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Submitted on 13 Jun 2019

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transmission non linéaire structurée en super réseau et simulant un neurone myélinisé

Guy-Merlin Nkeumaleu

To cite this version:

Guy-Merlin Nkeumaleu. Propagation d’informations le long d’une ligne de transmission non linéaire structurée en super réseau et simulant un neurone myélinisé. Traitement du signal et de l’image [eess.SP]. Université Bourgogne Franche-Comté, 2019. Français. �NNT : 2019UBFCK006�. �tel- 02155228�

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Ecole doctorale n°37´

Sciences Pour l’Ing ´enieur et Microtechniques

Doctorat d’Informatique

par

GUY-MERLIN

NKEUMALEU

Propagation d’informations le long d’une ligne de transmission non lin éaire structur ée en super r éseau et simulant un neurone my élinis é.

Th èse pr ésent ée et soutenue à Dijon, le 17/01/2019 Composition du Jury :

AILLERIEMICHEL Professeur à l’Universit é de Lorraine et CentraleSup élec, 1êrRapporteur de la th èse

Pr ´esident

DOSSANTOS SERGE Maˆıtre de Conf ´erences HDR

`a Blois `a l’INSA Centre Val de Loire

Rapporteur

BILBAULTJEAN-MARIE Professeur à l’Universit é de Bourgogne Franche-Comt é

Directeur de th èse NGUETCHOTCHAKOUTIOA. S. Professeur à l’Universit é de

Maroua au Cameroun

Codirecteur de th `ese

N^◦ X X X

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Universit é Bourgogne Franche-Comt é 32, avenue de l’Observatoire 25000 Besançon, France

Titre : Propagation d’informations le long d’une ligne de transmission non lin éaire structur ée en super r éseau et simulant un neurone my élinis é.

Mots-cl és :Ligne électrique 1, Equations aux d ériv ées partielles 2, Soliton 3, Transmissivit é 4, Simulation 5.

R ´esum ´e :

Les syst èmes non lin éaires sont d écrits g én éralement avec des équations aux d ériv ées partielles qui les caract érisent, comme la chaine de pendules coupl és, la chaine de prot éines comportant des mol écules avec liaisons hydrog ène, les r éseaux atomiques...etc. Ces mod èles comportent le plus souvent des interactions inter particulaires anharmoniques et des potentiels de substrat d éformables. En effet, aux cons équences importantes dues à la non lin éarit é et à la dispersion, l’anharmonicit é et la d éformabilit é ajoutent d’autres propri ét és de propagation des ondes solitaires telles que les compactons, les kinks et les antikinks, les peakons , . . . ainsi qu’ à la capacit é du syst ème à transmettre un signal. Nous utilisons ici la m éthode de bifurcation pour tracer les diff érents portraits de phase obtenus par variation des param ètres

du syst ème. Nous mettons en évidence l’influence du facteur d’anharmonicit é du couplage et celle du facteur de d éformation du potentiel de substrat sur la transmissivit é et la bistabilit é du syst ème. Il en ressort que l’amplitude du signal d’entr ée qui produit la bistabilit é d épend de la valeur absolue du coefficient d’anharmonicit é et de l’ épaisseur du milieu non lin éaire à traverser. En tenant compte des propri ét és importantes g én ér ées par de tels syst èmes, il nous a paru int éressant de construire une ligne électrique caract éris ée par les m êmes

équations, c’est à dire un super r éseau qui simule un neurone my élinis é. Les types de solitons obtenus semblent mieux adapt és pour d écrire le signal

électrique qui caract érise l’influx neuronal localis é dans l’espace avec un support compact.

Title:Propagation d’informations le long d’une ligne de transmission non lin éaire structur ée en super r éseau et simulant un neurone my élinis é.

Keywords:Electrical line 1, Partial differential equation 2 , Soliton solution 3, Transmissivity 4 , Simulation 5.

Abstract:

Nonlinear systems are generally described with partial differential equations which characterize them, such as the chain of coupled pendulums, the chain of proteins comprising molecules with hydrogen bonds, the atomic networks, etc. These models most often comprise interactions between anharmonic particularities and deformable substrate potentials. Indeed, with significant consequences due to nonlinearity and dispersion, anharmonicite and deformability lead to other propagation properties of solitary waves such as compactons, kinks and antikinks, peaks, ... as well as the ability of the system to transmit a signal. We use here the method of bifurcation to draw the different phase portraits obtained by variation of the parameters

of the system. We highlight the influence of the anharmonicite factor and the deformation factor on the transmissivity and bistability of the system. It follows that the amplitude of the input signal that produces the instability depends on the absolute value of the anharmonicite coefficient and the depth of the nonlinear medium to cross. Taking into account the important properties generated by such systems, it seemed interesting to build a transmission line characterized by the same equations, ie a super network that simulates a neuron with myelin. The types of solitons obtained seem to be better adapted to describe the electrical signal characterizing the localized neuronal impulse in space with a compact support.

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Je d édie ce travail à mes parents TAGNI NKEUMALEU JOSEPH et MAGNI LEUSSI MADELEINE qui se sont sacrifi és pour ma r éussite.

v

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Je remercie le Seigneur Dieu Tout Puissant pour sa bont ´e infinie dans ma vie.

Je remercie tous ceux qui ont accompagn é ce travail et les diff érents acteurs qui ont contribu é de proche ou de loin à sa r éalisation. Ainsi je ne saurai achever cette rubrique sans porter mes distingu és remerciements :

Je remercie l’ équipe formidable d’encadreurs que j’ai rencontr ée au laboratoire Le2i de l’Universit é de Bourgogne, principalement mon encadreur Le Professeur Jean-Marie BILBAULT pour son suivi m éthodique et le soutient apport é durant mon s éjour à Dijon.

Je remercie Le Professeur Serge Aurelien NGUETCHO TCHAKOUTIO pour le privil ège qu’il m’a offert à travailler avec cette équipe formidable et pour sa large disponibilit é accord ée pour le suivi de ce travail.

Je remercie les membres du jury qui ont accept é d’apporter leurs appr éciations à ce travail.

Je remercie tous les membres de l’ équipe du laboratoire d’ électronique d’imagerie et Je remercie le Seigneur Dieu Tout Puissant pour sa bont é infinie dans ma vie.

Je remercie tous ceux qui ont accompagn é ce travail et le diff érents acteurs qui ont contribu é de proche ou de loin à sa r éalisation. Ainsi je ne saurai achever cette rubrique sans porter mes distingu és remerciements :

Je remercie l’ équipe formidable d’encadreurs que j’ai rencontr ée au laboratoire Le2i de l’Universit é de Bourgogne, principalement mon encadreur Le Professeur Jean-Marie BILBAULT pour son suivi m éthodique et le soutient apport é durant mon s éjour à Dijon.

Je remercie Le Professeur Serge Aurelien NGUETCHO TCHAKOUTIO pour le privil ège qu’il m’a offert à travailler avec cette équipe formidable et pour sa large disponibilit é accord ée pour le suivi de ce travail.

Je remercie les membres du jury qui ont accept é d’apporter leurs appr éciations à ce travail.

Je remercie tous les membres de l’ équipe du laboratoire d’ électronique d’informatique et d’imagerie qui ont sacrifi é leurs temps pour mon encadrement.

vii

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Je remercie mon ´epouse CAROL NKEUMALEU qui m’a toujours soutenu pendant la pr ´eparation de ce travail.

Je remercie HERVE et HEIDI CHOMENI pour le soutien et la confiance dont ils m’ont accord ´es.

Je remercie tous mes coll ègues du lyc ée classique de Maroua ainsi que ceux de la d él égation r égionale des enseignements secondaires de l’Extr ême Nord du Cameroun.

je remercie la famille NGUETCHO de MAROUA pour le soutien inestimable.

je remercie la grande famille NKEUMALEU du Cameroun.

Je remercie la famille KUE de Yaound ´e.

Je remercie la grande famille Chr étienne de l’Eglise Evang élique du Cameroun de Maroua HARDE pour le soutien qu’ils m’ont apport é.

Je remercie KAMOGNE ROGER pour tout ce qu’il a fait pour moi pour cette Th `ese.

Je remercie tous mes coll ègues du lyc ée classique de Maroua ainsi que ceux de la d él égation r égionale des enseignements secondaires de l’Extr ême Nord du Cameroun.

Je remercie tous mes camarades du laboratoire d’ ´electronique pour l’esprit de solidarit ´e dont ils ont fait preuve.

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1 Introduction 1

1.1 Contexte . . . 1

1.2 Objectifs de la th `ese . . . 2

1.3 Plan de la th `ese . . . 4

2 G én éralit és 5 2.1 Introduction . . . 5

2.2 Le neurone my ´elinis ´e . . . 5

2.2.1 Description du neurone . . . 5

2.2.2 Fonctionnement du neurone . . . 5

2.2.3 Codage des messages nerveux . . . 7

2.2.4 Le neurone vu comme super r ´eseau ´electrique . . . 7

2.3 Chaˆıne de pendules coupl ´es . . . 9

2.4 Le transfert du proton dans les chaines mol ´eculaires . . . 12

2.5 Ligne ´electrique non lin ´eaire . . . 13

2.6 Conclusion . . . 14

3 Mod `ele th ´eorique 17 3.1 Introduction . . . 17

3.2 Les ´equations du mouvement . . . 20

3.3 Bifurcations et solutions de l’ENLSE . . . 22

3.3.1 Dynamique des solitons de gap . . . 22

3.3.1.1 Equation d’ ´evolution . . . 22´

3.3.1.2 Trajectoires de phase et solutions . . . 25

3.3.2 Dynamique des solitons dans la bande des fr ´equences permises . . 42

3.3.2.1 Equation d’ ´evolution . . . 42´

3.3.2.2 Trajectoires de phase et solutions . . . 43

3.3.2.2.1 Trajectoires de phase et solutions pourk=±2π/3 44 3.3.2.2.1.1 Portraits de phase et solutions dans le cas o `u f₂(φ)n’a pas de z ´ero . . . 45

ix

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3.3.2.2.1.2 Portraits de phase et solutions dans le cas o `u f₂(φ)a une racine double. Dans ce cas,

φe₁ =φe₂ =φe eth₁ =h₂. . . 46

3.3.2.2.1.3 Portraits de phase et solutions dans le cas o `u f₂(φ) a deux racines r ´eelles distinctes φe1 etφe2, avecφe1 > φe2 . . . 48

3.3.2.2.2 Trajectoires de phase et solutions pour un nombre d’ondek quelconque . . . 54

3.3.2.2.2.1 Portraits de phase et solutions dans le cas o `u f₃(φ)a une racine triple . . . 54

3.3.2.2.2.2 Portraits de phase et solutions du syst `eme pour c₂ , 0 quand f₃ admet une racine double . . . 59

3.3.2.2.2.3 Portraits de phase et solutions du syst `eme pourc₂ , 0quand f₃ admet trois racines distinctes et positives . . . 71

4 Transmissivit ´e, bistabilit ´e au voisinage du gap 107 4.1 Introduction . . . 107

4.2 Equation de Schrodinger non lin ´eaire . . . 107

4.3 M ´ethode `a deux ondes . . . 108

4.4 Conditions de continuit ´e . . . 109

4.5 Fonction de transfert du syst `eme . . . 110

4.5.1 Expression analytique de la transmissivit ´e . . . 110

4.5.1.1 Traitement de l’ équation (4.12) en consid érant v comme param ètre . . . 112

4.6 Caract ´eristique de la transmissivit ´e en fonction deV_i . . . 115

4.6.0.1 Fonction de transfert pour certaines valeurs fix ´ees des param `etres . . . 115

4.6.0.2 Influence de l’anharmonicit ´e sur la fonction de transfert . . 115

4.6.0.3 Influence de la largeur du milieu non lin ´eaire sur la fonction de transfert . . . 115

5 Construction d’un super r éseau simulant un neurone my élinis é 117 5.1 Introduction . . . 117

5.2 Structure et fonctionnement du neurone . . . 117

5.2.1 le neurone . . . 117

(12)

5.2.2 Fonctionnement du neurone . . . 117

5.3 Quelques mod `eles ´electroniques connus du neurone . . . 118

5.3.1 Mod `ele de Hodgkin-Huxley . . . 119

5.3.2 Mod `ele de Fitzhugh-Nagumo . . . 121

5.3.3 Mod èle propos é pour le dip ôle non lin éaire . . . 123

5.4 Construction de la ligne de transmission non lin ´eaire . . . 125

5.4.1 Ligne de transmission diffusive lin ´eaire . . . 125

5.4.2 Mod èle électronique d’une ligne de transmission de diffusion non lin éaire. . . 127

5.4.3 Ligne de transmission non lin ´eaire sans att ´enuation . . . 129

5.4.4 Ligne de transmission non lin éaire avec anharmonicit é et substrat d éformable (voir figure (5.11)) . . . 131

5.4.5 Construction d’un super-r éseau simulant un neurone my élinis é . . . 135

6 Conclusion g ´en ´erale 139

(13)

(14)

I NTRODUCTION

1.1/ C

ONTEXTE

De nos jours, les syst èmes de transmission sont diversifi és et tr ès r épandus. Nous pouvons par exemple citer :

— la transmission du son dans un milieu mat ´eriel, qui trouve des applications en imagerie m ´edicale, dans les sonars,...

— le transfert d’ énergie dans les cellules animales et v ég étales (la production de l’ad énosine triphosphate (ATP) utilis ée comme source d’ énergie chimique pour les cellules),

— le transfert des protons dans les syst èmes mol éculaires à liaison hydrog ène pouvant expliquer la duplication de l’ADN, la dynamique mol éculaire dans les prot éines,

— l’illustration exp ´erimentale de la propagation de solitons le long d’une chaˆıne de pendules coupl ´es,

— certaines r ´eactions chimiques industrielles,

— la transmission des informations dans les lignes ´electriques et les r ´eseaux neuro- naux, ...

Le processus de transmission du signal ou de l’information dans les syst èmes, notamment nonlin éaires, est assez complexe à maˆıtriser, interpr éter et comprendre, car cela n écessite une connaissance approfondie de nombreux domaines. Le ph énom ène de la dynamique des syst èmes nonlin éaires se trouve en fait à l’interface de plusieurs disciplines : physique, chimie, économie, informatique, biologie, industrie, etc. Ceci induit sa nature pluridisciplinaire. Il s’agit plus pr écis ément d’ étudier et de chercher à comprendre des ph énom ènes naturels nonlin éaires pour lesquels est d évelopp ée une mod élisation th éorique [1, 2, 3], suivie de simulations num ériques, et enfin dans certains cas confirm ée par des exp ériences sur des d émonstrateurs électroniques r éalis és en laboratoire. Ce domaine connaˆıt actuellement un essor consid érable en raison tant de son int ér êt fondamental que de ses applications technologiques [4, 5]. Les interactions entre les sciences biom édicales, l’ électronique, l’informatique et les math ématiques appliqu ées sont en pleine expansion et leurs retomb ées en termes de sant é publique suscitent de nombreux espoirs. Des programmes de recherche internationaux ambi- tieux ont ét é lanc és, en particulier aux Etats-Unis mais aussi dans le reste du monde [6, 7], pour promouvoir le d éveloppement d’instrumentations électroniques ainsi que de mod èles biomath ématiques et bioinformatiques permettant l’analyse des donn ées mas- sives en biologie mol éculaire et cellulaire (Programme Virtual Cell), ainsi qu’en physio- logie [8]. Le d éveloppement de ce secteur de recherche a ét é rendu possible par les

1

(15)

avanc ées majeures r éalis ées ces derni ères ann ées dans la mod élisation et la simulation des ph énom ènes complexes [9, 10, 11], en particulier ceux r égis par des équations aux d ériv ées partielles. Les mod èles universels qui peuvent être utilis és pour d écrire une grande vari ét é d’effets ou de ph énom ènes physiques diff érents sont rares ; Ils sont pourtant d’une importance capitale. De tels mod èles attirent une attention particuli ère en pouvant être utilis és pour d écrire les concepts physiques de base de la mani ère la plus simple. Un mod èle simple d écrit une chaˆıne de particules (atomes) harmonique- ment coupl ées à leurs proches voisins et assujetties à un potentiel p ériodique (potentiel de substrat). Les lignes électriques nonlin éaires constituent un syst ème exp érimental assez simple et suffisamment r éaliste pour l’observation et l’ étude quantitative de la propagation et des propri ét és d’excitations nonlin éaires [12], les propri ét és de transmission nonlin éaire des bi-r éseaux (r éseaux constitu és de deux sous-r éseaux de caract éristiques diff érentes), des super-r éseaux (constitu és d’un grand nombre de couches diff érentes) et autres syst èmes nonlin éaires. Ces derni ères ann ées, c’est m ême devenu un des mod èles fondamentaux et universels de la physique nonlin éaire. Bien qu’un lien avec le mod èle classique ne soit pas souvent énonc é de mani ère explicite dans un cer- tain nombre d’applications, la plupart des probl èmes nonlin éaires impliquant la dynamique des chaˆınes non lin éaires discr ètes sont en fait bas és sur la formulation classique pr ésent ée dans un premier temps par Frenkel et Kontorova [13, 14, 15, 16, 17, 18], puis dans un second temps par Klein et Gordon [16, 17, 18, 19]. Ces mod èles id éaux peuvent être compar és à une approximation de l’ équation de Toda [20] et peuvent permettre avec des transformations judicieuses, d’obtenir d’autres grandes familles d’ équations comme celles de Korteweg-de Vries (KdV) [16, 17, 21], de Schr ödinger non lin éaire (SNL) [16, 17, 18, 22], Boussinesq [16], ... et de ce fait fournissent une bonne garan- tie d’applications. Ils mettent surtout en évidence la flexibilit é des mod èles à s’adapter à plusieurs autres syst èmes r éels. Leur étude qui, en quelques ann ées, a pris une ampleur assez consid érable, rencontre encore d’ énormes difficult és, notamment en raison de la complexit é des processus en ce qui concerne les ph énom ènes biologiques et industriels, la physique mol éculaire, la neurophysique, pour les probl èmes de corrosion, dans les tentatives d’interpr étation ou de compr éhension. Il apparaˆıt donc clairement que la description fournie par ces mod èles est encore insatisfaisante et qu’elle n écessite beaucoup d’am éliorations.

1.2/ O

BJECTIFS DE LA THESE

`

La majeure partie des r ésultats rigoureux obtenus jusqu’ à pr ésent avec les mod èles cit és ci-dessus le sont sous l’hypoth èse que les interactions inter-particulaires sont simplifi ées

à l’extr ême, c’est- à dire repr ésent ées par des fonctions harmoniques ou des fonctions d’une nonlin éarit é assez simple. Elles souffrent ainsi d’une certaine insuffisance car les

études exp érimentales montrent que ces interactions sont de formes bien plus complexes. De m ême, les potentiels de substrat dans les m êmes mod èles sont g én éralement pris sous une forme rigide ou quasi rigide (par exemple sine Gordon ou phi4), ce qui veut dire qu’ils ne prennent pas en compte les diff érentes formes et évolutions des perturba- tions ext érieures (pression, temp érature, champ électromagn étique, ... et/ou g éom étrie du syst ème).

Selon tous les travaux men és ces derniers ann ées sur des mod èles anharmoniques o ù il est montr é que l’anharmonicit é du mod èle et la d éformabilit é du potentiel de substrat

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conduisent à de nouveaux effets non d écrits dans les équations ant érieures [23, 24], il apparaˆıt clairement que la description fournie par ces syst èmes d’ équations reste tr ès insatisfaisante vis- à-vis des ph énom ènes physiques r éels. Il nous a donc paru int éressant de prendre en compte une nonlin éarit é forte (de type cubique-quartique) afin d’approcher au mieux les potentiels r éalistes comme ceux de Toda ou de Morse, elle-m ême plong ée dans un environnement o ù l’influence des effets ext érieurs ne serait plus constante. Pour cela, nous utiliserons la forme d éformable du substrat telle que propos ée par Peyrard et Remoissenet [13, 17], et dont le sine-Gordon est un cas particulier.

Par ailleurs, parmi les ph énom ènes non lin éaires, un grand int ér êt a ét é port é aux propri ét és de transmission des syst èmes non lin éaires. En r égime lin éaire, la propagation des ondes dans les bi-r éseaux (r éseau constitu é de deux sous r éseaux altern és de caract éristiques diff érentes) est d écrite par une relation de dispersion pr ésentant des bandes de fr équences interdites appel ées gap. Ainsi, toutes les ondes lin éaires dont les fr équences appartiennent au gap ne peuvent se propager dans de tels syst èmes. On parle alors d’onde évanescente, ce qui implique une transmission tr ès faible à travers un syst ème de longueur finie. En r égime nonlin éaire par contre, une onde dont la fr équence est comprise dans le gap lin éaire peut être transmise dans le super-r éseau. En effet, ses propri ét és peuvent être modifi ées en fonction de l’amplitude de l’onde de l’excitation qui lui est appliqu ée (effet Kerr en optique par exemple : l’indice de r éfraction d épend ainsi de l’intensit é du champ). L’augmentation de l’amplitude (ou de la puissance) du signal incident peut faire passer le syst ème d’un état non transparent vers un état transparent, d’une façon souvent brutale : c’est le ph énom ène de bi-stabilit é. Ce ph énom ène, qui s’ac- compagne d’hyst ér ésis, a ét é étudi é th éoriquement et num ériquement par bon nombre d’auteurs. Il peut être également li é à l’existence de solitons de bande interdite, ou solitons de gap. Il nous a paru int éressant de regarder les effets de la nonlin éarit é forte et la d éformabilit é du substrat sur la naissance et l’existence des diff érents types de solutions

”soliton” dans le gap, et sur leur dynamique.

Pour la r ésolution des équations complexes issues de ces nouveaux mod èles, nous met- trons sur pied et utiliserons la technique de bifurcation. Celle-ci pourra nous permettre, non seulement de mettre en évidence les param ètres clefs et effectifs (param ètres de bifurcation) de cette dynamique, mais également d’ étudier et de regarder l’apport r éel de chacun des termes (nouveaux comme anciens) du mod èle math ématique obtenu apr ès la traduction du ph énom ène r éel étudi é. En plus, la m éthode de bifurcation, par son analyse qualitative, nous permettra, pour un mod èle math ématique donn é, de faire sans trop de calculs l’inventaire complet de tous les types de solutions et de leurs diff érentes conditions d’existence.

Il existe à notre connaissance peu d’articles sur l’observation exp érimentale des modes localis és dans un mod èle à interaction du type cubique-quartique et plong é dans un milieu ext érieur o ù les forces sont variables. Il semble donc aussi important d’avoir une meilleure connaissance de ces modes localis és dans les r éseaux non lin éaires r éels, afin de compl éter les r ésultats d éj à obtenus essentiellement sous formes th éorique et num érique.

(17)

1.3/ P

LAN DE LA THESE

`

Cette th èse s’articule autour de quatre chapitres. Elle commence par des pr ésentations g én érales des syst èmes non lin éaires avec quelques exemples :

— Un neurone

— Une chaˆıne de pendules coupl ´es

— Un processus de transfert des protons dans les syst èmes à liaisons hydrog ène

— Et enfin une ligne ´electrique non lin ´eaire.

Le troisi ème chapitre portera sur l’ étude dynamique de l’ équation g én érale issue des mod èles o ù sont prises en compte simultan ément : les interactions inter-particulaires de type cubique-quartique et les actions des forces ext érieures. Une attention sera port ée s épar ément sur le comportement dynamique au voisinage du gap et à l’int érieur de la bande passante permise.

Une fois les solutions trouv ées, le quatri ème chapitre analysera la transmissivit é et la bistabilit é ainsi que le ph énom ène d’hyst éresis de quelques r éponses aux excitations au voisinage du gap. Dans ce chapitre, nous établirons l’expression de la transmissivit é de notre syst ème non lin éaire à l’aide de la m éthode des deux ondes.

Sur la base des r ésultats pr ésent és dans les premiers chapitres, sur l’existence et la dynamique des solutions les plus marquantes, le cinqui ème chapitre proposera de construire un super r éseau simulant un neurone my élinis é, c’est- à-dire un mod èle

électronique du neurone avec une ligne électrique r égie par le mod èle math ématique

étudi é ci-dessus. Cette ligne pourrait être par la suite utilis ée pour constituer les él éments du super r éseau.

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G ´ EN ERALIT ´ ES ´

2.1/ I

NTRODUCTION

La propagation de l’information se fait à l’aide des chaˆınes de transmission (milieux mat ériels) ou sans support (ondes hertziennes). Une chaˆıne de transmission est l’ensemble de dispositifs permettant le transport d’une information sur des distances souvent importantes. Elle comprend trois él éments essentiels : un émetteur, un canal de transmission et un r écepteur.

Le message à transmettre est converti en signal par l’ émetteur. La dynamique de certaines chaˆınes de transmission est tr ès complexe et pr ésente plusieurs particularit és.

De ce fait, il est n écessaire de concevoir des mod èles relativement simples pour mieux maˆıtriser leurs comportements dynamiques. Nous allons donner quelques exemples de propagation de l’information dans les chaˆınes de transmission qui pr ésentent une dynamique tr ès vari ée et complexe. Le mod èle que nous mettons en place pourra s’appliquer non seulement au neurone, mais à plusieurs autres syst èmes physiques r éels tels que des chaˆınes m écaniques, des syst èmes biologiques, des lignes électriques...

2.2/ L

E NEURONE MYELINIS

´

E

´

2.2.1/ DESCRIPTION DU NEURONE

Le neurone est la plus petite partie du syst ème nerveux responsable du traitement et de la transmission de l’information. Il est constitu é de dendrites, du noyau, du cytoplasme, de l’axone, de la gaine de my éline, des nœuds de Ranvier et des synapses (cf. Fig. 2.1).

2.2.2/ FONCTIONNEMENT DU NEURONE

Les ´el ´ements responsables de la transmission du message nerveux sont :

— La membrane plasmique

— Les stimuli externes

— Les ions

— Les transporteurs membranaires 5

(19)

FIGURE2.1 – Sch ´ema d’un neurone. (https ://www.futura-sciences.com)

MEMBRANE PLASMIQUE

Elle est constitu ée d’une double couche de phospholipidiques qui l’entoure. C’est une barri ère s élective qui laisse traverser les mol écules non polaires et hydrophobes ; par contre, les mol écules polaires et les ions ne peuvent pas la traverser directement.

La membrane d’une cellule nerveuse pr ésente une diff érence de potentiel due à la r épartition in égale des charges électriques entre l’int érieur et l’ext érieur de la membrane. Par ailleurs, un transfert d’ions s’effectue entre l’int érieur et l’ext érieur de la membrane, gr âce à la pression osmotique et au champ électrique transmembranaire. Ceci permet de conserver un gradient de concentration de part et d’autre de la membrane contrebalançant la diffusion osmotique des esp èces ioniques au travers des canaux lorsque ceux-ci s’ouvrent, l’ensemble étant d écrit par la loi de Nernst.

Lorsque la membrane n’est soumise à aucune excitation, le syst ème constitu é de la membrane, du milieu extra cellulaire et du milieu intracellulaire atteint un équilibre. Nous pouvons alors mesurer une diff érence de potentiel. Cette diff érence de potentiel prend toujours pour r éf érence le milieu exocellulaire et porte le nom de potentiel de repos.

Le neurone r éagit aux stimuli externes. Ils peuvent être physiques (lumi ère, son, pression, temp érature,...etc), chimiques (neurotransmetteurs). La pr ésence des stimuli induit une r éaction de d épolarisation de la membrane par ouverture des canaux à sodium (chi- miod épendants ou d épendant du stimulus sensoriel) .

Les canaux ioniques sont voltage d épendants, autrement dit leur perm éabilit é d épend de la diff érence de potentiel entre les milieux extra et intracellulaire. Les propri ét és de perm éabilit é de ces prot éines s électives donnent naissance à un ph énom ène électrique se propageant le long de l’axone : c’est le potentiel d’action (PA).

Le r ôle principal du neurone est de transmettre diff érentes informations nerveuses. Mais ces informations n’ étant pas identiques, il est n écessaire de les diff érencier par des codes.

(20)

2.2.3/ CODAGE DES MESSAGES NERVEUX

Pour un neurone donn ´e, l’amplitude du potentiel d’action ne varie pas pendant sa propagation et la vitesse de propagation est constante le long de l’axone.

L’information `a transmettre est cod ´ee par :

— Le nombre de potentiels d’action ´emis

— Leur fr ´equence

— Leur organisation en salves

— La dur ´ee du message.

Le nombre de potentiels d’action émis et la dur ée du message sont g én éralement en rapport avec la quantit é d’informations à transmettre. Ainsi, une fibre sensorielle ou motrice peut d écharger pendant plusieurs minutes et émettre des centaines, voire des milliers de potentiels d’action à la suite d’une stimulation prolong ée ou pour soutenir une contrac- tion musculaire. Mais ce n’est pas toujours le cas. Certains r écepteurs sensoriels, par exemple, s’adaptent tr ès vite et cessent de d écharger au bout de quelques secondes alors que la stimulation est maintenue.

La fr équence, qui s’exprime en nombre de potentiels d’action par seconde, est elle aussi en rapport avec la quantit é d’informations à transmettre. Ainsi, plus l’information est im- portante, plus la fr équence augmente, jusqu’ à une limite impos ée par la structure biolo- gique.

L’organisation en salves est un ph énom ène complexe qui varie en fonction des structures concern ées et des messages v éhicul és. Les potentiels d’action d’un m ême message peuvent en effet être émis sous forme de salves, plus ou moins espac ées dans le temps, dont la dur ée, le nombre de potentiels et la fr équence diff èrent d’une salve à une autre.

On parle également de rafales, de trains de potentiels ou de bouff ées d’activit é (voir figure 2.2).

2.2.4/ LE NEURONE VU COMME SUPER RESEAU´ ELECTRIQUE´

La fonction d’un neurone est de transmettre l’information sous la forme d’un signal

électrique se propageant le long de l’axone sans att énuation [26]. Nous nous proposons de concevoir une ligne de transmission électrique qui se rapproche du neurone my élinis é du point de vue de la propagation du signal électrique.

Avant de proposer un nouveau mod èle de ligne électrique, il est n écessaire d’examiner les mod èles de lignes d éj à r éalis és pour mod éliser le neurone. Dans le milieu ext érieur du neurone, les porteurs de charge électrique sont des ions qui se d éplacent facilement.

Donc ce milieu ext érieur est un conducteur électrique. La membrane neuronale emp êche les ions de migrer vers l’ext érieur, comme un isolant électrique. C’est elle qui s épare les milieux int érieur et ext érieur, et on peut la repr ésenter par un condensateur.

Lors d’une excitation du neurone, il y a cr éation d’une diff érence de potentiel due à la diff érence de concentration entre les milieux int érieur et ext érieur du neurone. Le neurone doit expulser les charges positives depuis l’int érieur vers l’ext érieur de la cellule gr âce à des pompes. Les pompes ioniques à travers les canaux expulsent en effet certains ions de la cellule vers l’ext érieur (en consommant de l’ énergie sous la forme d’ATP) et donnant donc un courant électrique.

Donc la ligne électrique mod élisant l’axone d’un neurone peut être sch ématis ée comme

(21)

FIGURE2.2 – Codage de l’information dans un message nerveux. Echelles : 1ms/cm et 2,5mV/cm [25] (https ://www.mcdubysvt.fr)

sur la figure (2.3) o ù les canaux ioniques sont repr ésent és par la r ésistance membranaire rm, l’isolant s éparant les milieux int érieur et ext érieur par le di électrique du condensateur de capacit é C_m et la r ésistance longitudinale à la circulation des ions à l’int érieur de la membrane parrl .

A partir des lois de Kirchhoff, l’ ´equation caract ´erisant la propagation du potentiel d’action est de la forme :

r_m

r_l (Vn+1+Vn−1−2Vn)=r_mC_mdV_n

dt +V_n. (2.1)

C’est une équation diff érentielle avec un laplacien discret (assimilable à une d ériv ée seconde par rapport à l’espace) et une d ériv ée premi ère par rapport au temps. Cette

équation lin éaire ne pr ésente pas une grande richesse pour son étude dynamique. C’est une équation de diffusion qui a ét é obtenue lors de la mod élisation d’un neurone sur son plan comportemental et non sur le plan de la transmission de signal électrique. Par ailleurs, lors de la propagation d’un signal sans amortissement, chaque point de la ligne reproduit le m ême signal que la source avant de revenir à son état initial dans un neurone.

Ce n’est pas le cas pour cette ligne.

Entre autres, les canaux ioniques par lesquels les ions passent du milieu int érieur vers le milieu ext érieur ont ici une r ésistance constante not ée r_m. Pourtant les canaux sont à ouverture variable et la r ésistance d’un conducteur caract érise l’opposition au passage du courant électrique. L’ouverture et la fermeture des canaux entraˆınent une variation de la section du canal, ce qui implique une variation de la r ésistance du canal qui ne peut donc pas être constante.

(22)

FIGURE2.3 – Circuit ´electrique d’un axone (https ://www.unic.cnrs-gif.fr)

L’action des pompes ioniques entraˆıne un d éplacement longitudinal des ions, d’o ù un courant longitudinal d épendant de la tension électrique qui est fonction de la concentration des ions à l’int érieur du neurone. Or ce courant longitudinal est li é à la r ésistance r_l suppos ée constante. Pourtant le courant longitudinal d épend des concentrations du milieu int érieur, ce qui signifie que la r ésistance longitudinale doit être variable.

Nous constatons que ce mod èle pr ésente des insuffisances pour d écrire comment le neurone peut transmettre des signaux. Le neurone étant une chaˆıne de transmission capable de transmettre plusieurs types d’informations, il doit poss éder une grande richesse de comportements dynamiques. Nous pensons donc qu’un bon mod èle électrique d’un neurone doit être capable d’en reproduire la riche dynamique et de produire la grande diversit é d’excitations qu’un vrai neurone peut avoir.

2.3/ C

HA

ˆ

INE DE PENDULES COUPLES

´

Soit la chaˆıne de pendules coupl és suivante : les pendules de massemet de longueurl sont mobiles autour d’un m ême axe de rotation. Chaque pendule est reli é à son voisin le plus proche par un ressort de constante de raideurk(voir Fig. 2.4). Le moment d’inertie de chaque masse par rapport à son axe de rotation estI. Les pendules successifs sont s épar és par le pasdet sont assujettis à rester dans un m ême plan vertical.

Le moment du couple de torsion qui agit sur chaque pendule est −Cθn o `u C est la constante de torsion etθnle petit angle de rotation autour de l’axezaffectant la particule

(23)

FIGURE2.4 – Pendules coupl ´es.

n. Le moment du poids de chaque pendule par rapport à l’axe de rotation est−mglsinθn. Le point mat érielAn de massema pour coordonn ées

An







lcosθn

lsinθn

nd







(2.2)

et son voisin le plus proche a pour coordonn ´ees

A_n₊₁







lcosθn+1

lsinθn+1

(n+1)d







. (2.3)

Leur distance est

d_n= p

l²(cosθn−cosθn+1)²+l²(sinθn−sinθn+1)²+d² (2.4) d’o `u

d_n= r

d²+4l²sin²

θn+1−θn

2

∼d+ l²

2d(θn+1−θn)²· (2.5) L’allongement du ressort reliant An etAn+1 est, si on appelle d₀ la longueur du ressort `a vide :

∆dn = dn−d₀ ' d−d₀+ l²

2d(θ_n₊₁−θ_n)²·

(24)

La force exerc ´ee par la particuleA_n₊₁ surA_n est :

−

→F_n₊₁ =k∆d_n→−e

o `u

−

→e = 1 dn

−−−−−−→ A_nA_n₊₁ = 1

dn







xn+1−xn

y_n₊₁−y_n d







et son moment par rapport `a l’axezest k∆dn

d_n







0 0 x_ny_n₊₁−x_n₊₁y_n







. Commexnyn+1−xn+1yn' l²(θn+1−θn), ce moment peut s’ ´ecrire encore :

Mn+1,n(z)=

kl² d−d₀+ l²

2d(θn+1−θn)²

!

d+ l²

2d(θn+1−θn)²

(θn+1−θn)= k(d−d₀)l²

d (θn+1−θn)+kd₀l⁴

2d³ (θn+1−θn)³·

Donc

M_n₊_1,n(z)'λ₀(θn+1−θn)+λ₁(θn+1−θn)³, (2.6) avecλ₀ = k(d−d₀)l²

d etλ₁ = kd₀l⁴

2d³ . De m ˆeme, le moment exerc ´e par la particuleA_n−1 sur la particuleA_nsera

M_n−1,n(z)=λ₀(θ_n−1−θn)+λ₁(θ_n−1−θn)³. (2.7) En appliquant la relation fondamentale de la dynamique sur la particule au point A_n, de moment d’inertieI, on aura dans la limite des faibles oscillations :

Id²θ_n

dt² =−Cθn−mgl(θn− θ³_n

6)+λ₀[θn+1+θn−1−2θn]+λ₁h

(θn+1−θn)³−(θn−θn−1)³i

, (2.8) soit encore :

d²θn

dt² =Cl(θn+1+θ n−1−2θn)+Cnl

h(θn+1−θn)³−(θn−θ_n−1)³i

−ω²₀(θn+µθ³_n), (2.9) avecC_l = λ₀

I ; C_nl = λ₁

I ; ω²₀ = C+mgl

I ; µ=− mgl 6Iω²₀.

C’est une équation qui se ram ène à celle de Klein- Gordon anharmonique. C_l est le coefficient d’interaction harmonique etCnlest le coefficient d’interaction anharmonique.

L’ ´energie potentielle correspondant est : E_p= 1

2C(θ²_n−θ²₀)+mgl(cosθn−cosθ₀), (2.10)

(25)

o ù θ₀ est l’amplitude correspondant à la position d’ équilibre. Nous remarquons que l’ équation caract érisant la chaˆıne de pendules coupl és pr ésente des interactions de type anharmonique avec pr ésence des termes du substrat ind éformable, c’est à dire que les interactions entre particules ont un caract ère non lin éaire marqu é par l’importance rela- tive des param ètresλ₀etλ₁.

Nous allons aborder par la suite les syst èmes mol éculaires à liaison hydrog ène caract éris és par des interactions semblables.

2.4/ L

E TRANSFERT DU PROTON DANS LES CHAINES MOLECULAIRES

´

C’est la liaison hydrog ène qui d étermine la structure d’un tr ès grand nombre de sub- stances cristallis ées, comme le cas de la glace qui pr ésente une forme tr ès stable. Dans sa structure, chaque atome d’oxyg ène se trouve au centre d’un t étra èdre r égulier dont les quatre autres sommets sont occup és par quatre atomes d’oxyg ène. La glace doit sa stabilit é aux liaisons hydrog ène ; à chaque atome d’oxyg ène correspond deux atomes d’hydrog ène pour la formation de la mol écule d’eau. Lorsqu’un champ ext érieur est appliqu é sur la glace, un atome d’hydrog ène se dissocie de sa mol écule d’eau pour se transformer en un proton H⁺; et le proton se d éplace le long de l’axe O− H−O pour arriver à une mol écule d’eau voisine o ù il forme l’ionH₃O⁺en laissant derri ère lui un ion OH⁻. Ensuite, l’hydrog ène de l’ion H₃O⁺ form é se dissocie à l’arriv ée d’un autre proton H⁺se d éplaçant de la m ême façon que le pr éc édent.

Le transfert du proton dans les syst èmes à liaison hydrog ène peut être repr ésent é par une chaˆıne unidimensionnelle compos ée de deux sous - r éseaux coupl és o ù on distingue les interactions fortes et les interactions faibles [27, 28, 29, 30]. Parmi les interactions fortes, nous avons les interactions proton- proton. Un petit atome d’hydrog ène (H) de massemsitu é entre deux grands atomes (X)de masse (M) peut se mouvoir entre deux positions d’ équilibre énerg étiquement équivalentes. Le potentiel de substrat li é au proton est celui d’un double puits qui a deux positions d’ équilibre stable s épar ées par une position d’ équilibre instable. Or il n’est pas facile de trouver une forme appropri ée de ce potentiel double puits. Dans la litt érature, nous pouvons citer le double - Morse, le double- sine-Gordon, etc. Ces potentiels poss èdent les caract éristiques de d écrire le transfert de proton dans les liaisons hydrog ène, ils prennent en compte les variations de la hauteur du potentiel double puits. Mais la position de ses minima ne permet pas d’obtenir facilement les solutions analytiques du syst ème.

Le potentiel le mieux adapt ´e est le potentielφ⁴. Il est d ´efini comme suit :

V(θ)=V₀





1− θ²_n θ²₀







2

. (2.11)

Le d éplacement dun^èmeproton par rapport au centre de la paire d’ions lourds estθn. V₀ est la barri ère de potentiel et2θ₀est la distance entre les deux minima du potentiel double puits. Le potentiel d’interaction interparticulaire est de la forme anharmonique du fait du changement de d éplacement des atomes lourds r ésultant de la vibration des protons et des interactions entre protons voisins. Il est d éfini par la relation :

(26)

Vint=X

n

"

1

2mC₀²(θn+1−θn)²+ 1

4mC_α(θn+1−θn)⁴

#

, (2.12)

o ù C_α est le param ètre qui contr ôle l’anharmonicit é entre les protons voisins et θn

repr ésente le d éplacement dun^ème proton entre la paire d’ions lourds de masse(M) qui l’entourent. Le dernier terme de cette équation est l’interaction anharmonique. En tenant compte de l’ énergie cin étique du r éseau de protons, l’Hamiltonien du r éseau s’ écrit :

H =X

n





 1 2m dθ

dt

!2

+V(θn)+ 1

2mC²₀(θn+1−θn)²+ 1

4mC_α(θn+1−θn)⁴





. (2.13) L’expression de l’Hamiltonien montre l’anharmonicit é des interactions intermol éculaires et la pr ésence du potentiel de substrat dans ce syst ème de mol écules à liaison hydrog ène.

L’ équation qui caract érise ce syst ème est analogue à la Chaˆıne pr éc édente (H

2.3.). Ce sont des syst èmes m écaniques non lin éaires. Nous allons examiner le cas des syst èmes constitu és de lignes électriques dans le but de mieux appr écier le comportement de la propagation d’un signal électrique.

2.5/ L

IGNE ELECTRIQUE NON LIN

´

EAIRE

´

Soit une ligne électrique non lin éaire dont la capacit é d épend de la tension.

FIGURE2.5 – Ligne ´electrique nonlin ´eaire Nous avons

C(V)=C₀

1−2a1V+3a2V²+− − −

(2.14) Si les amplitudes des tensions appliqu ´ees sont faibles, nous aurons :

C(V)'C₀(1−2a1V) (2.15)

La chargeQ_n port ´ee par le condensateur de la cellule n, est d ´efinie par :

(27)

dQn=C(Vn)dVn

et en int ´egrant , nous obtenons

Qn=C₀

Vn−a₁V_n²

(2.16) L’ équation r égissant la ligne de transmission non lin éaire s’ établit ainsi :

d²Vn(x,t)

dt² =−ω²₀V(x,t)−u²₀(2Vn−V_n−1+Vn+1)+a₁d²V_n²

dt² (2.17)

Dans cette équation, les premiers termes au second membre repr ésentent la dispersion et le dernier la nonlin éarit é. Ces deux effets se compensent pour donner naissance à une onde appel ée ”soliton”. En cherchant une éventuelle solution sous la forme d’une onde plane monochromatique :

V_n(t)=V₀exp j(kn−ωt)+c.c, (2.18) o ù c.c repr ésente le complexe conjugu é du terme pr éc édent, la relation de dispersion lin éaire reliantωetkest donn ée par ;

ω² =ω²₀+4u²₀sin² k

2, (2.19)

tandis que les termes non lin ´eaires ont pour effet de modifier cette relation de dispersion.

2.6/ C

ONCLUSION

Nous avons pr ésent é quelques syst èmes physiques non lin éaires repr ésentant un neurone my élinis é, une chaˆıne de pendules coupl és, une chaˆıne mol éculaire à liaison hydrog ène. A chaque fois, l’ étude du mod èle conduit à une équation de type propagation ou diffusion, avec de la dispersion et de la nonlin éarit é.

L’objectif de la th èse est d’am éliorer les connaissances sur un neurone my élinis é, et notamment les propri ét és de transmission d’ondes à travers un r éseau à caract éristiques p ériodiques (les nœuds de Ranvier sont p ériodiquement espac és).

Dans l’ étude de la transmission de l’information d’un neurone à l’autre sous la forme de salves de potentiels d’action, on sait [4] que ces derniers communiquent principalement entre eux par l’interm édiaire d’interactions synaptiques chimiques et électriques provoquant les modifications de l’activit é d’une cellule à l’autre. Consid érant un neurone sous une forme épur ée telle que seule son activit é électrique soit prise en compte, nous sommes amen és à la notion de neurone ponctuel. Du point de vue de la mod élisation, la communication inter-neuronale r ègle la r éponse d’un neurone en fonction des messages d’informations qu’il reçoit, c’est à dire que la dynamique peut être caract éris ée par des salves successives d’impulsions. Nous reparlerons des diff érents types de mod èles de neurones dans le chapitreV.

(28)

Nous avons ensuite pr ésent é la chaˆıne de pendules coupl és. Cette chaˆıne, utilis ée en d émonstration de cours au niveau master pour pr ésenter une exp érience exotique illus- trant les effets non lin éaires, a surtout comme int ér êt de mettre l’accent sur le fait que consid érer des interactions uniquement harmoniques(Cnl = 0)est insuffisant pour bien d écrire le comportement du syst ème. C’est donc une justification de la suite de notre travail o ù nous consid èrerons les interactions sous une forme anharmonique.

L’utilisation du mod èleΦ⁴pour d écrire le type de potentiel d’interaction dans une chaˆıne mol éculaire à liaison hydrog ène renforce encore notre d émonstration tendant à critiquer l’utilisation de couplage uniquement harmonique. Ici encore, il est primordial de tenir compte de l’anharmonicit é par le terme enC_αdans (2.13).

Enfin, nous avons rappel é l’universalit é de la mod élisation analogique de tout syst ème de transmission par une ligne de transmission.

En am éliorant encore ce mod èle par la prise en compte dans un premier temps, d’une nonlin éarit é plus forte, c’est à dire beaucoup plus complexe, et ensuite en tenant compte des diff érentes variations des forces ext érieures, nous pensons obtenir de meilleurs r ésultats et être capables de mieux expliquer ou d’apporter des explications à certains ph énom ènes qui jusqu’ici n’ étaient pas bien pris en compte ou interpr ét és.

(29)

(30)

M OD ELE TH ` EORIQUE ´

3.1/ I

NTRODUCTION

La particularit é et l’originalit é d’un bon mod èle physique r éside tant dans sa simplicit é que dans son universalit é. Bien que crucial dans la description et la compr éhension d’une grande vari ét é de ph énom ènes physiques r éels, les mod èles dits universels sont tr ès rares, d’o ù l’importance de la mod élisation dans la compr éhension des ph énom ènes naturels et/ou li és à la vie. Ces mod èles universels sont notamment de tr ès grande valeur

éducative. Un exemple de tels mod èles non lin éaires est celui de Klein-Gordon (NKG) [31, 32]. Le mod èle NKG est devenu tr ès populaire dans de nombreux domaines de la physique et de la vie. Le mod èle standard NKG d écrit une chaˆıne d’atomes coupl és et soumis à un potentiel p ériodique externe. Son Hamiltonien est donn é par la relation :

H =T +U. (3.1)

T etU sont respectivement les énergies cin étique et potentielle.U est constitu é du potentiel externe le long de la chaˆıne encore appel é potentiel de substrat et not é iciUe, ainsi que des interactions interparticulaires de forme g én éraleU_c.

Puisqu’il a ét é montr é que, dans les syst èmes physiques r éels, la forme du substrat s’ écarte toujours des formes sinuso¨ıdales ou quasi-rigides trop souvent utilis ées, af- fectant fortement ainsi les propri ét és dynamiques du syst ème, le mod èle que nous pr ésenterons ici g én éralisera les mod èles NKG classiques, avec un potentiel de substrat dont la forme non lin éaire s’adapte à divers types d’interaction et aux diff érents degr és de libert é. Pour cela, nous utilisons les potentiels de Peyrard et Remoissenet (PR) [13, 14, 15, 24, 33],

U_e(xn, σ)=U₀W(xn, σ)=U₀ tan²

πxn

a

σ²+tan² πxn

a

, (3.2)

o ù σ est le param ètre qui module la forme du substrat (encore appel é param ètre de d éformabilit é) et est pris dans l’intervalle [0;+∞[. Il est li é au coefficient s introduit par Peyrard et Remoissenet par σ = (1+s)/(1−s). A σ = 1, le potentiel U_e(xn, σ) a une forme sinuso¨ıdale, alors que pourσ >1, les puits sont larges et s épar és par des barri ères de potentiel étroites et que, pourσ <1, les puits sont étroits et s épar és par des barri ères larges avec des flancs à pente limit ée (voir Fig. 3.1).aest la p ériode spatiale du potentiel du substrat, alors que le param ètre U₀ contr ôle ou ajuste la profondeur des barri ères

17

(31)

énerg étiques de ce potentiel (U₀ peut par exemple repr ésenter l’ énergie d’activation lors de la diffusion d’un adatom isol é dans un adsystem).xn(t)d ésigne la position de la cellule du sitenavec une signification qui d épend du syst ème physique consid ér é.

0 a 2a

xn 0

0.5 1 1.5 2

U e (x n)

= 0.05

= 0.5

= 1

= 1.85

= 12

FIGURE3.1 – Repr ésentation du potentiel de substratU_e(xn)pour diff érentes valeurs du param ètre de d éformabilit éσet pourU₀=2.

La mod élisation du potentiel d’interaction U_c(xn) de la n^{i ème} particule a eu un impact consid érable et crucial lors des premi ères études sur la dynamique des r éseaux non lin éaires. Elle a montr é l’existence de diff érents types d’excitations solitoniques et a r évolutionn é la science [11, 16, 17, 20, 23, 34, 35, 36, 37]. Ensuite, les recherches ont essay é dans un premier temps de d éterminer les possibilit és et conditions d’existence de ces nouveaux types d’excitations dans les chaˆınes m écaniques, et d’autre part de d éterminer leurs propri ét és dynamiques. Ces études ont ét é d’une importance capitale car leur extension à des travaux de recherches dans plusieurs autres domaines comme celui de l’optique, la biophysique, de l’imagerie ultra sonore pour agents de contraste [32], ... d épend fortement de la qualit é des r ésultats obtenus dans les chaˆınes m écaniques.

Avec des r ésultats assez probants, la plupart des travaux se sont concentr és sur des mod èles avec des formes simples de potentiel interatomique Uc(xn) entre proches voisins, alors qu’ils essayaient de d écrire ou de comprendre des ph énom ènes r éalistes et donc tr ès complexes. Il est pourtant bien connu que de nombreuses propri ét és physiques des syst èmes r éels sont directement li ées aux effets non lin éaires dus aux interactions anharmoniques. Les potentiels anharmoniques r éalistes, comme ceux de Toda, Born-Mayer, Coulomb, Lennard-Jones et Morse [11, 12, 16, 20, 34, 38, 39], poss èdent une forte non lin éarit é cubique dans leurs d éveloppements en s érie de Taylor autour de la position d’ équilibre. Il devient donc n écessaire de consid érer les excitations nonlin éaires dans le r éseau avec des anharmonicit és pouss ées. Pour cela, dans cette th èse, nous établissons un lien avec le d éveloppement de Taylor du potentiel Uc(xn) autour de la position d’ équilibre (xn = 0) en une s érie de puissances des d éplacements jusqu’au quatri ème ordre. On obtient ainsi un potentiel de type k₂ −k₃ −k₄ approximatif [20, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46] d éfini pour len^{i ème}sitenpar :

Uc(xn)= 1

2k₂(xn−x_n−1)²+ 1

3k₃(xn−x_n−1)³+ 1

4k₄(xn−x_n−1)⁴ (3.3) o `u k₂ > 0,k₃ et k₄ sont toutes les trois des constantes qui contr ˆolent les forces de cou-

(32)

plage harmonique, cubique et quartique, respectivement. Il a ét é d émontr é que l’inclu- sion de l’anharmonicit é dans l’ étude des mod èles de r éseaux peut produire des effets nouveaux qualitativement et quantitativement [40, 41, 42, 43, 47, 27, 7]. Par ailleurs, durant ces derni ères d écennies, un int ér êt pour les excitations localis ées dans les r éseaux non lin éaires a ét é renouvel é gr âce à l’identification de nouveaux types de modes localis és anharmoniques. Par cons équent, une grande attention a ét é port ée aux solitons de gap dans les r éseaux nonlin éaires. Dus aux effets de nonlin éarit é, les modes de solitons de gap peuvent apparaˆıtre sous forme d’excitations localis ées avec une fr équence de vibration situ ée en dehors des bandes permises du spectre lin éaire. Comme ces solitons de gap apparaissent dans des r éseaux atomiques parfaits avec une sym étrie de translation discr ète, ils ont ét é baptis és ”anharmonic gap mode” ou ”intrinsic gap mode”

[48, 49, 40, 46]. L’Hamiltonien d éfini dans l’ équation (3.1) o ù

U(xn)=Ue(xn, σ)+Uc(xn), (3.4) devient

H=AP

n









 1 2

dΘn

dt

!2

+

"

1

2G₂(Θn−Θⁿ⁻1)²+ 1

3G₃(Θn−Θⁿ⁻1)³+ 1

4G₄(Θn−Θⁿ⁻1)⁴

# + ω²₀W(Θn, σ)o

,

(3.5)

o ùΘn= 2πxn/aest le d éplacement adimensionn é de la particule,Gi =ki/m (i=2,3,4), tandis que A = m(a/2π)². Les param ètres G₂ et ω0 sont respectivement la vitesse et la fr équence caract éristique du syst ème, avec ω²₀ = 4π²U₀/ma² et m, la masse de la particule en mouvement.

Dans la plupart des cas, cette équation (3.5) peut conduire à plusieurs versions étendues ou modifi ées de la tr ès c él èbre équation non lin éaire de Schr ödinger (S NL) avec plusieurs termes suppl émentaires, expliquant les d épendances spatiales et/ou temporelles des co- efficients non lin éaires qui s’identifient essentiellement à quelques mod èles particuliers et bien pr écis. En utilisant des approximations telle que la ”rotating wave approximation”

combin ées aux simulations num ériques, Kiselev et al. ont montr é l’inexistence des modes localis és intrins èques, tandis qu’un mode optique non lin éaire au seuil de la fr équence de coupure basse peut être consid ér é comme une caract éristique g én érale des r éseaux non lin éaires avec des interactions de type cubique-quartique [50, 51, 52, 53]. De plus, il a ét é d émontr é num ériquement que, pour de tels mod èles, il existe des seuils critiques pour les param ètres non lin éaires au-dessus desquels les modes optiques disparaissent. Cela rev êt une importance particuli ère car le seuil num érique permet de d éfinir l’existence ou non de modes localis és.

Cependant, pour un syst ème physique r éel, il serait tr ès int éressant de d éterminer analy- tiquement les modes localis és car cela permettrait une interpr étation plus fine et étendue de la dynamique de tels syst èmes. G én éralement apr ès une mod élisation, on arrive tr ès souvent à des mod èles math ématiques et la principale difficult é est d’ être capable d’interpr éter l’apport de chaque param ètre (repr ésentant chacun une grandeur physique, un ph énom ène, une action, ou de mani ère g én érale, ayant une signification physique) de l’ équation sur le ph énom ène à étudier. Alors il existe plusieurs m éthodes th éoriques pour étudier l’existence ou la naissance des excitations localis ées non lin éaires dans