Ladisjonction dePetQest la assertion notée (P ou Q) ouP∨Qdéfinie par : ?si l’une au moins des deux assertions est vraie alors(PouQ)est vraie, ?siPetQsont fausses alors(PouQ)est fausse

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I : COURS

I-1 : LOGIQUE ÉLÉMENTAIRE

Définition 1:

XUneassertionest un énoncé mathématique qui peut prendre uniquement deux valeurs : vrai (V) ou faux (F).

XSoitPune assertion. Lanégation dePest la assertion notée ( nonP) ou¬PouPdéfinie par :

?siPest fausse alors(nonP)est vraie,

?siPest vraie alors(nonP)est fausse.

XSoitPetQdeux assertions. Laconjonction dePetQest la assertion notée (P et Q) ouP∧Qdéfinie par :

?siPetQsont vraies alors(PetQ)est vraie,

?si l’une au moins des deux assertions est fausse alors(PetQ)est fausse.

XSoitPetQdeux assertions. Ladisjonction dePetQest la assertion notée (P ou Q) ouP∨Qdéfinie par :

?si l’une au moins des deux assertions est vraie alors(PouQ)est vraie,

?siPetQsont fausses alors(PouQ)est fausse.

Exemple 1:

Soitx∈R. On noteP1 : ”x6−1 oux>0”. Écrire(nonP1).

On noteA : ”∀x∈R,√

x²=x” etB : ”∀x∈R^∗₊, 1

x >0”. Que dire que(A etB)? de(A ouB)?

Définition 2:

XSoitPetQdeux assertions. L’implication deQparPest la assertion(nonP)ouQ. Cette assertion se noteP =⇒ Qet se lit «PimpliqueQ».

XSoitPetQdeux assertions. L’assertionQ =⇒ Pest laréciproquede la assertionP =⇒ Q. XSoitPetQdeux assertions. L’équivalence dePetQest la assertion(P =⇒ Q)et(Q =⇒ P).

Cette assertion se noteP⇐⇒Q.

XSoitPetQdeux assertions. L’ assertion(nonQ =⇒ nonP)est lacontraposéede l’assertionP =⇒ Q.

Remarque 1:

X On constate que siPest fausse alorsP =⇒ Qest toujours vraie (peu importeQ).

X Pour exprimer que l’implicationP =⇒ Qest vraie, on peut dire quePest unecondition suffisantepour avoir Q, ou queQest unecondition nécessairepour avoirP. On dit alors que l’assertionPregroupe leshypothèses et que l’assertionQregroupe lesconclusions.

X Pour exprimer que l’équivalenceP⇐⇒Qest vraie on peut dire quePest unecondition nécessaire et suffisantepour avoirQ. On dira également : «P est vraie si et seulement siQest vraie » , ou bien « pour queP soit vraie il faut et il suffit queQsoit vraie.

Exemple 2:

Soitx∈R. Que dire de l’implication ”x>0 =⇒x>0” ? et de l’implication ”x²>x=⇒x>1” ? et de leurs réciproques ? Soit(u_n)une suite de réels. Que dire de l’implication ”(u_n)croissante =⇒ (u_n)tend vers +∞” ? et sa réciproque ? Déterminer une condition suffisante et non nécessaire surxpour quex²=4. Donner une condition nécessaire et suffisante.

Déterminer deux conditions nécessaires et non suffisantes sur le réelxpour être solution de√

x+3=1−x.

Donner une conditions nécessaire et suffisante surxpour que ln

1+1 x

soit défini.

Donner ensuite une condition suffisante non nécessaire, puis une condition nécessaire non suffisante.

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Propriété 1:

SoitPetQdeux assertions.

(1) (Principe de déduction) (P et(P =⇒ Q)) =⇒ Q (2)(Distributivité)

(Pet(QouR)) ⇐⇒ ((PetQ)ou(PetR)) ; (Pou(QetR)) ⇐⇒ ((PouQ)et(PouR)) (3)(Négations)

non(nonP) ⇐⇒ P ; non(P =⇒ Q) ⇐⇒ (Pet(nonQ))

non(PetQ) ⇐⇒ ((nonP)ou(nonQ)) ; non(PouQ) ⇐⇒ ((nonP)et(nonQ))

Remarque 2:

X Le principe de déduction rappelle que =⇒ n’est pas du tout synonyme de « donc » dans un raisonnement : une implicationP =⇒ Qpeut être vraie alors que la conclusionQest fausse !

Définition 3:

On noteP(x)une assertion dépendant d’un paramètrexoùxest un élément d’un ensembleE.

XSiP(x)est vraie pour tous les élémentsxdeEon écrit :(∀x∈E,P(x)) Le symbole∀ est lequantificateur universelet il se lit « quel que soit » .

XSiP(x)est vraie pour au moins un élémentxdeEon écrit :(∃x∈E,P(x)) Le symbole∃ est lequantificateur existentielet il se lit « il existe » .

Remarque 3:

X SiP(x)est vraie pour un unique élémentxdeEon écrit :(∃ !x∈E, P(x)).

X L’emploi des quantificateurs comme abbréviations dans un texte est exclu : ils ne sont utilisés qu’au sein d’une formule mathématique.

X De manière générale, on ne mélangera pas le « mode texte » et le « mode quantificateurs » .

X En général l’ordre des quantificateurs∀ et∃ dans la formule est essentiel : l’énoncé(∀x∈N, ∃y∈N,x6y) n’a rien à voir avec l’énoncé(∃y∈N, ∀x∈N, x6y).

X Dans la assertion(∀x₁∈E₁, ∀x₂∈E₂, ∃y∈F), l’élémentydépend des élémentsx₁etx₂. On pourrait écrire y=y(x₁,x₂)pour mettre cette dépendance en évidence.

Propriété 2:

On noteP(x)une assertion dépendant d’un paramètrexoùxest un élément d’un ensembleE.

(1) non(∀x∈E, P(x)) ⇐⇒ (∃ x∈E, non P(x)) (2) non(∃x∈E, P(x)) ⇐⇒ (∀ x∈E, non P(x))

Remarque 4:

X La première propriété illustre le principe du contre-exemple.

X En résumé : la négation de∀ (resp.∃) est∃ (resp.∀).

Exemple 3:

La propriétéP : ”∀x∈R, x²>x” est-elle vraie ? EtP : ”(∃x∈R, x+3=0)et(∃x∈R,x²=4)” ? EtP : ”∃x∈R, (x+3=0 etx²=4)” ?

Exemple 4:

Que dire deP : ”∃M∈R₊, ∀x∈R,x²6M” ? et deP : ”∀x∈R,∃M∈R₊,x²6M” ?

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Exemple 5:

Soit f :R→Rune application.

Écrire la négation deA : ”∃M∈R, ∀x∈R, f(x)6M”.

Écrire la négation deB : ”∀x∈R,∀y∈R, x6y =⇒ f(x)6f(y)”.

I-2 : RAISONNEMENTS CLASSIQUES

Propriété 3: Implication

P =⇒ Q

En pratique : on suppose quePest vraie et on montre que sous cette hypothèseQest vraie.

Attention : cela ne démontre pas queQest vraie ! Exemple 6:

Montrer que :∀x∈R^∗₊, ∀y∈R^∗₊,x<y =⇒ 1

4x²+1 > 1 4y²+1

Propriété 4: Raisonnement par l’absurde

(P =⇒ Q) ⇐⇒ non(P et(nonQ))

En pratique : pour établir quePimpliqueQ, on suppose quePet(non Q)sont vraies et on trouve une contradiction.

Exemple 7:

Soit(x,y)∈R². On suppose que(u_n)est une suite vérifiant : ∀α>0,∃N>0, (|u_N−x|<αet|u_N−y|<α).

Montrer quex=y.

Propriété 5: Raisonnement par contraposée

(P =⇒ Q) ⇐⇒ ((nonQ) =⇒ (nonP)) En pratique : pour établir queP impliqueQ, on montre que(non Q)implique(non P).

Exemple 8:

Soitx∈R₊. On suppose que :∀ε>0, x6ε. Montrer quex=0.

Propriété 6: Raisonnement par double implication

(P⇐⇒Q) ⇐⇒ ((P =⇒ Q)et(Q =⇒ P))

En pratique : pour établir quePest équivalent àQ, on montre dans un premier temps quePimpliqueQpuis dans un second temps queQimpliqueP.

Exemple 9:

Soitn∈N. Montrer que(npair)⇐⇒ n²pair .

Propriété 7: Raisonnement par disjonction des cas

((PouQ) =⇒ R) ⇐⇒ ((P =⇒ R)et(Q =⇒ R))

En pratique : pour établir que(P ou Q)impliqueR, on montre d’abord quePimpliqueRpuis queQimpliqueR.

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Exemple 10:

Résoudre surRl’équation|x+3|=1.

Montrer que pour toutn∈Nl’entiern(n+1)est pair.

Remarque 5: raisonnement par analyse/synthèse

Quand on cherche à déterminer toutes les solutions d’un problème (typiquement : d’une équation), une autre manière de rédiger le raisonnement par double implication est le raisonnement paranalyse-synthèse:

•Analyse: On suppose qu’on dispose d’une solution du problème et on cherche des conditions que cette éventuelle solution doit vérifier.

On établit donc une liste de conditions nécessaires pour être solution du problème.

•Synthèse: On vérifie ensuite que les objets véfifiant les propriétés établies lors de l’analyse sont toutes solutions de problème.

Ceci revient à établir que les conditions trouvées lors de l’analyse sont suffisantes pour être solution du problème.

Exemple 11:

Résoudre surRl’équation√

x+3=3−x.

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II : EXERCICES

Exercice 1: condition nécessaire et suffisante

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions de variable réelle définies par les expressions suivantes : a. f(x) =ln

2x+1 2−x

b. g(x) =√

4−x² c. h(x) =x²−1

x−1

Exercice 2: quantificateur et négation

Soit(u_n)_n_>₀une suite réelle. Formuler avec des quantificateurs les assertions suivantes et donner la négation : a. (u_n)est la suite nulle b. (u_n)s’annule au moins une fois

c. (u_n)est nulle à partir d’un certain rang

Exercice 3: quantificateurs et négation

Soit f une fonction deRdansR. Écrire avec des quantificateurs puis donner la négation des assertions suivantes : a. f est strictement positive surR b. Pour toutx, on af(x)>1 ou f(x)<−1 c. Au moins une valeur de f(x)appartient à]0,1] d. f est constante surR

Exercice 4: quantificateurs et négations

Soit`∈R. On dit que la suite(u_n)n∈Nde nombres réelsconverge vers`si :

∀ε>0,∃N∈N, ∀n>N, |u_n−`|6ε

1. Donner un exemple explicite de suite convergente et préciser la valeur de`.

2. Écrire la négation de cette assertion.

3. Démontrer que(u_n)_n>₀définie paru_n= (−1)ⁿne converge pas vers`=1.

4. Montrer que si une suite converge vers`alors le réel`est unique.

Exercice 5: affirmations

Indiquer si chaque affirmation est vraie ou fausse.

a. ∀x∈R, x²+4x+3>0 b. ∃x∈R, x²<x c. ∀x∈R,∀y∈R,x+y²=0 d. ∃x∈R, ∃y∈R,x+y²=0 e. ∃x∈R₊, ∀y∈R₊, x=y² f. ∀x∈R₊,∃y∈R₊, x=y²

Exercice 6: dessiner

Établir que :∀(x,y)∈R²,(x<y =⇒ ∃α>0,]x−α,x+α[∩]y−α,y+α[=∅)

Exercice 7: implications

Soit f : R→R. On admet que l’équation f(x) =xadmet exactement deux solutions surR.

Que pouvez-vous dire du nombre de solutions réelles de(f(x))²=x²? et de(f(x)−x)²=0 ?

Exercice 8: double implication

Soity:R→Rune fonction dérivable eta∈R. Montrer que :y⁰+ay=0⇐⇒ ∃k∈R,∀t∈R, y(t) =ke^−at

Exercice 9: analyse-synthèse

Montrer que toute fonction f:R→Rest somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire.

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Exercice 10:

1. Résoudre dansRl’équation :x−16√ x+1.

2. Résoudre dansRl’équation|x+1|=2x.

Exercice 11:

Soit f :R→R. Écrire la négation des assertions suivantes :

a. ∀y∈R^∗₊,∃x∈R, f(x) =y b. ∀x∈R, ∃M∈R, f(x)<M

c. ∃M∈R, ∀x∈R, f(x)<M d. ∀ε>0, ∃α>0,∀x∈]−α,α[, |f(x)−1|6ε

Exercice 12:

Pour chacune des propriétésa.etb.suivantes, déterminer une fonction f (ou une suite(u_n)) vérifiant cette propriété et préciser si les deux propriétés sont équivalentes.

a. ∀x∈R, ∃T∈R^∗, f(x+T) =f(x) b. ∃T ∈R^∗,∀x∈R, f(x+T) =f(x) a. ∀n∈N, ∃a∈R^∗,u_n+1=au_n b. ∃a∈R^∗, ∀n∈N, u_n+1=au_n