Complexité du voyageur de

(1)

Complexité du voyageur de

commerce multi-containers, k STSP

Sophie Toulouse, Roberto Wolfler Calvo

sophie.toulouse@lipn.univ-paris13.fr, wolfler@lipn.univ-paris13.fr

LIPN - UMR CNRS 7030

Institut Galil´ee - Universit´e Paris 13

(2)

Plan

Introduction

• Définition du problème

• Remarques préliminaires

Étude de complexité

• . . . quand les tours sont fixés

• . . . quand les piles sont fixées

• Retombées

Optimisation à partir de TSP

• . . . en fixant un tour

• . . . logique compensatoire

Conclusion ?

Complexit´e du voyageur de commerce multi-containers,kSTSP – p. 2/14

(3)

Plan

Introduction

• Définition du problème

• Remarques préliminaires

Étude de complexité

• . . . quand les tours sont fixés

• . . . quand les piles sont fixées

• Retombées

Optimisation à partir de TSP

• . . . en fixant un tour

• . . . logique compensatoire

Conclusion ?

• Il reste beaucoup à faire !

(4)

1 - Introduction - k STSP

Définition du problème

• k constante universelle ⇒ k containers de capacité illimitée

• Instance : (n ; d¹, d² : {0} ∪ [n] → N)

• Solution : (T¹, T²,P) compatible de valeur d(T¹) + d(T²)

• T¹ tour de collecte sur (K_n+1, d¹)

• T² tour de livraison sur (K_n+1, d²)

• P = (P¹, . . . , P^k) partitionnement ordonné de [n]

d

1 2

3 4

5

T¹

d

1 2

3 4

5

T²

P¹ P²

(5)

1 - Introduction - k STSP

Définition du problème

• Instance : (n ; d¹, d² : {0} ∪ [n] → N)

d

1 2

3 4

5

T¹

d

1 2

3 4

5

T²

P¹ P²

1

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1 - Introduction - k STSP

Définition du problème

• Instance : (n ; d¹, d² : {0} ∪ [n] → N)

d

1 2

3 4

5

T¹

d

1 2

3 4

5

T²

P¹ P²

1 2

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1 - Introduction - k STSP

Définition du problème

• Instance : (n ; d¹, d² : {0} ∪ [n] → N)

d

1 2

3 4

5

T¹

d

1 2

3 4

5

T²

P¹ P²

1 2

3

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1 - Introduction - k STSP

Définition du problème

• Instance : (n ; d¹, d² : {0} ∪ [n] → N)

d

1 2

3 4

5

T¹

d

1 2

3 4

5

T²

P¹ P²

1 2

3 4

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1 - Introduction - k STSP

Définition du problème

• Instance : (n ; d¹, d² : {0} ∪ [n] → N)

d

1 2

3 4

5

T¹

d

1 2

3 4

5

T²

P¹ P²

1 2

3 4

5

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1 - Introduction - k STSP

Définition du problème

• Instance : (n ; d¹, d² : {0} ∪ [n] → N)

d

1 2

3 4

5

T¹

d

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3 4

5

T²

P¹ P²

1 2

3 4

5

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1 - Introduction - k STSP

Définition du problème

• Instance : (n ; d¹, d² : {0} ∪ [n] → N)

d

1 2

3 4

5

T¹

d

1 2

3 4

5

T²

P¹ P²

1 2

3 5

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1 - Introduction - k STSP

Définition du problème

• Instance : (n ; d¹, d² : {0} ∪ [n] → N)

d

1 2

3 4

5

T¹

d

1 2

3 4

5

T²

P¹ P²

1 2

3

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1 - Introduction - k STSP

Définition du problème

• Instance : (n ; d¹, d² : {0} ∪ [n] → N)

d

1 2

3 4

5

T¹

d

1 2

3 4

5

T²

P¹ P²

1 2

(14)

1 - Introduction - k STSP

Définition du problème

• Instance : (n ; d¹, d² : {0} ∪ [n] → N)

d

1 2

3 4

5

T¹

d

1 2

3 4

5

T²

P¹ P²

2

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1 - Introduction - k STSP

Définition du problème

• Instance : (n ; d¹, d² : {0} ∪ [n] → N)

d

1 2

3 4

5

T¹

d

1 2

3 4

5

T²

P¹ P²

(16)

1 - Introduction - k STSP

Définition du problème

• Instance : (n ; d¹, d² : {0} ∪ [n] → N)

d

1 2

3 4

5

T¹

d

1 2

3 4

5

T²

P¹ P²

(17)

1 - Introduction - propriétés

Relations d’ordre strict

T¹ ⇒ <¹ : u <¹ v ssi u collecté avant v T² ⇒ <² : u <² v ssi u livré avant v

P ⇒ <³ : u <³ v ssi u empilé avant v dans une même pile P^`

<¹, <² complets, <³ partiel

Propriétés

(T¹, T²,P) réalisable ⇔







∀u 6= v ∈ [n], u <¹ v ⇒ ¬ u >³ v

∀u 6= v ∈ [n], u <² v ⇒ ¬ u <³ v

Classification : k STSP est NP − h

• TSP ∝ kSTSP

• (T¹, T²,P) réalisable vérifiable en temps polyomial

(18)

2 - Complexité - tours fixés

Sous-problème de décision DecP

• Entrée : deux tours T¹ et T²

• Question : ∃ P compatible ?

Proposition : DecP est P

(19)

2 - Complexité - tours fixés

Sous-problème de décision DecP

Proposition : DecP est P

Preuve : DecP ∝ k-coloration dans graphe de comparabilité

(20)

2 - Complexité - tours fixés

Sous-problème de décision DecP

Proposition : DecP est P

Preuve : DecP ∝ k -coloration dans graphe de comparabilité

• Graphe de discordance G⁶⁼ = ([n], E⁶⁼) {u, v} ∈ E⁶⁼ ssi u <¹ v ∧ u <² v

(21)

2 - Complexité - tours fixés

Sous-problème de décision DecP

Proposition : DecP est P

Preuve : DecP ∝ k -coloration dans graphe de comparabilité

• (T¹, T²) réalisable ssi G⁶⁼ k-colorable

u <¹ v et u <² v ⇒ u, v dans deux piles différentes

(22)

2 - Complexité - tours fixés

Sous-problème de décision DecP

Proposition : DecP est P

Preuve : DecP ∝ k -coloration dans graphe de comparabilité

• (T¹, T²) réalisable ssi G⁶⁼ k-colorable

u <¹ v et u <² v ⇒ u, v dans deux piles différentes

• G⁶⁼ graphe de comparabilité

u <¹ v <¹ w et u <² v <² w ⇒ u <¹ w et u <² w

⇒ parfait, colorable en temps polynomial, [4]

(23)

2 - Tours fixés - illustration

d

1 2

3 4

T¹ 5

<¹ : 1 <¹ 2 <¹ 3 <¹ 4 <¹ 5

<² :

P¹ P²

d

1 2

3 4

T² 5

1 2

3 4

5 G⁶⁼

(24)

2 - Tours fixés - illustration

d

1 2

3 4

T¹ 5

<¹ : 1 <¹ 2 <¹ 3 <¹ 4 <¹ 5

<² :

<² : 3 >² 4 >² 5 >² 1 >² 2

P¹ P²

d

1 2

3 4

T² 5

1 2

3 4

5 G⁶⁼

(25)

2 - Tours fixés - illustration

d

1 2

3 4

T¹ 5

<¹ : 1 <¹ 2 <¹ 3 <¹ 4 <¹ 5

<² :

<² : 3 >² 4 >² 5 >² 1 >² 2

P¹ P²

d

1 2

3 4

T² 5

1 2

3 4

5 G⁶⁼

(26)

2 - Tours fixés - illustration

d

1 2

3 4

T¹ 5

<¹ : 1 <¹ 2 <¹ 3 <¹ 4 <¹ 5

<² :

<² : 3 >² 4 >² 5 >² 1 >² 2

P¹ P²

d

1 2

3 4

T² 5

1 2

3 4

5 G⁶⁼

1 2

3 4

5

(27)

2 - Tours fixés - illustration

d

1 2

3 4

T¹ 5

<¹ : 1 <¹ 2 <¹ 3 <¹ 4 <¹ 5

<² :

<² : 3 >² 4 >² 5 >² 1 >² 2

P¹ P²

1 2

3 4 5

d

1 2

3 4

T² 5

1 2

3 4

5 G⁶⁼

1 2

3 4

5

(28)

2 - Tours fixés - illustration

d

1 2

3 4

T¹ 5

<¹ : 1 <¹ 2 <¹ 3 <¹ 4 <¹ 5

<² :

<² : 4 >² 3 >² 5 >² 1 >² 2

P¹ P²

d

1 2

3 4

T² 5

1 2

3 4

5 G⁶⁼

(29)

2 - Tours fixés - illustration

d

1 2

3 4

T¹ 5

<¹ : 1 <¹ 2 <¹ 3 <¹ 4 <¹ 5

<² :

<² : 4 >² 3 >² 5 >² 1 >² 2

P¹ P²

d

1 2

3 4

T² 5

1 2

3 4

5 G⁶⁼

(30)

2 - Tours fixés - illustration

d

1 2

3 4

T¹ 5

<¹ : 1 <¹ 2 <¹ 3 <¹ 4 <¹ 5

<² :

<² : 4 >² 3 >² 5 >² 1 >² 2

P¹ P²

1 2

?

? 5

d

1 2

3 4

T² 5

1 2

3 4

5 G⁶⁼

?

1 2

3 4

5

(31)

2 - Complexité - piles fixées

Sous-problème d’optimisation OptT

• Entrée : un partitionnement ordonné P = P¹, . . . , P^k

• Question : (T¹, T²) optimal sachant P ?

Proposition : OptT est P

(32)

2 - Complexité - piles fixées

Sous-problème d’optimisation OptT

Proposition : OptT est P

Preuve : programmation dynamique

(33)

2 - Complexité - piles fixées

Sous-problème d’optimisation OptT

Proposition : OptT est P

Preuve : programmation dynamique

• Dans chaque pile P^` : v_q^`^` <³ . . . <³ v₁^`

(34)

2 - Complexité - piles fixées

Sous-problème d’optimisation OptT

Proposition : OptT est P

Preuve : programmation dynamique

• Un tour T² se construit en i étapes : à l’étape i, i éléments au total ont été dépilés dans P¹, . . . , P^k

(35)

2 - Complexité - piles fixées

Sous-problème d’optimisation OptT

Proposition : OptT est P

Preuve : programmation dynamique

• L’état des piles est donné par le vecteur

e = (e₁, . . . , e_`) ∈ ×^k_`=1[q^` + 1] de leur sommet courant

(36)

2 - Complexité - piles fixées

Sous-problème d’optimisation OptT

Proposition : OptT est P

Preuve : programmation dynamique

• L’état des piles est donné par le vecteur

e = (e₁, . . . , e_`) ∈ ×^k_`=1[q^` + 1] de leur sommet courant

⇒ T² est l’enchaînement de n + 1 états e⁰, e¹, . . . , eⁿ tq. :

•

eⁱ⁺¹

= eⁱ

+ 1 (où kek = Pk

`=1 e_`)

• e⁰ = I = (1, . . . ,1) et eⁿ = F = (q¹ + 1, . . . , q^k + 1)

(37)

2 - Piles fixées - preuve

États

• nombre polynomial Π^k_`=1(q^` + 1) = O(n^k)

• k précécesseurs p(e,1), . . . , p(e, k) possibles pour un état e

1

1 2

2 3

3 1

1

2

3

4

I

1,1 2,1

2,1 1,2

3,1 2,2 1,3

3,2 2,3 1,4

3,3 2,4

F

3,4

P¹ 1 2

P² 3 4 5

(38)

2 - Piles fixées - preuve

États

1

1 2

2 3

3 1

1

2

3

4

I

1,1 2,1

2,1 1,2

3,1 2,2 1,3

3,2 2,3 1,4

3,3 2,4

F

3,4

P¹ 1 2

P² 3 4 5

T² : 0 → 2 → 1 → 5 → 4 → 3 → 0

(39)

2 - Piles fixées - preuve

États

1

1 2

2 3

3 1

1

2

3

4

I

1,1 2,1

2,1 1,2

3,1 2,2 1,3

3,2 2,3 1,4

3,3 2,4

F

3,4

P¹ 1 2

P² 3 4 5

T² : 0 → 2 → 1 → 5 → 4 → 3 → 0

(40)

2 - Piles fixées - preuve

États

1

1 2

2 3

3 1

1

2

3

4

I

1,1 2,1

2,1 1,2

3,1 2,2 1,3

3,2 2,3 1,4

3,3 2,4

F

3,4

P¹ 1 2

P² 3 4 5

T² : 0 → 5 → 2 → 4 → 3 → 1 → 0

(41)

2 - Piles fixées - preuve

États

1

1 2

2 3

3 1

1

2

3

4

I

1,1 2,1

2,1 1,2

3,1 2,2 1,3

3,2 2,3 1,4

3,3 2,4

F

3,4

P¹ 1 2

P² 3 4 5

T² : 0 → 5 → 2 → 4 → 3 → 1 → 0

(42)

2 - Programmation dynamique

États

• S = ×^k_`=1[q^` + 1]

• I = (1, . . . ,1), F = (q¹ + 1, . . . , q^k + 1), I^` = (1, . . . ,1,2,1 . . . ,1)∀`

(43)

2 - Programmation dynamique

États

• S = ×^k_`=1[q^` + 1]

• I = (1, . . . ,1), F = (q¹ + 1, . . . , q^k + 1), I^` = (1, . . . ,1,2,1 . . . ,1)∀`

Étiquettes

• E(e, `) meilleur coût pour aller de I à e en arrivant par p(e, `)

• conditions initiales :

e_` = 1 ⇒ E(e, `) = +∞, e = I^` ⇒ E(e, `) = d²(0, u^`₁)

• condition finale :

E(F, `) = min^k_`0=1{E(p(F, `), `⁰) + d²(v^`⁰

p(F,`)^`0, v_q^`^`) + d²(v_q^`^`,0)}

• récurrence :

E(e, `) = min^k_`0=1{E(p(e, `), `⁰) + d²(v_p(e,`)^`⁰ `0, v_e^`^`)}

(44)

Algorithm 1: LIVRAISON OPTIMALE( P )

Entr´ees: d² : {0} ∪ [n] → N, P k-partitionnement ordonné.

Sorties: T² tour de livraison optimal pour P. // Initialisation

pour e ∈ S, ` ∈ [k] tq. e^` = 1 faire E(e, `) ←− +∞;

pour ` ∈ [k] faire E(f(`), `) ←− d¹(0, v₁^`);

// R´ecurrence (hyp. aucune pile vide)

pour p = k + 2 `a n + k − 1 faire pour e ∈ S tq. kek = p faire

pour ` = 1 to k tq. e^` ≥ 2 faire

E(e, `) ←− min^k_`₀₌₁{E(p(e, `), `⁰) + d¹(v^`⁰

p(e,`)^`0, v_e^``)|p(e, `)^`⁰ ≥ 2}; // Terminaison

pour ` = 1 to k tq. F^` ≥ 2 faire E(F, `) ←− min^k

`⁰=1{E(p(F, `), `⁰) + d¹(v^`⁰

p(F,`)^`0, v^`

F^`) + d¹(v^`

F^`,0)|p(F, `)^`⁰ ≥ 2};

return T² le tour associé à l’étiquette arg min{E(F, q^`) | ` = 1, . . . , k};

Complexité : O((n + 1)^k)

(45)

2 - Complexité - conséquences

Problèmes polynomiaux

•

TSP avec contraintes de précédence,

•

ordonnancement avec contraintes de précédence et temps/coût de transtion, temps/coût de complétion . . .

•

. . . pour C induisant un ordre strict partiel en au plus k ensembles ordonnés

Perspectives de résolution exacte

•

décompostion sur les contraintes (type Benders)

(46)

3 - Optimisation à partir de TSP

Meilleure solution (T

¹

, T

²

, P ) sachant T

¹

: instances I

_n

d¹_n(u, v) =







1 if v = u + 1

1 + ε otherwise d²_n(u, v) =







1 si v = u + 1 n sinon

0

1 2 n/2

n/2 + 1 n − 1

n

d¹_n, d²_n: arcs de distance 1

P_n¹: n − 1 n − 3 3 1

P_n²: n n − 2 4 2

0

0 0

Les tours optimaux :

T_n¹ en trait pleine, T_n² en trait hachuré

• Tours optimaux pour TSP de valeur n + 1 pour d¹ comme pour d²

• En fixant T¹ = (0,1,2, . . . , n,0), le meilleur T² fait plus que n²/2

• Tandis que la valeur optimale 2STSP ∼ (2 + ε)n

(47)

3 - Optimisation à partir de TSP

Meilleure solution (T, T, P ) pour d = 1/2d

¹

+ 1/2d

²

condition d¹_n(u, v) d²_n(u, v) d¹_n + d²_n

si v = u ± 1 1 n n + 1

sinon si v = u ± 2 1 n + 1 n + 2

sinon si u + v ∈ {n + 1, n + 3} n + 1 1 n + 2

sinon n + 1 n + 1 2n + 2

• Tours optimaux pour 2STSP de valeur d¹_n(T_n^1,∗) = n + 1 et d²_n(T_n^2,∗) ∼ 7n

• Tandis que l’optimum T_n,1/2^∗ = (0,1,2, . . . , n,0) vaut (n + 1)²

(48)

4 - Conclusion

“Reste” à faire . . .

• Résolution exacte : décompostion

• Contraintes de précédence : caractérisation instances P

• Résolution approchée : approximation (1/2 différentielle ?)

Bibliographie

[1] Allahverdi A., Gupta J.N.D., Aldowaisan T.: A review of scheduling research involving setup considerations. Omega 27(2):219-239 (1999)

[2] Burkard R.E., Deineko V.G., Woeginger G.J.: The Travelling Salesman and

the PQ-Tree. In Proc. 5th Internat. IPCO Conference, LNCS 1084:490-504 (1996).

[3] Graham R.L., Lawler E.L., Lenstra J.K., Rinnooy Kan A.H.G.: Optimization and approximation in deterministic sequencing and scheduling: a survey.

Ann. of Discrete Math. 5:287-326 (1979).

[4] Grötschel M., Lovász L., Schrijver A.: The ellipsoid method and its consequences in combinatorial optimization. Combinatorica 1(2):169-197 (1981).