D661 – Angle sans rapporteur [*** à l a main]
Problème proposé par Dominique Chesneau
Zig a une curieuse méthode pour construire ou mesurer un angle xÔy quand il a oublié son rapporteur et sa calculatrice . Il place les points A et P sur [Ox) et [Oy) tels que OA = OP = 9 cm et le point S dans le demi plan de frontière (OA) ne contenant pas le point P de façon à ce que AÔS=90° et OS = 15 cm . Il trace ensuite le point d’intersection M des droites (OA) et (PS) et prétend donner la mesure de l’angle xÔy en degré en mesurant le segment AM en millimètres .
Ce n’est bien sûr qu’une approximation mais l’erreur est-elle importante ?
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Je trace un parallèle à la demi-droite Ox , passant par P ; elle coupe la droite (SO) en H .
Les 2 triangles rectangles SPH & SMO sont alors semblables ; on obtient l'égalité des rapports : PH / SH = OM / OS
AM : exprimé en mm vaut : X = 90 - OM = 90 - a ; (a = OM) Si t est l'angle à mesurer : 90.Cos t / (90.Sin t + 150) = a / 150 J'obtiens donc a = 13500.Cos t / [ 90.Sin t + 150 ]
Comme X = 90 - a , alors , après simplification : X = [54 Sin t + 90 .( 1 - Cos t ) ] / [ 1 + 0.6 Sin t ] La fonction " erreur " s'écrit alors : E = t - X => E (t) = t - [54 Sin t + 90 .( 1 - Cos t ) ] / [ 1 + 0.6 Sin t ]
L'erreur varie de + 0.27 pour t = 11.5° environ ; descend à -0.3912 pour t = 56°40' L'erreur est nulle pour t = 0° ; 28° environ puis 90°
