Le symbole (M) signifie que Maxima peut apporter une aide sur le point considéré.
exercice 1-I
2) Reprendre la définition.
3) Utiliser les exemples de la première question.
QC-2) Un taux d'accroissement correspond à la pente d'une droite.
exercice 2-I
1) Séparer le cas x ≠ 0, du cas x = 0. Faire quelques essais (M) et formuler une conjecture sur l'existence et la forme des dérivées.
2) Ici aussi, séparer les deux cas. faire quelques essais (M), et utiliser la comparaison entre exponentielle et polynôme.
exercice 3-I
1) Calculer directement ces dérivées, à la main, ou à l'aide d'un logiciel adapté au calcul formel (M). Ne considérer que les caractéristiques du terme de plus haut degré du numérateur.
2) Procéder par identification, ou, mieux, en dérivant g(x)(1 + x2) = 1 (M).
3) Continuer à dériver (3 ou 4 dérivations) pour voir apparaître une forme régulière. Examiner comment on forme u(k + 1), v(k + 1), w(k + 1) à partir de u(k), v(k), w(k) (en dérivant). Puis résoudre ces relations de récurrence (M).
4) Distinguer k pair de k impair.
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
5) Raisonnement par récurrence : si la forme conjecturée est valable pur g(k) et g(k+1), alors voir qu'elle s'applique encore à g(k+2).
QC-1) 1 + x2 a des dérivées successives simples à calculer.
exercice 4-I
1) Faire quelques essais (M). Énoncer une conjecture, l'établir par récurrence.
2) Penser à la formule de Leibniz.
3) Passer par une équation différentielle simple vérifiée par cette fonction, pour prouver qu'elle est indéfiniment dérivable. Calculer quelques dérivées pour voir quelle est leur forme (M).
QC-1) Distinguer n pair et n impair.
QC-2) Écrire une équation différentielle pour le polynôme numérateur. La résoudre par identification.
exercice 5-I
1) Utiliser l'unicité du DL, et l'égalité f(x) = f(–x) pour tout x.
2) C'est une propriété de symétrie qu'il faut généraliser.
3) faire quelques essais avec des DL simples de fonctions positives (M).
QC-1) Le premier terme non nul d'un DL donne le signe.
exercice 6-I
1) Simple calcul : ne pas écrire de termes de degré supérieur à 2.
2) Mettre le terme constant du numérateur en facteur.
3) Mettre en facteur au dénominateur le terme de plus bas degré.
QC-2) Quotient ou formule de Taylor.
exercice 7-I
1) Développer le sinus, puis (1 + u)1/2, u étant le DL du sinus (M).
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
2) Développer d'abord le cosinus, puis e1+u = e.eu, 1 + u étant le DL du cosinus (M).
3) En 0, log(x) n'a pas de limite…
4) Ne pas passer par le formulaire, mais par la formule de Taylor. Utiliser l'exercice 2.
5) Après avoir calculé le DL de cosinus, calculer celui du quotient par la méthode de l'exercice 4. Enfin, substituer dans la DL de eu (M).
6) Faire un changement de variable pour faire apparaître une variable tendant vers 0 : x = 1 + h. Ensuite utiliser le formulaire (rappelons que les formules qu'il contient sont à connaître par coeur) (M).
7) La fonction est-elle dérivable en 0 ?
8) Faire un changement de variable comme en 6) (M).
9) Ici également (M).
10) Ici également, x = π
4 +h.. Utiliser les formules trigonométriques connues (M). Autre possibilité : utiliser la formule de Taylor.
11) Voir l'exercice 2, pour appliquer la formule de Taylor.
12) Analogue au précédent.
13) La fonction est-elle dérivable en 0 ?
14) Faire un changement de variable : x = 2 + h (M).
15) Le logarithme n'a pas de DL. Utiliser la formule de Taylor, si possible…
exercice 8-I
1) Changer de variable : x = 1/h, h tendant vers 0, h > 0. Puis développer le quotient (exercice 4), enfin le radical.
2) Changer de variable : x = 1 + h. Pour le quotient, utiliser la méthode de l'exercice 4-3).
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
3) Changer de variable : x = π
2+h.. Utiliser le DL de tan(h) en 0 (à établir s'il n'est pas connu). Ensuite traiter le quotient comme dans l'exercice 4-3) ci-dessus.
4) Changer de variable : x = 1/h. Attention : ici h est négatif, il faut en tenir compte pour mettre h en facteur du radical.
5) Même changement de variable. Ici h est positif. Développer d'abord l'exposant, puis substituer dans eu.
6) Changer de variable : x = 1/h. Ici h est négatif. Faire un développement asymptotique de l'exposant. L'expression a-t-elle une limite finie ?
exercice 9-I
1) Le DL du cosinus, à un ordre quelconque est connu. Pour la fraction : simplifier par 4. La développer à l'ordre 4 (M).
2) Le sinus est dans le formulaire. Développer la fraction à l'ordre 3 (M).
3) Changer de variable : x = h + 1. Le DL du logarithme est à prendre à l'ordre 2 puisque le polynôme est de degré 2 (M).
4) Combiner deux DL connus. Développer à l'ordre 4 (M).
exercice 10-I
Dans tous les cas, voir qu'il s'agit d'une forme indéterminée. Repérer de quel type.
1) Changement de variable x = 1 + h. L'expression xx est à transformer sous forme d'exponentielle.
2) Étudier le logarithme de l'expression. Discuter selon les valeurs de k.
3) Étudier le logarithme de l'expression. Écrire (1 + x) = x (1 + 1/x).
4) Chercher séparément des équivalents du numérateur et du dénominateur. Écrire :
x+ 1+x2 =x 1+ 1 x2 +1
.
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
Écrire :
x2 + ex = ex (x2e-x + 1).
Revoir la notion de fonction négligeable devant une autre, et de fonctions équivalentes (volume 3).
5) Chercher un développement asymptotique de chaque terme, et faire la différence.
6) Chercher des équivalents du numérateur et du dénominateur, à l'aide de développements limités.
7) Changement de variable x = 1 + h. Étudier le logarithme de l'expression.
8) Étudier le logarithme de l'expression. Écrire : e + x = e (1 + x/e).
puis développer le second radical.
Voir que log(x) est négligeable devant x.
10) Chercher un développement asymptotique.
Écrire : Simplifier avant de calculer les développements.
11) Penser à un équivalent en 0 de log(1 + u).
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique exercice 11-I
1) Deux cas très courants. Pour le troisième, utiliser l'expression sin 1 x
. Prouver soigneusement la non-monotonie.
2) Chercher un cas de fonction non monotone (dérivée de signe variable).
3) Dans le cas où f' est continue, si f'(a) ≠ 0, f'(x) est non nul sur un intervalle centré en a (revoir pourquoi).
QC-1) Étudier les variations (dérivée).
QC-2) Voir par exemple f(x) = 0.
exercice 12-I
2) Passer par le taux d'accroissement à droite en 0.
3) Utiliser le taux d'accroissement à droite et celui à gauche.
Les hypothèses permettent d'appliquer la formule de Taylor à l'ordre 2.
exercice 13-I
1) Simplifier d'abord les DL proposés en ne conservant que les termes significatifs. Un des DL est superflu car équivalent à un autre, le supprimer. Quand des DL de même ordre sont-ils compatibles ? Quand des DL d'ordres différents sont-ils compatibles ?
On trouvera 5 familles.
2) Préciser : la limite en 0, la tangente, la position par rapport à la tangente.
3) Ces éléments géométriques permettent de reconnaître les figures correspondant aux différentes familles.
Il reste deux graphes. Procéder en sens inverse. Au vu de la figure, proposer un terme constant (valeur en 0), un terme de degré 1 (pente de la tangente), un terme de degré 2 (position par rapport à la tangente). Il n'y a pas une réponse unique.
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique exercice 14-I
Dans chaque cas, il faut déterminer la limite, le terme de degré 1 et le premier terme non nul suivant.
1) Intégrer un DL de l'intégrande.
2) Changer de variable : x = 1 + h.
3) Mettre x en facteur. Développer en h = 1/x.
4) Changer de variable : x = 2+h.
5) Faire un développement asymptotique en 1/x.
6) Faire un DL à l'ordre 3.
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4-2 Méthodes ( )
Mode d'emploi de cette partie : vous trouverez d'abord une liste de méthodes de résolution des types de questions présentées dans ce volume ; par commodité, on a précisé ensuite à propos de chaque exercice où une méthode a été indiquée par ( ) le (ou les) numéro de la méthode concernée. S'agissant d'un discours sur les mathématiques, et non d'un discours mathématique, on trouvera naturel qu'il utilise les abus de langage usuels, les raccourcis allusifs, et de façon générale qu'il se rapproche d'un discours oral qui pourrait être tenu devant les étudiants.
1- Faire un raisonnement par récurrence. Pour démontrer qu'une propriété P dépendant d'un entier n est vraie. (1) Supposer que la propriété P est vraie, pour la valeur n – 1, montrer qu'elle est vraie pour la valeur n (récursivité). (2) Démontrer que la propriété est vraie pour n = 0, ou 1, plus généralement pour n0. On peut alors en déduire que P est vraie pour tout n ≥ n0.
2- Établir l'existence, une inégalité, une valeur, pour une dérivée.
La dérivée est la limite d'un taux d'accroissement. On établira souvent une relation sur le taux d'accroissement pour l'obtenir sur la dérivée par "passage à la limite".
3- Étudier la dérivabilité d'une fonction définie "par morceaux".
Généralement le problème ne se pose qu'aux points de raccordement, à étudier particulièrement. Utiliser la méthode précédente. Penser aussi au cas où la fonction est continue et où sa dérivée, définie en dehors d'un point par des considérations générales, a une limite au point en question : cette limite est la valeur de la dérivée en ce point.
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
4- Montrer qu'une fonction est indéfiniment dérivable. On peut établir une relation entre la fonction et sa dérivée, et s'en servir dans un raisonnement par récurrence.
5- Calculer une dérivée n-ème. On peut utiliser la formule de Leibniz si la fonction est produit de deux fonctions dont la dérivation est simple à calculer. On peut également essayer de procéder par récurrence ( ) en établissant une relation entre des dérivées successives.
6- Calculer le développement limité, ou asymptotique, d'un quotient. Mettre le dénominateur sous la forme 1 + u, u étant une expression tendant vers 0, puis utiliser le DL standard de (1 + u)–1. Pour transformer le dénominateur, essayer de mettre en facteur le terme le plus "grand" (celui devant lequel les autres sont négligeables).
7- Calculer le développement d'une expression composée f(g(x)).
Calculer d'abord un DL de g(x), puis substituer ce DL à t dans le DL correspondant de f(t).
8- Calculer un DL sans utiliser le formulaire. Dans certains cas, il faut avoir recours à la formule de Taylor. C'est exceptionnel, aussi cela demande à être bien examiné. On rencontrera le cas de fonctions non composées de fonctions figurant dans le formulaire, ou leurs primitives. On connaît quelques cas où il est aussi simple d'utiliser la formule de Taylor car les dérivées successives sont faciles à calculer (tan(x)). Penser aussi aux cas où le DL n'est pas en 0, et où le changement de variable ne donne pas de formule simple.
9- Calculer un développement en un point différent de 0. Dans tous les cas, faire d'abord un changement de variable pour se ramener à une variable tendant vers 0 : x – a, pour un DL en a, 1/x pour un développement à l'infini.
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
10- Chercher la limite d'un quotient d'expressions tendant vers 0, ou vers l'infini. A l'aide de développement, ou d'autres techniques (volume 3), chercher un équivalent du numérateur et du dénominateur.
11- Chercher la limite d'une expression f(x)g(x). Généralement, étudier le logarithme de l'expression. C'est en particulier le cas si f(x) tend vers 1 et g(x) vers l'infini, ou f(x) et g(x) vers 0.
12- Chercher la limite d'un produit f(x)g(x), où f(x) tend vers 0 et g(x) vers l'infini. Chercher des équivalents des deux expressions.
13- Chercher la limite d'une expression de la forme f(x) – g(x) où les deux tendent vers +∞. Chercher des développements des deux expressions.
14- Déterminer des caractéristiques géométriques à partir d'un développement. Il faut disposer de trois termes, les deux premiers peuvent être nuls, le troisième ne doit pas l'être pour apporter une information. Le terme de degré 0 donne la valeur (ou la limite) de la fonction. Le terme de degré 1 donne la tangente (ou asymptote).
Le troisième terme est le premier terme de degré au moins 2 non nul. Il donne la position du graphe de la fonction par rapport à la tangente (ou asymptote).
Les méthodes dans les exercices :
ex. 1 : 2 ex. 2 : 2, 3 ex. 3 : 1, 4, 5 ex. 4 : 1, 4, 5 ex. 6 : 6 ex. 7 : 6, 7, 8, 9 ex. 8 : 6, 7, 8, 9 ex. 9 : 6, 7, 8, 9 ex. 10 : 6 à 13 ex. 12 : 14 ex. 13 : 14 ex. 14 : 14
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
4-3 Lexique ( ) C
Classe : une fonction f est de classe Ck sur un intervalle I si elle est k fois dérivable sur I, et si sa dérivée k-ème est continue sur I. Elle est de classe C∞ si elle est de classe Ck pour tout k.
Compatible : des développements sont compatibles s'ils peuvent être différents développements de la même expression.
E
Équation différentielle : une fonction f est solution de l'équation différentielle a(x) y' + b(x) y = c(x), où a, b, c sont des fonctions de x, si pour tout x, on a l'égalité :
a(x) f'(x) + b(x) f(x) = c(x).
Une telle équation est dite du premier ordre. Elle est linéaire.
On peut également introduire des équations différentielles du second ordre etc. linéaires ou non…
Dans tous les cas, ce sont des relations à vérifier entre une fonction et certaines de ses dérivées.
I
Indéfiniment dérivable : une fonction f est indéfiniment dérivable si elle est dérivable à tout ordre ( ). Elle est alors de classe C∞ ( ).
Injective : une application f est injective si f(x) = f(y) x = y.
M
Monotone : une fonction f monotone est une fonction croissante, (resp.
décroissante) : si x ≤ y, alors f(x) ≤ f(y), (resp. f(x) ≥ f(y)). Elle est dite strictement monotone si elle est strictement croissante (resp.
strictement décroissante) : si x < y alors f(x) < f(y) (resp. f(x) > f(y)).
Dans ce cas elle est injective ( ).
☺ indications pour résoudre - méthode - lexique
O
Ordre de dérivabilité : une fonction f est dérivable à l'ordre p en un point a si la dérivée f(p)(a) existe.
P
Partie régulière : la partie régulière d'un développement limité, ou asymptotique est la partie polynomiale, ou fraction rationnelle explicite, à l'exclusion du terme complémentaire ( ).
T
Terme complémentaire : dans un développement limité, ou asymptotique, le terme complémentaire indique l'ordre de grandeur des termes négligés. La notation usuelle est (cas d'un DL en 0) xkε(x), où, par convention, ε(x) désigne "une expression tendant vers 0".
Terme dominant : le terme dominant d'un polynôme est le terme de plus haut degré.
V
Voisinage épointé : soit a un réel, on dit qu'une propriété est vraie sur un voisinage épointé de a, si elle est vraie sur un intervalle ouvert centré en a, ]a – h , a + h[ (h > 0), sauf peut-être en a.