Problème noG2968 de Diophante (mars 2021)
Dans le groupe cyclique (Z/nZ,+), le sous-groupe engendré par k¯ (la classe dekmodn) est d'ordred:= n∧kn . Par hypothèse,n−d= 80.
De même, en posant d0 := n∧(k+1)n on an−d0 = 75. d0 est un diviseur de ndonc de 75. De même, d|80. De plus,d0=n−75 =d+ 80−75 =d+ 5.
Enn, nd∧ dn0 =n∧k∧(k+ 1) = 1. La seule possibilité est donc :
(d0, d, n) = (25,20,100).
k est divisible parn∧k= nd = 5 donc k+ 2ne l'est pas.
De même, k+ 1est divisible par 4donc k+ 2est impair.
Ainsi, k+ 2 est premier avec n= 100donc tous les chevaliers reçoivent un heaume.
DansZ/nZ, le sous-groupehki ∩ hk¯ + 1i=h¯5i ∩ h¯4i=h20iest d'ordre 5 donc seuls5chevaliers reçoivent les trois équipements.
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