Daniel ALIBERT Étude locale des fonctions dérivables. Développements limités

Daniel ALIBERT

Étude locale des fonctions dérivables. Développements limités

Objectifs :

Savoir chercher si une fonction d'une variable réelle est dérivable en un point. Calculer sa dérivée, et dans certains cas ses dérivées d'ordre supérieur.

Pour les calculs de limites, savoir utiliser, et quand utiliser, les techniques suivantes : fonctions dérivées, développement limité.

Savoir interpréter graphiquement les premiers termes d'un développement limité.

Savoir utiliser un logiciel de calcul (Maxima) pour atteindre les objectifs précédents.

Organisation, mode d'emploi

Cet ouvrage, comme tous ceux de la série, a été conçu, dans son format comme dans son contenu, en vue d'un usage pratique simple.

Il s'agit d'un livre d'exercices corrigés, avec rappels de cours.

Il ne se substitue en aucune façon à un cours de mathématiques complet, il doit au contraire l'accompagner en fournissant des exemples illustratifs, et des exercices pour aider à l'assimilation du cours.

Ce livre a été écrit pour des étudiants de première et seconde années des Licences de sciences, dans les parcours où les mathématiques tiennent une place importante.

Il est le fruit de nombreuses années d'enseignement auprès de ces étudiants, et de l'observation des difficultés qu'ils rencontrent dans l'abord des mathématiques au niveau du premier cycle des universités :

- difficulté à valoriser les nombreuses connaissances mathématiques dont ils disposent lorsqu'ils quittent le lycée,

- difficulté pour comprendre un énoncé, une définition, dès lors qu'ils mettent en jeu des objets abstraits, alors que c'est la nature même des mathématiques de le faire,

- difficulté de conception et de rédaction de raisonnements même simples, - manque de méthodes de base de résolution des problèmes.

L'ambition de cet ouvrage est de contribuer à la résolution de ces difficultés aux côtés des enseignants.

Ce livre comporte quatre parties.

La première, intitulée "A Savoir", rassemble les définitions et résultats qui sont utilisés dans les exercices qui suivent. Elle ne contient ni démonstration, ni exemple.

La seconde est intitulée "Pour Voir" : son rôle est de présenter des exemples de toutes les définitions, et de tous les résultats de la partie précédente, en ne faisant référence qu'aux connaissances qu'un étudiant abordant le chapitre considéré a nécessairement déjà rencontré (souvent des objets et résultats abordés avant le baccalauréat). La moitié environ de ces exemples sont développés complètement, pour éclairer la définition ou l'énoncé correspondant. L'autre moitié est formée d'énoncés intitulés

"exemple à traiter" : il s'agit de questions permettant au lecteur de réfléchir de manière active à d'autres exemples très proches des précédents. Ils sont suivis immédiatement d'explications détaillées.

La troisième partie est intitulée "Pour Comprendre et Utiliser" : des énoncés d'exercices y sont rassemblés, en référence à des objectifs. Ces énoncés comportent des renvois de trois sortes :

(☺) pour obtenir des indications pour résoudre la question, ( ) lorsqu'une méthode plus générale est décrite,

( ) renvoie à une entrée du lexique.

Tous les exercices sont corrigés de manière très détaillée dans la partie 3 - 2. Au cours de la rédaction, on a souvent proposé au lecteur qui souhaiterait approfondir, ou élargir, sa réflexion, des questions complémentaires (QC), également corrigées de façon détaillée.

La quatrième partie, "Pour Chercher", rassemble les indications, les méthodes, et le lexique.

Certains livres d'exercices comportent un grand nombre d'exercices assez voisins, privilégiant un aspect "entraînement" dans le travail de l'étudiant

en mathématiques. Ce n'est pas le choix qui a été fait ici : les exemples à traiter, les exercices et les questions complémentaires proposés abordent des aspects variés d'une question du niveau du L1 L2 de sciences pour l'éclairer de diverses manières et ainsi aider à sa compréhension.

Le lecteur est invité, à propos de chacun d'entre eux, à s'interroger sur ce qu'il a de général (on l'y aide par quelques commentaires

Table des matières

1 A Savoir ... 7

1-1 Dérivation des fonctions d'une variable réelle 7 1-2 Dérivations successives des fonctions ... 10

1-3 Développements limités ... 12

1-4 Développements asymptotiques ... 15

1-5 Étude locale des fonctions ... 16

2 Pour Voir ... 20

2-1 Dérivation des fonctions d'une variable réelle20 2-2 Dérivations successives des fonctions ... 28

2-3 Développements limités ... 31

2-4 Développements asymptotiques ... 40

2-5 Étude locale des fonctions ... 43

3 Pour Comprendre et Utiliser ... 57

3-1 Énoncés des exercices ... 57

3-2 Corrigés des exercices ... 72

3-3 Corrigés des questions complémentaires .... 121

4 Pour Chercher ... 129

4-1 Indications pour les exercices ... 129

4-2 Méthodes ... 136

4-3 Lexique ... 139

1 A Savoir

Dans cette partie, on rappelle rapidement les principales définitions et les principaux énoncés utilisés. Vous devrez vous référer à votre cours pour les démonstrations.

Vous trouverez des exemples dans la partie 2*Pour Voir.

1-1 Dérivation des fonctions d'une variable réelle

Définition

Soit x₀ un réel, et f une application définie sur un intervalle ouvert centré en x₀, à valeurs dans R.

On dit que f est dérivable en x₀ si le quotient : f (x)−f ( x₀)

x−x₀

admet une limite lorsque x tend vers x₀, en restant différent de x₀. Cette limite est la dérivée de f en x₀, notée f'(x₀).

Une autre notation usuelle pour la dérivée de f en x₀ est df dx

( )

x₀ ^. Une formulation équivalente est la suivante : il existe un réel a, et une application définie sur un intervalle ouvert centré en 0, tendant vers 0 en 0, notée ε, telles que l'égalité suivante soit vérifiée, pour |x – x0| assez petit :

f(x) = f(x₀) + (x – x₀) a + (x – x₀) ε(x – x0).

Le réel a est la dérivée de f en x₀.

On dit souvent, par abus, que "l'expression f(x)" est dérivable.

Si f est définie sur un intervalle de la forme ]t , x₀], on dit que f est dérivable à gauche en x₀, si le quotient f (x)−f ( x₀)

x−x₀ admet une limite lorsque x tend vers x₀, avec x < x₀.

Cette limite est la dérivée à gauche de f en x₀, notée f_g^' (x₀).

On définit de manière analogue la dérivée à droite.

Si f est dérivable pour tout x d'un ensemble I, on dit que f est dérivable sur I. L'application qui à x de I associe f'(x) est l'application dérivée de f, ou la dérivée de f.

Proposition

Si f est dérivable en x₀, alors f est continue en x₀.

Proposition

Soient f et g des fonctions dérivables en x₀.

1) Pour tout couple de réels (α, β), la combinaison linéaire α.f + β.g est dérivable en x₀, et :

(α.f + β.g)'(x0) = α.f'(x0) + β.g'(x0).

2) Le produit f.g est dérivable en x₀, et :

(f.g)'(x₀) = f'(x₀)g(x₀) + f(x₀)g'(x₀).

Proposition

Soit f une application définie au voisinage de x₀.

Soit g une application définie au voisinage de f(x₀), composable avec f.

Si f est dérivable en x₀, et g dérivable en f(x₀), alors l'application composée g o f est dérivable en x₀, et :

(g o f)'(x₀) = g'(f(x₀))f'(x₀).

Proposition

Soient I et J, des intervalles de R, et f : I --. J une application continue bijective. On note f⁻¹ l'application réciproque, de J dans I.

Si f est dérivable en x₀, élément de I, et si f

'

(x₀) est différent de 0, alors f⁻¹ est dérivable en f(x₀), et sa dérivée en f(x₀) est :

f⁻¹

( )

^'

⁽

^{f x}

^{( )}

⁰

⁾

⁼ _{f' x}¹

( )

0 ^.

Les dérivées des fonctions usuelles sont à connaître, ainsi que leur domaine de définition :

fonction dérivée domaine

x → xⁿ, n ∈ Z x → n.x^n-1 si n < 0, x ≠ 0 si n ≥ 0, R x → log(x)

(logarithme naturel) x →1

x x > 0

x → e^x x → e^x R

x → sin(x) x → cos(x) R

En application de ce tableau et des résultats précédents (dérivation d'une fonction composée), on obtient un autre tableau de formules de dérivation à connaître :

forme des fonctions dérivée

u v

u' v−uv' v²

log(u) u'

u

e^u u' e^u

a^x, a > 0 log(a)a^x

x → x^α, α ∈ R x → α.x^α−1, x > 0 si α ∈ N

1-2 Dérivations successives des fonctions

Définition

Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I.

Soit f' sa fonction dérivée, également définie sur I.

Soit a un point de I. Si f' est dérivable en a, on dit que f est deux fois dérivable en a, et la dérivée de f' en a est la dérivée seconde de f en a, notée f"(a).

On définit ainsi de proche en proche la dérivée n-ième de f au point a par :

f^{( n)}(a)=

( )

f^{(n−1) '(a).}

Autre notation : dⁿf dxⁿ

( )

x₀ ^.

Noter que l'existence de la dérivée n-ième en a suppose l'existence des dérivées d'ordre inférieur sur un intervalle ouvert centré en a, et pas seulement en a.

Si la dérivée n-ième d'une application existe sur un intervalle ouvert I, on dit que f est n fois dérivable sur I. Si de plus la dérivée n-ième est continue sur I, on dit que f est n fois continûment dérivable sur I, ou de classe Cⁿ sur I. On écrira souvent f ∈ Cⁿ(I).

Si la fonction f est n fois dérivable sur I, quel que soit n, on dit qu'elle est indéfiniment dérivable, ou encore de classe C^∞.

La dérivée n-ième d'une somme de fonctions est la somme des dérivées n-ièmes de chacune.

Proposition

Formule de Leibniz.

Soient f et g des fonctions n fois dérivables en x₀. Le produit fg est dérivable n fois également et :

( )

fg ^{( n)}

( )

^x0 ^{= C}n

kf^{( k)}

( )

x₀ ^{g(n−k )}

( )

^x0 k=0

k=n

∑ .

Dans cette formule, on convient que f⁽⁰⁾ désigne f.

Rappel. Le symbole C_n^k désigne le coefficient du binôme : C_n^k = k!(n−k)!

n! .

1-3 Développements limités

Théorème

Formule de Taylor-Young.

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I.

Soit x₀ un élément de I. On suppose que la dérivée n-ième en x₀ existe.

Il existe une fonction h → ε(h), définie sur un intervalle ouvert centré en 0, tendant vers 0 lorsque h tend vers 0, telle que l'égalité suivante soit vraie, pour x appartenant à un intervalle ouvert centré en x₀ contenu dans I :

f(x)=f x

( )

₀ ⁺

(

^x−x0

)

^k

k! f^{( k)}

( )

x₀

k=1

∑n +

(

x−x₀

)

^nε

(

^x−x0

)

^.

Définition

Soit I un intervalle ouvert, et x₀ un élément de l'adhérence de I, c'est-à-dire un point de I ou une de ses extrémités. Soit f : I → R, une fonction.

On dit que la fonction polynôme de x :

P(x – x₀) = a₀ + a₁(x – x₀) + … + a_n(x – x₀)ⁿ

est un développement limité à l'ordre n de f en x₀ si l'expression f(x) – P(x – x₀) est de la forme (x – x₀)ⁿε(x – x0), la fonction h ∞ ε(h) tendant vers 0 lorsque h tend vers 0.

P est la partie régulière du développement, et (x – x₀)ⁿε(x – x0) en est le reste, ou terme complémentaire.

La formule de Taylor-Young fournit un développement limité pour les fonctions qui en vérifient les hypothèses.

Proposition

Si P existe, il est unique.

Proposition

Si f et g admettent des développements limités à l'ordre n en x₀, de parties régulières P et Q, alors :

1) Pour tout couple de réels, (α, β), la combinaison linéaire α.f + β.g admet un développement limité à l'ordre n en x₀, dont la partie régulière est la combinaison linéaire α.P + β.Q des parties régulières des développements de f et de g.

2) Le produit fg admet un développement limité à l'ordre n en x₀, dont la partie régulière s'obtient en tronquant au degré n le produit PQ.

(C'est-à-dire en ne conservant que les monômes en (x – x₀)^k, k ≤ n).

Proposition

Si f admet un développement limité en x₀, de partie régulière P, et

y₀ = lim(f(x)) en x₀, et si g est une fonction composable avec f qui admet un développement limité en y₀, de partie régulière Q, alors on obtient un développement limité de gof en x₀ en substituant P(x – x₀) à y dans Q(y – y₀), et en tronquant le polynôme obtenu au degré convenable (c'est- à-dire significatif compte tenu des termes complémentaires)

Proposition

Soit f : [a , b]→ R, continue.

On suppose que f admet en x₀ ∈ [a , b] un développement limité à l'ordre n, de partie régulière P(x – x₀).

Soit F : [a , b] → R une primitive de f. Alors F admet un développement limité à l'ordre n + 1 en x₀, dont la partie régulière est obtenue en calculant la primitive de P(x – x₀) égale à F(x₀) en x₀.

formulaire

Les développements suivants en 0 sont à connaître parfaitement.

On figure ci-dessous la partie régulière de chaque développement limité.

fonctions développements ordre

x → (1 + x)^α (ci-dessous deux cas

particuliers)

1+ x^k

k!α(α– 1)…(α −k+1)

k=1

∑n

n

xa 1 1+x

1−x+x² +…+(−1)ⁿx^{n n} xa 1+x 1+1

2x−1 8x² + 1

16x³− 5

128x⁴ 4

x → sin(x)

x−x³ 3! + x⁵

5! +…+(−1)^p x^2p+1 (2 p+1)!

2p + 2 x → cos(x)

cos( x)=1−x² 2! +x⁴

4!+… +(−1)^p x^{2 p} (2p)!

2p + 1 x → e^x

1+x+x²

2! +…+ xⁿ n!

n x → log(1 + x)

x−x²

2 +…+ −1

( )

^n+1xn

n

n

1-4 Développements asymptotiques

Il s'agit de généraliser l'écriture de développements limités à différents cas :

Fonction non bornée au voisinage de x₀. Développement au voisinage de l'infini.

Définition

Soit x₀ un réel et f une fonction définie sur un voisinage épointé ( ) de ce point, non nécessairement bornée sur ce voisinage épointé.

On appelle développement asymptotique d'ordre n de f au voisinage de x₀ une fonction rationnelle de la forme a_i

(

x−x₀

)

ⁱ

i=p i=n

∑ , où p et n sont des entiers relatifs (p ≤ n), vérifiant :

xlim−>x₀ f(x )− a_i

(

x−x₀

)

ⁱ

i=p i=n

 ∑







(

x−x₀

)

⁻ⁿ







=0.

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle non borné.

On appelle développement asymptotique d'ordre n de f à l'infini une fonction rationnelle de la forme a_ix⁻ⁱ

i=p i=n

∑ , où p et n sont des entiers relatifs (p ≤ n), vérifiant (cas de +∞) :

x−>+∞lim f(x)− a_ixⁱ

i=p i=n

 ∑





xⁿ







=0.

1-5 Étude locale des fonctions

La dérivée permet dans certains cas de résoudre des problèmes de limites (on en a vu un exemple dans le volume 3, à propos de la recherche d'équivalents).

Proposition

Règle de l'Hôpital

Soit a un réel, et soient f et g des fonctions définies sur un intervalle ouvert centré en a, continues en a. On suppose f et g dérivables sur un voisinage épointé ( ) de a, g non nulle sur un voisinage épointé de a, enfin :

f(a) = g(a) = 0.

Alors si le rapport :

f' (x) g' (x ) a une limite finie en a, le rapport :

f(x) g(x) a également une limite finie, et :

x−>a x≠a

lim ^{f( x)} g(x)



 

 =

x−>a x≠a

lim ^{f' (x)} g' (x)



 

.

Corollaire

Si f est continue en a, dérivable sur un voisinage épointé ( ) de a, et si f' a une limite finie en a, alors f est dérivable en a, et :

x−>a x≠a

lim f' (x)

( )

= f' (a)).

La dérivée en un point donne également des informations sur le comportement d'une fonction au voisinage de ce point (étude locale).

Dans un calcul de limite, on peut toujours remplacer une fonction par son développement limité s'il existe au point considéré.

Le premier terme non nul du développement limité d'une fonction, s'il existe, est un équivalent de la fonction.

Cela permet d'obtenir des informations géométriques sur le graphe de la fonction.

Proposition

Soit f : R→ R, dérivable en x₀, admettant en x₀ un maximum local ou un minimum local. Alors f

'

(x₀ ) = 0 .

Soit f une application définie sur un intervalle I.

On rappelle que le graphe G de f (ou courbe représentative) est le sous- ensemble du plan R² formé des couples (x , f(x)), x étant un point quelconque de I.

Soit x₀ un point de I, et M(x₀) le point de G d'abscisse x₀. Une droite passant par M(x₀) a une équation de la forme :

y = f(x₀) + a.(x – x₀),

a désignant le coefficient directeur. Notons cette droite D(a).

Définition

Soit M(x) le point de G d'abscisse x. On dit que D(a) est tangente à G si la fonction :

x ∈ I, x→ distance(M(x), D(a)) est négligeable devant la fonction :

x→ distance(M(x), M(x₀)) quand x tend vers x₀ dans I.

M(x)

M(x0)

x0 x

Proposition

Soit f une fonction dérivable en un point x₀. La droite D(f'(x₀)) est la tangente à G en x₀.

Proposition

Soit f une fonction admettant un développement limité au voisinage d'un point x₀.

1) Si ce développement est à l'ordre 1 :

f(x) = a₀ + a₁ (x – x₀) + (x – x₀)ε(x – x0)

la droite d'équation y = a₀ + a₁ (x – x₀) est la tangente au graphe de f au point d'abscisse x₀.

2) Si ce développement est à l'ordre 2 :

f(x) = a₀ + a₁ (x – x₀) + a₂(x – x₀)² + (x – x₀)²ε(x – x0) la position du graphe est donnée par le signe de a₂ (si a₂ ≠ 0).

Si a₂ > 0, le graphe est au-dessus de sa tangente.

Si a₂ < 0, la courbe est au-dessous de sa tangente.

Définition

Une droite D est asymptote à G lorsque x tend vers l'infini si, quand x tend vers l'infini, la distance du point de G d'abscisse x à la droite D tend vers 0.

Proposition

Soit f une fonction admettant un développement asymptotique en +∞ de la forme suivante : f(x)=a₋₁x+a₀ +a₁

x + ε(x ) x .

La droite d'équation y=a₋₁x+a₀ est asymptote à la courbe représentative.

Si a₁ > 0, la courbe est au-dessus de son asymptote.

Si a₁ < 0, la courbe est au-dessous de son asymptote.

Les mêmes considérations s'appliquent également en –∞.

2 Pour Voir

Dans cette partie, on présente des exemples simples des notions ou résultats abordés dans la partie précédente. Ils sont suivis de questions très élémentaires pour vérifier votre compréhension.

2-1 Dérivation des fonctions d'une variable réelle

"On dit que f est dérivable en x₀ si le quotient f(x)− f(x₀) x−x₀

admet une limite lorsque x tend vers x₀, en restant différent de x₀."

exemple 1

Si f est l'application définie par :

f(x)=x³−x+2,

on vérifie facilement qu'elle est dérivable en 1, et même en tout point a : f(x)−f(1)

x−1 =x³−x+2−2 x−1

=x(x−1) x−1

=x, (ce calcul est fait pour x ≠ 1), donc :

x→1 x≠1

lim f (x )−f (1) x−1



 

 =1.

Plus généralement : f(x)−f(a)

x−a



 

 =x³−x+2−a³+a−2 x−a

=x³−a³−x+a x−a

=(x−a)(x²+ax+a²)−(x−a) x−a

=x²+ax+a²−1, d'où :

x→a x≠a

lim f (x )−f(a) x−a



 

 =3a²−1.

On voit que le calcul est long, même dans un cas simple, d'où l'intérêt de méthodes et de formules générales.

exemple 2 (à traiter)

Soit g l'application "valeur absolue". Est-elle dérivable en 0, en 0,5 ?

# réponse

En 0.

Il s'agit d'étudier la limite de l'expression x

x , quand x tend vers 0, en étant différent de 0. On distingue deux cas :

si x > 0, x

x = 1, donc la limite à droite existe et vaut 1, si x < 0, x

x = – 1, donc la limite à gauche existe et vaut – 1.

Ces deux limites partielles étant différentes, on conclut que g n'est pas dérivable en 0.

En 0,5, et plus généralement en a ≠ 0.

Dans ce cas, pour étudier la limite de x −a

x−a , on peut supposer x du même signe de a, puisque x – a peut être supposé aussi petit que l'on veut.

On conclut que g est dérivable, de dérivée 1 si a > 0, et de dérivée – 1 si a < 0.

"Une formulation équivalente est la suivante : il existe un réel a, et une application définie sur un intervalle ouvert centré en 0, tendant vers 0 en 0, notée ε, telles que l'égalité suivante soit vérifiée, pour |x – x₀| assez petit :

f(x) = f(x₀) + (x – x₀) a + (x – x₀) ε(x – x₀)."

exemple 3

Prenons l'exemple de l'application définie par f ( x)= x²+x+1.

Étudions la dérivabilité en 0 :

f(x)−f(0)= x²+x+1−1

=

(

x²+x+1−1

) (

^x2+x+1+1

)

x² +x+1+1

( )

= x² +x+1−1 x²+x+1+1

( )

=x 1

x²+x+1+1

( )

^+x2

(

^x2+1x+1+1

)

^.

Or 1

x²+x+1+1

( )

tend vers 1

2 en 0, d'où :

f(x)−f(0)=x1

2+x 1

x² +x+1+1

( )

⁻¹²⁺

(

^x2+xx+1+1

)











.

Le deuxième terme du second membre :

x 1

x²+x+1+1

( )

^{−12 +}

(

^x2+xx+1+1

)













est bien de la forme voulue, x ε(x), avec ε tendant vers 0 en 0, donc f'(0) = ¹

2. exemple 4 (à traiter)

Il est parfois plus pratique d'utiliser cette propriété pour démontrer la dérivabilité d'une fonction et calculer sa dérivée.

Vérifier, de cette manière, que l'expression suivante est dérivable en 0 : 2x−3+x²+x cos(x)−x

x²+x+4 et calculer sa dérivée.

# réponse

On forme d'abord la différence entre l'expression et sa valeur en a (ici, a = 0) :

2x−3+x²+x cos(x)−x

x²+x+4 −(−3)=2x+x²+xcos(x)−x x²+x+4

puis on essaie de mettre x – a (ici, simplement x) en facteur : 2x+x²+x cos(x)−x

x² +x+4 =x 2+ x+cos(x)−1 x²+x+4



 

. On étudie maintenant la limite en 0 du terme en facteur de x :

2+x+cos(x)−1 x²+x+4 →2.

Si cette limite existe, l'expression est dérivable, et la limite est la dérivée.

(Comparer avec un calcul utilisant les formules usuelles de dérivation !) On peut, plus directement, distinguer dans l'expression une "partie affine", 2x – 3, et une partie où x est en facteur d'une expression tendant vers 0,

xx+cos(x)−1 x²+x+4

. On conclut alors que – 3 est la valeur en 0, et 2x la partie linéaire, donc 2 la dérivée.

Ce n'est d'ailleurs que lorsque ce "repérage" formel est simple qu'on pourra se dispenser du calcul usuel de la dérivée. On y reviendra plus tard dans le cas des fonctions de plusieurs variables.

"Si f est définie sur un intervalle de la forme ]t , x₀], on dit que f est dérivable à gauche en x0, si le quotient f(x)− f(x₀)

x −x₀

admet une limite lorsque x tend vers x

0, avec x < x 0."

exemple 5

Reprenons l'exemple 2.

L'application valeur absolue n'est pas dérivable en 0, comme on a vu, mais elle est dérivable à gauche, de dérivée – 1, et à droite, de dérivée 1.

exemple 6 (à traiter)

Soit r l'application définie par :

r (x )=(x−1) x−1.

Elle est définie pour x ≥ 1. Montrer qu'elle est dérivable à droite en 1.

Calculer la dérivée à droite en 1.

# réponse

Il suffit d'écrire :

(x−1) x−1=0+0(x−1)+(x−1) x−1, ce qui prouve la dérivabilité, puisque r(1) = 0. La dérivée est 0.

"Si f est dérivable en x₀, alors f est continue en x₀."

exemple 7

En particulier, si une application n'est pas continue, elle n'est pas dérivable.

Ainsi, l'application "partie entière" n'est dérivable en aucun point de Z.

Elle est toutefois dérivable à droite, de dérivée 0, en ces points.

exemple 8 (à traiter)

Inversement, une application peut être continue en x₀ sans y être dérivable.

On a vu la valeur absolue en 0 (exemple 1).

Déterminer pour quelles valeurs de α, réel, l'application L_α, définie par les expressions :

L_α(x)=x−1+x^αlog x

( )

L_α(0) = 0, est continue, respectivement dérivable, en 0.

# réponse

Si x tend vers 0, log(|x|) tend vers – ∞, x – 1 tend vers – 1. Le produit x^αlog( x ) tend vers 0 si et seulement si α > 0, et n'a pas de limite si α ≤ 0.

Conclusion : l'application L_α est continue pour α > 0.

Si on factorise L_α(x) + 1 – x par x, on obtient : L_α(x)+1−x=x x

(

^α−1log( x )

)

^.

Si α > 1, l'expression en facteur de x a bien une limite, sinon, elle n'a pas de limite.

Conclusion : l'application L_α est dérivable en 0 pour α > 1, et L'_α(0) = 0.

"Si f est dérivable en x₀, et g dérivable en f(x₀), alors l'application composée g o f est dérivable en x

0, et :

(g o f)'(x₀) = g'(f(x₀))f'(x₀)."

exemple 9

Il se peut que g o f soit dérivable en un point sans que f le soit : ainsi l'application "valeur absolue" n'est pas dérivable en 0, mais si g est l'application "élévation au carré", l'application composée g o f :

xa x a

( )

x ², est égale à g, donc dérivable en 0.

exemple 10 (à traiter)

Il se peut également que g o f soit dérivable sans que g le soit. Essayer de construire un exemple.

# réponse

On peut penser à composer les deux applications précédentes : (f o g)(x) = |x²| = x², donc f o g = g est dérivable en 0.

Ici, f est dérivable à droite en 0, et g prend ses valeurs à droite de 0, justement.

"Soient I et J, des intervalles de R, et f : I →J une application continue bijective. Si f est dérivable en x₀, élément de I, et si f

'

^(x₀) est différent de 0, alors f -¹ est dérivable en f(x₀), et sa dérivée en f(x₀) est

( )

f^{−1 '}

⁽

^{f x}

^{( )}

⁰

⁾

⁼ _{f' x}¹

( )

0 ^."

exemple 11

Il n'est pas nécessaire de connaître l'expression de la réciproque de f en fonction de la variable pour appliquer ce résultat.

Soit f définie sur [0 , +∞[ par :

f(x)=x⁴+x³+x²+1.

Elle est continue, et bijective (car strictement croissante), de [0 , +∞[ sur [1 , +∞[. Elle est dérivable et sa dérivée ne s'annule pas. Sa fonction réciproque est donc dérivable. Par exemple, au point 4 = f(1) :

f⁻¹

( )

^'(4)= _{f' (1)}^{1 =} ₄₊¹₃₊₂ ^{= 1}₉^.

exemple 12 (à traiter)

Vérifier que l'application g définie par g(x) = x |x| est continue et bijective de R sur R. Son application réciproque est-elle dérivable sur R ? Quelle est sa dérivée, lorsqu'elle existe ?

# réponse

En effet pour x > 0, g(x) = x², donc est dérivable, et g'(x) = 2x n'est pas nul. De même pour x < 0, g(x) = – x², et g'(x) = – 2x. Comme g(0) = 0, on voit que g est continue, et strictement croissante (signe de la dérivée), donc bijective. Si on ne veut pas utiliser ce résultat, qui sera rappelé dans un prochain volume, on peut procéder directement : si x et y vérifient x |x| = y |y|, alors x et y ont le même signe, ou sont nuls tous les deux. Dans le premier cas, supposons par exemple x et y positifs, on a x² = y², et x =

y toujours à cause du signe. On raisonne de même si x et y sont négatifs.

Donc g est injective.

Si z est un réel positif, il a une racine carrée positive, soit x, d'où g(x) = z.

Si z est un réel négatif, on raisonne de même, avec – z. On trouve que g est bien surjective, donc bijective.

Enfin g est continue, comme on a vu plus haut, et dérivable pour x ≠ 0.

En 0, g est également dérivable, de dérivée 0 : g(x)−g(0)

x−0 =x x x = x.

Donc g^-1 est dérivable en dehors de g(0), soit 0 : g⁻¹

( )

^'(y)= _{2 y}¹ , si y > 0, g

( )

^{−1 '( y) =}₂ ¹_−y, si y < 0.

2-2 Dérivations successives des fonctions

Soit a un point de I. Si f' est dérivable en a, on dit que f est deux fois dérivable en a, et la dérivée de f' en a est la dérivée seconde de f en a, notée f"(a). On définit ainsi de proche en proche la dérivée n-ième de f au point a par f⁽ⁿ⁾(a)=

(

f⁽ⁿ⁻¹⁾

)

^'(a).

exemple 13

La fonction f définie par :

f ( x)= 1 1+x² est indéfiniment dérivable sur R.

En effet elle est dérivable, car quotient de fonctions dérivables, et : f^'(x)= −2x

1+x²

( )

^2.

On écrira cette égalité sous la forme :

f^'(x)= −2x×f(x)².

Il en résulte, par récurrence, que f est dérivable à l'ordre n pour tout n.

En effet, c'est vrai pour n = 1, comme on l'a vu, et si f est n fois dérivable, f' aussi d'après la relation ci-dessus, donc f est n + 1 fois dérivable.

exemple 14 (à traiter)

Vérifier que, dans l'exemple ci-dessus, on a la relation : (1+x²)f^'(x)+2x×f(x)=0 et en déduire une relation entre f"(x), f'(x), f(x).

Calculer f"(0).

# réponse

La première relation est facile à déduire de l'expression de f'(x). On peut la dériver :

(1+x²)f (x)′ ′ +4xf (x)′ +2f(x)=0.

On trouve f"(0) = – 2f(0) = – 2.

"Soient f et g des fonctions n fois dérivables en x₀. Le produit fg est dérivable n fois également et :

( )

fg ⁽ⁿ⁾

( )

^x0 ^{= C}n

kf^(k)

( )

x₀ ^g(n−k)

( )

^x0 k=0

k=n∑ .^"

exemple 15

Les fonctions exponentielle et cosinus sont indéfiniment dérivables, donc leur produit également, et la formule ci-dessus donne :

exp(x) cos(x)

( )

^{( n) = C}n

kexp(x)^{(k )}cos(x )^(n−k)

k=0 k=n

∑ ,

soit :

exp(x) cos(x)

( )

^{( n) = C}n

kexp( x) cos( x +(n - k)π 2)

k=0 k=n

∑ ,

exp(x) cos(x)

( )

^{( n) =exp(x) C}n

kcos( x+ (n - k)π 2)

k=0 k=n

∑ .

exemple 16 (à traiter)

Déterminer la valeur en 0 de la dérivée d'ordre n de la fonction g définie par :

g(x)=e^x2.

On calculera g'(x) en fonction de g(x), puis on utilisera la formule de Leibniz.

# réponse

Pour la dérivée :

′

g (x)=2xe^x2 =2xg(x).

D'où :

g^{( n+1)}(x)=

(

2xg(x)

)

^{( n),}

=2 C_n^k(Id )^{(k )}

( )

x ^{g( n−k)}

( )

^x,

k=0 k=n

∑

=2 xg^{( n)}

( )

x ^+2ng(n−1)

( )

^x.

Pour la valeur en 0, il vient :

g^{( n+1)}(0)=2ng^{( n−1)}

( )

0 ^. Donc :

Si n est impair, g⁽ⁿ⁾(0) = 0, puisque g'(0) = 0.

Si n est pair, n = 2p, g^(2p)(0) = 2(2p – 1)g^{(2p – 2)}(0), d'où :

g^{( 2p)}(0)=2(2 p−1)g^{(2 p−2)}

( )

0

=2(2 p−1)2(2p−3)g^{(2 p−4)}

( )

0

=2^p(2 p−1)(2p−3)…3.1.g(0)

=2^p(2 p−1)(2p−3)…3.1.

2-3 Développements limités

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I. Soit x₀ un élément de I. On suppose que la dérivée n-ième en x₀ existe. Il existe une fonction h ∞ ε(h), définie sur un intervalle ouvert centré en 0, tendant vers 0 lorsque h tend vers 0, telle que l'égalité suivante soit vraie, pour x appartenant à un intervalle ouvert centré en x₀ contenu dans I :

f(x)= f x

( )

₀ ⁺

(

^x−x0

)

^k

k! f^(k)

( )

x₀

k=1

∑

n ⁺

⁽

^x−x0

⁾

^nε

⁽

^x−x0

⁾

^.

exemple 17

Pour les fonctions polynômes, la formule de Taylor, à un ordre supérieur ou égal au degré du polynôme, conduit à une égalité (sans terme ε(h)) :

f(x)=f x

( )

₀ ⁺

(

^x−x0

)

^k

k! f^{( k)}

( )

x₀

k=1

∑n .

exemple 18 (à traiter)

Écrire la formule de Taylor en 0, à l'ordre 6, pour la fonction g de l'exemple 16.

# réponse

A partir de la valeur des dérivées successives en 0, on trouve : e^x2 =1+x²

2 .2+x⁴

4!.2².3+x⁶

6! 2³.5.3+x⁶ε(x),

=1+x²+x⁴ 2 +x⁶

6 +x⁶ε(x).

On dit que la fonction polynôme de x : P(x – x

0) = a 0 + a

1(x – x

0) + … + a n(x – x

0)n est un développement limité à l'ordre n de f en x

0 si l'expression f(x) – P(x – x

0) est de la forme (x – x₀)nε(x – x₀), la fonction h --. ε(h) tendant vers 0 lorsque h tend vers 0."

exemple 19

Si f est définie par :

f(x)=1+x+x²+x²(cos(x)−1) 1+x²

,

alors 1+x+x² est son développement limité à l'ordre 2 en 0.

En effet, il est clair que (cos(x)−1) 1+x²

tend vers 0 quand x tend vers 0.

exemple 20 (à traiter)

Vérifier, dans l'exemple précédent, que 1+x+x² est également le développement limité à l'ordre 3.

# réponse

Il faut s'assurer que l'on peut "mettre x³ en facteur" dans le terme : x²(cos(x)−1)

1+x²

l'autre facteur tendant vers 0. C'est-à-dire vérifier que (cos(x)−1) x 1+x²

tend vers 0 quand x tend vers 0. Or le quotient (cos(x)−1)

x a pour limite la dérivée de cos en 0, c'est-à-dire – sin(0), qui vaut bien 0.

"Si P existe, il est unique."

exemple 21

Ainsi, si la formule de Taylor s'applique à une fonction, les coefficients du développement limité sont égaux aux coefficients de la formule de Taylor, ce qui donne un calcul de la valeur des dérivées successives de cette fonction au point considéré.

Si f est la fonction étudiée à l'exemple 13, f(x)= 1

1+x², le développement limité en 0 est le suivant (formulaire) :

1

1+x² =1−x²+x⁴+… +(−1)^px^2p+x^2pε(x).

Comme cette fonction est indéfiniment dérivable, on déduit les valeurs de ses dérivées en 0 :

f^(2p+1)(0) = 0, f^{( 2p)}(0)=(−1)^p(2p)!

Le calcul est ici nettement plus facile par cette méthode que par un calcul des dérivées successives de f.

exemple 22 (à traiter)

Attention toutefois que ce raisonnement suppose la formule de Taylor utilisable. Il ne permet pas de démontrer l'existence d'une dérivée d'ordre supérieur à 1. Vérifier que la fonction définie par :

h (x)=2−x+x²−x³sin 1 x



 

, si x≠0, h(0) = 2,

a un développement limité à l'ordre 2 en 0, mais n'est pas dérivable deux fois en 0.

# réponse

On voit bien que 2−x+x² est le développement limité à l'ordre 2, puisque le terme x³sin 1

x



 

 est bien de la forme x²ε(x), ε(x) tendant vers 0 en 0.

La fonction h est dérivable en 0 : h(x)−h(0)

x = −1+x−x²sin 1 x



 

,

′

h (0 )= −1.

Elle est également dérivable en dehors de 0 :

′

h (x)= −1+2x−3x²sin 1 x



 

 −x³ −1 x²



 

cos 1 x



 



= −1+2x−3x²sin 1 x



 

 +x cos 1 x



 

. En 0, h' n'est pas dérivable :

′

h (x )− ′ h (0 )

x =2−3xsin 1 x



 

 +cos 1 x



 

,

et cette expression n'a pas de limite en 0, puisque les deux premiers termes ont une limite et le troisième n'en a pas.

"Pour tout couple de réels, (α, β), la combinaison linéaire

α.f + β.g admet un développement limité à l'ordre n en x₀, dont la partie régulière est la combinaison linéaire α.P + β.Q des parties régulières des développements de f et de g."

exemple 23

Le développement limité à l'ordre 4 de cos(x + 1) en 0 s'écrit de la manière suivante :

cos(x+1)=cos(x)cos(1)−sin(x)sin(1),

=(1−x² 2 + x⁴

4! +x⁴ε(x)) cos(1)−(x−x³

3! +x⁴ε(x ))sin(1),

=cos(1)−x sin(1)−x²

2 cos(1)+x³

3!sin(1)+ x⁴

4!cos(1)+x⁴ε(x).

Remarquer sur cet exemple l'abus d'écriture usuel qui consiste à noter de la même manière les différents termes complémentaires (ε(x)), abus qu'il faut s'entraîner à utiliser. Remarquer également l'écriture du DL (développement limité) de sin(x) à l'ordre 4 à partir de la formule standard.

exemple 24 (à traiter)

Écrire le DL à l'ordre 3 en 0 de e^x+1.

# réponse

Il suffit de remarquer que e^x+1 = e.e^x, d'où : e^x+1=e(1+x+x²

2 +x³

6 +x³ε(x))

=e+ex+ex² 2 +ex³

6 +x³ε(x).

"Le produit fg admet un développement limité à l'ordre n en x₀, dont la partie régulière s'obtient en tronquant au degré n le produit PQ."

exemple 25

Il faut s'entraîner à ne pas écrire les termes superflus.

Écriture du DL de l'expression e^xsin(x) à l'ordre 3 : e^x =1+x+x²

2 +x³

6 +x³ε(x), sin(x)=x−x³

6 +x³ε(x), e^xsin(x)= 1+x+ x²

2 +x³

6 +x³ε(x)











 x−x³

6 +x³ε(x)













=x+x² −x³ 6 +x³

2 +x³ε(x)

=x+x² +x³

3 +x³ε(x).

Remarquer que, comme le DL de sin(x) est divisible par x, on aurait pu se contenter d'écrire le DL de e^x à l'ordre 2.

exemple 26 (à traiter)

Écrire le DL de l'expression cos( x)

1−x en 0, à l'ordre 4.

# réponse

C'est un produit : cos(x)

1−x =cos(x) 1 1−x



 



= 1−x² 2 + x⁴

4! +x⁴ε(x)



 



(

1+x+x²+x³+x⁴+x⁴ε(x)

)

=1+x+x² 1−1 2



 

 +x³ 1−1 2



 

 +x⁴ 1 24 −1

2+1



 

 +x⁴ε(x)

=1+x+x² 2 +x³

2 +13x⁴

24 +x⁴ε(x).

"Si f admet un développement limité en x₀, de partie régulière P, et y₀ = lim(f(x)) en x₀, et si g est une fonction composable avec f qui admet un développement limité en y₀, de partie régulière Q, alors on obtient un développement limité de gof en x₀ en substituant P(x – x

0) à y dans Q(y – y

0), et en tronquant le polynôme obtenu au degré convenable."

exemple 27

Écriture du développement limité en 0 à l'ordre 4 de l'expression : 1

1−sin(x).

En préliminaire, on écrit les DL de sin(x), et de 1

1−x. (formulaire) : sin(x)=x−x³

6 +x⁴ε(x), 1

1−x =1+x+x²+x³+x⁴+x⁴ε(x).

On substitue la partie régulière du DL de sin(x) dans le DL de 1 1−x.

On obtient : 1

1−sin(x) =1+ x−x³ 6



 

 + x− x³ 6



 



2

+ x−x³ 6



 



3

+ x−x³ 6



 



4

+x⁴ε(x).

On développe et on ordonne, en n'écrivant que les termes de degré au plus 4 :

1

1−sin(x) =1+x−x³

6 +x²−2xx³

6 +x³+x⁴+x⁴ε(x).

On obtient enfin : 1

1−sin(x)=1+x+x²+5x³ 6 +2x⁴

3 +x⁴ε(x).

exemple 28 (à traiter)

Cela s'applique au cas où une fonction est un polynôme.

Écrire le DL à l'ordre 3 en 0 de 1+x+x²+x³.

# réponse

Un DL préliminaire :

1+x =1+1 2x−1

8x²+ 1

16x³+x³ε(x).

D'où :

1+x+x²+x³ =1+1

2

(

x+x²+x³

)

⁻¹₈

(

^x+x2+x3

)

^{2 +}₁₆^{1 x3+x3ε(x).}

1+x+x²+x³ =1+1 2x+1

2x²+1 2x³−1

8x²−1

82x³+ 1

16x³+x³ε(x), 1+x+x²+x³ =1+1

2x+3

8x² + 5

16x³+x³ε(x).

Remarquer qu'il est utile de savoir calculer des expressions comme (a + b +c)², (a + b)³…

"On suppose que f admet en x₀ ∈ [a , b] un développement limité à l'ordre n, de partie régulière P(x – x₀). Soit F : [a , b] --. R une primitive de f. Alors F admet un développement limité à l'ordre n + 1 en x₀, dont la partie régulière est obtenue en calculant la primitive de P(x – x₀) égale à F(x₀) en x₀."

exemple 29

Écriture du DL à l'ordre 4 de Arctan(x).

La dérivée est 1

1+x², dont le DL à l'ordre 3 est facile à calculer : 1

1+x² =1−x²+x³ε(x), d'où :

Arc tan(x)=Arctan(0)+x− x³

3 +x⁴ε(x),

=x−x³

3 +x⁴ε(x).

En effet, Arctan(0) = 0.

Bien noter qu'en intégrant on gagne un ordre.

exemple 30 (à traiter)

Écrire un DL à l'ordre 5 de log(1+x²).

# réponse

En dérivant on obtient 2x

1+x². Le DL à l'ordre 4 s'obtient en multipliant par 2x le DL à l'ordre 3 de 1

1+x². Ensuite il suffit d'intégrer :

2x 1 1+x²



 

 =2x 1

(

−x²+x³ε(x)

)

^,

=2x−2x³+x⁴ε(x), log(1+x²)=x²−x⁴

2 +x⁵ε(x).

Bien entendu, on peut aussi substituer x² à x dans le DL de log(1 + x) à l'ordre 3 en 0, puis tronquer à l'ordre 5.

2-4 Développements asymptotiques

"Soit x₀ un réel et f une fonction définie sur un voisinage épointé de ce point, non nécessairement bornée sur ce voisinage épointé. On appelle développement asymptotique d'ordre n de f au voisinage de x₀ une fonction rationnelle de la forme a_i

(

x−x₀

)

ⁱ

i=p i=n

∑

où p et n sont des entiers relatifs (p ≤ n), vérifiant

x−>x0

lim f(x)− a_i

(

x−x₀

)

ⁱ

i=p i=n

 ∑







(

x−x₀

)

⁻ⁿ







=0.^"

exemple 31

Écriture d'un développement asymptotique de 1

x²−3x+2 à l'ordre 1 au voisinage de x₀ = 1. On multiplie par (x – 1) pour obtenir une fonction développable au sens usuel, que l'on développe à l'ordre 2 :

x−1

x²−3x+2 = 1

x−2 = −1

1+(1−x) = −

(

1−(1−x)+(1−x)²+(1−x)²ε(x−1)

)

^.

x−1

x²−3x+2 = −1+(1−x )−(1−x)² +(1−x)²ε( x−1).

On obtient donc le développement asymptotique à l'ordre 1 : 1

x² −3x+2 = − 1

x−1−1−(x−1)+(x−1)ε(x−1).

exemple 32 (à traiter)

Écrire le développement asymptotique en 0, à l'ordre 2, de 1 x+x².

# réponse

On met 1

x en facteur, puis on développe de manière usuelle : 1

x+x² = 1 x × 1

1+x =1

x

(

1−x+x²−x³+x³ε(x)

)

^,

d'où :

1 x+x² = 1

x −1+x−x²+x²ε(x).

On appelle développement asymptotique d'ordre n de f à l'infini une fonction rationnelle de la forme a_ix⁻ⁱ

i=p i=n

∑ où p et n sont des entiers relatifs (p ≤ n), vérifiant (cas de +∞) :

x−>+∞lim f(x)− a_ixⁱ

i=p i=n

 ∑





xⁿ







=0.

exemple 33

Il suffit de poser h =1

x, et de développer par rapport à h, pour h tendant vers 0 (à droite si x --. +∞, à gauche si x --. – ∞).

Écriture du développement asymptotique d'ordre 1 en +∞ de : x²+1− x²−1.

Ici h =1

x est positif :

x²+1− x²−1= 1

h² +1− 1 h² −1

= 1

h×

(

1+ h² − 1−h²

)

= 1

h× 1+ h²

2 −1+h²

2 +h²ε(h)



 



=h+hε(h)

= 1 x+1

xε 1 x



 

.

exemple 34 (à traiter)

Écrire le développement asymptotique de la fonction précédente en – ∞.

# réponse

Ici, h =1

x est négatif, donc h² = −h.

Le développement est donc :

x²+1− x²−1= −1 x +1

xε 1 x



 

.

2-5 Étude locale des fonctions

"Soit a un réel, et soient f et g des fonctions définies sur un intervalle ouvert centré en a, continues en a. On suppose f et g dérivables sur un voisinage épointé de a, g non nulle sur un voisinage épointé de a, enfin f(a) = g(a) = 0. Alors si le rapport f'(x)

g' (x)

a une limite finie en a, le rapport f(x)

g(x)

a également une limite finie, et

xlim−>a f(x) g(x)





 

=

x−>a

lim f'(x) g' (x)





 

._"

exemple 35

On utilisera cet énoncé quand le rapport des dérivées est plus simple que celui des fonctions.

Étude du rapport :

log(x) x−1, lorsque x tend vers 1, par valeurs supérieures.

Les conditions sont vérifiées, donc on peut regarder le quotient des dérivées :

1 x 1 2 x−1

=2 x−1

x .

Ce quotient a pour limite 0 en 1.

Donc la limite de log(x)

x−1 en 1 existe et vaut 0.