h = 90 cm.

D306-Peut-on dormir sous cette tente ? Solution

La tente a la forme de la chute d’un cube dont on a scié un coin par le travers, ce qui donne un tétraèdre dont trois faces sont perpendiculaires entre elles. Comme on connaît les arêtes AB,AC et AD qui sont perpendiculaires deux à deux, on peut calculer les trois autres arêtes BC, BD et CD qui sont les hypoténuses des triangles rectangles ABC, ABD et ACD.A partir de ces trois arêtes, on sait calculer la surface S de la base BCD de la tente grâce à la formule de Héron. Le volume V de la tente peut être calculée soit à partir des trois arêtes a, b et c selon la formule V = abc/6 soit à partir de la base BCD et la hauteur h selon la formule V = Sh/3.

Dès lors h = 3V/S = abc/2S.

Cette méthode revient à utiliser la version à 3 dimensions du théorème de Pythagore qui s’applique aux trois triangles rectangles ABC, ABD et ACD ainsi qu’au triangle BCD . Si on désigne par X,Y,Z et S les aires respectives des triangles ABC, ABD , ACD et BCD, cette extension du théorème de Pythagore se traduit par la relation X²Y²Z² S².

Soient AB=a, AC=b, AD=c, BC=x , BD=y et CD=z.

On a les identités suivantes :

2 2

2 a b

x   , y² a²c² et z² b²c² (1)

2 2 (ab)

4X  , 4Y² (ac)² et 4Z² (bc)² (2) z) y z)(x y z)(x y x z)(

y (x

16S²           d’après la formule de Héron appliquée au triangle BCD

Cette dernière expression après développement partiel peut s’écrire : 2yz)

z y x 2yz)(

z y (x

16S²  ² ² ²  ² ² ² . En tenant compte des relations (1) et (2), il en résulte :

2 2

2

2 (ab) (ac) (bc)

4S    =4(X²Y²Z²)

La hauteur h de la tente est alors définie par l’équation h = abc/2S = abc / a²b²a²c²b²c² Application numérique : a = 215cm, b = 315cm et c = 105cm a²b²a²c²b²c² = 5 955 980 625 = 77175² .On obtient alors h =215*315*105 / 77155, soit

h = 90 cm.

PS 1) Diophante peut dormir ou ramper sous sa tente mais il aura du mal à y circuler à l’intérieur…

2) Diophante n’a pas choisi au hasard la dimension des tiges. Leurs longueurs sont dans les rapports 1 : 2 : 3. Dès lors 4S²(4936)a⁴49a⁴ est toujours un carré parfait et h

s’exprime simplement à partir de la longueur de la tige la plus courte par la relation

h =

6a/7