Note sur la courbure des lignes géodésiques d'une surface de révolution

Je suppose connue l'équation différentielle des lignes asymptotiques d'une surface sur laquelle les coordonnées homogènes X, Y, Z, T d'un point courant sont exprimées en fonction

Par chacun des points de (C) faisons passer la trajectoire orthogonale des surfaces minima; toutes ces trajectoires orthogonales forment une surface nor- male aux surfaces minima,

THÉORÈME. — Considérons, sur une surface à lignes de courbure planes, quatre lignes de seconde courbure quelconques. Ces quatre lignes rencontrent chaque ligne de première courbure

De nos recherches antérieures relatives aux lignes remarquables qu'on peut tracer, soit sur les surfaces, soit sur les pseudo-surfaces (* ), il résulte que, dans les deux

i° Si les hauteurs z, t sont proportionnelles, S et S sont deux surfaces du deuxième ordre à centre (L et A sont deux ellipses ou deux hyperboles); et vice versa ; :>" Si

«NE SURFACE DE RÉVOLUTION DONNÉE, ET PLUS GÉNÉRALE- MENT SUR LES SURFACES DONT LES LIGNES DE COURBURE D'UNE FAMILLE SONT SITUÉES DANS DES PLANS PARALLÈLES ET QUI SONT APPLICABLES

Pour quane loxodromie d'une surface de révo- lution soit représentée par Véquation x = §{j), il faut et il suffit que le rayon de courbure de la ligne méridienne s exprime en

Je considérerai la ligne géodésique comme étant dé- crite par un point matériel soustrait à Faction de toute force extérieure, assujetti h rester sur la surface. D'après