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èreSTMG1 – Mathématiques – Séance 22
Au programme :
▪ Visionner la video suivante qui explique les exercices 813 et 814:
https://www.youtube.com/watch?v=Yjo0_eS9o_g
▪ Etudier la correction des exercices 813 et 814
▪ Visionner la video suivante qui explique le cours:
https://youtu.be/dXtt5oQjj08
▪ Cours: Chapitre 08 : Fonctions du 3ème degré
2) Etude des variations d'une fonction polynôme de degré 3 et tableau de variation
▪ Visionner la video suivante:
https://www.youtube.com/watch?v=Ktc-PThiP6I&feature=youtu.be
(Attention, pour dresser le tableau de signes, Yvan Monka utilise une autre méthode que la mienne)
▪ Faire les exercices 815 et 816 et me les envoyer par mail avant mardi 23 juin à 12 h
▪ Si vous avez des questions, vous pouvez me joindre par mail à l’adresse suivante : guilaine.mallet@gmail.com
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▪ Visionner la video suivante qui explique les exercices 813 et 814:
https://www.youtube.com/watch?v=Yjo0_eS9o_g
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Exercice 813 - Corrigé
a) f(x) = 6x3
f ’(x) = 6 × 3x2 f ’(x) = 18x2 b) f(x) = − 10x3
f ’(x) = − 10 × 3x2 f ’(x) = − 30x2 c) f(x) =
x3
3 = 1 x3 3 f ’(x) = 1
3 × 3x2 f ’(x) = x2
d) f(x) = x3 + x2 − 5x + 8 f ’(x) = 3x2 + 2x − 5 e) f(x) = 3x32x2x8
f ’(x) = 3 × 3x2 + 2 × 2x + 1
f ’(x) = 9x2 + 4x + 1 f) f(x) = x33x22x 9
f ’(x) = − 3x2 + 3 × 2x − 2 f ’(x) = − 3x2 + 6x − 2 g) f(x) = 4x35x27x2
f ’(x) = − 4 × 3x2 − 5 × 2x + 7 f ’(x) = − 12x2 − 10x + 7 h) f(x) =
3 2
5x 2x 4x 1
6
= 1
5x3 2x2 4x 1
6
f ’(x) = 1
5 3x2 2 2x 4
6
f ’(x) = 1
15x2 4x 4
6
f ’(x) =
15x2 4x 4 6
Exercice 814 - Corrigé
a) f(x) = 2x39x212x5 f ’(x) = 2 × 3x2 − 9 × 2x + 12 f ’(x) = 6x2 − 18x + 12
b) On développe 6(x − 1)(x − 2) 6(x − 1)(x − 2) = (6x − 6)(x − 2)
= 6x212x6x 12
= 6x2 − 18x + 12
= f ’(x)
On a bien montré que f ’(x) = 6(x − 1)(x − 2)
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▪ Visionner la video suivante qui explique le cours:
https://youtu.be/dXtt5oQjj08
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Cours
2) Etude des variations d'une fonction polynôme de degré 3 et tableau de variation
Rappel important:
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.
▪ Si f ’(x) > 0 pour tout x appartenant à I, alors f est strictement croissante sur I
▪ Si f ’(x) < 0 pour tout x appartenant à I, alors f est strictement décroissante sur I
▪ Si f ’(x) = 0 pour tout x appartenant à I, alors f est constante sur I
Exemple:
Soit f la fonction définie sur par f(x) = − 4x3 − 24x2 − 36x + 17 a) Montrer que f ’(x) = − 12(x + 3)(x + 1)
b) Etudier les variations de f sur et dresser son tableau de variation.
● a) Etape n° 1: On calcule la forme développée de f ’(x) f ’(x) = − 4 × 3x2 − 24 × 2x − 36
f ’(x) = − 12x2 − 48x − 36
Comme f(x) est un polynôme de degré 3, f ’(x) est alors un polynôme de degré 2.
En 1 STMG, on ne sait pas factoriser un polynôme de degré 2, c'est pour cela que la forme factorisée ère de f ’(x) est donnée dans l'énoncé. Il suffit de développer pour vérifier que les deux formes sont égales.
● Etape n° 2: On développe − 12(x + 3)(x + 1)
− 12(x + 3)(x + 1) = ( − 12x − 36)(x + 1)
= − 12x2 − 12x − 36x − 36
= − 12x2 − 48x − 36
= f ’(x)
On a bien montré que f ’(x) = − 12(x + 3)(x + 1)
● b) Etape n° 3: On construit le tableau de signes de f ’(x) On résout les équations suivantes:
x + 3 = 0 x = − 3
x + 1 = 0 x = − 1 On a donc le tableau suivant:
x − − 3 − 1 + signe de − 12 − − − signe de (x + 3) − 0 + + signe de (x + 1) − − 0 + signe de f ’(x) − 0 + 0 −
● Etape n° 4: On en déduit les variations de f (on rajoute une ligne dans le tableau précédent)
● Etape n° 5: On calcule les images au bout des flèches pour compléter le tableau de variation.
3
2
f 3 4 3 24 3 36 3 17
f 3 4 27 24 9 108 17
f 3 108216 108 17
f 3 17
3
2
f 1 4 1 24 1 36 1 17
f 1 4 1 24 1 36 17
f 1 4 24 36 17
f 1 33
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▪ Visionner la video suivante:
https://www.youtube.com/watch?v=Ktc-PThiP6I&feature=youtu.be
(Attention, pour dresser le tableau de signes, Yvan Monka utilise une autre méthode que la mienne)
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▪ Faire les exercices 815 et 816 et me les envoyer par mail avant mardi 23 juin à 12 h
Exercice 815
Soit f la fonction définie sur par f(x) = 4x354x2 195x21 a) Calculer f ’(x)
b) Montrer que, pour tout x , on a: f ’(x) = 12(x − 2,5)(x − 6,5) c) Etudier le signe de f ’(x)
d) En déduire les variations de f et dresser le tableau de variation de f sur .
Exercice 816
Une entreprise fabrique des croquettes pour chien.
Chaque jour, elle fabrique entre 0 et 80 tonnes de croquettes.
Le coût de fabrication, en euros, de x tonnes de croquettes est modélisé par la fonction f dont la courbe représentative est donnée ci-contre:
A - Lecture graphique
A l'aide du graphique ci-contre, répondre aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique:
a) Combient coûte la production de 50 tonnes de croquettes ?
b) Quelle quantité de croquettes peut-on produire pour un coût de fabrication de 100 000 € ?
B - Etude de la recette
Une tonne de croquettes est vendue 1 900 €. La recette, pour x tonnes vendues, est donc donnée par la fonction R définie sur [0; 80] par R(x) = 1 900x
a) Compléter le tableau suivant:
x 0 50 R(x)
b) Sur le graphique ci-dessus, tracer la droite qui représente la fonction R.
c) L'entreprise réalise-t-elle un bénéfice en vendant 10 tonnes de croquettes ? Justifier la réponse.
