Exercice de fiabilité : estimation paramétrique
1) Donner l’expression de la vraisemblance observable dans un modèle de censure gauche (fixe ou aléatoire).
2) Trouver les estimateurs du maximum de vraisemblance d’un échantillon censuré à droite (Type I, II, III) de durées de vies suivant une loi de Weibull.
3) Simuler n=100 temps de pannes issus d’une loi d’une loi de Weibull de paramètres 2 et 2.
4) On suppose que l’on est dans un modèle de censure aléatoire droite et que les temps de censures suivent un modèle de Koziol-Green de paramètre p.
a. Calculer p de manière à ce que l’échantillon observé contienne CP=25% de censures
b. Simuler n=100 temps de censures
c. Donner l’échantillon d’observation résultant de ces simulations (on peut utiliser pmin() sous R)
d. Refaire la simulation pour n=1000
e. S’assurer que l’échantillon ainsi simulé comporte environ 25% de censures, que constatez vous lorsque n augmente ?
5) Pour n=100 et n=1000, Calculer l’estimateur du maximum de vraisemblance en utilisant une méthode d’optimisation de type Newton-Raphson (on peut utiliser NLIN sous SAS ou la fonction nlm() de R, après avoir créé une fonction pour stocker la log- vraisemblance.)
6) Même question en utilisant l’algorithme EM (On calculera la vraisemblance latente et son espérance conditionnellement aux observations puis on maximisera la fonction avec optim() par exemple, sous R).
7) Conclusion ?
