Certificats d'analyse supérieure

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

Certificats d’analyse supérieure

Nouvelles annales de mathématiques 4

série, tome 8 (1908), p. 136-141

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CERTIFICATS hWUASK SlIPÉKIEURË.

Lyon.

ÉPREUVE PRATIQUE. — Soient

( 1 = 1 , 2 , . . . , / l )

les équations d'un groupe G de transformations.

i° Établir les équations différentielles auxquelles satis- font les x\ considérées comme f onctions des a.

N. B. — On n'examinera pas la réciproque.

2° Considérant comme connue la théorie des groupes à un paramètre, appliquer les équations trouvées à la construction des sous-groupes à un paramètre contenus dans G.

3° Calculer Vinvariant différentiel du troisième ordre du groupe

. a y i- h x — x, y — -1 •>

' J c y H- i y étant considéré comme fonction de x.

N. B. — Employer successivement les équations finies et les transformations infinitésimales du groupe.

ÉPREUVE PRATIQUE. — Soient

Vhyperbole équilatère x1—y1 = i ; A le sommet y = o, x = i ;

O le centre de Vhyperbole;

M un point de l'hyperbole et MP son ordonnée ;

OMA le secteur: mirtiligne, où AM est l'arc de l'hyper- bole.

(

)

Déterminer M par la condition suivante : aire secteur OMA = -- x aire triangle OMP.3

N.B. — On posera

et Von calculera le u du point M.

(Novembre 1906.)

Nancy.

ÉPREUVE THÉORIQUE. — 1. Développement dune fonction analytique uniforme d'une variable complexe au voisi- nage d'un point singulier isolé.

II. On considère Véquation

#* -h x3 — 3 x2 -+- 4 x — 4 = 0.

i° Démontrer qu'elle est irréductible dans le domaine de rationalité formé par les nombres entiers et fraction- naires.

2° Montrer que, si elle admet la racine X\, elle admet en même temps la racine x2 = l-r> où a et b sont deux

r xv-\-b

nombres entiers convenablement choisis. Déterminer ces entiers.

3° Quels renseignements la propriété précédente donne- t-elle sur le groupe de Galois de l'équation ?

4" A l'aide de cette propriété, résoudre l'équation.

ÉPREUVE PRATIQUE. — Calculer l'intégrale Ç \j'z£-h- z — 1

J

étendue à la circonférence de rayon - ayant pour centre le point z = o et parcourue dans le sens direct. On pren- dra pour le radical et le logarithme les déterminations

( i38 )

qui résultent, par continuité le long du rayon Ox, des déterminations initiales i>Ji et o au point 0.

(Octobre 1906.) ÉPREUVE THÉORIQUE. — I. Démontrer qu'une fonction f\x) de la variable réelle x finie et continue dans un inter- valle (a, b) est développable en une série de polynômes entiers en x, uniformément convergente dans l'inter- valle (a, b).

Généraliser cette propriété pour une f onction f i^x) finie et continue pour les valeurs réelles de.x.

II. Déterminer une fonction analytique f(z) de la variable complexe z = x -+- iy par la condition que sa partie réelle voit une fonction de —^———- et que de plus on ait ƒ (o) = o, f (o) = 1.

EPREUVE PRATIQUE. — Calculer les périodes de l'intégrale

i:

ÉPREUVE THÉORIQUE. — Équations de Monge-Ampère.

Origine de la forme de ces équations. Intégrales inter- médiaires. Intégration des équations. Application à Vintégralion de l'équation aux dérivées partielles des surfaces développables.

II. On donne l'équation aux dérivées partielles p — q* = x H- y -h z.

Trouver l'intégrale z qui se réduit à iy pour x = o.

(Octobre 1907.) ÉPREUVE THÉORIQUE. — I. On considère l'équation aux dérivées partielles du premier ordre

( 0 F(^,,T> *»/>Î q) = °i

où F désigne un polynôme indécomposable ; soit z = <f(x, y) une intégrale quelconque. Démontrer que, si celte inté-

grale ne satisfait pas à la fois aux deux équations dF dF

— = o. -— = o, dp àq

elle sera donnée par le théorème de Cauchy. Définir les, intégrales singulières de l'équation (\).

IL On donne l'équation aux dérivées partielles

x àz âz ôz dz

( ! — * ) _ = h h...-H - —

dxi dxi oxg da-n

et Pon pose

Chercher les intégrales qui ne dépendent que de x\ et de t. Trouver, parmi elles, celle qui se réduit à pour xx = o et écrire son développement en série pour les valeurs suffisamment petites de t.

III. Intégrer Véquation aux dérivées partielles du second ordre

z*(rt — s2) -h z(i -+- q*)r — ipqzs- -\- z(i -h p* )t-{-\ ^-p*-{-qi= o

et vérifier le résultat.

ÉPREUVE PRATIQUE. — Intégrer le système

( l) = o,

en employant la méthode de Mayer. (Juin 1907.)

Toulouse.

ÉPREUVE THÉORIQUE. — I. On donne l'équation aux déri-

vées partielles

(a;2H-/î+-3!-aî)(i+jP2+ q*)~(px -h qy — *)* = o qui définit une famille de surfaces en coordonnées rec- tangulaires :

( >4o )

i° Que devient cette équation si l'on fait un changement de coordonnées rectangulaires en conservant Vorigine?

i° Former les équations différentielles des caractéris- tiques de cette équation. Montrer que les caractéristiques sont des courbes situées dans des plans passant par Vori- gine, et que ces plans coupant à angle droit les surfaces intégrales.

Trouver la développée d'une caractéristique.

3° Indiquer le mode de génération des surfaces inté- grales qui résulte des résultats précédents et en conclure que la seconde famille de lignes de courbure est formée de courbes sphériques.

II. Soient une forme binaire biquadratique f (

, y ) =

o &

-+•

et ses deux invariants

/3 =

«o

Soit H{x, y) le hessien de f(x, y).

Trouver la condition pour que les quatre points repré- sentés par l'équation H = o forment une division harmo- nique.

ÉPREUVE PRATIQUE.

— Calculer l'intégrale

1

dx r

dx

(Juillet 1907. )

ÉPREUVE THÉORIQUE.

— I. Soit la forme cubique f(x,y) =z

on demande de ramener f(x, y) à une somme de deux cubes, en employant la théorie des invariants, et de faire par cette méthode la discussion de Véquation f(x,y) = o.

{On ne demande pas de donner l'expression explicite des racines.) *

IL Soient x, y, z les coordonnées rectangulaires d'un

point m d'une courte gauche exprimées en fonction de l'arc s; soient M, P, W trois f onctions de s qui représentent les cosinus directeurs d'une droite passant par m et nor- male à la courbe. Les formules

X = x-\- ut, Y = y -+- vt> Z = x-\- wt représentent, en fonction des deux paramètres s et t, les coordonnées d'un point de la surface réglée la plus gé- nérale.

Former Véquation entre s et t qui définit les lignes asymptotiques de la surface. Utiliser cette équation pour trouver les surfaces réglées dont les rayons de courbure principaux sont en chaque point égaux et de signes con-

traires.

ÉPREUVE PRATIQUE. — Les variables u et z étant liées par l'équation

u^% — 4 uz — i = o,

calculer Vintégrale I — lorsque z décrit dans le demi- plan supérieur la demi-circonférence qui va du point z = — i au point z = -h i,

On suppose que, pour z = — i, u prend une valeur po- sitive. (Novembre 1907.)