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HAL Id: tel-00626417

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Méthodes acoustiques auto-calibrées en

émission-réception pour l’étude et le suivi des propriétés

non linéaires des matériaux et l’imagerie

Robin Guillaume

To cite this version:

Robin Guillaume. Méthodes acoustiques auto-calibrées en émission-réception pour l’étude et le suivi

des propriétés non linéaires des matériaux et l’imagerie. Acoustique [physics.class-ph]. Université

François Rabelais - Tours, 2011. Français. �tel-00626417�

FRANÇOIS RABELAIS

DE TOURS

É ole Do toraleSST

Équipe 6du laboratoire: Imagerie et erveau

THÈSE présenté par :

Guillaume ROBIN

soutenue le :31 mai2011

pour obtenir legradede : Do teur del'université François- Rabelais

Dis ipline/ Spé ialité : S ien esde l'Ingénieur /Ultrasons

Méthodes a oustiques auto- alibrées en émission-ré eption pour

l'étude et le suivi des propriétés non linéaires des matériaux

et l'imagerie

Dire teur de Thèse : FEUILLARD Guy

Co-en adrant :VANDER MEULEN François

RAPPORTEURS :

DUQUENNOY Mar Professeur,Université deValen iennes

EL GUERJOUMA Ra hid Professeur,Université duMaine

JURY :

DUQUENNOY Mar Professeur,Universitéde Valen iennes

EL GUERJOUMA Ra hid Professeur,Universitédu Maine

FEUILLARDGuy Professeur,ENIValde Loire

VANDERMEULEN François Maître de onféren es, Université deTours

WILKIE-CHANCELLIER Ni olas Maître de onféren es, Université de

àses erreurs. 

Ce travail de thèse s'est déroulé au sein de l'équipe Cara térisation Ultrasonore et

Piezoéle tri ité dulaboratoire Imagerieet Cerveau.

Je tiens à exprimermes sin ères remer iements à messieurs Guy Feuillard et François

Vander Meulen pour avoir dirigé onjointement e travail. Un grand et haleureux mer i

pour es moments de partageami aux et s ientiques.

Je remer ie vivement monsieur Ra hid El Guerjouma pour m'avoir fait l'honneur de

présiderlejuryainsiquemonsieurMar Duquennoypourleursremarquespertinentessur e

mémoire.Jeremer ieégalementmonsieurNi olasWilkie-Chan ellierpoursaparti ipation

à la soutenan e de thèse et à la ollaboration sur le travail portant sur le thème des

matériauxSol-Gel.

Je voudrais remer ier les membres de l'équipe TIM du laboratoire SATIE pour leur

ollaborationsurleprojetsol-gel.Mer ipourleura ueilpon tuelauseindeleurslo aux,

les olis despré ieux mélanges,et leurs ritiquesautour dutravail présenté.

Mer i à l'ensemble des ollègues de l'équipe pour nos é lats de rire, nos dis ussions

s ientiquesou politiques...

Mer i àl'ensembledes ollègues del'é ole d'ingénieurspourlesoutienet nosé hanges

autourde l'enseignement et desquestionspédagogiques.

Enn, mer i à mes parents et mon frère pour le soutien, à mes amis pour avoir été

ompréhensifsetpourlesbonsmomentspassésensemble,à euxquimesupportentparfois

Introdu tion 21

1 Équations de l'a oustique linéaire et non linéaire 27

1.1 Cara téristiques desondesultrasonores . . . 28

1.2 Appli ationsau suivides propriétés par ultrasons . . . 29

1.2.1 Vitesse desondesultrasonores. . . 29

1.2.2 Atténuation desondesultrasonores . . . 31

1.2.3 Paramètre non linéaire . . . 32

1.3 Équationsde lapropagation d'ondea oustiqueau deuxième ordre. . . 34

1.4 Dénitionet interprétation duparamètre non linéaire. . . 37

1.4.1 Dénitiondu paramètre nonlinéaire

𝐵/𝐴

. . . 37

1.4.2 Interprétation physique du oe ient nonlinéaire . . . 38

1.5 ÉquationKZK et sesapproximations . . . 40

1.5.1 Approximationparabolique . . . 40

1.5.2 Approximationquasi-linéaire . . . 41

1.6 Dé ompositionen sommede gaussiennes . . . 42

1.6.1 Distribution radialede lavitesse . . . 42

1.6.2 Pressionà lafréquen efondamentale . . . 45

1.6.3 Pressionà lafréquen eharmonique

2

. . . 49

2.1 Méthodeauto- alibréedemesureduparamètrenonlinéaire

𝐵/𝐴

en

émission-ré eption. . . 54

2.1.1 Prin ipe . . . 54

2.1.2 Sensibilitésdu transdu teur en onta t . . . 55

2.1.3 Fon tionsde transfert enémission et enré eption . . . 57

2.2 Détermination desparamètres linéaires . . . 60

2.2.1 Expressionde lapressionreçue . . . 60

2.2.2 Céléritédesondes ultrasonores . . . 61

2.2.3 Atténuation desondesultrasonores . . . 61

2.3 Détermination du oe ient non linéaire . . . 64

2.3.1 Expressionde lapressionà lafréquen eharmonique

2

reçue . . . 64

2.3.2 Inuen edu rée teur . . . 66

2.3.3 Expressiondu oe ient nonlinéaire

𝛽

. . . 67

3 Présentation du dispositif expérimental et de sa validation 71 3.1 Montage expérimental . . . 72

3.1.1 Dimensionnement de la ellule demesure . . . 73

3.1.1.1 Matériau onstituant la ellule . . . 73

3.1.1.2 Géométriede la ellule . . . 73

3.1.1.3 Dimensionnement de laparois dela ellule . . . 75

3.1.2 Génération dessignauxultrasonores . . . 76

3.1.2.1 Génération éle triqueharmonique . . . 76

3.1.2.2 Transdu teur et sesfréquen es d'utilisations. . . 78

3.1.3 A quisitiondes signauxultrasonores . . . 80

3.1.3.1 Sondesde mesures . . . 80

3.1.3.2 Systèmed'a quisition . . . 80

3.2 Traitement dessignauxultrasonores . . . 82

3.3 Validationdu dispositif expérimental . . . 85

3.3.1 Mesuresdesparamètres ultrasonores duméthanol . . . 86

3.3.2 Mesuresdesparamètres ultrasonoresde l'eau enfon tion de la tem-pérature . . . 90

4 Appli ation aux milieux en évolution : les matériaux sol-gel 95 4.1 Cara téristiques dumatériau sol-gel . . . 96

4.1.1 Historiquedu pro èdesol-gel . . . 96

4.1.2 Des riptiondu pro édésol-gel . . . 97

4.1.3 Évolution de latempérature lorsdu pro édésol-gel . . . 99

4.1.4 Cinétiquesdumatériau sol-gel . . . 100

4.2 Mesuresdesparamètresvis o-élastiquesdanslesmatériauxsol-gel:Étatde l'art . . . 102

4.3 Mesuresdesparamètres a oustiques :Résultats expérimentaux . . . 106

4.3.1 Proto ole expérimental. . . 106

4.3.2 Eetde la alibration . . . 109

4.3.3 Céléritédes ondesultrasonores . . . 111

4.3.4 Atténuation desondesultrasonores . . . 115

4.3.5 Paramètre non linéaire . . . 119

4.3.6 Temps ara téristiquesextraits desparamètres a oustiques . . . 124

5 Imagerie du paramètre B/A 129 5.1 Étude préliminaire: faisabilité de l'imagerie duparamètre non linéaire . . . 130

5.1.1 Prin ipe delaméthode d'imagerie . . . 130

5.1.2 Fantmesultrasonores . . . 131

5.1.3 Expressiondu hampde pression àlafréquen e harmonique

2

reçu . 132 5.1.4 Mesurespréliminaires ave un transdu teur plan . . . 134

5.1.5 Modi ation des expressions pour le al ul des hamps de pression

d'un transdu teur fo alisé . . . 137

5.2 Dispositifexpérimentalmodié . . . 140

5.2.1 Choixde lafréquen e . . . 140

5.2.2 Champsde pression àlafréquen efondamentale et harmonique

2

. . 141

5.2.3 Validation expérimentale dudispositifmodié . . . 143

5.3 Imagerieduparamètre nonlinéaire

𝐵/𝐴

d'un fantme ontenant deuxuides145

5.3.1 Sensibilité àl'épaisseur de lalame d'eau . . . 147

5.3.2 Sensibilité àl'épaisseur du fantme . . . 149

1.1 Les oe ients

𝐴

𝑛

et

𝐵

𝑛

de la dé omposition en somme de gaussiennes

al ulés àl'ordre

15

. . . 44

3.1 Comparaisondesdiérentes ritèresdeperforman esdesfenêtresd'analyses

pour latransformé de Fourrierrapide. . . 83

3.2 Céléritéetatténuationdesondesultrasonoresdansl'eauetdansleméthanol

issuesdanslalittérature pourune température de

25

𝑜

C. . . 85

3.3 Céléritéet atténuation desondesultrasonoresdansleméthanolissuesde la

littérature et mesurées par laméthode auto- alibrée pour une température

de

25

𝑜

Cet une fréquen e entrale de l'impulsionde

2, 05

MHz. . . 87

3.4 Comparatifdesparamètres et oe ientsnon linéaire extraitsdela

littéra-ture [Coppensetal., 1965 , Beyer,1974, Saito et al.,2006 ℄ ave eux

mesu-réspar laméthode auto- alibréedansdu méthanolà

25

𝑜

C. . . 89

3.5 Atténuation des ondes ultrasonores en Np/m dans l'eau pour trois

tempé-raturesmesuréeet elle issuedelalittérature [Selfridge, 1985 ℄. . . 91

4.1 Temps ara téristiquesissus de nosmesures ultrasonoresdansun matériau

sol-gel ave un taux d'hydrolyse (

ℎ = 4

) pour diérentes températures de

1.1 Distorsionnonlinéairedel'ondeultrasonoreau oursdelapropagationdans

ledomaine temporelet sonimpa t dansle domaine fréquentiel. . . 39

1.2 Amplitude normalisée du hamp de pression al ulée à l'aide de la

dé om-position en somme de gaussiennes : (a) suivant l'ensemble des dimensions

spatiales, (b)suivant l'axede propagation, ( )à lasurfa e du transdu teur

et (d) surl'axe transversale à ladistan e de la limite du hamp pro he du

transdu teur. . . 46

1.3 Comparaisonde la fon tion dedira tion al uléesur l'axede propagation

par l'expression exa te de Lommel (vert) et elle par la dé omposition en

sommede gaussiennes(bleu). . . 48

1.4 Amplitudenormaliséedu hampdepressiondelafréquen eharmoniquereçu

paruntransdu teur(traitplein)etpar unré epteurpon tuel(pointillé)sur

l'ensembledelapropagation al uléeàl'aidedeladé ompositionensomme

degaussiennes. . . 49

2.1 S héma éle trique du transdu teur a oustique dénissant sasour e de

ten-sion et son impédan e éle trique et dé rivant le prin ipe de la méthode

auto- alibrée ainsi que les ourants et tensions de l'entrée et de sortie aux

bornes dutransdu teur. . . 55

2.2 Mesuredel'atténuationdansunmatériausol-gelave (noir) etsans(rouge)

2.3 Propagationdelapressionàlafréquen eharmonique

2

généréeàl'intérieur

dans un mélange eau/méthanol simulant l'état initial du matériau d'étude

al uléegrâ e à ladé omposition en sommes degaussiennesave un

rée -teur(aluminium) dont l'impédan ea oustique estplus grandeque elledu

matériaud'étude. . . 65

2.4 Propagationdelapressionàlafréquen eharmonique

2

généréeàl'intérieur

du matériau d'étude al ulé grâ e à la dé omposition en sommes de

gaus-siennes ave un rée teur (air) dont l'impédan e a oustique est plus faible

que elledu matériaud'étude. . . 67

3.1 S héma dudispositifexpérimental assurantlamesuredesparamètres

ultra-sonoreslinéaires et non-linéairedu matériau pla é àl'intérieur de la ellule

de mesure. . . 72

3.2 Cal ul des hamps de pression à la fréquen e fondamentale normalisé se

propageant dansdeuxmatériauxd'étude ayant une vitessedesondes

ultra-sonores diérentes re ueillis à la surfa e d'un ré epteur pon tuel (a) et de

dimension nie(b). . . 74

3.3 Vueenperspe tivedela elluledemesureparlaméthodeauto- alibréeave

sesdimensions géométriquesen millimètres. . . 75

3.4 Amplitudesduspe tredu ourantd'ex itationendBémissentparle

généra-teurdefon tionsarbitraires oupléave l'ampli ateurdepuissan e(rouge)

et leSNAP (bleu). . . 77

3.5 Réponsesfréquentiellesnormaliséesdutransdu teur(Te hnisoni ,

ISL-0303-VHR)d'uneimpulsionpropagée dans

40

mm d'épaisseurd'eau. . . 79

3.6 Spe tre d'un signal arbitraire ayant une omposante harmonique d'ordre

deux par latransformé de Fourrierrapide utilisant une porte re tangulaire

( ourbe enbleu), lafenêtrede Hann( ourbeenrouge) et lafenêtre at-top

3.7 Signauxtemporelsémisetreçusauxbornesdutransdu teurdansle

métha-nolà

25

𝑜

_𝐶

pourunerampeentensionallantde

30

à

90

Volts:(a)le ourant

d'entrée, (b)latensiond'entrée, ( )le ourant desortieet (d)latensionde

sortie. . . 88

3.8 Pression à l'harmonique d'ordre deux reçue en fon tion de la pression à la

fréquen efondamentale émise au arré dansdu méthanol àla température

de

25

𝑜

C. . . 89

3.9 Mesures de la élérité des ondes ultrasonores dans l'eau en fon tion de la

température dansleuide (en point bleu) et la modélisation du

omporte-ment de la élérité par Lubbers [Lubberset Graa, 1998 ℄ (en point noir).. . 91

3.10 Mesuresdel'atténuationdesondesultrasonoresdansl'eauenfon tionde la

température. . . 92

3.11 Mesuresultrasonoresduparamètre nonlinéairedansl'eau enfon tionde la

température parlaméthodeauto- alibrée (enpointbleu)etpar laméthode

thermodynamiqueproposépar Yoshizumi (en trait pointillé noir). . . 93

4.1 Pro essusde géli ation. . . 98

4.2 Évolution delatempérature au ours delaformation d'un gel(type

ℎ = 4

)

pour une température de onsignede

30

𝑜

C. . . 99

4.3 Cinétiquederéa tionenfon tiondelatempératurepourunmatériausol-gel

àbasede sili eave autaux d'hydrolyseégale à

4

[Ould Ehsseinetal., 2006℄.100

4.4 Comparaisondestemps degéli ation

𝑡

𝑔

(rhéologie de ouette)et

𝑡

𝑣𝑠

(réso-nateuràquartz)enfon tiondutauxd'hydrolysepourdesmatériauxsol-gel

typeTMOSpourunetempératurede onsignede

25

𝑜

C[OuldEhsseinet al.,2006℄.101

4.5 Diagramme du proto ole d'a quisition des signaux éle triques d'entrées et

desortiesauxbornesdutransdu teurainsiquedelatempérature dumilieu

d'étude. . . 107

4.6 Module de la fon tion de transfert du transdu teur en émission pour un

4.7 Céléritédesondesultrasonoresetsonajustementmesurésdansunmatériau

sol-gel typeTMOS ave un tauxd'hydrolysede

4

pour une température de

onsignede

23

𝑜

C. . . 111

4.8 Variations de la élérité ompenséesen température dans unmatériau

sol-gel type TMOS ave un taux d'hydrolyse égale à

4

pour une température

de onsignede

23

𝑜

C. . . 112

4.9 Deuxmesuresde la élérité desondesultrasonoresdansunmatériausol-gel

typeTMOS ave untaux d'hydrolysede

4

pour des onditionsde

tempéra-turede onsigneidentique. . . 113

4.10 Mesuresde la élérité desondesultrasonores dansunmatériau sol-gel type

TMOS ave un taux d'hydrolyse de

4

pour diérentes températures de

onsigne.. . . 114

4.11 Variations de la élérité ompenséesen température dans unmatériau

sol-geltypeTMOSave untauxd'hydrolysede

4

pourdiérentestempératures

de onsigne. . . 115

4.12 Mesurede l'atténuation dansun matériausol-gel type TMOSave untaux

d'hydrolyse égal à

4

au ours de sa formation pour une température de

onsignede

25

𝑜

C. . . 117

4.13 Mesuresde l'atténuation au ours du temps dansun matériau sol-gel type

TMOS ave un tauxd'hydrolyseégale à

4

pour diérentes températuresde

onsigne.. . . 119

4.14 Mesureduparamètrenonlinéairedansunmatériausol-geltypeTMOSave

untauxd'hydrolyseégalà

4

au oursdesaformationpourunetempérature

de onsignede

23

𝑜

C. . . 120

4.15 Mesures du paramètre non linéaire dans un matériau sol-gel type TMOS

ave untauxd'hydrolyseégalà

4

danslesmêmes onditionsdetempérature

de onsignesoit

23

𝑜

C. . . 122

4.16 Mesuresdu paramètre non linéaire

𝛽

un matériau sol-gel type TMOS ave

4.17 Temps ara téristiques issus des paramètres ultrasoniques omparés ave

eux issusde lalittérature pour desmatériaux sol-gel à basede sili e ave

untaux d'hydrolysede

4

pour diérentes températures de onsigne.. . . 125

4.18 Temps ara téristiques issus de la mesure de élérité omparés ave eux

issus de la littérature pour des matériaux sol-gel à base de sili e ave un

tauxd'hydrolyse de

4

en fon tion del'inverse de latempérature de onsigne. 126

4.19 Temps ara téristiques issus de la mesure de l'atténuation omparés ave

eux issusde lalittérature pour desmatériaux sol-gel à basede sili e ave

untauxd'hydrolysede

4

enfon tiondel'inversedelatempératurede onsigne.127

4.20 Temps ara téristiquesissusdelamesureduparamètrenonlinéaire

ompa-résave euxissusdelalittératurepourdesmatériauxsol-gelàbasedesili e

ave un tauxd'hydrolyse de

4

enfon tion de l'inverse delatempérature de

onsigne.. . . 128

5.1 S héma de prin ipe permettant l'imagerie du paramètre non linéaire d'un

fantme ayantdespropriétés vis o-élastiquesdiérentes suivantladire tion

𝑦

. . . 130

5.2 Pressionà lafréquen eharmonique

2

reçue enfon tion du arré de la

pres-sionémise àla fréquen efondamentale dans unfantme d'eau(bleu) et un

fantme de méthanol (rouge) al ulée par la dé omposition en somme de

gaussiennes (trait plein) et mesurée par un transdu teur plan (plus) ave

unetempérature de

20

𝑜

C. . . 135

5.3 Simulation des hamps de pression normalisés à la fréquen e harmonique

2

générés dansla lame d'eau (rouge) et dans le fantme (noir) dans le as

d'un transdu teurplan(pointillé) etd'un transdu teur fo alisé(traitplein)

suivant ladistan ede propagation

𝑧

. . . 136

5.4 Fon tion de dira tion al ulée sur l'axe de propagation à partir de la

dé- omposition en sommede gaussiennesen bleu et par lemodèle de S hmerr

en rouge pour un transdu teur faiblement fo alisé ave une distan efo ale

5.5 S héma dudispositifexpérimentalpermettant l'imagerie duparamètre non

linéaire

𝐵/𝐴

d'un fantme. . . 140

5.6 Amplitudesnormalisées du hamp de pression àla fréquen efondamentale

(bleu) etharmonique àl'ordre deux(rouge) dutransdu teur fo aliséà

1, 2



dansl'eau suivant l'axe

𝑧

mesuréspar l'hydrophone (traitplein) et al ulés

par ladé omposition en sommede gaussiennes(tirets). . . 141

5.7 Cartographiedu hampdepressionàlafréquen efondamentale émis(a)et

àlafréquen eharmonique

2

généré (b)dansl'eau suivant l'axetransversal,

𝑦

, du transdu teur fo alisé à

1, 2

 al ulée par ladé omposition en somme

de gaussiennes. . . 142

5.8 Pressionà lafréquen eharmonique

2

reçue en fon tiondu arréde la

pres-sionàlafréquen efondamentaleémisemesuréedansunfantmed'eau(plus

bleu) et dans le fantme de méthanol (plus rouge); et al ulée par

ajuste-ment de

𝛽

𝑓

à partir de la dé omposition en somme de gaussiennes pour

déterminer leparamètre non linéaire (traitplein). . . 144

5.9 Mesureduparamètrenonlinéaire

𝐵/𝐴

lorsdubalayageverti aldufantme

ontenant deuxuides. . . 145

5.10 Photographiedu fantme entrée surl'interfa e en lesdeux uides. . . 146

5.11 Champs de pression à lafréquen e harmonique

2

générés à travers la lame

d'eauprès-fantme(rouge),danslefantmedeméthanol(noir),àtraversla

lamed'eaupost-fantme(magenta)ettotale(bleu)enfon tiondel'épaisseur

de lalamed'eau. . . 147

5.12 Amplitudesnormalisées du hamp de pression àla fréquen efondamentale

(bleu) et harmonique d'ordre deux (rouge) dans l'eau sur l'axe

𝑧

al ulées

par la dé omposition en somme de gaussiennes pour un transdu teur en

5.13 Champs de pression à lafréquen e harmonique

2

générés à travers la lame

d'eauprès-fantme (rouge),danslefantmedeméthanol(noir),àtravers la

lamed'eaupost-fantme(magenta)ettotale(bleu)enfon tiondel'épaisseur

Le Contrle Non Destru tif (CND) regroupe un ensemble de te hniques et pro édés

aptes à fournir des informations sur la santé, le dimensionnement et la mesure des

para-mètresphysiquesd'unestru ture.Ilassureunesurveillan edespropriétéssansaltérer

l'in-tégritédelastru tureoudumatériau.Con ernantlesappli ationsindustrielles,le ontrle

s'ee tue généralement sur des piè es en fon tionnement et dans leur environnement ou

bien dans le suivi du pro essus de fabri ation. Il permet ainsi de surveiller la stru ture

avantqu'ellen'atteigneunniveaudedégradation ritique.Parmi lesdiérenteste hniques

de CND, les ultrasons o upent une pla e importante en raison de leurs ara téristiques.

En eet, les ultrasons ne sont pas ionisant, ils ne présentent don au un risque pour les

utilisateurs. Deplusleur oûtest relativement modeste par rapportà d'autreste hniques

deCND omme lesrayonsX.Enn, lesultrasons sontfa iles àmettreen oeuvre etne

né- essitentpasdelourdeinfrastru ture.Certainsdispositifsregroupentseulementun apteur

oupléave un appareilde mesureportatifassurant unemobilité et unusagerapide.

An de mettre en oeuvre un ontrle non destru tif, il faut répondre, quelque soit la

te hniqueutilisée,auxobje tifsdeabilitéet dereprodu tibilitéassurantlesperforman es

du ontrle. Le CND peut aussi permettre de lo aliser, d'identier ou de ara tériser les

défauts. Une démar he universelle en quatre étapes est à employer quand une te hnique

CND est utilisée. Elle se dénie par la mise en oeuvre du pro édé physique permettant

le ontrle (ex itation du milieu),l'altération despropriétés physiques par lesdéfauts par

exemple (réponse du milieu), la déte tion de es modi ations par un apteur asso ié

(ré eption et a quisition de la réponse) et enn le traitement des signaux et leurs

inter-prétations(interprétationde laréponse).Lespropriétés physiquesà ontrlersontdénies

Le développement des te hniques ultrasonores doit dans une large mesure son essor

dans les années 60 à l'imagerie médi ale répondant aux besoins d'images pour mieux

as-surerle bienêtredespatients. Lesultrasons onstituent une bonne alternative auxrayons

X du fait qu'ils sont non invasifs. L'é hographie est la méthode la plus utilisée assurant

la mise en image des é hos su essifs des interfa es. Le ontraste informe sur les

ara -téristiques des milieux sondés. L'eet Doppler ouplé à l'é hographie permet d'explorer

les ux sanguins. Ainsi ladire tion et le débit des uxsont déduits des mesures Doppler

ultrasonores. Les te hniques s'avèrent être également performantes pour des appli ations

industrielles(matériauxdégradés,déte tiondemi rostru tures).Apartirdel'é hogramme

d'unestru turesesdimensionspeuventêtredéterminées,seséventuelsdéfautsdestru ture

oudefatigue êtreidentiés.Desmesurestemporellesrendent possibleslesuividesdéfauts

dansletemps.

La métrologie ultrasonore reposesur la mise en oeuvre d'outils permettant la mesure

desgrandeurs : vitesse, atténuation et paramètre nonlinéaire. Destransdu teursassurent

l'émissionetlaré eptiondusignala oustiquesondantlemilieud'étude.Dans etteétude,

l'instrumentation ultrasonore hoisie est di tée par la volonté d'a éder aux grandeurs

absoluesduparamètre non linéaire.La alibrationdutransdu teur,permettant lamesure

du hampde pression absolu,estdon né essaire.

Deux grands prin ipes de méthode peuvent assurer lamesure absolue des paramètres

a oustiques : laméthode à deuxépaisseurs et elled'insertion-substitution. Une première

méthode onsiste à mesurer le niveau de la génération harmonique sur des é hantillons

d'épaisseurs diérentes. La variablede l'étudedans e asest ladistan eentrel'émetteur

etleré epteur.Lase ondeméthodereposesurlamesureultrasonoreàépaisseur onstante

ave un milieu de référen e. La distan e entre émetteur et le ré epteur est déterminé et

xé pour l'ensemble des mesures. Le milieu de référen e est onnu. Cependant, sa harge

a oustiquedoitêtre trèspro hede elleétudiée pour s'assurerqueles ara téristiquesdes

transdu teurssoient in hangées [Bou Mataretal., 2001 ℄.Ces deuxprin ipespeuvent être

sontpla és departetd'autre dumilieud'étude pour émettreetre evoirles ondes

ultraso-nores.Dansledeuxième,untransdu teurgarantit lesdeuxfon tionsémissionet ré eption

après rée tiondesondessur unrée teur a oustique.

Laméthoded'insertionsubstitutionave auto- alibrationdutransdu teuren

émission-ré eption est privilégiée dans notre étude [VanderMeulen etHaumesser, 2008 ℄. Ce hoix

s'ee tuesuivant les appli ationsvisés.En eet, ette méthode a pour but de suivre

tem-porellement les propriétésa oustiques dematériauxen évolution. Leprin ipe de mesureà

deuxdistan es s'avèredi ile à mettreen oeuvre dans e asparti ulier. La ombinaison

duprin ipe d'insertion-substitution et del'émission-ré eption permet de diviserlevolume

demesuresansrédu tiondeladistan edepropagationdesondes.Dansnotreétude,le

mi-lieuderéféren eestlemilieud'étudeàsoninstantinitial(

𝑡 = 0

).Ilestdénietbien onnu

par une étude préliminaire. Ainsi, l'évolution de la hargea oustique dutransdu teur est

pris en ompte.

An dedéterminerles hampsde pressionsàlafréquen efondamentaleet harmonique

deux, une pro édure de alibration du transdu teur est réalisée aux deux fréquen es. La

réponsed'un transdu teurdépend delataillede l'élément a tif,delafréquen eutiliséeet

de la harge a oustique en surfa e. La pro édure de alibration assure la ara térisation

desfon tionsdetransfertsdu transdu teurémetteur etré epteurauxdeuxdiérentes

fré-quen es. Le niveau absolu de la pression émis dans le milieu et reçu par le transdu teur

après propagation sont déduits. Lespro essus de formation dumatériau en question

pro-duitobligatoirement uneévolutiondela hargea oustiquedon desfon tionsdetransferts

dutransdu teur. Ilest don important de prendreen ompte lesfon tionsde transfert du

transdu teur à haque instant ar lemilieuest en formation.

Dans ette étude,lesultrasonssont hoisispoursuivrel'évolutiondespropriétés

vis o-élastiquesdematériau. Suivreau oursdutempsdespropriétésmé aniquesaideàla

om-préhension de la formation du matériau ainsi que sonvieillissement. La onnaissan e des

mé anismesdeformationdumatériaupermetdurantlafabri ationd'agirsurlespro essus

justiéean de onsidérer lesdiérents ontraintes lié à unsuivi desparamètres linéaires

et nonlinéaired'un milieudontlespropriétés vis o-élastiquesévoluent au ours dutemps.

Un dispositif expérimental a été onçu an de répondre à l'ensemble des ontraintes

liéàl'instrumentationultrasonore utilisée.Leshypothèsesthéoriques, omme parexemple

l'hypothèsed'ondeplane,de générationee tuéedanslerégimequadratique, ontétéprise

en ompte dans etteétude. Ceshypothèsesimposent un ertainnombre de ontrainteset

de pré autions expérimentales seréper utant sur les hoix te hnologiques de la ellule de

mesure, les dimensions doivent permettre la génération umulative de la pression

harmo-nique deux après unaller et retour dansle milieu d'étude. Pour ela, lefond de la ellule

de mesure onstitue d'un rée teur dont l'impédan e a oustique est plus élevé que elle

que le matériau d'étude [Breazeale et Lester, 1961℄. La dimension des parois de la ellule

de mesure permet de dé oupler temporellement les signaux a oustiques s'étant propagés

uniquement dans le matériau d'étude, de eux propagés dans le matériau d'étude et le

rée teur. L'étude se fo alise sur la mesure du paramètre non linéaire d'un matériau en

évolution. Le niveau de nonlinéarité parasite doit être très faible devant la nonlinéarité

provenant du milieu d'étude qu'elle provienne de la génération éle trique. An d'évaluer

leniveau d'harmoniqueparasite,ilestdémontré ommeplusfaible quel'harmonique deux

généré dansle milieu.Le hoix te hnologique de lasour e de tension impliqueune sour e

faiblement nonlinéaire onçuepour egenred'étude.Untraitementdesdonnéesapproprié

permet deréduire le rapportsignalà bruit.

La première appli ation onsiste à suivre l'évolution de matériaux sol-gel à base de

sili e. Le pro édé sol-gel ara térise les matériaux entre les solutions et les solides. Ces

matériauxseformentpardespro essus himiquespermettantleurpassagedel'étatliquide

àl'étatsolide.Ensebasantsurl'étatdel'artdusuividespropriétés desmatériauxsol-gel,

les ara téristiquesdu matériaupeuvent êtreextrait an de respe ter les onditionsde sa

formation.Enprenanten ompteleseetsdela alibrationdutransdu teur,lesparamètres

ultrasonores linéaires( éléritéet atténuation) et non linéaire peuvent être déterminés. De

esparamètressont extraitslestemps ara téristiquesàlaformationdumatériau. Ilssont

omparésles temps de ara téristique lié àlaformation ave elle delalittérature.

pa-ramètre non linéaire à partir de la méthode auto- alibré pré édemment mise en oeuvre.

Lespropriétés du milieu d'étude nevarient plusdans letemps maissuivant ses dire tions

géométriques.Ce hoix estmotivépour mettreenoeuvreune imageriedu paramètre

𝐵/𝐴

pro he des onditions présentées dans la première appli ation. Bien que le prin ipe reste

identique,desévolutionsdudispositifexpérimentalsontné essaires.Lematériaun'estplus

dire tementen onta tave letransdu teur:unelamed'eauestinter aléentrele

transdu -teuretlefantmepermettantundépla ementdutransdu teurdansleplanperpendi ulaire

à lapropagation (en mode C-s an).Ce dépla ement assurela formation de l'image.Pour

avoiruneimagelo aleduparamètrenonlinéaireetminimiserl'impa tdelalamed'eausur

ladétermination duparamètre, untransdu teur fo aliséest utilisé.Une étudede latâ he

fo aledutransdu teurassuresesdimensionsainsiquele hoixdeladistan ed'exploration.

Un fantme formé de deux milieux homogènes est exploré. Une image du paramètre non

Équations de l'a oustique linéaire et

non linéaire

Ce premier hapitre permet, après un état de l'art des appli ations au sui i des

pro-priétés par ultrasons, d'exposer les équations de la propagation d'une onde a oustique à

l'ordre deux dans un milieu uide. A partir de l'équation de propagation non linéaire, le

paramètre non linéaire est déni. L'équation KZK déni par Zabolotskaya, Khokhlov et

Kuznetsovpermetdeprendreen omptelesdiérentseetsliésàlapropagationd'uneonde

a oustiquedansunuide. Ces eetssont ladira tion, l'atténuation et lanonlinéarité du

milieu.Lasolutionestdé ritedanslabasedesgaussiennes.Ladé ompositionde ettebase

1.1 Cara téristiques des ondes ultrasonores

Les ultrasons sont des ondes mé aniques qui se propagent ave des vitesses

dépen-dantesdes ara téristiquesdumilieu.Ces ondesmé aniquessontgénéréespar unesurfa e

vibrante, typiquement untransdu teur éle tro-a oustique [Royer et Dieulesaint, 1999 ℄ qui

assurent l'émission et la ré eption des ondes a oustiques. Le CND ultrasonore utilise le

plus souvent des transdu teurs onstituésde éramiques piézoéle triques. Cet eet

piézo-éle trique,dé ouverten

1880

, estlapropriétépour ertainsmatériauxdesedéformersous

l'a tion d'un hampéle triqueet inversement.

Lesondesultrasonoresgénéréesonttypiquementdesfréquen esallantdela entainesde

kilohertzàladizainedemégahertz. Ensepropageant,l'ondemé anique ainsiengendréese

modieenfon tiondelanaturedumilieuren ontré.Envolumedeuxtypesdepolarisation

existent:lesondeslongitudinalessepropageantdanslamêmedire tionqueledépla ement

desparti ules;etlesondestransversalesave unedire tiondevibrationperpendi ulaireàla

propagation.Les ara téristiquesde esondesdépendentdutypedeliaisonsexistantentre

lesmolé ules. Ainsi,dansun solidelesdeuxondessontprésentesquelquesoit lanaturede

l'ex itation mais dans un uide, seule la vibration longitudinale prédomine. Con ernant,

l'onde transversale, la propagation est assimilable à un isaillement de pro he en pro he.

Lapropagationde l'ondelongitudinale est omparableàdesdépla ementsde ompression

et de dé ompressionde lamatière.

La propagationdel'onde a oustiquedépenddelanature dumilieu.L'ondea oustique

se propage à une vitesse dépendante les propriétés intrinsèques du matériau : ladensité,

le oe ient depoisonet lemoduled'élasti ité(solide) ou le oe ient de ompressibilité

(uide).Dans unemajorité desétudes, ladensitédumatériauest onsidérée onstante. A

densité onstante, le Module de Young s'évalue à partir de la onnaissan e de la vitesse

desondesultrasonores danslematériau.

Lesvibrationsdel'ondea oustiques'amortissentau oursdelapropagationdansle

ma-tériau.Cettediminutiond'amplitudeetd'intensitéa oustiqueestplusgénéralement onnue

sousle termed'atténuation desondes a oustiques.Pour une milieuhomogène, elle résulte

la relaxationmolé ulaire. Un autre phénomène à prendre en ompte dans la propagation

a oustique est la dira tion setraduisant par une répartition spatiale de l'énergie

a ous-tiquenonuniforme.La générationdesondesa oustiquess'ee tuepar untransdu teurde

dimensionnie. Letransdu teurestsouvent onsidéré omme assimilableàunpiston plan

quirayonne danslemilieu suivant une dire tivitéliée à es ara téristiques dedira tion.

L'investigation non linéaire regroupe de nombreuses méthodes qui ont montré leurs

apa ités notamment à la déte tion de phénomènes pré o es liés au vieillissement des

matériaux.Cesméthodesreposentsurlagénérationetl'analyseharmonique.Biensouvent,

l'hypothèse des faibles perturbations est faite en a oustiquenon linéaire. La déformation

del'onde ultrasonore estfaible nevapasjusqu'àl'apparition d'unedis ontinuité(ondede

ho ).

Les ultrasons sont lairement sensibles aux propriétés vis o-élastiques des matériaux.

L'investigation des paramètres a oustiques linéaires et non linéaire permet d'obtenir des

informationssur l'évolution stru turelle au oursdu temps,du milieu ontrlé.

1.2 Appli ations au suivi des propriétés par ultrasons

Lesuiviultrasonoredespropriétésvis o-élastiquesd'unmatériau onsisteenle ontrle

spatialettemporeldesgrandeursphysiques(vitesse,atténuationetparamètrenonlinéaire).

Dans e paragraphe, un état de l'art des mesures ultrasonores assurant la détermination

de grandeurs physiques estee tué.

1.2.1 Vitesse des ondes ultrasonores

La vitesse des ultrasons est l'un des paramètres les plus utilisés dans le domaine de

l'a oustique ar fa ilement mesurable. Généralement, elle se détermine par une simple

mesure de temps de vol en émission-ré eption ou en transmission. Citons Slefridge qui a

mesurélesvitessesdesondesultrasonoresdansungrand nombre dematériauxà partirde

trainsd'ondes ultrasonoresen émission-ré eption [Selfridge,1985 ℄.

L'analyse des é hos su essifs permet de déterminer la vitesse des ondes ultrasonores

leurvitesse. Eneet,lavitesseétant l'image dela ompressibilitédumilieu,le lassement

s'ee tuesurl'image du moduled'élasti ité.

Le hangement de propriété de liquide à solide peut-être déterminé par des mesures

ultrasonores.Unemesuredetempsdevolgrâ eàuneméthodeenmodeémission-ré eption

est utilisée dans le suivi de l'évolution de la ongélation [Sigfusson etal., 2004℄. L'onde

ultrasonoresepropageenpar ourant lesdiérentes ou hesdelamatière ongeléeounon.

Ainsi, une interfa e née d'une ou he dont le milieu est ongelé et elle dont l'état est

liquide.A etteinterfa e,lesondesultrasonoresseréé hissentproduisantdiérentsé hos

d'aller-retour. L'analyse de es é hos su essifs détermine l'évolution de la ongélation de

lastru ture.Ce suivide la ongélation trouve uneappli ation dansl'hygiènealimentaire.

Denombreusesappli ationsissuesdel'industrieassurentlesuividespropriétésau ours

delaformationd'unmatériau.Lafabri ationdematériauné essitela onnaissan edel'état

du pro essus à tout moment. Les résines epoxy sont un exemple du suivi de la

polymé-risation par des mesuresde vitesses ultrasonores [Rokhlin etal., 1986℄[Sidebottom, 1993℄

[Nguyen etal., 1996 ℄.L'analysede la vitesseau ours de la polymérisation permet de

dé- rire le omportement de larésine. Le systèmeest ex itéà diérentes fréquen es,

l'ampli-tudedelavitesseapparaîtdépendantedelafréquen epourun omportement omparable.

La détermination de la vitesse ultrasonore permet de revenir aux propriétés rhéologique

dansle iment [Labouret et al.,1998 ,Reinhardt et al., 2000 ℄.

De la vitesse et de l'atténuation, le module omplexe de isaillement est déterminé

assurantlelienentrelastru tureetlesmé anismesdeformation.L'étudedela inétiquede

la oagulation dulait estun exemple d'appli ation dire t [O henduszko et Bu kin,2010℄.

Lemodulede isaillement omplexeestextraitdusuividel'impédan emé aniquemesurée

par unrésonateurà quartz[Ould-Ehsseinet al.,2006 ℄.Lemodulevis o-élastiqueassurent

lesuivi par exemplede laformation duyaourt.

Leste hniquesDopplerultrasonoressontutilisées pour mesurerlesgrandeurs dansdes

systèmesdeprodu tionsenux.Grâ eàdessériesd'émetteurset deré epteurspla éesde

partetd'autreduuideen ir ulation,lavitesseduuideestdéduiteainsiqueladire tion

duux[Luque de Castro et Capote, 2007 ℄.Dela onnaissan edelavitessedesuides,une

Des mesures devitesse permettent non seulement de omprendre l'évolution du

maté-riau mais aussi d'appréhender l'apparition de ssures dégradant es performan es. Il est

possible defatiguer unmatériau pardesban sde solli itation mé anique reproduisant un

vieillissementa éléré.Dansle asd'uneplaqued'aluminium,la roissan edessuresaété

suivi par desondes de surfa e [Rokhlinet Kim,2003 ℄. Lassure estsurveillée à partir de

laréexiona oustique.Lesuividelavitessedanslebétonassurele ontrle del'altération

de lastru tureau oursdu temps [Breysse et Abraham,2005 ℄.

1.2.2 Atténuation des ondes ultrasonores

Lesmesuresdel'atténuationdesondesultrasonoressontgénéralement oupléesà elles

delavitesse.Cependant,l'atténuation faitl'objetdemoinsd'appli ations.Eneet,

l'atté-nuationdesondesultrasonoresestparfoisdi ileàmesureretàrelieràlanaturephysique

des phénomènes en jeu. La di ulté de mesure s'explique par deux raisons. La première

est lafaible atténuation desondes ultrasonores dansles milieux ontrlés. La se onde est

ladépendan edel'atténuationàlafréquen ed'observation.Eneet,l'atténuation

ultraso-noredesuideshomogènesestsouventproportionnelleau arrédelafréquen ed'ex itation

quand elle des solides est à la fréquen e et elle des matériaux diusants au ube de la

fréquen e [Selfridge,1985 ℄. Ladi ulté de lamesure réside àla fois pour lesfaibles

atté-nuations maisaussipour les fortes atténuations. Pour lesfaibles atténuations, les signaux

ultrasonoresvarientpeupouvantintroduireunbiaisdansladéte tiondesamplitudes.Dans

le as des atténuations fortes, la di ulté n'est plus de mesurer la variation d'amplitude

entredeux signaux mais ladéte tion du signal lui-même. Un ompromissur la fréquen e

d'utilisation doit être réalisé pour assurer une atténuation déte table et une propagation

ultrasonore.

Le suivi des variations de l'atténuation ultrasonore lors de la formation de gels

a ry-liques a été mise en oeuvre par Ba ri [Ba ri et al.,1980 ℄. Dans ette étude, la fréquen e

d'ex itationestdel'ordredela entainedemégahertzassurantuneréponsediérenteentre

laphasesolet laphasegel.Ainsi,un hangement d'état delatransitionsol-gelestétablie.

Dansle asderésineépoxy,lesuividelapolymérisations'ee tueaussipardesmesures

L'étude de hangement de propriétés vis o-élastiques intéresse aussi le domaine

mé-di al dans le adre de l'imagerie. Le suivi s'ee tue par exemple sur la oagulation du

sang[Calor-Filho et Ma hado,2006 ℄. Lesauteurs sefo alisent surla mesurel'atténuation

du plasma sanguin durant la oagulation. Le système expérimental est basé surdes

te h-niquesdemesuresenémission-ré eption.D'autreste hniques ommel'élastographiepermet

de omprendre les eets de la variation d'hémato rite ou de l'addition d'héparine sur la

oagulation dusang[Gennisson et al.,2006℄.

1.2.3 Paramètre non linéaire

L'investigationnonlinéairesedé linesousplusieurs formes.L'objetdel'étudeseporte

sur les phénomènes harmoniques umulatifs suivant la distan e de propagation de l'onde

ultrasonore. Une onde ultrasonore mono hromatique estpropagée dans unmilieu d'étude

étant non linéaire.Il perturbe l'onde àsonpassage produisant une génération des

ompo-santes harmoniquesdanslespe tre de l'onde ultrasonore.

Dans les uides, le paramètre non linéaire

𝐵/𝐴

est le rapport entre les oe ients

quadratique et linéaire des termes de la série de Taylor utilisé dans l'équation d'état du

milieu onsidéré. Ainsi, lesondesultrasonorestraversant lemilieu subissent unedistortion

produisantunegénérationd'harmoniquessepropageantauseindumilieu.Cettegénération

se umule au ours dela distan ede propagation.

Les premières mesures du paramètre non linéaire par des méthodes d'amplitudes

-nies ont été ee tuées dansdesmilieux biologiques[Law et al.,1981 ℄.A lamême époque,

desméthodes alternatives, omme par exemple desméthodes thermodynamiques,ont été

mises en ÷uvre [Zhu etal., 1983 ℄. Ces prin ipes ont montrés que la pression est

dépen-dante de la vitesse ultrasonore e qui permet une investigation du matériau et assure sa

ara térisation.Leparamètrenonlinéaireaétémesurédansdesuidespard'uneméthode

en émission-ré eption[Saito etal., 2006 ℄.Ladétermination du paramètre nonlinéaire

im-poseune onnaissan e delavitesseet del'atténuation dumilieu d'étudedire tement lié à

l'expressiondes équationsde propagationau se ond ordre.

L'investigation non linéaire ultrasonore a montré qu'il était possible de déte ter de

stru turelle dutype vieillissement oussure.

Cette évolution du paramètre non linéaire en fon tion de la stru ture du milieu a été

miseenéviden epar exemple danslasédimentation [Hovem, 1979 ,Kimet Yoon,2009 ℄.Il

a été estimé dans l'eau saturée en sédiment montrant que l'évolution du paramètre non

linéaire est orrélée àla densitédesédiment présent dans l'eau.

Le suividupro essusdel'hydratation dubétonaétéee tuépardesméthodelinéaire

et non linéaire [Van DenAbeele etal., 2009 ℄. Ils montrent que l'évolution du paramètre

nonlinéaire peut êtrelogiquement orréléeà l'évolution de lastru turemé anique lié aux

réa tions himiques et auxpro essusmé aniques.

Au sein de l'équipe, des études non linéaire ont été menées sur la reprise d'hydrique

derésinesphénoliques[Fortineau etal., 2006 ,Fortineau et al.,2008 ℄.Lamesurefait

appa-raîtreune sensibilitédu paramètrenon linéaire à l'évolution de laquantité d'eau.

Leparamètrenonlinéaireaétéestimédansdestissusbiologiques(foiedepor )en

fon -tionde l'évolution de latempérature [Liu etal., 2008 ℄.Lesauteurs montrent lapossibilité

defaireuneimageenmodeC-s anduparamètrenonlinéaireparuneméthode

DEUXIÈMEORDRE

1.3 Équationsdela propagationd'ondea oustiqueaudeuxième

ordre

Dans un milieu homogène et ompressible, les ondes a oustiques exer ent une

défor-mation d'un volume élémentaire autour deson point d'équilibre qui sepropage de pro he

en pro he. Cette déformation est onsidérée innitésimale. L'équation de propagation du

hamps a oustique dans un milieu uide thermo-visqueux est dé rite en exprimant les

quatre équations : onservation de la masse, onservation de la quantité de mouvement,

onservationdel'énergie et l'équationd'état.Undéveloppement de eséquations àl'ordre

deuxpermet de dé rirelagénération d'harmoniquedansl'équation depropagation.

 Conservation de lamasse:

𝐷𝜌

𝐷𝑡

+ 𝜌∇ ⋅ 𝜐 = 0,

(1.1)

où

𝜐

est le ve teur vitesse du uide,

𝜌

la densité du uide et

𝐷𝜌

𝐷𝑡

=

∂𝑡

∂

+ 𝜐 ⋅ ∇

la dérivée

temporellematérielle.

 Conservation de laquantité demouvement :

𝜌

𝐷𝜐

𝐷𝑡

= ∇ ⋅

T

.

(1.2)

T estletenseur de ontraintes et s'exprime par:

∇ ⋅

T

= −∇𝑃 +

(

₁

3

𝜂 + 𝜉

) ∇ (∇ ⋅ 𝜐) +

𝜂∇

2

_𝜐

où

𝜂

et

𝜉

sont les oe ientsde vis osité de isaillement et devolume.

 Conservation de l'énergie :

𝜌𝑇

𝐷𝑠

𝐷𝑡

= 𝜅∇

2

_{𝑇 + 𝜉 (∇ ⋅ 𝜐)}

2

₊

1

2

𝜂

( ∂𝜐

𝑖

∂𝑥

𝑗

+

∂𝜐

𝑗

∂𝑥

𝑖

−

2

3

𝛿

𝑖𝑗

∂𝜐

𝑘

∂𝑥

𝑘

)

2

,

(1.3)

où

𝑠

estl'entropie,

𝑇

latempérature et

𝜅

la ondu tivité thermique.

 Équationd'état :

Dans le as général, la u tuation de pression n'intervient pas dans les é hanges

ther-miques.Dansle asdespro essusultrasonores,latransformationestsupposéeadiabatique

et l'équationd'état s'é rit :

DEUXIÈMEORDRE

L'équation depropagationdé rivantles hamps a oustiquesd'amplitudenieà l'ordre

deux peut-être al ulée en onsidérant l'onde ultrasonore omme une petite perturbation

autour des valeurs au repos (notée ave un indi e 0) des grandeurs ara téristiques du

milieu,

𝑃 = 𝑃

0

+ 𝑝

,

𝜌 = 𝜌

0

+ 𝜌

′

,

𝑇 = 𝑇

0

+ 𝑇

′

,

𝑠 = 𝑠

0

+ 𝑠

′

,

𝜐 = 𝜐 + 𝜐

′

, où les variables

𝑝

,

𝜌

′

,

𝑇

′

,

𝑠

′

et

𝜐

′

représentent respe tivement les u tuations de pression, de densité, de

température, d'entropie et de vitesse. En substituant es relations dans les équations de

onservationde lamasseet delaquantité demouvement,nousobtenons respe tivementà

l'ordredeux :

∂𝜌

′

∂𝑡

+ 𝜌

0

∇ ⋅ 𝜐

′

= −𝜌∇ ⋅ 𝜐

′

− 𝜐

′

⋅ ∇𝜌

′

,

(1.5)

𝜌

0

∂𝜐

′

∂𝑡

+∇𝑝 =

( 4

3

𝜂 + 𝜉

)

∇

2

𝜐

′

+

( 1

3

𝜂 + 𝜉

)

∇×∇×𝜐

′

−

1

2

𝜌

0

∇

2

_𝜐

′

−𝜌

′

∂𝜐

′

∂𝑡

+𝜌

0

𝜐

′

×∇×𝜐

′

.

(1.6) Enabsen edetourbillons

∇×𝜐

′

= 0

.Ainsi,lapropagationestsupposéeirrotationnelle.

La deuxièmeéquation sesimplie:

𝜌

0

∂𝜐

′

∂𝑡

+ ∇𝑝 =

( 4

3

𝜂 + 𝜉

)

∇

2

𝜐

′

₋

1

2

𝜌

0

∇

2

_𝜐

′

− 𝜌

′

∂𝜐

′

∂𝑡

.

(1.7)

Loindessurfa essolides,l'équationde onservationdel'énergie devientàl'ordredeux:

𝜌

0

𝑇

0

∂𝑠

∂𝑡

= 𝜅∇

2

_𝑇

′

.

(1.8)

Enn, l'équation d'état du uide autour de son état d'équilibre (

𝜌

0

,

𝑠

0

) devient par

développement de lasériede Taylorennégligeant lestermes d'ordre trois:

𝑝 = 𝑐

2

₀

𝜌

′

+

𝑐

2

0

𝜌

0

𝐵

2𝐴

𝜌

′

₂

+

( ∂𝑃

∂𝑠

)

𝜌,0

𝑠

′

.

(1.9)

Le paramètrenonlinéaire,

𝐵/𝐴

,représenteleterme quadratiquedudéveloppementde

lasériede Taylor.Ce terme seradis uté dansleparagraphe suivant.

Ces équations développées à l'ordre deuxsont introduites dansles membres de droite

deséquations (1.5) et (1.6).

∂𝜌

′

∂𝑡

+ 𝜌

0

∇ ⋅ 𝜐

′

=

1

𝜌

0

𝑐

4

0

∂𝑝

2

∂𝑡

+

1

𝑐

2

0

∂𝐿

∂𝑡

,

(1.10)

DEUXIÈMEORDRE

𝜌

0

∂𝜐

′

∂𝑡

+ ∇𝑝 = −

1

𝜌

0

𝑐

2

0

( 4

3

𝜂 + 𝜉

)

∇

∂𝑝

_∂𝑡

− ∇𝐿,

(1.11)

ave

𝐿

, ladensitéLagrangienne, dénie par :

𝐿 =

1

2

𝜌

0

𝜐

′

₂

−

𝑝

2

2𝜌

0

𝑐

2

0

.

(1.12)

En soustrayant legradient de l'équation(1.10) de ladérivée par rapport au temps de

l'équation(1.11), nousobtenons l'expressionsuivante :

∂

2

𝜌

′

∂𝑡

2

− ∇

2

_{𝑝 =}

1

𝜌

0

𝑐

4

0

∂

2

𝑝

2

∂𝑡

2

+

(

∇

2

+

1

𝑐

2

₀

∂

2

∂𝑡

2

)

𝐿 +

1

𝜌

0

𝑐

4

0

( 4

3

𝜂 + 𝜉

) ∂

3

𝑝

∂𝑡

3

.

(1.13)

D'autre part, en ombinant les équations d'état (1.9) et de onservation de l'énergie

(1.8),nouspouvonsen déduire l'expressionreliant lavariationde densité

𝜌

′

à lavariation de pression

𝑝

.

𝜌

′

=

𝑝

𝑐

2

₀

−

1

𝜌

0

𝑐

4

₀

𝐵

2𝐴

𝑝

2

₋

𝜅

𝜌

0

𝑐

4

₀

(

1

𝐶

𝜐

−

1

𝐶

𝑝

) ∂𝑝

∂𝑡

,

(1.14)

ave

𝐶

𝜐

et

𝐶

𝑝

sontrespe tivementles apa ités aloriquesàvolumeetpression onstante.

En substituant ettedernièreexpressiondansl'équationpré édente,l'équationde

pro-pagationnonlinéaires'exprimesouslaformedéterminéeparAanonsen[Aanonsenet al.,1984 ℄.

∇

2

𝑝 −

_𝑐

1

2

0

∂

2

𝑝

∂𝑡

2

+

𝛿

𝑐

4

0

∂

3

𝑝

∂𝑡

3

= −

𝛽

𝜌

0

𝑐

4

0

∂

2

𝑝

2

∂𝑡

2

−

(

∇

2

+

1

𝑐

2

0

∂

2

∂𝑡

2

)

𝐿,

(1.15)

où

𝛿

estladiusivité duson:

𝛿 =

1

𝜌

0

( 4

3

𝜂 + 𝜉

)

+

𝜅

𝜌

0

(

1

𝐶

𝜐

−

1

𝐶

𝑝

)

.

(1.16)

L'évolution tridimensionnelle du hamp de pression dans un uide est dé rite par

l'équation (1.15). Les termes de ette équation représentent respe tivement

l'atténua-tion (

𝛿/𝑐

4

0

⋅ ∂

3

𝑝/∂𝑡

3

), les eets non linéaires umulatifs (

−𝛽/𝜌

0

𝑐

4

0

⋅ ∂

2

𝑝

2

/∂𝑡

2

) ou lo aux (

(

∇

2

+

_𝑐

1

2

0

∂

2

∂𝑡

2

)

1.4 Dénition et interprétation du paramètre non linéaire

1.4.1 Dénition du paramètre non linéaire

𝐵/𝐴

Le paramètre non linéaire a oustique

𝐵/𝐴

est le rapport des termes quadratiques et

destermeslinéairesdansledéveloppementensériesdeTaylordel'équationd'état liant les

variationsde pressionauxvariations demassevolumique orrespondant àlaréponsedela

solli itation dumilieu par une onde a oustique.

Le pro essusde propagationd'uneonde hautefréquen e(pression

𝑝

, massevolumique

𝜌

ou vitesse parti ulaire

𝑣

) est onsidéré omme un phénomène isentropique. Le

dévelop-pement en série de Taylor de l'équation d'état

𝑃 = 𝑃 (𝜌, 𝑠)

, à entropie

𝑠

et à densité

onstantes, s'é rit :

𝑝 = 𝑃 − 𝑃

0

=

( ∂𝑝

∂𝜌

)

𝜌

0

,𝑠

0

(𝜌 − 𝜌

0

) +

1

2!

( ∂

2

_𝑝

∂𝜌

2

)

𝜌

0

,𝑠

0

(𝜌 − 𝜌

0

)

2

+ ... ,

(1.17)

𝑃

0

et

𝜌

0

sont respe tivement les valeurs de la pression et de la densité à l'équilibre. Les

dérivéespartiellesdel'équation(1.17)sontévaluéespourl'étatnonperturbé(

𝜌

0

, 𝑠

0

).Cette

équationdevient :

𝑝 = 𝑃 − 𝑃

0

= 𝐴

( 𝜌

′

𝜌

0

)

+

𝐵

2!

( 𝜌

′

𝜌

0

)

2

+ ... ,

(1.18) où

𝜌

′

= 𝜌 − 𝜌

0

est lavariationde massevolumique et

𝐴 = 𝜌

0

( ∂𝑝

∂𝜌

)

𝑠,0

= 𝜌

0

𝑐

2

0

,

(1.19) et

𝐵 = 𝜌

2

₀

( ∂

2

_𝑝

∂𝜌

2

)

𝑠,0

.

(1.20)

Ainsi, leparamètre nonlinéaire

𝐵/𝐴

s'é rit souslaforme :

𝐵

𝐴

=

𝜌

0

𝑐

2

0

( ∂

2

_𝑝

∂𝜌

2

)

𝑠,0

.

(1.21)

Le élérité de l'onde

𝑐

sedénie par :

𝑐

2

=

( ∂𝑝

∂𝜌

)

𝑠

,

(1.22)

nouspouvonsé rire:

( ∂

2

_𝑝

∂𝜌

2

)

𝑠

=

( ∂𝑐

2

∂𝜌

)

𝑠

=

( ∂𝑐

2

∂𝑝

)

𝑠

( ∂𝑝

∂𝜌

)

𝑠

= 𝑐

2

( ∂𝑐

2

∂𝑝

)

𝑠

= 2𝑐

3

( ∂𝑐

∂𝑝

)

𝑠

.

(1.23)

En introduisant ette équation 1.23, la dénitiondu paramètre non linéaire (équation 1.21) devient :

𝐵

𝐴

= 2𝜌

0

𝑐

0

( ∂𝑐

∂𝑝

)

𝑠,0

.

(1.24)

Ainsi, la dérivée partielle de lavitesse par rapport à la pression à entropie onstante

s'exprime en fon tion des variations isothermes de lavitesse par rapport à la pression et

en fon tion delatempérature à pression onstante.

1.4.2 Interprétation physique du oe ient non linéaire

Le paramètre non linéaire

𝐵/𝐴

est déni par les équations (1.24) et (1.18) relatif au

développement en sériede Taylorde l'équationd'état.Ainsi, nouspouvonsé rire:

𝑐

2

𝑐

2

0

= 1 +

𝐵

𝐴

( 𝜌

′

𝜌

0

)

+ ... .

(1.25)

En ee tuant undéveloppement limité pour

𝑐

2

𝑐

2

0

≈ 1

, le rapport

𝑐

𝑐

0

devient :

𝑐

𝑐

0

= 1 +

𝐵

2𝐴

( 𝜌

′

𝜌

0

)

+ ... .

(1.26)

Pouruneondeplaneprogressiveoù

𝑣 =

𝑝

𝜌

0

𝑐

0

estlavitesseparti ulaire,larelation

𝜌

′

/𝜌

0

estégale à

𝑣/𝑐

0

.Ainsi, lavitessedu sons'é rit :

𝑐 = 𝑐

0

+

𝐵

2𝐴

𝑣.

(1.27)

La variation de élérité

Δ𝑐 = 𝑐 − 𝑐

0

peut être reliée à la variation de pression

Δ𝑝

(équation 1.24)par :

Δ𝑐 =

1

2𝜌

0

𝑐

0

𝐵

𝐴

Δ𝑝,

(1.28) soit :

𝑐 = 𝑐

0

+

1

2𝜌

0

𝑐

0

𝐵

𝐴

Δ𝑝.

(1.29)

L'expression (1.29) montre que la élérité du son

𝑐

dière de

𝑐

0

par un terme qui

est proportionnel à l'ex ès lo al de pression et au paramètre non linéaire

𝐵/𝐴

du milieu.

Par exemple, dans une phase de ompression,

𝛿𝑝

est positif don

𝑐 > 𝑐

0

, inversement,

𝛿𝑝

est négatif et don

𝑐 < 𝑐

0

. Ainsi, ertaines parties de l'onde se propagent plus ou moins

Figure1.1Distorsionnonlinéairedel'ondeultrasonoreau oursdelapropagationdans

ledomaine temporelet sonimpa t dansledomaine fréquentiel.

d'onde.Nous onstatonsalorsàunraidissementdufrontd'onde(gure1.1).Ladéformation

d'une onde de forme sinusoïdale dansle domaine temporel se traduit dire tement dans le

domainefréquentielparl'apparitionde omposantesharmoniquesmultiplesdelafréquen e

fondamentale de l'onde émise.

Le oe ient non linéaire est dénie omme

𝛽 = 1 + 𝐵/(2𝐴)

ara térisant la

1.5 Équation KZK et ses approximations

Les équations dé rivant la propagation non linéaire d'ondes a oustiquedans un uide

dans le as d'un transdu teur faiblement fo alisé sont exprimée par l'équation dénie

parZabolotskayaetKhokhlov[Zabolotskaya et Khokholov, 1969 ℄.L'équationKZprenden

omptelafaibledira tionetleseetsnonlinéaireduuide.Kuznetsov[Kuznetsov, 1971℄

prend en ompte les eets d'atténuation en dé rivant l'équation de la propagation non

linéaire KZK.

1.5.1 Approximation parabolique

Considéronsunfais eauultrasonorerelativementdire tif,sepropageantdansunuide

suivant la dire tion

𝑂

𝑧

. L'approximation parabolique onsidère l'onde omme quasiment

plane sur des distan es de l'ordre de sa longueur d'onde et que son prol ne se modie

pas suivant sa dire tion de propagation. Deplus, les variations transversales (suivant

𝑂

𝑥

et

𝑂

𝑦

)sont plusrapidesque elles intervenant dansladire tionaxiale.Pour traduire ela,

un hangement devariablesestee tuésurl'équation(1.15):

𝑥

′

=

√

𝜖𝑥

,

𝑦

′

=

√

𝜖𝑦

,

𝑧

′

= 𝜖𝑧

et

𝜏 = 𝑡 − 𝑧

′

/𝑐

0

.

L'équation de propagationultrasonore non linéaire d'ordre deux dansun milieu uide

s'exprime :

∂

2

𝑝

∂𝑧

′

_∂𝜏

=

𝑐

0

2

∇

2

⊥

𝑝 +

𝛿

2𝑐

3

₀

∂

3

𝑝

∂𝜏

3

+

𝛽

2𝜌

0

𝑐

3

0

∂

2

𝑝

2

∂𝜏

2

,

(1.30) ave

∇

2

⊥

=

(∂

2

/∂𝑥

′

₂

) + (∂

2

_/∂𝑦

′

₂

)

l'opérateur Lapla ien transverse bidire tionnel. Les

pa-ramètres qui dénissent le milieu sont la diusivité

𝛿

, la élérité

𝑐

0

, la densité

𝜌

0

et le

oe ient non linéaire

𝛽

.

Cette équation est nommée l'équation KZK en l'honneur de es auteurs Kuznetsov

[Kuznetsov, 1971℄,ZabolotskayaetKhokhlov[Zabolotskayaet Khokholov, 1969 ℄.Leseets

deladira tion, deladissipationet delanon-linéarité surlapropagation a oustiquesont

dé ritsdansl'équationdepropagationultrasonorenonlinéaireàl'ordre

2

.L'équation KZK

1.5.2 Approximation quasi-linéaire

Les hamps depressionutilisésdansl'étude sontde faiblesamplitudes.Dans e adre,

l'approximationquasi-linéairepermetlarésolutiondel'équationKZK.Larésolution

s'ee -tueen ombinantl'approximationetladé ompositionensommedefais eauxgaussiens

ex-pli itéedansleparagraphesuivant.CetteméthodeintroduiteparBurvingt[Burvingt, 1976 ℄

présente l'avantagede fournir desexpressions analytiques des hamps de pression à

l'har-monique

2

, rayonnéspar une sour e axisymétrique.

Dansle adredelaméthodedesapproximations su essives,lapression,restant faible,

s'exprime sous la forme

𝑝 = 𝑝

1

+ 𝑝

2

où

𝑝

1

est la solution de l'équation KZK linéaire et

𝑝

2

la solution de l'équation à l'ordre

2

. L'hypothèse de régime quasi-linéaire indique que

∣𝑝

2

∣ << ∣𝑝

1

∣

.

L'approximationde l'équation KZKau premier et se ondordre donne :

∂𝑝

1

∂𝑧

+

𝑗

2𝑘

∇

2

⊥

𝑝

1

+ 𝛼

1

𝑝

1

= 0,

(1.31) et

∂𝑝

2

∂𝑧

+

𝑗

4𝑘

∇

2

⊥

𝑝

2

+ 𝛼

2

𝑝

2

= 𝑗

𝛽𝑘

𝜌

0

𝑐

2

0

𝑝

2

₁

,

(1.32) où

𝛼

𝑛

= 𝛿𝑛

2

_𝜔

2

_/2𝑐

3

0

estl'atténuationàlafréquen e

𝑛𝜔

,et kestlenombre d'onde. Lamise

enéquationimpliquequ'au unepressionharmonique n'existeàlasurfa edutransdu teur

(

𝑧 = 0

)setraduisant par

𝑝

2

(𝑟, 0, 𝑡) = 0

.

Lasolutionde eséquations estdonnéeà partirdelafon tiondeGreen parles

expres-sionssuivantes :

𝑝

1

(𝑟, 𝑧) = 2𝜋

∫

∞

0

𝑝

1

(𝑟

′

, 0

)

𝐺

1

(𝑟, 𝑧∣𝑟

′

, 0) 𝑟

′

𝑑𝑟

′

,

(1.33) et

𝑝

2

(𝑟, 𝑧) = 𝑗

2𝜋𝑘𝛽

𝜌

0

𝑐

2

₀

∫

𝑧

0

∫

∞

0

𝑝

2

₁

(𝑟

′

, 𝑧

′

) 𝐺

2

(𝑟, 𝑧∣𝑟

′

, 𝑧

′

) 𝑟

′

𝑑𝑟

′

𝑑𝑧

′

.

(1.34)

Lafon tion deGreen asso iéeauxéquationsdu hampsde pressionàl'ordre

𝑛

s'é rit :

𝐺

𝑛

(𝑟, 𝑧∣𝑟

′

, 𝑧

′

) =

𝑗𝑛𝑘

2𝜋(𝑧 − 𝑧

′

)

𝐽

0

( 𝑛𝑘𝑟𝑟

′

𝑧 − 𝑧

′

)

𝑒

−

𝛼

𝑛

(𝑧−𝑧

′

₎₋

𝑗𝑛𝑘

(

𝑟2+𝑟′2

)

2

(

𝑧−𝑧′

)

_.

(1.35)

Les hampsdepressionàlafréquen edufondamentalet dudeuxièmeharmoniquesont

L'approxi-mation paraboliquedelafon tiondeGreenestgaussienne(équation1.35).L'ensembledes

al uls des hamps de pressions'ee tuedans labasede fais eauxgaussiens.

1.6 Dé omposition en somme de gaussiennes

Wenet Breazealesont àl'originedelades riptiondu hamprayonné par un

transdu -teur axisymétrique en une somme de fais eaux Gaussiens.Ee tuer une telle

dé omposi-tion permet de onserver les avantages des fais eaux gaussiens pour le al ul du fais eau

ultrasonore et de la génération du se ond harmonique. Après détermination de la

distri-bution radiale de la vitesse grâ e aux oe ients omplexes

𝐴

𝑛

et

𝐵

𝑛

, les expressions

analytiques sont obtenues pour les hamps de pression émis et reçus par un ré epteur

pon tuel ou de dimension nie. Ces expressions ont déjà été obtenues dans lalittérature

[Coulouvrat,1991 , Ding,2000℄.

1.6.1 Distribution radiale de la vitesse

Considérons un transdu teur ultrasonore omme un piston ir ulaire rigide

axisymé-trique derayon

𝑎

,le potentiel de vitesses'exprime :

𝜙 = 𝑢 (𝑟, 𝑧) 𝑒

(𝑗𝑘𝑧)

,

(1.36)

où

𝑧

est ladire tion de propagation dutransdu teur et

𝑟

est l'axe orthogonal àla

propa-gation.

L'équation d'ondeen régimeharmonique, dansundomaine qui n'est passoumisà des

for es extérieures,estdénie par l'équation d'Helmotzhomogène.

∇

2

𝜙 + 𝑘

2

𝜙 = 0.

(1.37)

Le transdu teur étant axisymétrique,

∇

2

_𝜙

devient

1

𝑟

∂𝑟

∂

(

𝑟

∂𝜙

_∂𝑟

)

+

∂

_∂𝑧

2

𝜙

2

. Les termes de

l'équation(1.36)sontintroduitsdansl'équationd'Helmotzhomogène(1.37).Ainsi,

l'équa-tiondevient :

∂

2

_𝑢

∂𝑧

2

+ 2𝑗𝑘

∂𝜙

∂𝑧

+

1

𝑟

∂

∂𝑟

(

𝑟

∂𝑢

∂𝑟

)

= 0.

(1.38)