A 119-Une façon originale de vider un conteneur

A 119-Une façon originale de vider un conteneur Solution

Question n°1

On désigne par A,B et C les trois conteneurs qui contiennent respectivement 3, 8 et 23 litres d’eau.

Cinq versements peuvent être effectués pour vider le conteneur A:

Nota :à chaque versement, on indique par la couleur jaune le conteneur qui reçoit l’eau en provenance du conteneur identifié par la couleur verte.

Mais… on peut faire mieux avec quatre versements et il semble difficile d’améliorer ce score.

Question n°2

On peut vider le 1^er conteneur en dix versements en appliquant l’algorithme présenté dans la 3^ème question mais le nombre de versements n’est pas optimal. Avec de l’empirisme et un minimum de remue-méninge, on arrive à sept versements :

A B C

3 8 23

6 8 20

12 2 20

12 4 18

8 8 18

0 16 18

A B C

3 8 23

3 16 15

6 16 12

12 10 12

0 10 24

Question n°3

Quels que soient a, b et c volumes d’eau exprimés sous forme de nombres entiers avec a < b <

c, on peut vider l’un des conteneurs.

En effet, quand on fait un versement de B dans A, le contenu de A qui était a devient 2*a puis 4*a, puis 8*a,…si on est en mesure de continuer les versements.

Comme b > a, on peut écrire b = q*a + r où q est le quotient de la division de b par a et r le reste. Ecrivons q sous sa forme binaire Bi(q). Par exemple si q=6, Bi(q)=110.

Dès lors, il y a une méthode qui permet à coup sûr de vider un conteneur. On part du dernier chiffre de Bi(q). Si c’est 1, on verse B dans A et si c’est 0, on verse C dans A.Comme c > b par hypothèse, le versement de C dans A est possible. On poursuit les versements de B ou de C dans A selon la valeur des chiffres de Bi(q) jusqu’à ce qu’il reste un volume r dans B qui est strictement inférieur à a. On a donc réussi à transformer une position a,b,c en une position

1 1 1,b,c

a dans laquelle a₁ b₁ c₁ et a₁ a.

Cette méthode n’est pas la plus rapide comme on a eu l’occasion de le vérifier dans la 2^ème question mais elle marche de manière sûre.

On poursuit les versements selon la même méthode. Au prochain round, on obtiendra un conteneur qui aura a litres avec ₂ a <₂ a₁ a… Il arrivera inéluctablement un moment où a _k sera nul.

A B C A B C

37 91 203 37 91 203

74 91 166 37 182 112

148 17 166 37 70 224

148 34 149 74 70 187

296 34 1 148 70 113

295 34 2 35 70 226

295 32 4 70 70 191

291 32 8 0 140 191

283 32 16

267 32 32

267 64 0