La probabilité qu un ordinateur tombe en panne la première année est égale à 0,01.

(1)

Loi de Poisson Problème 1

Un lycée décide de commander 200 ordinateurs.

La probabilité qu’un ordinateur tombe en panne la première année est égale à 0,01.

Partie A

X est la variable aléatoire donnant le nombre d’ordinateurs ayant une panne la première année de fonctionnement.

1. Donner sans justifier la loi de probabilité de X.

Calculer l’espérance mathématique de X notée E ( X ).

2. a. Calculer l’arrondi à 10 ^{– 3} de la probabilité que le nombre de pannes soit égal à 3.

b. Calculer l’arrondi à 10 ^{– 3} de la probabilité que le nombre de pannes soit strictement supérieur à 3.

3. a. Ecrire un script Python qui permet de déterminer le plus petit entier u de [ 0 ; 200 ] tel que P ( X ≤ u ) > 0,99.

b. Donner sans justifier la valeur de u.

Partie B

On admet que X peut être approché par une variable aléatoire Y qui suit une loi de Poisson.

1. On appelle λ le paramètre de cette loi de Poisson. Quelle est la valeur de λ ? 2. a. Calculer la probabilité que Y soit égal à 3.

b. Calculer la probabilité que Y soit strictement supérieur à 3.

3. a. Ecrire un script Python qui permet de déterminer le plus petit entier v de [ 0 ; 200 ] tel que P ( Y ≤ v ) ≥ 0,99.

b. Donner sans justifier la valeur de v.

(2)

Loi de Poisson Problème 2

Louis tient un magasin de vêtements.

Il commande à un fournisseur un lot de 100 jeans.

La probabilité qu’un jean ait un défaut est égal à p. On suppose que 0 ≤ p ≤ 0,1.

Il accepte le lot si le nombre de jeans ayant un défaut est inférieur ou égal à 2.

Soit X la variable aléatoire donnant le nombre de jeans défectueux dans le lot.

On considère que X suit la loi binomiale de paramètres n et p.

1. On admet que X peut être approché par une variable aléatoire Y qui suit une loi de Poisson.

a. Quel est le paramètre noté t de cette loi de Poisson.

b. Déterminer un encadrement du nombre t.

2. A est l’évènement : « Louis accepte le lot ».

On note f ( t ) = P ( Y ≤ 2 ).

a. Exprimer f ( t ) en fonction de t.

b. Quel est l’arrondi à 10 ^{– 3} de la probabilité de l’évènement A lorsque p = 0,04 ? c. Etudier les variations de la fonction f sur [ 0 ; 10 ].

d. Montrer que l’équation f ( t ) = 0,95 possède une solution unique notée α dans [ 0 ; 10 ] Déterminer un encadrement du réel α d’amplitude 10 ^{– 2}.

Placer le réel α sur le graphique donné en annexe.

e. Déterminer les valeurs de p telles que P ( A ) ≥ 0,95.

On prendra pour α sa valeur approchée par défaut à 10 ^{– 2} près.

Annexe

(3)

Loi de Poisson Problème 1 Partie A

1. X suit la loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0,01.

E ( X ) = n  p = 200  0,01 = 2.

2.a. P ( X = 3 ) = ²⁰⁰ 3

 

 

   0,01 ³  0,99 ¹⁹⁷. P ( X = 3 ) ≈ 0,181.

2.b. P ( X > 3 ) = 1 – P ( X ≤ 2 ). P ( X > 3 ) ≈ 0,142.

3.a.

def valeur():

n=200 p=0.01 q=1-p u=0 b=q**n c=b

while c<=0.99:

u=u+1

b=b*(n-u+1)*p/(u*q) c=c+b

return(u) 3.b. u = 6.

(4)

Loi de Poisson Problème 1 Partie B

1. λ = E ( X ) = 2.

2.a. P ( Y = 3 ) =

2 3

2 3 ! e^ 

= 4 2

3 e^

. P ( Y = 3 ) ≈ 0,180.

2.b. P ( Y > 3 ) = 1 – P ( Y ≤ 3 ) donc P ( Y > 3 ) ≈ 0,143.

3.a.

from math import * def valeur():

t=2 v=0 p=exp(-t) c=p

while c<=0.99:

v=v+1 p=p*t/v c=c+p return(v) 3.b. v = 6.

(5)

Loi de Poisson Problème 2 1.a. t = 100 p.

1.b. 0 ≤ p ≤ 0,1 donc 0 ≤ 100 p ≤ 10 donc 0 ≤ t ≤ 10.

2.a. f ( t ) = P ( Y ≤ 2 )

donc f ( t ) = P ( Y = 0 ) + P ( Y = 1 ) + P ( Y = 2 ) donc f ( t ) =

0

0 ! e^t  t

+

1

1 ! e^t  t

+

2

2 ! e^t  t

donc f ( t ) = e ^{– t} ( 1 + t + ¹ 2 t ² ).

2.b. On suppose que p = 0,04. t = 100 p = 100  0,04 = 4.

f ( 4 ) = e ^{– 4} ( 1 + 4 + ¹

2  4 ² ) = 13 e ^{– 4}. f ( 4 ) ≈ 0,238.

Lorsque p = 0,04 : P ( A ) ≈ 0,238.

2.c. Pour tout réel t de [ 0 ; 10 ], f ( t ) = ( 1 + t + ¹

2 t ² ) e ^{– t}

donc f ' ( t ) = ( 1 + t ) e ^{– t} – ( 1 + t + ¹

2 t ² ) e ^{– t} donc f ' ( t ) = ( 1 + t – 1 – t – ¹

2 t ² + 1 + t ) e ^{– t} donc f ' ( t ) = – ¹

2 t ² e ^{– t}. ¹

2 e ^{– t} > 0 donc f ' ( t ) a même signe que – t ². f ( 10 ) = e ^{– 10} ( 1 + 10 + ¹

2  10 ² ) = 61 e ^{– 10}. f ( 10 ) ≈ 0,003.

t 0 10 f ' ( x ) 0 –

f ( x )

1

f ( 10 )

2.d. La fonction f est continue et strictement décroissante sur [ 0 ; 10 ] dont l’image par f est [ f ( 10 ) ; 1 ] qui contient 0,95

donc l’équation f ( t ) = 0,95 possède une solution unique notée α dans [ 0 ; 10 ] d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.

f ( 0,81 ) > 0,95 > f ( 0,82 ) donc 0,81 < α < 0,82.

2.e. P ( A ) ≥ 0,95 ssi f ( t ) ≥ 0,95 ssi t ≤ α.

t ≤ 0,81 ssi 100 p ≤ 0,81 ssi p ≤ 0,0081.

P ( A ) ≥ 0,95 pour p ≤ 0,0081.

(6)

Loi de Poisson Problème 2 Annexe

Complément

Diagramme à bâtons de la loi de Poisson de paramètre 0,81.