Utilisation des éléments finis pour le pricing d'options
Semaine « éléments finis », ENSMP 29 novembre 2006
Jean-Didier Garaud (ONERA, DMSE/LCME)
PlanPlan
Actions et produits dérivés Modèle de Black-Scholes
Hypothèses & équations
Calcul d'Itō
EDP de Black-Scholes
Différentes méthodes de résolution Options « panier »
Sous-jacents Sous-jacents
Exemples de sous-jacents:
Actions
Obligations, PEL
Indices (ex: CAC 40) Devises (ex: $ vs. €)
Sous-jacents Sous-jacents
0 50 100 150 200 250 300 350 400 99.5
100 100.5 101 101.5 102 102.5 103 103.5 104 104.5 105
Temps (jours)
S(t)
Exemples de sous-jacents:
Actions
Obligations, PEL
Indices (ex: CAC 40) Devises (ex: $ vs. €)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 99.5
100 100.5 101 101.5 102 102.5 103 103.5 104 104.5 105
Temps (jours)
S(t)
Modèle de Black-Scholes Modèle de Black-Scholes
Modèle de Black-Scholes (1973)
(prix Nobel en 97, avec Merton)
St valeur du sous-jacent
dérive
volatilité
Wt processus de Wiener (Brownien)
Modèle de Black-Scholes Modèle de Black-Scholes
Hypothèses du modèle :
et µ connus et constants pas de frais d'achat / vente pas de dividendes
arbitrage impossible
Produits dérivés Produits dérivés
Call européen
droit d'acheter un sous-jacent à date T (maturité)
au prix K (strike)
Put européen
droit de vendre un sous-jacent à date T
au prix K
Produits dérivés Produits dérivés
Call européen
protection contre montée de l'action transfert du risque
pari sur une hausse
perte limitée, gain illimité ...
Objectif :
déterminer la valeur d'une option
Valeur du produit dérivé Valeur du produit dérivé
Valeur : C(t, T, St , K)
Valeur d'un call Valeur d'un call
Valeur : C(t, T, St , K)
À maturité : C(t=T) = (ST – K)+
0 25 50 75 100 125 150 175 200
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Payoff d'un call (en T)
Call
S
C
Valeur d'un put Valeur d'un put
Valeur : P(t, T, St , K)
À maturité : P(t=T) = (K – ST)+
0 25 50 75 100 125 150 175 200
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Payoff d'un put (en T)
Put
S
P
Variantes :
binaires, et autres payoffs barrières
américaines asiatiques paniers
...
Produits dérivés Produits dérivés
Valeur : C(t, T, St , K)
À maturité : C(t=T) = (ST – K)+ Problème : valeur aujourd'hui ? Valeur du produit dérivé
Valeur du produit dérivé
Valeur : C(t, T, St , K)
À maturité : C(t=T) = (ST – K)+ Problème : valeur aujourd'hui ? Valeur du produit dérivé
Valeur du produit dérivé
Valeur du produit dérivé Valeur du produit dérivé
Valeur : C(t, T, St , K)
À maturité : C(t=T) = (ST – K)+ Problème : valeur aujourd'hui ?
Encadrements du call Encadrements du call
0 25 50 75 100 125 150 175 200 0
25 50 75 100 125 150 175 200
BorneSup Call
BorneInf
S
C
Put européen 1D Put européen 1D
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Put européen
S
P
Obtention de l'EDP de Black-Scholes Obtention de l'EDP de Black-Scholes
Calcul d'Itō
Obtention de l'EDP de Black-Scholes Obtention de l'EDP de Black-Scholes
Calcul d'Itō
Stochastique
Déterministe
De Black-Scholes à l'équation de la chaleur De Black-Scholes à l'équation de la chaleur
Régularité de la solution
De Black-Scholes à l'équation de la chaleur De Black-Scholes à l'équation de la chaleur
Equation de la chaleur
Existence et
unicité d'une solution
Solution analytique rapide exacte
pas adaptée aux variantes
Différentes méthodes de résolution Différentes méthodes de résolution
Solution analytique Monte-Carlo
facile à mettre en oeuvre adaptable :
si non constants si dividendes
convergence en lourd sur options américaines
Différentes méthodes de résolution Différentes méthodes de résolution
Solution analytique Monte-Carlo
Différences finies
bon taux de convergence adaptable aux variantes
maillage régulier
problème du domaine infini (en S)
conditions au bord
Différentes méthodes de résolution Différentes méthodes de résolution
Solution analytique Monte-Carlo
Différences finies Éléments finis
bon taux de convergence adaptable aux variantes erreur a posteriori
maillage adapté
problème du domaine infini (en S)
conditions au bord
intégration temporelle CFL
Différentes méthodes de résolution Différentes méthodes de résolution
Problème du domaine infini (en S)
Quelle condition en Smax ?
Problème du domaine infini Problème du domaine infini
Conditions au bord pour un put Conditions au bord pour un put
Payoff
Aujourd'hui St=0
Smax
Résolution par éléments finis Résolution par éléments finis
Maillage adapté
0 25 50 75 100 125 150 175 200
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Call
S
C
Résolution par éléments finis Résolution par éléments finis
Maillage adapté
0 25 50 75 100 125 150 175 200
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Call
S
C
Résolution par éléments finis Résolution par éléments finis
Maillage adapté
0 25 50 75 100 125 150 175 200
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Call
S
C
Plusieurs sous-jacents : S1,... SN
Options panier Options panier
Payoff : Valeur :
EDP
Système d'ED stochastiques :
Exemple sur un put
Options panier Options panier
10 000 éléments
Options panier Options panier
Exemple sur un put
10 000 éléments
2 000 éléments
Options panier Options panier
Computational Methods for Option Pricing,
O. Pironneau et Y. Achdou (2005)
Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance
D. Lamberton et B. Lapeyre (1997)
The mathematics of financial derivatives, P. Wilmott, CUP (1995)
EDP et méthodes numériques en finance,
cours du DEA ANEDP, H. Berestycki et O. Pironneau http://www.ann.jussieu.fr/~achdou/
Références Références
