ATS 2021-22 TD EM11
EM11 - REFLEXIONS DES ONDES ELECTROMAGNETIQUES
Formulaire :
rot(~ rot ~~ A) =grad(div ~~ A)−∆A~
1 Réflexion d’une OEMPPH pola- risée circulairement**
Une OEMPP incidente se propage dans le vide jus- qu’à un conducteur parfait plan occupant la partie de l’es- pace correspondant à z > 0 (sa surface correspondant au plan xOy). En notation complexe le champ électrique de l’onde est :
E~i=Eo.ej(ωt−kz)
1 j 0
Les champs électrique et magnétique sont nuls dans un conducteur parfait.
1. En supposant qu’il existe une onde réfléchieE~r, quelle serait sa forme générale ? On introduira une amplitude complexeE~rm
2. Ecrire la condition aux limites en z = 0 en ad- mettant que le champ électrique y est continu.
En déduire l’expression du champ E~r de l’onde réfléchie. En déduire le champE~ de l’onde résul- tante. Quel est ce type d’onde ?
3. Déterminer les champs magnétiquesB~ietB~rpuis le champ B~ total. Commentaire sur la direction deE~ etB. Est-ce en contradiction avec le cours ?~ 4. L’onde résultante transporte-t-elle de l’énergie ?
2 Guide d’onde rectangulaire**
Quatre plans métalliques épais et parfaitement conducteurs débutant en x = 0, x= a, y = 0, y = b dé- limitent un guide d’onde de longueur infinie suivantOz, de section droite rectangulaire et dans lequel règne le vide. Les champs électrique et magnétique sont nuls dans un conduc- teur parfait.
Etudions la propagation dans ce guide d’une onde EM monochromatique de pulsation ω, dont le champ élec- trique s’écrit :
E~ =f(y).cos(ωt−kgz). ~Ux
Attention, l’onde n’étant pas une OPPH on n’a pasω=kgc.
On distinguerakg = 2π/λg (nombre d’onde guidé) et ko= 2π/λo=ω/c.
1. Retrouver l’équation aux dérivées partielles spatio-temporelles vérifiée parE~ dans le vide et nommer la. En déduire l’équation différentielle à laquelle satisfait la fonctionf(y).
2. On suppose queω2/c2> k2g. Déterminerf(y) ; on utilisera entre autres les conditions aux limites en y = 0 et en y = b. Vous devez arriver à f(y) = Bn.sin(nπy/b) avec Bn une constante et n un entier non nul. A chaque valeur de n correspond un mode de propagation. Décrire le type d’onde auquel on aboutit.
3. En déduire le champ magnétique. Est-il trans- verse ?
4. Exprimer kg en fonction deω, c, n, b. Montrer que pour chaque mode n il existe une pulsation de coupureωcnen dessous de laquelle il n’y a pas de solution au problème (kg non défini). La 1ère fréquence que laisse passer le guide d’onde est de 2.5GHz. En déduireb.
Réponse : 4)ωcn=nπc/b b= 6 cm
3 Réflexion sur un métal parfait**
Une OPPH à polarisation rectiligne, se propage dans le vide dans la direction Ox dans le sens des x croissants :
E~i=Eoej(ωt−kx)U~y
En x= 0, elle arrive sur la surface plane d’un miroir mé- tallique parfaitement conducteur et donne naissance à une onde réfléchie :
E~r=Eorej(ωt+kx)U~y
Les champs électrique et magnétique sont nuls dans un conducteur parfait.
1. Déterminer l’expression générale des champs ma- gnétiques.
2. Utilisez la relation de passage pour déterminer l’amplitudeEor du champ réfléchi en fonction de Eo. Puis déterminer la charge surfaciqueσet les courants de surface~js qui peuvent se trouver sur le miroir.
3. Déterminer le champ magnétique total dans le demi espacex <0. Qualifier l’onde résultante.
Réponse : 2) Eor = −Eo ; σ = 0 ; j~s = 2Eo.cosωt/(cµo). ~uy
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4 Expérience à faire à la maison quand maman n’est pas là***
Un micro-onde est une cavité approximativement parrallépipédique dans laquelle, lorsqu’il est en marche, se forment des ondes électromagnétiques stationnaires. En ef- fet ses parois étant métalliques, elles imposent des condi- tions aux limites incompatibles avec des ondes progressives.
A l’instar de la corde de Melde qui résonne uniquement lors- qu’on l’excite à ses fréquences propres, cette cavité est adap- tée à des OEM de fréquences bien déterminées. Plus préci- sément, les magnétrons (organes produisant les OEM) de tous les micro-ondes émettant à la même fréquence stan- dard de 2.45 GHz, tous les micro-ondes ont des cavités de tailles standards.
En visualisant une onde stationnaire sur une corde, on peut déterminer le numéro du mode propre observé, et si on connaît la loi donnant l’expression des fréquences propres, remonter à la fréquence de l’onde. De même en déposant des chammalow (ou du blanc d’oeuf) sur le fond d’un micro-onde après avoir enlevé le plateau tournant, on les verra fondre (ou cuire) de manière inhomogène, laissant apparaître les noeuds et les ventres du système d’ondes stationnaires de la cavité. On peut alors en déduire le mode propre et remonter à la fréquence. Le calcul qui suit se propose d’étudier cette situation.
Soit donc une cavité ayant la forme d’un parallélépi- pède rectangle de dimensiona < b < d selon les directions Ox, Oy et Oz (O étant un coin). Les parois de cette ca- vité vide sont faites d’un métal parfait. Il semble légitime de considérer des ondes stationnaires selon les 3 directions, c’est pourquoi on étudiera :
E~ =
E1cos(k1x+ Φ1) sin(k2y+ Φ2) sin(k3z+ Φ3) cos(ωt) E2sin(k1x+ Φ1) cos(k2y+ Φ2) sin(k3z+ Φ3) cos(ωt) E3sin(k1x+ Φ1) sin(k2y+ Φ2) cos(k3z+ Φ3) cos(ωt)
1. Trouver l’équation de propagation du champ élec- trique dans le vide et déduisez-en une condition entreω, k1, k2 etk3.
2. Etablir une relation entreE1, E2, E3, k1, k2 et k3.
3. Exploiter la continuité du champ électrique sur les parois (ou le champ est nul) pour quantifier k1, k2 etk3 (on introduira des entiers).
4. En déduire les valeurs possibles deω en fonction de ces entiers et des dimensions de la cavité. Ce sont les pulsations propres de la cavité ; un mode propre sera défini par son triplet d’entier. A quel mode propre correspond la plus petite pulsation possible ? Montrer alors que le champ électrique dans ce mode s’écrit :
E~ =E1sin(πy
b ) sin(πz
d ) cos(ωt). ~Ux 5. Les dimensions d’un micro-onde sont
22 cm, 34 cm, 34.5 cm. Montrer que ce n’est pas le mode précédent qui est choisi dans les micro-ondes. Faites l’expérience, comptez les
noeuds et déterminer le bon mode. Vérifier qu’il donne la bonne fréquence.
Dans les faits l’expérience n’est pas très probante car la situation n’est pas celle d’une cavité par- rallépipédique : il y a en effet un guide d’onde qui amène les OEM depuis le magnétron et un phénomène de diffraction à son entrée...
Réponse : 4)ω2=c2(n21π2 a2 +n22π2
b2 +n23π2
d2) 5) (0,2,2)
Synthèse du chapitre
Objectifs principaux Exos
Compétences du chapitre EM10 (expression,d’une OEMPPH, passage de vecE àB, Poynting,~
tous Compétence du chapitre EM2 : relation de passage du champ électrique
tous Appliquer des CL à une onde stationnaire pour dé- terminer les fréquences propres d’une cavité
2,4 Compétence du chapitre EM6 : relation de passage du champ magnétique
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