Université Paris 13, Institut Galilée MACS 1 – Intégration et probabilités Année universitaire 2015-2016
DM complémentaire (pour le 16/11)
Exercice 1 –Limite des « normes »Lpquandp→0+. Soit(E,A, µ)un espace mesuré, etf :E→]0,+∞[
une fonction mesurable strictement positive. On s’intéresse à l’existence et à la valeur de la limite suivante :
n→∞lim Z
f(x)1/ndµ(x) n
. (∗)
NB. Pour0< p <1,k · kp n’est pas une norme.
1.Soitε >0. Montrer que, pour toutn∈N∗, Z
f(x)1/ndµ(x)≥ 1
1 +εµ(An), où An=
x∈E
f(x)> 1 (1 +ε)n
.
Que dire de la suite(An)n? En déduirelimµ(An)quandn→ ∞et la valeur de la limite (∗) lorsqueµ(E)>1+ε.
2.Supposons que 0< µ(E)<1, et de plus qu’il exister >0tel que frest intégrable (par rapport àµ).
Justifier, pour toutn≥1/r, et toutx∈E, la majoration
f(x)1/n≤1 +f(x)r, et en déduire l’existence et la valeur de la limite suivante :
n→∞lim Z
f(x)1/ndµ(x).
En déduire la limite (∗) dans ce cas.
3.On suppose désormais µ(E) = 1. On fait de plus les hypothèses suivantes sur f : (i) f ∈ L∞(E,A, µ): il existe M >0tel quef(x)≤M pourµ-presque toutx∈E; (ii)
Z
|lnf(x)|dµ(x)<∞.
On considère la fonction
F :p7→F(p) = Z
f(x)pdµ(x).
3.a)Montrer queF est continue sur[0,+∞[.On pourra commencer par le montrer sur[0, a] oùa >0.
3.b)Montrer queF est de classeC1 sur [0,+∞[ et donner une expression (intégrale) deF0, et en particulier deF0(0).
3.c)Que vautF(0)? Donner un développement limité à l’ordre 1 deF en0(à l’aide de ce qui précède), et en déduire la limite deF(p)1/p quandp→0+ et donc (∗).
Exercice 2 – (Facultatif ) Limite des normes Lp quand p→ ∞. Soit(E,A, µ) un espace mesuré, et f :E→Rune fonction mesurable. Pour tout réelp >0, on note
kfkp= Z
|f|pdµ
!1/p . On suppose qu’il exister >0tel que kfkr<∞.
1.SoitM >0 tel quef(x)≤M pourµ-presque toutx∈E. Montrer que kfkp≤Mp−rp kfkr
r/p
, et déterminer la limite du second membre quandp→+∞.
2. Soitm >0 tel queµ(Am)>0, oùAm ={x∈E|f(x)> m}. Montrer quekfkp ≥cp,mmpour tout p >0, oùcp,m (à préciser) tend vers 1 quandp→ ∞.
3.On note (avecinf∅= +∞si nécessaire), kfk∞= inf
M >0
|f(x)| ≤M pourµ-presque toutx∈E
= sup m≥0
µ({x∈E| |f(x)|> m})>0 . 3.a)Justifier l’égalité entre lesup et l’inf ci-dessus.
3.b)Avec les questions 1 et 2, montrer quekfkp −→
p→∞kfk∞.
