J 150. Par ici la sortie. ****
Zig est au centre d’un labyrinthe carré de n × n cases [n entier impair ] dans lequel chaque case contient une flèche indiquant la direction à prendre. À chaque étape, Zig se déplace d’une case dans la direction indiquée par la flèche de la case où il se trouve, sauf s’il se trouve face à un mur auquel cas il reste sur sa case.
Il n’y a pas de mur en haut de la case de sortie.
À la fin de chaque étape, que Zig ait bougé ou non, la flèche de la case où il se trouvait au début de l’étape tourne de 90° dans le sens horaire. Le parcours s’arrête quand Zig sort en haut.
Q1 Au bout de combien d’étapes Zig sortira-t-il du labyrinthe ci-contre ?
Q2 Démontrer que quelle que soit la taille du labyrinthe, la case de départ, la case de sortie et les directions initiales des flèches, Zig sortira au bout d’un nombre fini d’étapes.
Q3 Pour n égal à 3, 5, 7, 9 et 11, déterminer une direction initiale des flèches rendant maximal le nombre d’étapes nécessaires pour atteindre la sortie [La case départ est au centre, et la sortie en haut au milieu].
Solution :
Q1. Zig sortira au bout de la 64ème étape.
Q2. Soit un labyrinthe quelconque de n × n cases.
Supposons que le parcours de Zig soit infini.
Il n’y a qu’un nombre fini de cases, donc il existe une case C sur laquelle Zig passera une infinité de fois.
Puisqu’à chaque passage la flèche tourne d’un quart de tour, la flèche de la case C prendra chaque direction une infinité de fois. Il en résulte que chaque case voisine de la case C sera atteinte une infinité de fois.
De proche en proche, on en déduit que chaque case du labyrinthe sera atteint une infinité de fois, en particulier la case S de sortie, dont la flèche prendra chaque direction une infinité de fois ce qui est contraire à notre hypothèse.
Cette question est traitée dans le numéro de janvier de « Pour la science » à la rubrique de J.P. Delahaye.
Q3. J’ai obtenu les résultats suivants sans garantie d’optimalité sauf pour n = 3. [Explications à la fin]
SORTIE
SORTIE
SORTIE SORTIE
Fin de l’étape 1 La flèche a tourné de 90°
Fin de l’étape 2 La flèche a tourné de 90°
Fin de l’étape 3 La flèche a tourné de 90°
bien que Zig n’ait pas bougé
SORTIE
Pour n = 3 j’obtiens 64 étapes avec, par exemple, le labyrinthe de la question Q1.
Pour n = 5, 7, 9, 11 j’obtiens respectivement 269, 706, 1463, 2628 étapes avec les labyrinthes ci-dessous :
269 étapes
706 étapes
1463 étapes
Quelques explications.
Pour n = 3 un balayage exhaustif (programme MAPLE) donne une solution optimale [Il y en a plusieurs].
Pour n > 3, j’étudie par programme quelques milliers de configurations aléatoires en retenant la meilleure.
En les examinant, on constate une relative régularité dans la disposition des flèches, surtout en haut du labyrinthe. Cela permet une nouvelle exploration plus ciblée donnant de meilleurs résultats.
Les valeurs trouvées pour n = 3, 5, 7, 9, 11 à savoir 64, 269, 706, 1463, 2628 sont curieusement obtenues par le polynôme . Mystère.
2628 étapes