D332. A touche-toucheQ1 - Déterminer dans le plan le nombre maximum de triangles qui se touchent sans se chevaucher de telle sorte que deux quelconques d’entre eux ont un segment commun de longueur > 0 [*]
Q2 - Déterminer dans l'espace à trois dimensions le nombre maximum de tétraèdres qui se touchent sans se chevaucher de telle sorte que deux quelconques d’entre eux ont une surface commune d’aire >0 ? [***]
Q3 - Pour un entier k quelconque ≥ 2, existe-t-il dans l'espace à trois dimensions k polyèdres convexes qui se touchent sans se chevaucher de telle sorte que deux quelconques d’entre eux ont une surface commune d’aire >0 ? [*****]
Solution de Paul Voyer
Q1
4 triangles
Q2
8 tétraèdres, 4 au-dessus du plan précédent, et 4 au-dessous.
Côtés des bases coupant les 4 triangles précédents, définissant 1 triangle intérieur JKL et 3 triangles extérieurs MNO, 1 sommet commun aux 4 tétraèdres, au-dessus du plan à la verticale du centre précédent.
Et autant au-dessous du plan.
