1 /16
2 cinetique2 Cinétique
1 Masse et centre d'inertie : ... 2
1.1 Masse d'un solide indéformable : ... 2
1.2 Centre d'inertie d'un solide indéformable : ... 3
1.2.1 Définition : ... 3
1.2.2 Théorèmes de Guldin : ... 3
2 Opérateur et moments d'inertie : ... 5
2.1 Opérateur d'inertie - matrice d'inertie : ... 5
2.2 Base principale d'inertie : ... 6
2.3 Changement de base : ... 8
2.4 Moment d'inertie par rapport à un axe : ... 8
2.5 Moment d’inertie par rapport à un point :... 9
2.6 Rayon de giration : ... 10
3 Torseur cinétique :... 10
3.1 Définition : ... 10
3.2 Expression du torseur cinétique dans le cas d'un solide indéformable : ... 10
4 Torseur dynamique : ... 12
4.1 Définition : ... 12
4.2 Changement de point de réduction : ... 12
4.3 Relation entre les éléments de réduction des torseurs cinétique et dynamique : ... 13
5 Energie cinétique : ... 14
5.1 Définition : ... 14
5.2 Expression dans le cas du solide indéformable : ... 14
2 /16
2 cinetique1 Masse et centre d'inertie :
1.1 Masse d'un solide indéformable :
Définition 25. On appelle système matériel, un système Σ sur lequel sera définit la mesure masse c'est à dire que t on définit sur Σ une mesure positive notée dm.
Définition 26. Soit Σ, un système matériel de masse volumique ρ(P), la masse de Σ est donnée par la relation :
dm P dv
m
( )dans laquelle dv est un élément de volume.
Remarque :
Si le système matériel est assimilable à un volume, on parle de masse volumique ρ(P) au point P : dm=ρ(P)dv ;
Si le système matériel est assimilable à une surface on parle de masse surfacique σ(P) au point P : dm=σ(P)ds ;
Si le système matériel est assimilable à une ligne, on parle de masse linéique λ(P) au point P : dm=λ(P)dl.
Théorème 14. La masse est une grandeur additive. Si Σ1 et Σ2 sont deux systèmes disjoints alors :
m(Σ1∪ Σ2) = m(Σ1) + m(Σ2) Principe de conservation de la masse :
Nous supposerons que la masse est une grandeur indépendante du temps. Cette propriété permet d’écrire la relation suivante :
dm t P dt f dm d
t P dt f
d
P R
P
R
) , ( )
, (
Σ P
dm=ρ(P)dv
figure 2.1
3 /16
2 cinetique1.2 Centre d'inertie d'un solide indéformable :
1.2.1 Définition :
Définition 27. On appelle centre d’inertie d’un système matériel Σ, le point G défini pour tout point P de Σ par :
0
P
dm GP
Si O est un point quelconque, la relation de Chasles permet d’écrire :
0
P
dm OP
GO
0
P
P
dm OP dm
GO
P P
dm OP dm
OG
Donc :
P
dm OP OG
m , il vient finalement :
P
dm m OP
OG
1Dans un repère cartésien, on note (xG, yG, zG) les coordonnées de OG et (x, y, z) les coordonnées de OP, on peut écrire :
x dm
x
Gm
1,
y dm
y
Gm
1,
z dm
z
Gm
1 1.2.2 Théorèmes de Guldin :Énoncé 1. (Centre d’inertie d’une courbe plane) Soient (C) une courbe du plan (Π) et (∆) une droite du plan ne coupant pas (C). L’aire de la surface engendrée par la rotation de la courbe (C) autour de la droite (∆) est égal au produit de la longueur de la courbe L par le périmètre décrit par son centre d’inertie 2π·rG.
S=2π·rG·L Démonstration :
On associe à la courbe (C) une masse linéique λ constante,
dm =λ·dl d’où la masse totale de la courbe mc =λ·L. La position du centre d’inertie de la courbe est calculée par la relation générale :
C P
c OG OPdm
m
ici cette relation devient :
C P
dl OP OG
L
figure 2.2
4 /16
2 cinetique Après simplification puis en ne prenant que la projection suivant r:
dl r r L dl OP OG
L
C P G C
P
Calculons maintenant la surface engendrée par la rotation de la courbe
C C
S
dl r dl
r d dl d r
S
2
2
0
En substituant G
C
r L dl r
dans cette égalité on retrouve bien le résultat cherché.Énoncé 2. (Centre d’inertie d’une surface plane homogène) Soient (S) une surface du plan (Π) et (∆) une droite du plan ne coupant pas (S). Le volume engendré par la rotation de la surface plane tournant autour de l’axe (∆) est égal au produit de l’aire de la surface par la longueur du périmètre décrit par son centre d’inertie.
V=2π·rG·S On démontre cette égalité comme la précédente. On associe à (S) une masse surfacique dm=σ·ds constante et
mS = σ·S.
Par définition :
S P
S OG OPdm
m
ici cette relation devient :
C P
ds OP OG
S
Soit en projection suivant r :
ds r r S
C P
G
Le volume engendré par la rotation de la surface (S) s’écrit :
S S
2
0 V
ds r 2 ds r d ds d r
V
d’où la relation cherchée :
V=2π·rG·S
figure 2.3
5 /16
2 cinetique Remarque : l’utilisation des théorèmes de Guldin permet de simplifier le calcul de position du centre d’inertie dans la mesure où l’on connaît les caractéristiques du volume et de la surface balayée.2 Opérateur et moments d'inertie :
2.1 Opérateur d'inertie - matrice d'inertie :
Définition 28. On appelle opérateur d'inertie [I(A,S)] au point A d'un solide S, l'opérateur qui à tout vecteur u
de l'espace associe le vecteur :
I u AP u AP dm
S P S
A
) , (
Définition 29. L’opérateur d’inertie [I(A,S) ] s’écrit dans la base orthonormée d'un repère R sous la forme canonique :
avec
C'est la matrice d'inertie du solide S en A dans la base Théorème 15. Théorème de Huygens
La relation de Chasles, en passant par le centre d’inertie G du solide S, permet d’en déduire le théorème de Huygens.
S S
A u AP u AP dm
I( , ) ( )
S S
A u AG GP u AG GP dm
I( , ) ( ) ( ( ))
I AS u m AG u AG
IGS u
( , )
) ,
( ( )
I(A,S) u I(A,m(G,S))
u I(G,S) u) , , (x y z
C D E D B
F E F A
) y , x (A;
plan au rapport par
S de inertie d'
produit
I dm y x F
) z , x (A;
plan au rapport par
S de inertie d'
produit
I dm x z E
) z , y (A;
plan au rapport par
S de inertie d'
produit
I dm z y D
) z (A;
de autour S
de inertie d'
moment
I dm y x C
) y (A;
de autour S
de inertie d'
moment
I dm x z B
) x (A;
de autour S
de inertie d'
moment
I dm z y A
S
xy S
zx S
yz S
z A S
y A S
x A
)
; ( 2
2
)
; ( 2
2
)
; ( 2
2
) (
) (
) (
) , , (x y z
6 /16
2 cinetique
I AS u IGS u IAmGS
u
( , ) ( , ( , ))
) , (
Le second terme à droite de l’égalité correspondant à l’opérateur d’inertie en A du solide fictif de masse m « concentrée » en G.
Dans le théorème de Huygens, la matrice d'inertie [I(A,m(G,S))] peut ainsi s'écrire :
) , ,
; ( )
) (
( )
) (
(
2 2 2 2 2 2
)) , ( , (
z y x A y x
z y
x z z y
x z
y x x z
y x
z y m AG u AG m dm AG u AG I
G G
G G
G G
G G
G G
G G
G G
G G
G G
S P S G m
A
avec
AG x
Gx
y
Gy
z
Gz
2.2 Base principale d'inertie :
La matrice d’inertie à coefficients réels étant symétrique, elle est donc diagonalisable.
Définition 30. La base dans laquelle la matrice d’inertie est diagonale est appelée base principale d’inertie.
Définition 31. On appelle axe principal d’inertie, un axe dirigé par un vecteur de la base principale d’inertie.
Certaines propriétés de symétrie du solide S autorisent la simplification rapide de la matrice d’inertie. Le théorème ci-dessous les précise
Théorème 16. Les propriétés suivantes permettent de simplifier la matrice d’inertie d’un solide S donnée dans une base orthonormée B :
si le solide S possède un plan de symétrie, l’axe perpendiculaire à ce plan est un axe principal d’inertie;
si le solide S possède deux plans de symétrie perpendiculaires, la base dont deux de ses faces sont plans de symétrie du solide est base principale d’inertie;
si le solide S possède un axe de symétrie, cet axe est axe principal d’inertie;
si le solide S possède une dimension négligeable par rapport aux deux autres dimensions, alors les deux produits d’inertie contenant la dimension de cette direction sont nuls.
figure 2.4
Solide à un plan de symétrie : plan symétrie:(O;x,y)DE0
7 /16
2 cinetique figure 2.5Solide à 2 plans de symétrie : plan symétrie:(O;x,y)DE0 plan symétrie:(O;x,z)DF0
figure 2.6
Solide présentant une symétrie de révolution :
plan symétrie:(O;x,y)DE0 plan symétrie:(O;x,z)DF0
axe symétrie : (O;z)AB
figure 2.7
Solide à une dimension négligeable Remarques :
Si le point d'écriture est le centre d'inertie, on parle alors de base centrale et de moments centraux d'inertie.
Les moments centraux d'inertie sont minima.
8 /16
2 cinetique2.3 Changement de base :
Connaissant la matrice d'inertie du solide S en un point A dans la base B1, on se propose de déterminer cette matrice en ce même point dans la base B2.
Théorème 17. Soit [I(A,S)B1] et [I(A,S)B2] les matrices d'inertie d'un solide S respectivement dans la base B1 et la base B2, et PB1,B2 la matrice de passage de la base B1 à la base B2, on a alors :
1 22 1 1
2 ( A,S)B B,B
1 -
B , B S)B
( A,
= P I P
I
Dans ce cas, PB1,B2 est égale à :
1 2 2 1 1 1 B B
z y x
B
z y x P
1 ,
1 0 0
0 cos sin
0 sin cos
2
1
figure 2.10 Les colonnes de la matrice de passage sont coordonnées des vecteurs de la nouvelle base exprimés dans l’ancienne.
Remarque : comme det 1
2 1,B
P
B alors2 1 2
1 ,
1
, B B
t B
B
P
P
2.4 Moment d'inertie par rapport à un axe :
Définition 32. Le moment d’inertie d’un solide S par rapport à un axe (A;u) est le nombre réel positif I(A,S/∆) tel que :
S P S
A u AP dm
I( , / ) 2
On démontre que I(A,S/∆) peut aussi se noter :
u
I uIAS AS
( , ) /
, [kg.m²]
Avec :
A un point de
u
un vecteur unitaire porté par , Démonstration :
Par définition le moment d’inertie autour de l’axe (A;u)
s’écrit :
S P S
A u AP dm
I( , / ) 2 Décomposons le calcul du moment d’inertie
S P S
P S
A u AP dm u AP u APdm
I 2
) / , (
S P S
A u AP u AP dm
I( , / ) ( ( ))
9 /16
2 cinetique
S P S
A u AP u AP dm
I( , / ) ( ( ))
u
I uIA,S/ (A,S) Si on pose :
B C
D E D B
F E F A I
AS
)
, (
et u(
,
,
)dans la base B alors :
C D E D B
F E F A I
(A,S/ )Théorème 18. Théorème de Huygens pour le moment d’inertie par rapport à un axe
Soient les axes (A;u) et (G;u) parallèles passant respectivement par A et par G. Si l’on note d la distance entre ces deux axes, on a :
I(A,S/∆) = I(G,S/∆G) + m.d2
2.5 Moment d’inertie par rapport à un point :
Définition 33. Le moment d’inertie d’un solide S par rapport à un point A est le nombre réel positif I(A,S) tel que :
S P S
A
AP dm
I
( , ) 2 [kg.m²]On vérifie aisément que : Théorème 19.
( , /( ; ) ( , /( ; ) ( , /( ; )
) ,
( 2
1
z A S A y A S A x A S A S
A I I I
I
Démonstration :
On pose
AP x x
y y
z z
S P S
P S
A
AP dm x y z dm
I
( , ) 2 ( ² ² ²)d'autre part voir 2.4:
S P S
P x S
A x AP dm y z dm
I ( ² ²)
2 )
/ , (
de même :
S P y S
A
x z dm
I
( , /) ( ² ²) et
S P z S
A x y dm
I( , /) ( ² ²)
On constate bien donc que : ( , )
( , /( ; ) ( , /( ; ) ( , /( ; )
2 1
z A S A y A S A x A S A S
A I I I
I
10 /16
2 cinetique2.6 Rayon de giration :
Définition 34. Soit le solide S de masse m et de moment d’inertie I par rapport à un axe ∆. On appelle rayon de giration de S par rapport à ∆ le nombre :
m
I
[m]Le rayon de giration précise la répartition de la masse par rapport à l’axe considéré. Le rayon de giration est celui d’un cylindre fictif de masse m, de rayon ρ et de moment d’inertie I par rapport à l’axe du cylindre.
3 Torseur cinétique : 3.1 Définition :
Soit un système matériel Σ en mouvement par rapport à un repère R
Définition 35. Le torseur cinétique du système matériel Σ dans son mouvement par rapport au repère R est défini par ses éléments de réduction en A
P
R P /R
A, P
R P
R
AP V dm
dm V p A
C
/ /
/
V
P/R: Vitesse du point P du système matériel Σ dans son mouvement par rapport au repère R;
P R P R
E
V dm
p
( / ) /: Résultante cinétique ou quantité de mouvement de l’ensemble matériel Σ dans son mouvement par rapport à R;
P
R P /R)
( A,
AP V
/dm
: Moment cinétique au point A de l’ensemble matériel Σdans son mouvement par rapport à R.
3.2 Expression du torseur cinétique dans le cas d'un solide indéformable :
Cas particulier du solide indéformable S de masse m et de centre d'inertie G. L’hypothèse de solide indéformable, permet d’associer les propriétés du champ des vecteurs vitesses d’un solide aux propriétés du torseur cinétique. Ainsi, pour P et A deux points liés au solide, la relation de composition des vitesses permet d’écrire :
AP V
V
PS/R
AS/R
S/R
avec
S/R: le vecteur rotation du solide S par rapport au repère R.
11 /16
2 cinetique Pour un solide S le torseur cinétique s’écrit :
S P
R P /R)
S ( A,
S P
R P R
S R
S
AP V dm
dm V p
A C
/ / )
/ (
/
et la résultante cinétique :
R S G S
P R P R
E
V dm m V
p
( / ) / /
En faisant intervenir le point A dans la détermination du moment cinétique d’un solide indéformable, on obtient :
S P
R P /R)
S
( A, AP V / dm
S P
S/R R S A /R)
S
( A, AP V AP)dm
( /
S P
S/R S
P
R S A /R)
S
( A, AP V / dm AP ( AP)dm
S P
S/R S
P
R S A /R)
S
( A, APdm V / AP ( AP)dm
On reconnaît : dans le premier terme la définition du centre d’inertie G : AG
m dm AP
S P
dans le deuxième terme l’opérateur d’inertie du solide S au point A appliqué au vecteur :
AS S R SP
S/R AP dm I
AP( ) ( , ) /
Théorème 20. Le moment cinétique d’un solide indéformable dans son mouvement par rapport à un repère R devient :
AS S R RS A /R)
S
( A,
AG m V
/ I
( , )
/
Théorème 21. Cas particuliers de points.
Si A est confondu avec G :
( G,S/R)
I(G,S) S/R Si A est un point fixe par rapport à R :
( A,S/R)
I(A,S) S/R Si le solide S est translation par rapport à R :
( A,S/R) AG m V
AS/R12 /16
2 cinetique Il est souvent préférable de calculer le moment cinétique soit au centre d'inertie soit en un point A du solide S fixe dans R, puis d'utiliser la relation de changement de point du moment cinétique si nécessaire.Formule de changement de point :
R S G /R)
S ( A, /R) S
( B,
BA m V
/
Théorème 22. Cas d'un ensemble de solides : Soit Σ= {S1, S2,...,Sn}. On a:
ni
/R) Si ( A, /R)
S ( A,
1
4 Torseur dynamique : 4.1 Définition :
Soit un système matériel Σ en mouvement par rapport à un repère R
Définition 36. Le torseur dynamique du système matériel Σ dans son mouvement par rapport au repère R est défini par ses éléments de réduction en A
S P
R P /R)
( A,
P R R P
D
R
AP a dm
dm a R
A D
/ ) /
/ (
/
aP/R
: accélération du point P du système matériel Σ dans son mouvement par rapport au repère R;
P R R P
DE
a dm
R
( / ) /: Résultante dynamique de l’ensemble matériel Σ dans son mouvement par rapport à R, on montre aussi que
R
D(E/R)m a
G/R
;
P
R P /R)
( A,
AP a
/dm
: Moment dynamique au point A de l’ensemble matériel Σdans son mouvement par rapport à R.
4.2 Changement de point de réduction :
Le champ des moments dynamiques est un champ de moments. Pour changer de point de réduction, on utilise donc la relation générale des torseurs :
R G /R)
( A, /R)
( B,
BA m a
/
13 /16
2 cinetique4.3 Relation entre les éléments de réduction des torseurs cinétique et dynamique :
Théorème 23. Relation entre les résultantes, soit le repère R
p R
dt
R
D Rd
R
/ ) ( / ) (
Par définition le moment cinétique d'un solide indéformable S par rapport à un repère R s’écrit :
S P
R P /R)
S
( A, AP V / dm
S R P
R P /R)
S
( A, AP V dm
dt d dt R
d
/
S
P R
R P /R)
S
( A, AP V dm
dt d dt R
d
/
S
P R
R P S
P
R P /R)
S
( A,
V dm
dt AP d dm
R V dt AP
d dt R
d
/ /
S P
R P S
P
R P /R)
S
( A,
V dm AP a dm
OA) R - dt OP
d dt R
d
/
( /
S P
R P S
P
R P R A R P /R)
S
( A, V V V dm AP a dm
dt R d
/ /
/
/ )
(
S P
R P R A S
P
R P /R)
S
( A, AP a dm V V dm
dt R d
/ / /
S P
R P R A S
P
R P /R)
S
( A, AP a dm V V dm
dt R d
/ / /
S P
R P R
A S
P
R P /R)
S
( A, AP a dm V V dm
dt R d
/ /
/
R S G R
A S
P
R P /R)
S
( A, AP a dm V m V
dt R d
/ /
/
14 /16
2 cinetiqueR S G R
S A R S A /R)
S
( A, V m V
dt R d
/ /
) / ,
(
Théorème 24. A R G S R
/R) S ( A, R
S
A V m V
dt R d
/ /
) / ,
(
Théorème 25. Cas particuliers de points :
Si A est confondu avec G :
dt R d ( G,S/R)
R S
G
) / , (
Si A est un point fixe dans R ou si
V
A/Rest colinéaire à
V
G/R :dt R d ( A,S/R)
R S
A
) / , (
Théorème 26. Cas d'un ensemble de solides : Soit Σ={S1, S2,...,Sn}. On a 𝛿(𝐴,Σ/𝑅)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ∑𝑛 𝛿⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴,𝑆𝑖/𝑅
𝑖=1
5 Energie cinétique : 5.1 Définition :
Définition 37. On appelle énergie cinétique d’un système matériel Σ dans son mouvement par rapport à un repère R le nombre réel T(Σ/R) tel que :
P
R P
R
V dm
T
²2 ( / ) /
[J]
5.2 Expression dans le cas du solide indéformable :
Soit un solide S de masse m, de centre d’inertie G, en mouvement par rapport à un repère R, A un point lié au solide. Pour un solide, l’énergie cinétique du solide dans son mouvement par rapport au repère R s’écrit :
S P
R S P R
S
V dm
T
²2 ( / ) /
D'autre part le solide S étant indéformable on a :
AP
V
V
PS/R
AS/R
S/R
d'où :
S P
R S R S A R
S V AP dm
T ( )²
2 ( / ) / /
S P
R S S
P
R S R S A S
P
R S A R
S V dm V AP dm AP dm
T ² 2 ( ) ( )²
2 ( / ) / / / /
