H10384. Changer les couleurs
Initialement les nsommets d’un graphe sont jaunes. Une opération autori- sée consiste à choisir un sommet et changer sa couleur (de jaune à rouge, ou inversement), ainsi que celles de tous ses voisins. Peut-on obtenir, par un choix convenable de telles opérations, que tous les sommets deviennent rouges ?
Solution
On vérifie aisément que la réponse est affirmative pour un graphe de 2 ou 3 sommets, quels que soient les voisinages entre sommets. Pour généraliser à tout graphe, il est classique de considérer un grapheGqui fait exception, avec le plus petit nombre de sommets.
Pour chacun des graphes G0i obtenus en supprimant le sommet i dans G, il existe un sous-ensemble Ei de sommets à choisir pour changer toutes les couleurs. Si le sommetilui-même en est changé,Ei convient pourG, qui ne fait pas exception : il suffit pour cela qu’un sommet iait cette propriété.
Admettons donc au contraire que pour touti,Ei change toutes les couleurs sauf celle dei. Alorsichange de couleur pour chacun desEj,j6=i.
Si G a un nombre pair de sommets, l’opération appliquant successivement tous les Ek fait changer de couleur un sommet quelconque i un nombre impair de fois (avec lesEj autres queEi). C’est une solution pour le graphe donnéG.
SiG a un nombre impair de sommets, il existe un sommet i de degré pair (ayant un nombre pair de voisins), car la somme des degrés est deux fois le nombre d’arêtes, et les sommets de degré impair sont en nombre pair.
Appliquons lesEj correspondant à tous les sommets j sauf iet ses voisins.
Ces sommetsjsont en nombre pair et lesEjles font tous changer de couleur, laissant i et ses voisins inchangés au terme. En ajoutant l’opération qui choisitiseul, tous les sommets de G changent de couleur.
Dans tous les cas, l’hypothèse d’existence d’une exception conduit à une contradiction.
