Un peu de douceur dans un monde de brute

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Épreuve pratique de mathématiques T^le S

Un peu de douceur dans un monde de brute

MANGANELLI Stéphan 1/2

LEGTA « Louis GIRAUD » à Serres DeUàE

84 200 CARPENTRAS

Énoncé¹

Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur l’intervalle

 

0;1 .

On considère la variable aléatoire définie par T^^1ln(X)^{, où} est un réel strictement positif.

1. Démontrer que la loi de T est la loi exponentielle de paramètre .

2. Expérimentation à l’aide d’un tableur

(a) D’après ce qui précède, à l’aide d’un tableur, simuler 1000 réalisations d’une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre 0,005.

Appeler le professeur pour vérification On remarquera l’aspect chaotique de la série de résultats obtenus.

… et pourtant, le chaos est loin d’être total…

(b) Calculer la moyenne et l’écart-type sur cet échantillon de taille 1000.

(c) Réaliser ainsi 10 simulations de taille 1000 avec à chaque fois le calcul de la moyenne et de l’écart-type.

(d) Représenter graphiquement les deux séries des 10 moyennes et écart type ; indiquer la valeur autour de laquelle fluctuent les moyennes et écart type observés.

Appeler le professeur pour vérification

3. Il s’agit ici de retrouver ces observations par le calcul analytique.

(a) Montrer que l’espérance mathématique de T, notée E(T), et qui vaut ds

s f s T

E ^t

t



^

lim0 ( ) )

( , où f est la fonction de densité de T est remarquablement égale à ^{1 .}

(b) Conclure. On admet que la variance V(T), pouvant être calculée grâce à la formule de Huiguens-König V(T)E(T²)[E(T)]², est égale à

²

1 ^.

Production attendue

- Obtention à l’écran du tableau de la simulation.

- Réponses écrites aux questions 1 et 3.

1 Inspiré par P. DUTARTE, « L’induction statistique au lycée illustrée par le tableur », Didier 2005.

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MANGANELLI Stéphan 2/2

LEGTA « Louis GIRAUD » à Serres DeUàE

84 200 CARPENTRAS

Un exemple de traitement…