien 187 8.1 Courbure des courbes planes et gauches . . . 187

8.1.1 Classification à déplacement près des courbes planes . . . 188

8.1.2 Classification à déplacement près des courbes gauches . . . 191

8.2 Formes fondamentales et courbures des sous-variétés . . . 198

8.2.1 Fibré normal et point focaux . . . 198

8.2.2 La première forme fondamentale . . . 200

8.2.3 La seconde forme fondamentale et les courbures . . . 201

8.2.4 Le cas des hypersurfaces orientées . . . 203

8.3 Points focaux et courbures principales . . . 206

8.4 Courbures des surfaces de R³. . . 208

8.5 Surfaces minimales . . . 217

8.6 Géodésiques . . . 222

8.7 La formule de Gauss-Bonnet . . . 232

8.8 Le remarquable théorème de Gauss . . . 232

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A Annexe : rappels de topologie générale 236

A.1 Généralités . . . 236

Topologie engendrée, prébase et base d’ouverts . . . 237

Voisinages, systèmes fondamentaux de voisinages . . . 238

Intérieur, adhérence, frontière . . . 238

Séparation . . . 239

Continuité . . . 239

Connexité . . . 240

A.2 Constructions de topologies . . . 241

A.2.1 Comparaison de topologies . . . 241

A.2.2 Topologie initiale . . . 241

A.2.3 Sous-espace topologique . . . 241

A.2.4 Topologie produit . . . 242

A.2.5 Topologie finale . . . 244

A.2.6 Topologie quotient . . . 245

A.3 Limites et valeurs d’adhérence . . . 251

Limites . . . 251

Propriétés des limites . . . 252

Valeurs d’adhérence . . . 253

A.4 Compacité . . . 255

Espace compact . . . 255

Compacité et valeurs d’adhérence . . . 256

Compacité et produits . . . 256

Compacité et continuité . . . 259

Topologie compacte-ouverte . . . 261

A.5 Exercices récapitulatifs . . . 261

A.6 Indications pour la résolution des exercices . . . 264

B Annexe : rappels de théorie des groupes 266 B.1 Action de groupes . . . 266

B.2 Groupes libres . . . 267

B.3 Graphe de Cayley . . . 269

B.4 Groupes définis par générateurs et relations . . . 272

B.5 Indications pour la résolution des exercices . . . 274

C Annexe : rappels de calcul différentiel 275 C.1 Indications pour la résolution des exercices . . . 281

Index 283

Références 289

(5)

Préambule.

Les beaux¹objets géométriques se prêtent à une étude triple, topologique, différentiable et métrique. L’un des buts de ce cours est de donner quelques outils de ces trois domaines permettant de décrire ces beaux objets géométriques.

Nous commencerons par une introduction à la topologie algébrique, qui essaye de classer (ou du moins de comprendre) les espaces topologiques X (dans des familles données) en leur associant des objets algébriques (nombres, groupes, anneaux, modules, algèbres, etc) dont la classe d’isomorphisme ne dépend que de la classe d’homéomorphisme de X.

En particulier, ceci peut permettre de distinguer à homéomorphisme près des espaces topologiques. La notion de connexité a été l’un des premiers invariants topologiques à être utilisé dans ce but. Le nombre de composantes connexes par arcs, par exemple, ou le groupe abélien libre engendré par l’ensemble des composantes connexes par arcs, sont des invariants algébriques. Par exempleRetR² ne sont pas homéomorphes, car en enlevant un point du premier, il est disconnecté, tandis que le second ne l’est pas. De même, le cercle S1 et la sphère S2 ne sont pas homéomorphes, car enlever un point à S1 disconnecte un voisinage connexe de ce point, alors que ce n’est pas le cas dans S2.

Par exemple, un foncteur covariant de la catégorie des espaces topologiques dans la catégorie des groupes est la donnée, pour tout espace topologique X, d’un groupe F(X), et, pour toute application continue f ∶ X → Y entre deux espaces topologiques, d’un morphisme de groupesF(f) de F(X)dansF(Y), telle que

F(id_X) =id_F₍_X₎ et F(g○f) =F(g) ○F(f)

pour toute application continue g∶Y →Z. Ces propriétés impliquent que si f∶X→Y est un homéomorphisme, alors F(f)est un isomorphisme de groupes. Le groupe fondamental que nous introduirons dans la partie 1 est un tel exemple. Plus précisément, il associe un groupe à un espace topologique pointé (c’est-à-dire muni d’un point base) et un morphisme de groupes à une application continue préservant les points bases, de sorte que les deux propriétés ci-dessus soient vérifiées.

Le second objet de ce cours est d’introduire (dans la partie 4) les sous-variétés diffé- rentielles, qui sont en particulier les espaces de phases (hors singularités) de la physique, dans lequels s’effectuent par exemple les mouvements des objets soumis aux équations de la physique. Pourn≤N des entiers strictement positifs, les sous-variétés de dimensionnde R^N sont les parties deR^N sur lesquelles existent localement des systèmes dencoordonnées permettant d’effectuer du calcul différentiel comme dans les ouverts de Rⁿ.

Nous donnerons aussi quelques outils de base pour manipuler ces sous-variétés diffé- rentielles, le théorème de Sard (voir la partie 5.1) qui donne un lien avec la théorie de la mesure, et la théorie de Morse (voir la partie 6), qui permet de donner une description homotopique des sous-variétés différentielles. Nous ne définirons les variétés différentielles abstraites que dans le but de réaliser, via des théorèmes de plongements, des exemples concrets de sous-variétés différentielles. Nous renvoyons à des apprentissages de seconde année de Master pour une étude complète des variétés différentielles (voir par exemple [Spi,Pau1]).

Les sous-variétésM des espaces euclidiensR^N héritent deR^N une structure de produit scalaire sur leurs espaces tangents, exemple archétypal d’une métrique riemannienne sur

1. Lire par exemple Montesquieu (Charles-Louis de Secondat, baron de La Brède et de Montesquieu), Essai sur le goût(1757).

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M, qui permet de considérer les aspects métriques des sous-variétés différentielles, bien plus rigides que les aspects différentiels. Après avoir développé le cas des courbes dans la partie 8.1, nous étudierons les propriétés de courbure (courbure principales, courbure de Gauss, courbure moyenne, points focaux) et les géodésiques des sous-variétés dans la partie 8. Nous renvoyons à des apprentissages de seconde année de Master pour une étude plus complète de la géométrie riemannienne (voir par exemple [Spi,GaHL,Pau4]).

Nous donnerons la classification à difféomorphismes lisses près des surfaces lisses compactes connexes dans la partie 7 et nous étudierons particulièrement la géométrie des surfaces dans R³ (surfaces de révolution, surfaces minimales, etc) dans la second moitié de la partie8.

Nous recommendons fortement l’utilisation de l’index (très complet) pour trouver ra- pidement où sont définies les notions utilisées ailleurs dans le texte.

Des références de base pour ce cours sont les livres [God1, Mil1, Laf, doC] et [Cha, Chap. 6], complétés pour ceux qui le souhaitent par [Car,Spa,Spi,Pau1,Pau3] et autres références ponctuelles. Les prérequis en topologie générale sont contenus dans l’appendice A, voir aussi les notes de cours [Pau2]. Tous les portraits de mathématiciens qui appa- raissent en note de bas de page de ce cours sont extraits de Wikipedia. Le dessin de couverture est extrait du livre [Fra]. Les très nombreuses illustrations de ce cours sont, pour la plupart, aussi extraites de Wikipedia.

Nous noterons Sn= {(x0, . . . , xn) ∈Rⁿ⁺¹ ∶x²₀+ ⋅ ⋅ ⋅ +x²_n=1} la sphère unité de l’espace euclidien usuelRⁿ⁺¹, etBn= {(x₁, . . . , x_n) ∈Rⁿ∶x²₁+ ⋅ ⋅ ⋅ +x²_n≤1}la boule unité fermée de l’espace euclidien usuel Rⁿ.

Caveat. Conformément à l’enseignement gaulois de N. Bourbaki, tous les espaces compacts, localement compacts ou σ-compacts sont, par définition, séparés.

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1 Homotopie et groupe fondamental

Nous renvoyons à l’appendiceApour des rappels de topologie. Le groupe fondamental, que nous définirons dans la partie1.2, est un invariant algébrique des espaces topologiques pointés. Avant de le définir, il est important de comprendre (voir la partie1.1) des proprié- tés de déformations (par équivalence d’homotopie) des espaces topologiques, qui peuvent changer le type topologique (c’est-à-dire ne pas préserver la classe d’homéomorphisme), mais s’avèreront ne pas changer, à isomorphisme de groupes près, le groupe fondamental. La propriété d’invariance homotopique du groupe fondamental sera, avec la théorie des revêtements donnée dans la partie 2 et le théorème de van Kampen démontré dans la partie 3.2, les trois outils principaux pour le calcul ou la détermination des groupes fondamentaux.

L’exercice suivant sera souvent utilisé (de manière implicite) dans cette partie.

Exercice E.1. Soient X et Y deux espaces topologiques, (Fi)ⁱ∈I un recouvrement fermé fini de X, et f_i∶F_i→Y une application continue pour tout i∈I. Sif_i et f_j coïncident sur Fi∩Fj pour tous lesi, j ∈I, alors il existe une et une seule application continue f ∶X→Y égale à fi sur Fi pour touti∈I.

1.1 Homotopie

SoientXetY deux espaces topologiques. Deux applications continuesf, g∶X→Y sont homotopes s’il existe une application continue h∶X× [0,1] →Y telle que h(x,0) =f(x) et h(x,1) = g(x) pour tout x dans X. Nous noterons alors f ∼ g, et nous dirons que h est une homotopie entre f etg. Pour tout s dans [0,1], nous noterons aussi hs ∶X →Y l’applicationh_s(x) =h(x, s).

Si A est une partie de X, deux applications continues f, g ∶ X →Y sont homotopes relativement à A s’il existe une application continue h∶X× [0,1] →Y telle que h(x,0) = f(x)eth(x,1) =g(x)pour toutx dansX, et telle queh(a, s) =f(a)pour tous les adans Aetsdans[0,1]. Nous noterons alors f∼g relA, et nous dirons quehest unehomotopie relative à A entref etg.

Il est immédiat que∼est une relation d’équivalence sur l’ensembleC(X, Y)des applications continues deXdansY. En effet,f∼f par l’homotopie constanteh∶ (x, s) ↦f(x); si f ∼g par l’homotopie h, alors g∼f par l’homotopie inverse h ∶ (x, s) ↦h(x,1−s); si f₁ ∼ f₂ par l’homotopie h₁ et f₂ ∼ f₃ par l’homotopie h₂, alors f₁ ∼ f₃ par l’homotopie composée

(x, s) ↦ { h₁(x,2s) si 0≤s≤ ¹₂ h2(x,2s−1) si ¹₂ ≤s≤1.

De même, ∼rel Aest une relation d’équivalence sur l’ensemble des applications continues de X dansY qui coïncident surA avec une application continue donnée deA dansY.

Un espace topologique X est contractile s’il est non vide et si l’application identique idX de X est homotope à une application constante de X dans X.

Par exemple, un convexe non vide C dans un espace vectoriel topologique (c’est-à- dire un espace vectoriel réel ou complexe muni d’une topologie telle que l’addition et la multiplication externe soient des applications continues) est contractile : si x0 ∈ C, alors l’application (x, s) ↦ (1−s)x+sx0 de C× [0,1] dans C est une homotopie entre idC et x↦x₀.

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Cette notion est importante, car la plupart des espaces topologiques que nous ren- controns sont localement contractiles, c’est-à-dire admettent un système fondamental de voisinages contractiles. C’est en particulier le cas des ouverts des espaces vectoriels topologiques, desvariétés topologiques(c’est-à-dire les espaces topologiquesX, supposés métri- sables séparables sauf mention explicite du contraire, tels que pour toutxdansX, il existe n∈Net V un voisinage de x dans X, tels queV soit homéomorphe à Rⁿ), ainsi que des CW-complexes et des complexes simpliciaux (voir par exemple [Pau3,Spa]).

Un espace topologique est simplement connexe s’il est connexe par arcs et si toute application continue du cercle S1 dans X se prolonge (continuement) en une application continue du disqueB2 dansX, ou, de manière équivalente si toute application continue de S1 dansX est homotope à une application constante de S1 dans X (voir aussi l’exercice E.5et la proposition 1.10).

Exercice E.2. Montrer qu’un espace contractile est simplement connexe.

SoientX etY deux espaces topologiques. Une application continuef ∶X→Y est une équivalence d’homotopie s’il existe une applicationg∶Y →X continue telle que f○g soit homotope à l’application identique de Y etg○f soit homotope à l’application identique de X. S’il existe une équivalence d’homotopie entre X etY, nous dirons que X etY ont le mêmetype d’homotopie.

Il est immédiat de vérifier que la relation « avoir même type d’homotopie » est une relation d’équivalence sur tout ensemble d’espaces topologiques.

L’intérêt de la notion d’équivalence d’homotopie vient du fait que la plupart des invariants de topologie algébrique que nous construirons (dont le groupe fondamental, voir la partie 1.2), sont non seulement des invariants topologiques, mais aussi des invariants ho- motopiques (c’est-à-dire tels que les invariants associés à deux espaces topologiques ayant même type d’homotopie soient isomorphes).

Exemple : Un espace topologique est contractile si et seulement s’il a le même type d’homotopie qu’un singleton.

SoientX un espace topologique etAun sous-espace. Nous dirons queAest unrétracte de X s’il existe une application continue r ∶ X → A telle que r○i = id_A. Nous dirons que A est un rétracte de X par déformation si de plus i○r est homotope à idX. Nous dirons que A est un rétracte de X par déformation forte si de plus i○r est homotope à id_X relativement à A. Nous dirons quer est respectivement une rétraction, rétraction par déformation, rétraction par déformation forte.

Notons que siA est un rétracte par déformation deX, alorsA etX ont le même type d’homotopie.

Exemples : (1) Pour toutn∈N, la sphèreSnest un rétracte par déformation forte de Rⁿ⁺¹− {0}. En effet, si i ∶ Sn ↪ Rⁿ⁺¹ − {0} est l’inclusion et si r ∶ Rⁿ⁺¹− {0} → Sn est la rétraction radiale définie par r(x) = _∣∣^x_x_∣∣, alors r○i = id_S_n et i○r est homotope à l’application identique de Rⁿ⁺¹ − {0} par l’homotopie h(x, s) = sx+ (1−s)_∣∣^xx∣∣, qui fixe Sn. En particulier, l’inclusion i de Sn dans Rⁿ⁺¹− {0} est une équivalence d’homotopie, et les espaces topologiques Sn et Rⁿ⁺¹− {0} ont le même type d’homotopie.

Sn

0

x x/∥x∥

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(2) SiX est un espace topologique, Y un espace contractile ety un point deY, alors X× {y} est un rétracte par déformation de X×Y. Donc X×Y etX ont le même type d’homotopie.

1.2 Groupe fondamental

Composition et homotopie des chemins

Considérons un espace topologiqueX. UnchemindansX est une application continue α∶ [0,1] →X; sonorigine estx=α(0), son extrémitéest y=α(1); nous dirons aussi que α est un chemin joignantx à y.

Pour toutxdansX, nous appelonschemin constant enxle chemincxtel quecx(t) =x pour tout tdans[0,1].

Siαest un chemin dansX joignantxày, nous appelons chemin inverse de α le chemin α, joignant y à x, défini par α(t) =α(1−t) pour tout tdans[0,1].

α

y x α

α

β α⋅β

Soientα etβ deux chemins dansX tels queα(1) = β(0). Nous notons α⋅β le chemin

t↦ { α(2t) si t∈ [0,¹₂] β(2t−1) si t∈ [¹₂,1].

Nous dirons que α⋅β est le chemin composé (ou concaténé) de α et β. Deux chemins α et β sont composables (ou concaténables) si l’extrémité de α est égale à l’origine de β. L’application (α, β) ↦ α⋅β de l’ensemble des couples de chemins composables dans l’ensemble des chemins s’appelle lacomposition (ouconcaténation) des chemins.

Deux cheminsαetβ dansXd’originex₀ et d’extrémitéx₁sonthomotopes(nous dirons parfoishomotopes relativement aux extrémitéss’il y a risque de confusion), et nous notons α ∼ β (et α ∼ β rel 0,1 s’il y a risque de confusion), si les applications α et β de [0,1] dansX sont homotopes relativement à la partie{0,1}de [0,1], c’est-à-dire s’il existe une application continueh∶ [0,1] × [0,1] →X notée(t, s) ↦h(t, s) telle que

● h(t,0) =α(t) eth(t,1) =β(t) pour tout tdans[0,1],

● h(0, s) =x₀ eth(1, s) =x₁ pour tout sdans[0,1].

Nous dirons que t est le paramètre de chemin et s le paramètre d’homotopie. Une telle application h est appelée unehomotopiede α à β (nous dirons parfois homotopie relative s’il y a risque de confusion). Nous notons [α] la classe d’homotopie (relativement aux extrémités) d’un cheminα.

Le résultat suivant donne les principales propriétés de la composition et de l’homotopie des chemins.

Lemme 1.1. Soient α, β, b, c, γ des chemins deX.

(1) Si α∼β, alors α∼β.

(2) Si c ∼ α, si b ∼ β et si c et b sont composables, alors α et β sont composables et c⋅b∼α⋅β.

(3) Soient α un chemin joignantxà y, β un chemin joignanty àz,γ un chemin joignant z à w. Alors les chemins(α⋅β) ⋅γ et α⋅ (β⋅γ) sont homotopes.

(10)

(4) Si α est un chemin joignant x à y, alors cx⋅α et α⋅cy sont homotopes à α.

(5) Si α est un chemin joignant x à y, alors α⋅α et α⋅α sont homotopes à cx et cy

respectivement.

Démonstration. (1) Sihest une homotopie du cheminαau cheminβ, alors l’application (t, s) ↦h(1−t, s)est une homotopie du chemin α au cheminβ.

(2) Soith une homotopie du chemincau cheminα etkune homotopie relative du cheminbau chemin β. Alors l’application

(t, s) ↦ { h(2t, s) si t∈ [0,¹₂] k(2t−1, s) si t∈ [¹₂,1]

est une homotopie du chemin c⋅b au cheminα⋅β.

β α

α⋅β

h k

c b

c⋅b

(3) L’application (t, s) ↦⎧⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎩

α(1^4t+s) si 0≤t≤¹⁺4^s

β(4t−s−1) si ¹⁺₄^s ≤t≤ ²⁺₄^s γ(^4t₂⁻₋^s_s⁻²) si ²⁺₄^s ≤t≤1 est une homotopie du chemin(α⋅β)⋅γ au chemin α⋅ (β⋅γ).

1/2 1/2

α β γ

1/4

3/4

α β γ

s

0 1 t

(4) L’application

(t, s) ↦ { α(₁^2t₊_s) si 0≤t≤¹⁺₂^s y si ¹⁺₂^s ≤t≤1

est une homotopie du cheminα⋅c_y au cheminα.

Nous construisons de même une homotopie du chemin cx⋅α au cheminα.

α c_y

α

1/2 t

s

0 1

(5) L’application

h∶ (t, s) ↦⎧⎪⎪⎪⎪⎪

⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x si 0≤t≤ ^s2

α(2t−s) si ^s₂ ≤t≤ ¹₂ α(2−2t−s) si ¹₂ ≤t≤ ²⁻₂^s x si ²⁻₂^s≤t≤1 est une homotopie du cheminα⋅αau chemin c_x. Nous construisons de même une homotopie du chemin α⋅α au chemin cy.

α

1/2 1/2

α cx c_x

x s

0 t hs

α⋅α 1

◻ Lacets et groupe fondamental

(11)

Soit x un point de X. Unlacet en x dansX est un chemin dans X d’origine et d’ex- trémité x. Le pointx est appelé le point base de ce lacet. Les chemins constants sont des lacets, et le chemin inverse d’un lacet est un lacet. Deux lacets sont homotopes s’ils sont homotopes en tant que chemin (donc relativement à leur point base).

Sur l’ensembleL(X, x) des lacets enx, la relation « être homotope à » est une relation d’équivalence, d’ensemble quotient notéπ1(X, x).

La composition des chemins, restreinte aux lacets en x, est une loi de composition interne surL(X, x), qui (par le lemme1.1(2)) passe au quotient en une loi de composition interne sur π1(X, x).

Proposition 1.2. La composition des chemins induit une structure de groupe sur l’ensemble π1(X, x) des classes d’homotopie de lacets dans X de base x.

Démonstration. L’associativité découle du lemme1.1(3). La classe du lacet constant en x est élément neutre par le lemme1.1(4). Si[c] est une classe dansπ1(X, x), la classe de cne dépend pas du choix du représentant cde[c] par le lemme1.1(1). Et[c] est l’inverse de [c] pour la loi de π₁(X, x) par le lemme1.1(5). ◻ Le groupeπ1(X, x)s’appelle legroupe fondamentaldeX enx (ougroupe de Poincaré, ou premier groupe d’homotopie).

Exemple. Puisque le seul lacet d’un espace topologique réduit à un point² est le lacet constant, si X= {x}, alors π1(X, x) = {0}.

Changement de point base

Rappelons que par le lemme 1.1 (3), si α₁, ..., α_n sont des chemins consécutivement composables, alors la classe [α₁⋅α₂⋅...⋅α_n] ne dépend pas des parenthésages.

Proposition 1.3. Soit c un chemin d’origine x et d’extrémité y dans X. L’application φc ∶ [α] ↦ [c⋅α⋅c] est un isomorphisme de groupes de π1(X, y) dans π1(X, x), qui ne dépend que de la classe d’homotopie (relativement aux extrémités) de c. Si ` est un autre chemin joignant x à y, alors les isomorphismes de groupes φ_c et φ_` sont conjugués.

Démonstration. En effet,

φ_c([α⋅β]) = [c⋅α⋅β⋅c] = [c⋅α⋅c⋅c⋅β⋅c] = [c⋅α⋅c][c⋅β⋅c] =φ_c([α])φ_c([β]).

De plus, φ_c=φ⁻_c¹, et si gest la classe du lacet `⋅cde basex, alors φ_`([α]) = [`⋅α⋅`] = [`⋅c⋅c⋅α⋅c⋅c⋅`] =

[`⋅c][c⋅α⋅c][`⋅c]⁻¹ =g φc([α])g⁻¹.

α

` c y x

◻ Corollaire 1.4. Si X est connexe par arcs, et x, y ∈ X, alors les groupes π1(X, x) et π1(X, y) sont isomorphes. Si π1(X, x) est abélien, cet isomorphisme est canonique. ◻

2. Il existe une et une seule topologie sur un ensemble ayant un seul élément !

(12)

Nous noterons souvent π1(X, x0) par π1X, quand un point base x0 de X est sous- entendu et indifférent. La proposition précédente laisse penser que cet abus de notation ne pose que peu de problèmes. Mais “peu de problèmes” ne signifie pas “pas de problèmes”, et du soin est nécessaire en ce qui concerne le traitement des points bases des groupes fondamentaux.

Exercice E.3. Soit(Xi, xi)i∈I une famille d’espaces topologiques pointés. Montrer que les groupes π₁(∏i∈IX_i,(x_i)i∈I) et ∏ⁱ∈Iπ₁(X_i, x_i) sont isomorphes. En particulier,

π₁(X×Y,(x, y)) ≃π₁(X, x) ×π₁(Y, y). Propriété fonctorielle du groupe fondamental

Soient X et Y deux espaces topologiques, et f ∶X →Y une application continue. Si c est un chemin joignant x à y, alors f ○c est un chemin joignant f(x) à f(y). La post- compositionc↦f○cparf des chemins est compatible avec l’homotopie (relativement aux extrémités) des chemins :

siα etβ sont deux chemins homotopes dans X, alors f○α etf○β le sont aussi dansY, (car f○h ∶ [0,1]² →Y est une homotopie entre f ○α et f ○β si h ∶ [0,1]² →X est une homotopie entre α etβ) et avec la composition des chemins :

f○ (α⋅β) = (f○α) ⋅ (f○β). Le résultat suivant en découle.

Proposition 1.5. Pour tout x∈ X, une application continue f ∶X →Y induit un morphisme de groupes f_∗∶ [α] ↦ [f○α] de π1(X, x) dans π1(Y, f(x)). ◻ De plus, si f est l’application identique de X, alors f_∗ est l’application identique de π1(X, x); si g est une application continue de Y dans un espace topologique Z, alors (g○f)∗=g_∗○f_∗.

Groupe fondamental et homotopie

Proposition 1.6. Soient f, g∶X→Y deux applications continues homotopes. Pour tout x dans X, il existe un isomorphisme de groupes u ∶π₁(Y, g(x)) → π₁(Y, f(x)) tel que le diagramme suivant commute :

π1(Y, f(x))

f∗

↗

π1(X, x) ↑u g↘_∗

π1(Y, g(x)). Si f etg sont homotopes relativement à {x}, alors f_∗=g_∗.

(13)

Démonstration. Soit h une homotopie entref etg. Soit cle chemin s↦hs(x) =h(x, s) dans Y entref(x) etg(x). Par la proposition 1.3, l’application u ∶ [β] ↦ [c⋅β⋅c] est un isomorphisme de groupes de π1(Y, g(x)) dansπ1(Y, f(x)). Pour montrer que f_∗ =u○g_∗, il suffit de montrer que pour tout lacet α d’origine x dansX, les lacets (c⋅ (g○α)) ⋅c et f○α sont homotopes (relativement aux extrémités).

c

h_s○α

c_s f○α

g○α f(x)

g(x)

Pour toutsdans[0,1], considérons le che- minc_s∶t↦h(x, st). L’application(s, t) ↦ ((cs⋅(hs○α))⋅cs)(t)est continue. Ens=0, elle vaut (c_f₍_x₎⋅ (f ○α)) ⋅c_f₍_x₎ (où c_f₍_x₎ est l’application constante en f(x) ), qui est homotope à f○α. En s=1, elle vaut

(c⋅ (g○α)) ⋅c. ◻

Corollaire 1.7. Si f ∶X →Y est une équivalence d’homotopie entre X et Y, alors l’application f_∗ ∶π₁(X, x) →π₁(Y, f(x)) induite par f sur les groupes fondamentaux est un isomorphisme de groupes.

Démonstration. Soit g∶Y →X une application continue telle que f ○g etg○f soient homotopes à l’identité. Par la proposition précédente et les propriétés fonctorielles,f_∗○g_∗ etg_∗○f_∗ sont des isomorphismes de groupes. Donc f_∗ est surjective et injective. ◻ Corollaire 1.8. Les groupes fondamentaux de deux espaces connexes par arcs, ayant même

type d’homotopie, sont isomorphes. ◻

Corollaire 1.9. Tout groupe fondamental d’espace contractile est trivial.

Démonstration. Un espace contractile a même type d’homotopie qu’un singleton. ◻ SoientXun espace topologique etx∈X. Nous identifions l’espace topologique quotient [0,1]/⟨{0,1}⟩ (voir l’exemple (3) suivant l’exercice E.A.82) obtenu en recollant les deux extrémités de l’intervalle[0,1] avecS1⊂R²=Cpar l’homéomorphisme[θ] ↦e^2iπθ. À tout lacet α dans X d’origine x est ainsi associé une application continue, encore notée α, de S1 dansX telle que α(1) =x.

Siαest un lacet deX, nous appelonsclasse d’homotopie relativela classe d’homotopie relativement à {1} de l’application continue α∶S1 →X ainsi définie, et, pour distinguer, classe d’homotopie libre la classe d’homotopie de l’application continue α ∶S1 →X ainsi définie.

La proposition suivante est souvent utilisée pour vérifier ou utiliser l’annulation d’une classe d’homotopie.

Proposition 1.10. Soit α ∶S1 →X une application continue, telle que α(1) =x. Alors [α] =1dansπ1(X, x)si et seulement siαs’étend continuement en une application continue B2→X.

Démonstration. Siα s’étend continuement en f ∶B2 →X, si i∶S1 →B2 est l’inclusion, alors, par fonctorialité, le diagramme suivant est commutatif :

π₁(B2,1)

i∗↗ ↓^f^∗ π₁(S1,1) Ð→^α^∗ π₁(X, x).

(14)

Or siβ∶ [0,1] →S1= [0,1]/_⟨{0,1}⟩est le lacet induit par passage au quotient de l’identité de [0,1], alors α_∗[β] = [α]. Commeπ₁(B2,1) = {1}, ceci montre que [α] est l’élément neutre de π1(X, x).

Réciproquement, si [α] = 1, alors soit h ∶ S1× [0,1] → X une homotopie entre α et l’application constante. Considérons l’espace topologique quotient

Y = (S1× [0,1])/⟨S1× {1}⟩

obtenu en écrasant en un point la composante connexe S1 × {1} du bord de l’anneau S1× [0,1]. Alorsh factorise en une application continue deY à valeurs dansX. OrY est homéomorphe au disque, par un homéomorphisme valant l’identité sur S1, en identifiant S1 avec un sous-espace deY par l’application induite par x↦ (x,0). ◻ Exercice E.4. Soient X un espace topologique connexe par arcs etx un point deX. Nous notons [S1, X] l’ensemble des classes d’homotopies d’applications du cercle S1 dans X.

Montrer que l’application deπ1(X, x)dans[S1, X]qui à la classe d’homotopie relative d’un lacet α associe la classe d’homotopie libre de l’application α de S1 dans X, est surjective et induit une bijection de l’ensemble des classes de conjugaison du groupe π₁(X, x) sur [S1, X].

Exercice E.5. SoitX un espace topologique connexe par arcs. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

● X est simplement connexe ;

● il existe x dans X tel que π1(X, x) =0;

● π₁(X, x) =0 pour tout x dans X;

● deux chemins de même origine et même extrémité sont homotopes (relativement aux extrémités).

Proposition 1.11. Soient X un espace topologique, U et V deux ouverts connexes par arcs de X, tels que X=U∪V et tels que U∩V soit connexe par arcs. Pour tout x dans U∩V, sii∶U →X etj∶V →X sont les inclusions, alorsi_∗π1(U, x) ∪j_∗π1(V, x) engendre π₁(X, x). En particulier, si U et V sont de plus simplement connexes d’intersection non vide, alors X est simplement connexe.

Démonstration. Soitα un lacet enx. Par compacité de[0,1]et continuité deα, il existe n∈N non nul tel queα([_nⁱ,ⁱ⁺_n¹])soit contenu dans U ou dans V pour tout i=0, ..., n−1.

Pour tout i=0, ..., n, soit ci un chemin entre xet α(_nⁱ), contenu dans U, V, U∩V si α(_nⁱ) appartient à U, V, U∩V respectivement (ce qui est possible carU, V, U∩V sont connexes par arcs), avec c0 et cn constants. Pour tout i = 0, . . . , n−1, nous notons αi le chemin t↦α(ⁱ⁺_n^t). Par le lemme1.1, le lacetα en xest homotope à

(c0⋅α0⋅c1) ⋅ (c1⋅α1⋅c2) ⋅...⋅ (cn−2⋅αn−2⋅cn−1) ⋅ (cn−1⋅αn−1⋅cn).

Pour i=0, ..., n−1, le chemin ci⋅αi⋅ci+1, est un lacet en x contenu dans U ou dans V. Donc i_∗π1(U, x) ∪j_∗π1(V, x)engendre π1(X, x).

Montrons la dernière assertion. SiU∩V est non vide, alorsX est connexe par arcs. Si U etV sont simplement connexes, alors chaque ci⋅αi⋅ci+1 est homotope au lacet constant en x. Donc α est homotope au lacet constant en x. Par conséquent, X est simplement

connexe. ◻

(15)

Corollaire 1.12. Pour n≥2, la sphère Sn est simplement connexe.

Démonstration. Elle s’écrit comme réunion de l’ouvertU complémentaire du pôle nord, et de l’ouvert V complémentaire du pôle sud. Les ouverts U, V sont contractiles, donc simplement connexes. L’intersectionU∩V se rétracte par déformation forte sur l’équateur

Sn−1, qui est connexe par arcs sin≥2. ◻

Corollaire 1.13. Pour n≥1, l’espace projectif complexePn(C) est simplement connexe.

Démonstration. Rappelons que pour tout n ∈ N− {0}, l’espace projectif complexe de dimensionnest l’espace des droites complexes de Cⁿ⁺¹

Pn(C) = (Cⁿ⁺¹− {0})/C^∗.

Raisonnons par récurrence surn. D’après l’exerciceE.A.93, la droite projectiveP1(C) est homéomorphe à la sphèreS2. Donc

π₁(P1(C)) =0.

Supposons maintenant Pn(C) simplement connexe. Si f ∶∂B2n+2 =S2n+1 →Pn(C) est la projection canonique, alors le recollement B2n+2 ∪f Pn(C) est homéomorphe à Pn+1(C) (voir l’exercice E.A.93). L’intérieurB^○²ⁿ+2 de B2n+2 est un ouvertU de B2n+2∪^fPn(C). Le complémentaire de l’origine de B2n+2 est un ouvert V de B2n+2∪fPn(C). Comme U est contractile, etV se rétracte par déformation forte surPn(C), donc est simplement connexe, la proposition 1.11montre que Pn+1(C)est simplement connexe. ◻ 1.3 Autres exercices

Exercice E.6. Nous appelonspeigne le sous-espace topologiqueX de R² suivant : X= [0,1] × {0} ∪ ⋃

α∈{0}∪{2⁻ⁿ∶n∈N}{α} × [0,1].

Montrer que le peigne est contractile. Soit x₀ = (0,1). Montrer que id_X est homotope à l’application constante en x0, mais n’est pas homotope à l’application constante en x0

relativement à{x0}.

Coller en tordant une fois

1 1 0 ¹₄ 2

Le peigne x₀

Le ruban de Möbius

(16)

Exercice E.7. (1) Montrer que l’espace topologique quotient C = [0,1] × [0,1]/ ∼, où

∼ est la relation d’équivalence engendrée par (0, s) ∼ (1, s), est homéomorphe au sous- espace topologique {z∈C∶1≤ ∣z∣ ≤2} (appelé unanneau) de Cet à l’espace topologique produitS1× [0,1](appelé un cylindre). Montrer que cet anneau, ainsi que l’anneau ouvert {z∈C∶1< ∣z∣ <2}, ont le même type d’homotopie que le cercleS1.

(2) Montrer que le ruban de Möbius M = [0,1] × [0,1]/ ∼, où ∼ est la relation d’équi- valence engendrée par (0, s) ∼ (1,1−s), a le même type d’homotopie que le cercle S1. On pourra par exemple montrer que A=π([0,1] × {¹₂}), où π ∶ [0,1] × [0,1] →M est la projection canonique, est un rétracte par déformation forte de M.

(3) Montrer qu’il existe un homéomorphisme localf ∶C→M tel que tout point deM admette exactement deux antécédents (l’application f est un revêtement à deux feuillets, avec la terminologie de la partie 2).

(4) En utilisant par exemple le théorème de Jordan disant que toute courbe fermée simple du plan euclidien le sépare en deux composantes connexes, montrer queC etM ne sont pas homéomorphes.

Exercice E.8. Montrer que le tore troué S1×S1− {(1,1)} a le même type d’homotopie que le bouquet de deux cercles(S1,1)∨(S1,1)(voir l’exemple (4) suivant l’exerciceE.A.82 dans la partieA.2 pour la définition d’un bouquet de cercles).

(1,1)

Exercice E.9. Montrer que pour tout n ∈ N, le plan euclidien, privé de n points, a le même type d’homotopie que le bouquet de ncercles (voir l’exemple (4) suivant l’exercice E.A.82pour la définition d’un bouquet de cercles).

Exercice E.10. SoitGun groupe topologique, d’élément neutree. Sif, g∶ [0,1] →Gsont deux lacets en e, nous notons f g∶ [0,1] →G le lacet défini parf g∶t↦f(t)g(t).

1) Montrer que les lacetsf⋅g etf gsont homotopes (rel {0,1}).

2) Montrer queπ₁(G, e) est abélien.

(En particulier avec les notations qui seront introduites plus loin, les groupesπ₁(Tⁿ,0), π1(SO(n), e)etπ1(SLn(R), e) sont abéliens.)

Exercice E.11. Rappelons tout d’abord le théorème de relèvement des applications et des homotopies à valeurs dans le cercle (voir le corollaire 2.26 pour une preuve dans un cadre général).

— Si f ∶ [0,1] → S1 est une application continue, pour tout t₀ ∈R tel que f(0) = e^2iπt⁰, il existe une application continue f̃∶ [0,1] → R telle que f̃(0) = t0 et f(t) = e^2iπ^f^̃⁽^t⁾ pour toutt∈ [0,1], appelée un relèvement def, qui est unique si nous demandons que f̃(0) =t0.

— Si h ∶ [0,1] × [0,1] → S1 est une application continue, et si f ∶ [0,1] → R est une application continue telle que h(t,0) =e^2iπf⁽^t⁾ pour tout t∈ [0,1], alors il existe une et une seule application continue ̃h ∶ [0,1] × [0,1] → R telle que ̃h(t,0) = f(t) et h(t, s) =e^2iπ^̃^h⁽^t,s⁾ pour tous lest, s∈ [0,1].

(17)

1) Montrer que, pour tout x dans S1, l’application ϕx ∶ π1(S¹, x) → Z, définie par [γ] ↦ ̃γ(1) − ̃γ(0)où ̃γ est un relèvement du lacetγ défini ci-dessus, est un isomorphisme de groupes.

Sic est un lacet dans S1, d’origine x et d’extrémité y, et si φc ∶π1(S¹, y) →π1(S¹, x) est l’isomorphisme de groupes défini dans la proposition 1.3, montrer queϕ_x○φ_c=ϕ_y.

Soient f ∶S1 →S1 une application continue et x un point de S1. Posons y =f(x). La composition des morphismes de groupes

Z

ϕ⁻¹_x

Ð→π1(S1, x)Ð→^f^∗ π1(S1, y)Ð→^ϕ^y Z

est un morphisme de groupes de Z dans Z. C’est donc la multiplication par un entier n, qui ne dépend pas de x par ce qui précède. Nous le notons deg(f), et nous l’appelons le degré def.

Dans ce qui suit,f etg sont des applications continues de S1 dansS1.

2) Si f est une rotation, calculer deg(f). Pourn∈N, calculer le degré de l’application z↦zⁿ.

3) Montrer quedeg(f○g) =deg(f)deg(g). En déduire que sif est un homéomorphisme, alorsdeg(f) = ±1.

4) Montrer quedeg(f) =deg(g) si et seulement si f et g sont homotopes. En déduire que deg(f) =0 si et seulement sif se prolonge continûment en une application continue f^′∶B2→S1.

5) Montrer qu’il n’existe pas de rétraction B2 →S1.

6) Démontrer le théorème de d’Alembert : tout polynôme complexe non constant admet au moins une racine complexe.

7) Soit f ∶S1 →S1 une application continue telle que f(−x) = −f(x). Montrer que f est de degré impair.

8) Calculer le groupe fondamental du toreTⁿ de dimension n, du ruban de Möbius et des anneaux sphériques fermés {x∈Rⁿ∶a≤ ∥x∥ ≤b} et ouverts {x∈Rⁿ∶a< ∥x∥ <b} où b>a>0.

Exercice E.12. (Théorème de Borsuk-Ulam en dimension 1 et2) Lethéorème de Borsuk-Ulam affirme que pour tout n∈Net pour toute application continuef ∶Sn→Rⁿ, il existe un pointx∈Sn tel que f(x) =f(−x)

(1) Montrez que ce théorème sin=1.

(2) Supposons par l’absurde qu’il existe une application continue f ∶S2 →R² telle que pour tout x∈Snnous ayons f(x) ≠f(−x)

a) Montrez que le degré d’une application continueϕ∶S1→S1 vérifiantϕ(−x) = −ϕ(x) pour tout x∈S1 est impair.

b) Construire une application g ∶ S2 → S1 telle que pour tout x ∈ S2 nous ayons g(−x) = −g(x).

c) Notonsι∶S1→S2 l’inclusion du cercleS1 comme équateur de la sphère S2. Montrez que ιest homotope à une application constante, alors que g○ι ne l’est pas. Conclure.

(18)

Exercice E.13. 1) SoientXun espace topologique etCX = (X×[0,1])/⟨X×{1}⟩le cône surX (voir l’exemple (1) suivant l’exerciceE.A.82). Nous notons [x, t] la classe dansCX de l’élément(x, t)deX×[0,1]. Montrer queCX est contractile, et que six0= [x,1](pour toutxdansX) est le sommet de ce cône, alorsCX−{x0}se rétracte par déformation forte surX (identifié parx↦ [x,0] avec une partie deCX).

2) Sif ∶X→Y est une application continue, nous appelonscônedef, et nous notons C(f) l’espace topologique obtenu par recollement (voir l’exemple (5) suivant l’exercice E.A.82 pour la définition d’un recollement) du cône CX de X sur Y par l’application f (comme ci-dessus,X est identifié à une partie deCX) :

C(f) =CX∪fY . Nous notons encore x₀ l’image de x₀∈CX dansC(f).

Montrer queC(f) − {x0} se rétracte par déformation forte surY.

3) Soient X un espace topologique et SX = (X× [−1,1])/R, où R est la relation d’équivalence engendrée par (x,1) ∼ (x^′,1) et (x,−1) ∼ (x^′,−1) pour tous x, x^′ dans X, la suspension de X (voir l’exemple (2) suivant l’exercice E.A.82). Montrer que si X est connexe par arcs, alors SX est simplement connexe. Donner un contre-exemple si l’hypo- thèse n’est pas vérifiée.

1.4 Indications pour la résolution des exercices

Correction de l’exercice E.8. Les deux series de dessins ci-dessous montrent que le tore troué se rétracte par déformation forte sur un sous-espace homéomorphe à un bouquet de deux cercles, ce qui implique le résultat. La première série voit le tore (à homéomorphisme près) comme l’espace topologique quotient du carré∣0,1]par l’identification par translation des côtés opposés. La seconde série voit le tore (à homéomorphisme près) comme le tore de révolution autour de l’axe de coordonnée vertical d’un cercle vertical disjoint de cet axe de coordonnée.

S1∨S1

T²− {∗}

(19)

2 Revêtements

2.1 Définitions

L’application continue p ∶ R → S1 de la droite réelle dans le cercle, définie par t ↦ e^2πit, vérifie la propriété suivante : pour tout élément x =e^2πiθ dans S1, siV =S1− {−x}, alors p⁻¹(V)est une réunion disjointe⋃^k∈Z]θ+(2k−1)π, θ+(2k+1)π[et la restriction depà chaque]θ+(2k−1)π, θ+(2k+1)π[est un homéo- morphisme de cet ouvert sur V. De plus, le groupe Z des translations entières de R agit transitivement sur l’ensemble des préimages d’un point donné du cercle.

Pour tout espace topologiqueX et pour tout espace topologique discretDnon vide, la première projection pr₁ ∶ X ×D → X est aussi, en restriction à chaque

« tranche »X× {d}, un homéomorphisme surX.

Z

R

e^2iπt t

S1

SoientXetB deux espaces topologiques, etp∶X→B une application continue. Nous dirons que pest unrevêtementsi pour toutb∈B, il existe un voisinageV debdansB, un espace discretDnon vide etθ∶V×D→p⁻¹(V)un homéomorphisme tel que le diagramme suivant commute :

V ×D Ð→^θ p⁻¹(V)

pr₁ ↘ ↓p

V .

Nous dirons queB est labasede p,X l’espace total dep,p⁻¹(b)lafibrede pau-dessus de b,V unvoisinage distingué deb pourp,θune trivialisation localedepau-dessus deV. Remarque.CommeDest non vide, un revêtement est surjectif. CommeDest discret etθ est un homéomorphisme, notons que les fibresp⁻¹(b), pour toutb∈B, sont des sous-espaces discrets de X.

Soientp∶X→B etp^′∶X^′→B deux revêtements ayant même base. Unmorphisme de revêtements de f sur f^′ est une application continue φ∶X →X^′ telle que le diagramme suivant commute

X Ð→^φ X^′

f ↘ ↙f^′

B .

L’applicationidest un morphisme de revêtements, ditidentité, def surf. Sif^′′∶X^′′→B est un revêtement de baseB etφ^′un morphisme de revêtements def^′surf^′′, alorsφ^′○φest un morphisme de revêtements de f surf^′′, ditcomposé. Unisomorphisme de revêtements de f sur f^′ est un morphisme de revêtements φ∶X →X^′ de f sur f^′ tel qu’il existe un morphisme de revêtements ψ ∶X^′ →X de f^′ sur f tel que ψ○φ= id_X et φ○ψ = id_X^′. Si de plus X=X^′, nous parlons d’automorphisme de revêtements. Deux revêtements sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de revêtements de l’un sur l’autre.

Nous notons Aut(f) le groupe des automorphismes de revêtements def (nous notons aussi parfois Aut_B(X)ce groupe, mais cette notation est abusive, car il peut exister deux

(20)

revêtements non isomorphes entre deux espaces topologiques donnés, comme les applications z ↦zⁿ etz ↦z^m avec n≠m du cercle S1 = {z ∈C ∶ ∣z∣ = 1} dans lui-même, voir aussi l’exerciceE.29).

Un revêtement f ∶X → B de base B est dit trivial s’il est isomorphe au revêtement pr₁∶B×D→B, où Dest un espace discret non vide.

Sif ∶X→B est un revêtement etW un ouvert deB, alorsf_∣_f⁻¹₍_W₎∶f⁻¹(W) →W est un revêtement, qui est trivial si W est un ouvert distingué.

Proposition 2.1. L’application f est un revêtement si et seulement si tout pointy de B admet un voisinage V tel quef⁻¹(V) = ⋃ⁱ∈IU_i soit une union disjointe non vide d’ouverts Ui de X tels quef_∣_U_i∶Ui→V soit un homéomorphisme.

Démonstration. Sif est un revêtement, alors pour tout y ∈B, notons V un voisinage distingué de y et h une trivialisation locale de f au-dessus de V. En posant I = D et U_i =h(V × {i}) pour tout idansI, l’applicationf vérifie la propriété demandée.

Réciproquement, si I et (Ui)ⁱ∈I comme dans l’énoncé existent, alors notons D l’en- sembleI muni de la topologie discrète, et considérons l’application

g∶f⁻¹(V) = ⋃

i∈I

U_i→V ×I

telle que g(x) = (f(x), i) si x ∈Ui. Il est élémentaire de vérifier que g est un homéomor- phisme, dont l’inverseh est une trivialisation locale def au-dessus de V. ◻ 2.2 Homéomorphismes locaux et revêtements

Dans cette partie, nous comparons les homéomorphismes locaux et les revêtements.

SoientXetY deux espaces topologiques. Unhoméomorphisme localest une application continuef ∶X→Y telle que pour toutx dansX, il existe un voisinage ouvert U de x tel que f(U)soit ouvert et f_∣_U∶U →f(U) soit un homéomorphisme.

Remarques.

(1) Un homéomorphisme local est une application ouverte.

(2) S’il existe un homéomorphisme local surjectif entre deux espaces topologiques, alors ceux-ci ont les mêmes propriétés topologiques locales (locale connexité, locale connexité par arcs, locale contractibilité, etc).

(3) Un revêtement est un homéomorphisme local.

(4) Comme nous le verrons dans la partie4, siXetY sont deux sous-variétés différentielles de même dimension, alors une application différentiablef ∶X→Y est une submersion (c’est-à-dire son application tangente en chaque point est surjective) si et seulement si elle est une immersion (c’est-à-dire son application tangente en chaque point est injective), et alors f est un homéomorphisme local, par le théorème d’inversion locale.

(5) Sif ∶X→B est un revêtement et siB est connexe, alors le cardinal de la fibref⁻¹(y) est constant en y dansB.

Un revêtementf ∶X →B est un revêtement finisi pour tout y dansB, le cardinal de la fibre f⁻¹(y) est fini. Soit n∈N− {0}. Un revêtementf ∶X→B est un revêtement à n feuillets si pour tout y dans B, le cardinal de la fibre f⁻¹(y) est n. Un revêtement à un feuillet est un homéomorphisme (car il est alors injectif, et tout revêtement est continu, ouvert, surjectif).

(21)

Proposition 2.2. Soit f ∶ X → Y un homéomorphisme local, et supposons que X soit séparé. Si l’une des deux conditions suivantes

● le cardinal de chaque fibre f⁻¹(y) est fini constant non nul,

● l’application f est propre (voir la définition au dessus de la proposition A.22 dans l’appendice A) et l’espace topologique Y est connexe,

est vérifıée, alors f est un revêtement fini, donc àn feuillets pour unn∈N− {0}.

Démonstration. Pour tout y dans Y, et tout x dans F =f⁻¹(y), il existe un voisinage ouvert Ux dex tel que f_∣_U_x∶Ux→f(Ux) soit un homéomorphisme. CommeX est séparé, siF est fini, nous pouvons supposer que lesUx pourx dansF sont deux à deux disjoints.

Sous la première hypothèse, posons V = ⋂^x∈Ff(U_x), qui est ouvert car f est ouverte.

Alors f⁻¹(V) ⊃ ⋃^x∈Ff⁻¹(V) ∩Ux (union disjointe) et comme le cardinal des fibres est constant, il y a égalité. De plus la restriction def àf⁻¹(V) ∩Ux est un homéomorphisme entref⁻¹(V) ∩U_x etV. Doncf est un revêtement par la proposition2.1.

Sif est propre, alors le cardinal de chaque fibre est fini non nul. En effet, l’application f est ouverte, car c’est un homéomorphisme local, et fermée car propre (voir la définition au-dessus de la proposition A.22dans l’appendice A). Comme Y est connexe, nous avons doncf(X) =Y. Doncf est surjective. Pour toutydansY, la fibreF =f⁻¹(y)est compacte car f est propre. Elle est aussi discrète, carf étant un homéomorphisme local, pour tout x∈F, il existeU_x un voisinage de x tel que U_x∩F = {x}. Elle est donc finie.

Soit U_x pour x ∈ F comme ci-dessus. Comme f est fermée, le sous-ensemble V = Y−f(X−⋃^x∈FUx)est un voisinage ouvert deytel quef⁻¹(V) ⊂ ⋃^x∈FUx. Doncf⁻¹(V) =

⋃^x∈Ff⁻¹(V) ∩U_x (union disjointe) et la restriction de f à f⁻¹(V) ∩U_x est un homéomor- phismeentre f⁻¹(V) ∩U_x et V. Donc f est un revêtement par la proposition 2.1. Par la remarque (5) ci-dessus, le cardinal (fini) des fibres de f est constant. ◻ Exemples.

● L’application de l’intervalle ]0,2[ dans le cercle S1 définie par t↦e^2πit est un homéo- morphisme local, de fibres finies non vides, mais qui n’est pas un revêtement.

● SiX = {0_±}∪ ]0,1] est l’espace topologique non séparé de l’exercice E.A.71 dans l’appendice A, l’application X → [0,1] définie par 0_±↦0 ett↦t si t>0 est un homéo- morphisme local, de fibres finies non vides, mais qui n’est pas un revêtement.

● Soit n ∈ N− {0}. L’application de C^∗ dans C^∗, ainsi que de S1 dans S1, définie par z↦zⁿ est un revêtement ànfeuillets.

● SoitPun polynôme complexe de degrén>0. SoitZl’ensemble des racines du polynôme dérivé P^′, F l’ensemble fini P(Z) et U l’ouvert connexe C−P⁻¹(F). Alors P_∣_U ∶U → C−F est un revêtement à n feuillets. En effet, c’est un homéomorphisme local, car P est une immersion sur U, et les images réciproques de chaque point de C−F ont exactement nracines.

● SiXetY sont des sous-variétés différentielles connexes compactes de même dimension, et si f ∶X→Y est une submersion/immersion, alors f est un revêtement (car un ho- méomorphisme local propre).

(22)

2.3 Actions de groupes topologiques

Cette partie est composée de définitions et propriétés élémentaires sur les actions continues de groupes et les groupes topologiques. Nous renvoyons à l’appendice B.1 pour des rappels sur les actions ensemblistes de groupes.

Un groupe topologique est un ensemble G muni d’une structure de groupe et d’une structure d’espace topologique compatibles, c’est-à-dire telles que l’application

G×G Ð→ G (x, y) ↦ xy⁻¹

soit continue.³ Un morphisme de groupes topologiques est un morphisme de groupes qui est continu. Un isomorphisme de groupes topologiques est un isomorphisme de groupes qui est un homéomorphisme. Deux groupes topologiques sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de groupes topologiques de l’un sur l’autre. Si Gest un groupe topologique, alors pour tout g∈G, la translation à gauche L_g ∶ G Ð→ G

h ↦ gh parg et la translation à droite Rg∶ G Ð→ G

h ↦ hg⁻¹ parg⁻¹ sont des homéomorphismes.

Exemple. SoitGun groupe. Muni de la topologie discrète, Gest un groupe topologique, que nous appellerons un groupe discret.

Soit n∈N− {0}. Notons GLn(C) le groupe linéaire complexe des matrices complexes n-ninversibles, muni de la topologie induite par la topologie usuelle⁴ surCⁿ

2, etGLn(R) le sous-groupe des matrices à coefficients réels, appelé le groupe linéaireréel. Soient

SL_n(C) = {x∈GL_n(C) ∶ det x=1} legroupe spécial linéaire complexe,

U(n) = {x∈GL_n(C) ∶ x⁻¹=x^∗}

le groupe unitaire, oùx^∗= ^tx est la matrice adjointe de x, et SU(n) =U(n) ∩SLn(C) le groupe spécial unitaire. Soient

SL_n(R) = {x∈GL_n(R) ∶ det x=1} legroupe spécial linéaire réel,

O(n) = {x∈GL_n(R) ∶ x⁻¹= ^tx}

legroupe orthogonal, etSO(n) =O(n) ∩SLn(R)le groupe spécial orthogonal.

Exercice E.14. (1) Montrer que tout sous-groupe d’un groupe topologique, muni de la topologie induite, est un groupe topologique. Montrer que le produit d’une famille (quel- conque) de groupes topologiques, muni de la topologie produit et de la structure de groupe produit, est un groupe topologique. Montrer que si G est un groupe topologique et H un sous-groupe distingué, alors le groupe quotient G/H, muni de la topologie quotient, est un groupe topologique.

3. Montrer que cette condition est équivalente au fait de demander que les deux applications G×G Ð→ G

(x, y) ↦ xy et G Ð→ G

x ↦ x⁻¹ soient continues.

4. définie par n’importe laquelle de ses normes