D1855 ‒ Une affaire d'angles
Problème proposé par Jean-Louis Aymé
Soient ABC un triangle A-rectangle tel que CBA = 20°, (O) le cercle circonscrit à ABC, F le point de [AB] tel que ACF = 30°, (U) le cercle tangent à (O) en C, passant par F, E le second point d’intersection de (U) avec (CA).
Démontrer que (BE) est la B-bissectrice intérieure de ABC.
Solution par Patrick Gordon
Soit U le centre du cercle (U). Si ce cercle est tangent à (O) en C, il est centré sur le diamètre BC de (O). Comme (U) passe par C, E et F, on a :
UC = UE = UF
Nous voulons montrer que E divise le côté AC dans le rapport des côtés BA et BC.
Soit à montrer que CE / BC = EA / AB = AC / (AB+BC) = 1 / (tan 70 + 1/cos 70) Donc que :
CE = BC cos 70 / (1 + sin 70) c'est à dire que :
1) CE = AC / (1 + sin 70)
Or CE peut se calculer comme base du triangle isocèle CUE dont les angles à la base sont de 70°. D'où :
CE = 2UC cos 70
Mais UC = UF, lequel peut se calculer dans le triangle UFB : UC = UF = FB sin 20 / sin 80
Quant à FB, il n'est autre que AB – AF, soit : FB = AC (tan 70 – tan 30)
En reportant les écritures intermédiaires, il vient :
2) CE = 2 AC (tan 70 – tan 30) sin 20 cos 70 / sin 80 qu'il faut comparer à l'expression (1) de CE.
En prenant AC pour unité, on trouve que les deux expressions sont égales et valent : 0,5155456
