Sac à dos multidimensionnel en variables 0-1 : encadrement de la somme des variables à l'optimum

RAIRO. R ECHERCHE OPÉRATIONNELLE

A ^RNAUD F ^RÉVILLE G. P ^LATEAU

Sac à dos multidimensionnel en variables 0-1 :

encadrement de la somme des variables à l’optimum

RAIRO. Recherche opérationnelle, tome 27, n^o2 (1993), p. 169-187

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Recherche opérationnelle/Opérations Research (vol. 27, n° 2, 1993, p. 169 à 187)

SAC A DOS MULTIDIMENSIONNEL EN VARIABLES 0-1 :

ENCADREMENT DE LA SOMME DES VARIABLES A L'OPTIMUM (*) par Arnaud FRÉVILLE (*) et G. PLATEAU (²)

Résumé. -Dans te cadre de la résolution des programmes linéaires en variables 0-1, Glover a été le premier auteur à utiliser dans une méthode d'énumération implicite une contrainte supplémentaire du type encadrement de la somme des variables à V optimum. Dans ce papier, nous proposons pour le sac à dos multidimensionnel en variables 0-1, une évaluation fine des bornes basée sur la résolution exacte du dual surrogate de relaxations du type sac à dos bidimensionnel, et sur la connaissance d'une bonne solution réalisable du problème initial De nombreuses expériences numériques montrent V efficacité de notre méthode sur les problèmes tests de la littérature ainsi que sur des instances de grande taille tirées au hasard selon la loi uniforme.

Mots cïés : Optimisation en 0-1; sac à dos bidimensionnel ; dual surrogate; bornes sur la somme des variables.

Abstract. - Glover has been thefirst author to introducé an extra constraint, related to the sum of the variables fixed at 1 at the optimum, for solving 0-1 linear programming problems with implicit enumeration methods. In this paper; we propose a new algorithm to compute tight bounds of this sum for the 0-1 multidimensional knapsack problem. The method is based on the exact solution ofthe surrogate dual of relaxations which correspond to 0-1 bidimensional knapsack problems, and on the knowledge of a good primai feasible solution. Intensive numerical experiments show the efficiency ofour method over the classical test problems ofliterature, and large site instances with randomly generated data.

Keywords: 0-1 optimization; bidimensional knapsack; surrogate dual; bounds on the sum of variables.

INTRODUCTION

L'objectif de ce travail est de réduire le domaine des solutions réalisables du problème du sac à dos multidimensionnel en variables 0-1 suivant

(*) Reçu en avril 1991, accepté en octobre 1992,

(*) L.M2J et L.I.P.N., Institut des Sciences et Techniques de Valeneiennes» Université de Valenciennes, BP. 311., 59304 Valenciennes Cedex, France.

(2) Laboratoire d'Informatique de Paris-Nord, C.N.R.S. U,R.A. 1507, Institut Galilée, Département d'Informatique, Université de Paris-Nord, avenue J. B. Clément. 93430, Villetaneuse, France.

Recherche opérationnelle/Opérations Research, 0399-0559/93/02 169 19/$ 3.90

© AFCET-Gauthier-Villars

170 A. FREVILLE, G. PLATEAU

max ex s.c. Ax < b

x e B

avec A e Nm X 7\ c e N*n, b e N*m, m > 2 et

l'ensemble des sommets de l'hypercube unité de Rn, par adjonction d'une contrainte supplémentaire de type encadrement sur la somme des variables, valide pour l'ensemble fl (P) des solutions optimales du problème :

3 = 1

Une telle coupe permet à l'évidence de réduire le domaine continu, et de renforcer les évaluations dans les procédures d'énumération implicite, par exemple les valeurs des relaxations Lagrangiennes (voir [FAPL92] et [MATO92], respectivement pour le sac à dos « baudruche » et les instances de sac à dos à données fortement corrélées).

D'autre part elle peut être directement exploitée pour réduire l'exploration de l'arborescence des solutions binaires (voir [GLO65] et [FAPL92]) ; des expériences sont en cours pour la résolution exacte du sac à dos bidimensionnel en variables 0-1 (voir en particulier [FRPL926]).

Après avoir rappelé en section 2.1 l'approche initiale de Glover [GLO65], nous développons en section 2.2 une nouvelle méthode d'encadrement basée sur l'adjonction de contraintes de la forme

3<P ^{O U}

3-\ 3=1

à une relaxation surrogate du problème initial (P), La description algo- rithmique de la méthode est précisée en section 2.2.1. Cette procédure nécessite la maximisation de fonctions quasi-convexes correspondant aux fonctions duales surrogate de sacs à dos bidimensionnels en variables 0-1.

Deux méthodes exacte et approchée de type dichotomique, correspondant respectivement aux cas entier et continu, sont explicitées en section 2.2.2.

En section 3 sont rassemblés les résultats numériques relatifs à des problèmes classiques de la littérature et des instances de grande taille tirées au hasard selon la loi uniforme.

SAC A DOS MULTIDIMENSIONNEL 1 7 1

1. NOTATIONS

R ensemble des nombres réels N ensemble des entiers naturels e le vecteur tout à 1 de Rn

Ai ligne i de la matrice A

Aij élément générique de la matrice A v(#) valeur du problème (•)

fi (•) ensemble des solutions optimales du problème (•) v (•) borne supérieure de la valeur du problème (•) v (•) valeur de la relaxation en continu du problème (•) v (•) borne inférieure de la valeur du problème (•) La] partie entière du réel a

\a] plus petit entier supérieur ou égal au réel a co (X) enveloppe convexe de l'ensemble X

U(a, b) distribution uniforme sur l'intervalle [a, b]

2. PROCEDURE DE CALCUL DES BORNES L ET U 2.1. Approche de Glover revisitée

Glover a été le premier auteur à proposer d'utiliser un encadrement

L < E X3 < u 3 = 1

de la somme des variables susceptibles d'être fixées à 1 à l'optimum du problème (ƒ>) [GLO65].

Le calcul des bornes L et U est effectué à partir de la connaissance d'encadrements de la fonction économique ex et des ressources consommées Ax, valides pour toutes les solutions optimales du problème (P) :

cx<

l b<Ax<b

La borne inférieure v (P) est fournie par des méthodes heuristiques, plus précisément la méthode AGNES développée par les auteurs ([FRPL86],

[FRE91], [FRPL91a]).

La borne supérieure v (P) est déterminée en résolvant,

vol. 27, n° 2, 1993

172 A. FREVBXE, G. PLATEAU

- soit la relaxation en continu (P) max ex

s.c. Ax < b x G coB

- soit le dual surrogate (S) ou sa relaxation en continu (S) min max {ex \w A x < wb, x G B}

[s.c. w G

,-, [min max {c# \w Ax < wb, x G coB}

v 7 [s.c. w G RI?

cette résolution peut être :

- exacte : méthode simplexe pour le programme linéaire (P) équivalent au dual surrogate (S), méthode de dichotomie étendue pour le dual surrogate (S) si m=2 [FRPL93], de quasi-sous-gradients si m>2 [DYE80],

ou

- approchée : méthode de sous-gradients à comportement monotone pour les duaux surrogate (S) et (S) [FLP90] pour les instances de grande taille.

Pour symétriser les calculs de L et U, un minorant b de l'ensemble {Ax\ x€Ù(P)} est calculé en résolvant les m sacs à dos en variables 0-1 (Kt) suivants :

(Ki) min AiX s.c. ex > t; (P), a: G B i = 1, ..., m

pour poser bj = v(Ki)9 i = l , ..., m. En pratique on se restreint aux relaxations en continu, (J?,-), d'où pour i = 1, ..., m et par complémentation des variables

= E A i - m a x i ^ x co: < £ Cj - v ( P ) , x G c o ( B ) i

Un premier encadrement

n

< Ë *j < u

Recherche opérationnelle/Opérations Research

SAC A DOS MULTIDIMENSIONNEL 173 valide pour l'ensemble des solutions optimales iï(P) est alors obtenu à partir des évaluations suivantes :

IQ — min < k

li = min < k

UQ = max i = max

i=i J

k

£

J = l

= 1, ..., m

£ Aij < bi \ i = 1, ...,

avec

L — max 2=0,..., m

U = min

i = 0 , . . . , m

En pratique, chaque calcul des /,- (resp. M,-) se fait en complexité temporelle O(n) par la détermination des k plus grands (resp. petits) coefficients de la contrainte concernée. Cette première évaluation des bornes L et U nécessite donc 2m+2 appels d'une variante de l'algorithme de complexité linéaire en moyenne NKR77 [FAPL82].

2.2. Nouvelle approche

II est possible d'améliorer très sensiblement la précédente évaluation des bornes L et U en injectant des coupes

£

i

dans une relaxation surrogate (S(w)) du problème (F), où w désigne un multiplicateur obtenu à partir de la résolution de la relaxation en continu (P) ou du dual surrogate (5).

Cela revient à considérer les deux familles [PL(p))^{p =} i^fn et {PU(p)}^p = i^yH de problèmes du type sac à dos bidimensionnel suivants :

r- m a x s x .

ex w Ax < wb

ex < p x G B

(PU(p))

r- inax ex s.c. w Ax < wb

ex > p x e B

174 A. FREVILLE, G. PLATEAU

et à comparer les valeurs des duaux surrogate de ces problèmes avec une borne inférieure v(P) de la valeur du problème initial (P).

2.2.1. Algorithme d'encadrement

Pour un entier p G {1, ..., n} donné, considérons le dual surrogate (SL(p)) (resp. (SU(p)) ) du sac à dos bidimensionnel (PL(p)) (resp. (PU(p)) ) :

min <psup (u, p) , u G R i

(SL(p)) [

^

*$

(SU(p)) \

I S.C. W t I V I I

où cpinf(«, p) et <Psup(% P) sont les fonctions duales surrogate définies pour M = (MI, W2) respectivement par

{ex \(ui wA + U2 é)x < u\ wb + U2P, x € B } et

= max {cor |(tti w;^4 — U2 e) x < u\ wb ~ U2 p, x G B } .

PROPOSITION 1 : Les fonctions *jⁿf : p —^{> v}{SL{p)) et \I>iⁿf : p —>- v (SL (p)) définies sur {1, ..., n] sont croissantes.

Preuve : Vw G R^_ et pour tout couple d'entiers (p7pf) G {1, ..., n}2 tel que p < p1 nous avons l'inclusion suivante :

{x G B |(wi wA+U2 e) x < u\ wb+U2 p}

Ç {x G B |(ui wA+U2 e)x < u\ wb+U2 p1

d'où (pⁱⁿⁱ (u, p) < (pⁱⁿⁱ (u, p^f) et *^{i n f} (p) < *^{i n f} (p^;). On obtient de même

^inf (p) ^ ^inf (p') e n remplaçant B par son enveloppe convexe co(B). •

PROPOSITION 2 : Les fonctions \f>Sup : p —+ v(SU(p)) et ^S

v (5Ï7 (p)) définies sur {1, ..., w} .sonr décroissantes.

Preuve : Le changement de sens des inégalités provient du changement de sens de l'inclusion

{x G B | ( ^ i wA-~U2 e)x < u\ wb—U2p}

D {x G B |(ui wA—U2 e)x < u\ wb—U2 p1} 4

SAC A DOS MULTÏDIMENSIONNEL 175

Exemple 1 : problème n° 6 [PET67]

n = 39 m = 5

v(P) = v(P) = 10618 v{S) = 10659 v (P) = v (S) = 10672.346

p 1..

2. . 3..

4..

5. . 6. . 7. . 8. . 9..

10..

11. . 12..

13..

TOP)

. 4260,00 . 6360,00 . 7485,00 . 8116,00 . 8736,00 . 9158,36 . 9504,67 . 9817,12 . 9945,31 . 10052,17 . 10147,84 . 10234,82 . 10316,05

* i n f ( p )

4260 6360 7485 8116 8736 8972 9392 9797 9905 10012 10173 10227 10313

P

14. . 15..

16..

17. . 18..

19. . 20. . 21. . 22. . 23. . 24..

25..

26. .

TOP)

. 10381,74 . 10435,28 . 10481,91 . 10519,77 . 10552,84 . 10583,56 . 10607,20 . 10624,00 . 10637,36 . 10649,26 . 10658,56 . 10663,83 . 10666,75

*i»f(p)

10384 10462 10511 10544 10553 10588 10594 10620 10632 10640 10654 10658 10659

P

27..

28. . 29. . 30..

31. . 32. . 33..

34. . 35. . 36..

37. . 38. . 39. .

. 10668,84 . 10670,81 . 10672,31 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34

* i n f ( P )

10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659

P

1. . 2. . 3..

4. . 5. . 6..

7. . 8..

9..

10. . 11. . 12. . 13. .

* ^ ( P ) * . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34

*sup (P)

10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659

P 14..

15. . 16..

17..

18. . 19. . 20. . 21. . 22. . 23. . 24. . 25. . 26. .

*sup(p) *

. 1067234 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 , 10672,34 . 10672,34

*sup (P)

10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659 10659

P 27..

28. . 29. . 30. . 31. . 32. . 33. . 34, . 35. . 36. . 37. . 38. . 39. .

*sup (P)

. 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10672,34 . 10665,93 . 10646,43 . 10620,29 . 10584,69 . 10537,74 . 10445,74 . 9698,98 . 9364,08

^sup (P)

10659 10659 10659 10659 10659 10646 10628 10567 10447 10163 9903 8363 8363

Ces propriétés de monotonie induisent les résultats suivants à la base du nouveau calcul des bornes L et U.

PROPOSITION 3 : Soient JC* € i î (P) une solution optimale du problème (P) et un entier / ? € { ! , ..., w}.

Si *inf (P) < v(P) ou vol. 27, n° 2, 1993

' (p) J < V.{P) alors ex* > P + !•

176 A. FREVILLE, G. PLATEAU

Preuve : Montrons la contraposée ex* < p =>

ex* < p alors x* est une solution réalisable du sac à dos multidimensionnel (^Pinf (p)) suivant :

ex s.c. Ax < b

ex < p x G B

et par conséquent v (P{nf (p)) > ex* = v (P).

D'autre part v (Pjnf (p)) < v (P) puisque

{x \Ax < 6, ex < p, xe B} Ç {x \Ax < b, x € B}, et ainsi v (P) = v (P{nf (p)). Il vient

v(P) <v(P) = viP^ip)) < v(PL(p)) < v(SL(p)) = #inf (p) car (PL(p)) et (SL(p)) sont des relaxations surrogate respectivement de.

(^Pinf (P)) et (PL (p)). L'inégalité *i n f (p) < [«W (p)J induit le deuxième résultat.

PROPOSITION 4 : Soit x* € ft (P) une solution optimale du problème (P) et un entier p£ {1, ..., n}.

Si *suP (p) < v(P) ou [*sup (p)J < v (P) afors ex* < p - 1.

Preuve : eor* > p implique que v(P) = v(Psup(p)) avec r-max ex

s.c. Ax < 6 ex > p *

x G B

La suite est identique à la démonstration précédente en remplaçant (P\nf(p)) par (Psup(p))- •

Les deux propositions précédentes permettent de statuer l'algorithme d'ENCADREMENT suivant :

SAC A DOS MULTTOIMENSIONNEL 177

ENCADREMENT

début

{initialisation : approche de Glover}

L := max{li |i = 0, . . . , m}; U := min{ui |i = 0, ..., m};

{phase en continu}

p : = L ;

tant que l*i n f (pj ] < v(P) faire p := p -f 1 fin tant que;

L : = p ; p : = U ;

tant que | *s u p (p)J < v(P) faire p := p - 1 fin tant que;

U :=p;

{phase en entier) p : = L ;

tant que ^ln{ (p) < v (P) faire p := p 4- 1 fin tant que;

L :=p;

P := U;

tant que *s u p (p) < v_ (P) faire p := p - 1 fin tant que;

U : = p fin

2.2.2. Résolution des duaux surrogate

La mise en œuvre de l'algorithme d'ENCADREMENT nécessite la réso- lution des duaux surrogate en continu (SL(p)) et (SU(p)) d'une part, et en entier (SL(p)) et (SU(p)) d'autre part.

De manière plus générale nous avons à résoudre le dual surrogate en entier (S) ou continu (S) du sac à dos tridimensionnel en variables 0-1 (01BK) suivant :

[

<0 1 M> • A2* < 62

x e B avec

(S) \

(

W)

où v (S (u)) = ip(u) = max {ex \(u\ A\ + 1x2 A2) x < ui 61 + ^2 &2, $ € B}

vol. 27, n° 2, 1993

178 A. FREVILLE, G. PLATEAU

et

s.c. ne

où v (S (u)) — <p(u) = max {ex \(ui A\ + u<i A%) x < u\b\ + U2 62, x E c o ( B ) }

Les propriétés suivantes, communes aux fonctions quasi-convexes ç(») et c^O), permettent de résoudre les duaux surrogate par un algorithme de dichotomie restreint à Vintervalle compact [0,1],

• La fonction duale surrogate cp (•) vérifie :

VwG R^_, V A > 0 tp(Xu) — (p (u) (idem pour (p (•)),

ce qui permet de normaliser le multiplicateur u et de ramener la résolution du dual surrogate à une recherche unidimensionnelle. En suivant le choix de [GAPI85], à chaque multiplicateur u = (ui> U2) E R ^ est associé un multiplicateur fi E [0, +00] défini par :

{

(0, 1) ou (1, +00) si u-i = 0 et ainsi le dual surrogate (S) se reformule sous la forme :

[

(idem pour (5) avec ^(|UL)).

• La minimisation de la fonction quasi-convexe cp(jx) (resp. <^(|JL)) peut s'effectuer par une procédure dichotomique à partir des propriétés suivantes.

PROPOSITION 5 : Soient fx° e [0, +00] et x* (/z°) une solution optimale de (S(fx⁰)) (resp, (Sjjsj)).

(i) si A2X*(/i°) > 62 alors V/x E [0,/z°] <p(u) > <^(M°) (resp.

<p(u) > (fi/x0)).

(ii) si AIX*(IJL⁰) > 61 alors V fx E [0, +00] tp (u) > <p(fA°) (resp.

(p (u) > (p (fi0)).

Preuve : (i) la solution optimale a;* (/x°) de (S (/x⁰)) vérifie :

(Ai + fi⁰ A2) 3^* (A^⁰) ^ ^1 H" M° ^2 (1)

Recherche opérationnelle/Opérations Research

SAC A DOS MULTIDIMENSIONNEL 179

L'hypothèse A2 x* (/x°) > 62 associée à /i - /x° < 0 donne :

( M0) < ( M ~ M0) Ö 2 (2)

L'inégalité (l)+(2) induit la réalisabilité de x* (/x°) pour la relaxation (5 (/x)) et par conséquent

<p(u) = v(S{n)) > cx*(M°) = v(S(^)) = v>(M°) (démonstration identique pour <p(\x)).

(ii) on revient au cas précédent en considérant le changement de variable [x —> 1/fj, associé à la permutation des deux contraintes. •

Une procédure dichotomique peut ainsi être déduite car les deux autres situations potentielles permettent de conclure :

- x* (fi0) ne peut pas violer simultanément les deux contraintes, car alors x* (/A0) ne serait plus réalisable pour la contrainte surrogate.

- si x* (jLt°) satisfait simultanément les deux contraintes alors x* (/x°) est une solution optimale du primai (P) et dans ce cas le saut de dualité est nul : v(P) = v(S) = cx*(\x?).

• La proposition 5 assure aussi de pouvoir prendre [0,1] comme intervalle de confiance initial. En effet il suffit d'inspecter la contrainte surrogate (S(l)) définie pour le centre de l'inversion \x —> 1///, et de procéder à une permutation des contraintes s'il s'avère que la recherche serait à effectuer sur [1, +00]. Cette permutation correspond au changement de variables jx —* l//x qui est compatible avec la normalisation choisie.

Cas continu

Valgorithme de dichotomie décrit en figure 1 permet de résoudre le dual surrogate en continu (S). Trois critères d'arrêt sont pris en compte :

- si la solution optimale x* ^(/A) de la relaxation surrogate en continu ^(SQJL)) est primale réalisable, alors v (P) = v (5).

- le deuxième critère d'arrêt ( ^ - fi9 < e) est le critère classique des méthodes de dichotomie qui assure une e-optimalité sur l'argument /x mais non sur la valeur <p (jx).

- le fait d'approcher la valeur optimale v (S) par une suite majorante décroissante permet d'arrêter la recherche dès qu'une valeur de la suite devient inférieure à une bonne inférieure v_ (P) du primai. Puisque

v(S) = v(P),

vol. 27, n° 2, 1993

180 A. FREVDLLE, G. PLATEAU

{intervalle de confiance}

choisir e>0; fin:=faux;

résoudre ( S(1) );

siv( S(1) )<y(P) alors fin :=vrai { v(~S~) <y(P)} finsi;

si x*(i) est primale réalisable

alors v( S ):=cx*(i) ; fin:=vrai {v(~S~) = v("F)}

sinon si Aix*(1)>bi

alors résoudre ( S(o) );

Si v( S(o) ) < y(P) alors fin:=vrai { v(~S~) < y(P)} fjnsi ;

Si A2x*(o)<b2 alors v(~S~):=cx*(o); fin:=vrai { v(~S~) = v(~F)} finsi sinon résoudre ( S(~) );

si v( S(~) ) < y(P) alors f i n i r a i { v(~S~) < y(P)} finsi : _ _ alors v( S ):=cx*H; fin:=vrai { v( S ) = v( P )}

sinon permuter les 2 contraintes finsi

finsi finsi ;

{dichotomie}

tant que -. fin faire s i ^ d - ^ g < e

ajors fin:=vrai {e-optimalité}

sinon M.:=(ug+iu)/2:résoudre ( S{\i) );

siv( S(n) )<y(P) abrs fin:=vrai { v Si x*(|i) est primale réalisable

alors V("S"):=SCX*(H); fin:=vrai { v("s") = v("p")}

sinon si A?x*(^)>bo alors ^:=ii sinon ^ : = | i {A finsi

finsi finsi

fin tant que

Figure 1. - Algorithme de Dichotomie

une alternative serait d'utiliser la méthode simplexe sous une forme duale pour résoudre la relaxation en continu ( P ) .

Le nombre d'itérations est majoré par 2+f-log2€] et chaque itération nécessite la résolution de la relaxation en continu d'un problème de sac

SAC A DOS MULTTOIMENSIONNEL 1 8 1

à dos. Nous utilisons pour ce faire la procédure de complexité linéaire en moyenne NKR77 [FAPL82],

Cas entier

Pour la résolution du dual surrogate (S), l'algorithme de dichotomie précédent est modifiable de telle sorte à remplacer le critère d'arrêt d'e- optimalité par un critère d'arrêt d'optimalité duale.

La modification essentielle suggérée par Glover [GLO65] par rapport à une recherche dichotomique standard, est d'utiliser les renseignements fournis par la solution optimale x*(n) de la relaxation surrogate courante (S(|x)).

Ces modifications sont la conséquence des propriétés suivantes, qui per- mettent de définir un algorithme de dichotomie étendue (fig. 2), assurant la preuve de l'optimalité duale ou primale en un nombre fini d'itérations [FRPL93].

PROPOSITION 6 : Soient /z° G [0, +oo], x* (fx°) une solution optimale de b\ — Ai x* (u°)

(S (/x0)) non primale réalisable et le scalaire a = —

• si A<i x* (fj,°) > Ö2 alors

(i) a > fi° avec égalité si et seulement si x* (jx° ) sature la contrainte surrogate

(ii)Vj*G [0, a]

• si Ai x* (^x0) > bi alors

(i) <* < M° avec égalité si et seulement si x* (^°) sature la contrainte surrogate

(Ai + fx° A2) x* Ou0) < 61 + /i° 62• (ii) VM G [a, +00] ip (11) > ip(fi°).

Preuve : voir [FRPL93] •

Cette proposition généralise la proposition 5 et assure de pouvoir continuer la recherche unidimensionnelle du minimum de la fonction duale quasi- convexe <p (•) à partir de a et non de |x. L'occurrence de l'optimalité duale est donnée dans le résultat suivant :

PROPOSITION 7 : Soient 0 < fi9 < (JL^ < 1, x* (fj,g) et x* (fj,d) les solu- tions optimales respectives de (S (fig)) et (S (/x^)) supposées non primates

vol 27, n° 2, 1993

182 A. FREVUXE, G, PLATEAU

réalisables, a^g et a^ les bornes définies par

_ h - Ai x* (jLtg) _ b\ - Ai x* (fid)

ag ~ A² x* (v^g) -b^{2 ad}~ A² x* (^M) - b² Supposons que

Ai x* (fjig) < h (resp. Ai x* (fi^d) > b\) et

A² x* (/x^ff) > 6² (A² x* (^M) < 6²);

si ag > ad alors v (S) = min {ex* (//ff), ex* (/x^)}.

Frewve : voir [FRPL93] •

Enfin nous avons le résultat essentiel suivant :

PROPOSITION 8 : L'algorithme de dichotomie étendue converge en un nombre fini d'itérations.

Preuve : voir [FRPL93] •

Le nombre d'itérations est maintenant indépendant d'une quelconque précision €. En pratique les expériences numériques menées sur des instances de taille allant jusque 1 000 variables, montrent que l'optimalité duale est atteinte en moyenne en 7 ou 8 itérations. Chaque itération nécessite la résolution d'un problème de sac à dos en variables 0-1 avec la contrainte à coefficients réels. Ce problème est résolu par une modification de l'algorithme FPK79 ([FAPL82], [BOP91]).

3. EXPÉRIENCES NUMÉRIQUES

Les expériences numériques sont relatives aux performances de l'algo- rithme d'ENCADREMENT présenté en section 2.2.1. Plus précisément nous avons indiqué selon les cas, soit les bornes L et £/, soit la largeur de l'intervalle de validité U-L+1, obtenues respectivement par les trois modules de l'algorithme implantés dans l'ordre suivant :

- approche de Glover - phase en continu - phase en entier,

ainsi que leurs temps de calcul exprimés en secondes sur une station SUN 3/50.

Les résultats de la table 1 concernent 25 problèmes tests de la littérature ([MAMA57], [PET67], [WENE67], [SETO68], [FRPL90]). Il faut d'abord noter que dans 5 cas (*), l'égalité des bornes calculées v(P) = ex et v(S)

SAC A DOS MULTIDIMENSIONNEL 183

{intervalle de confiance}

fin:=faux;

résoudre (S(i)); si v(S(i)) < y(P) alors fin:=vrai { v(S) < y(P)} finsi ; si x*(i) est primale réalisable

alors v((S):=cx*(i) ; fin:=vrai { v(S) - v(P)}

sinon a:=(brA1x*(i))/(A2x*(i)-b2) (1)>b1

aiors résoudre (S(o)); si v(S(o)) < y(P) alors fin:=vrai { v(S) < y(P)} finsi : ai A2x*(0)<b2

alors v(S):=cx*(o); fin:=vrai { v(S) = v(P)}

sinon ag:=(bi-AiX*(o))/(A2x*(o)-b2); aa:=a finsi

sinon résoudre (S(oo)); si v(S(~)) < y(P) aiors fin:=vrai { v(S) < y(P)} finsi ; S Î A T X ' H ^

alors v(S):=cx*H; fm:=vrai { v(S) = v(P)}

sinon otg:=(A2x*H-b2)/(bi-A1x*(oo)); otd:=1/a;

permuter les 2 contraintes finsi

finsi finsi ;

{dichotomie}

. fin faire

> ad

alors v(S):=min {cx*(jig);cx*(^d)}; fin:=vrai {optimalité duale}

sinorm:=(ag+ad)/2;résoudre (S(M-));

Si v(S(|i)) < y(P) alors fin:=vrai { v(S) < y(P)} finsi ; si x*((i) est primale réalisable

aiors v(S):=cx*(n); fin:=vrai { v(S) = v(P)}

alors Ogi-g; (ig:=|^

sinon otd:=a; Hd:=H {Aix*(fj.)>bi}

finsi finsi

finsi fin tant que

Figure 2. - Algorithme de Dichotomie étendue

permet de conclure à l'optimalité de la solution réalisable x. Dans les autres cas, les bornes de Glover [GLO85] sont améliorées de manière significative.

La table 2 montre que l'algorithme d'ENCADREMENT est très efficace sur des instances tirées au hasard selon la loi uniforme (Ay-e Z7(0,100),

184 A. FREVILLE, G. PLATEAU TABLE I

Encadrement de la somme des variables pour les problèmes tests de la littérature

Problème

[PET67]

[FRPL90J . . .

[MAMA57] . . [SETO68] . . . [WENE68] . . .

taille mxn 10x6 10x10 10x15 10x20 10x28 5x39 5x50 4x27 4x34 2x19 2x29 10x20 30x40 30x37 6x21 30x60 30x60 2x28 2x282x28 2x28 2x28 2x28 2x105 2x105

Phase Glover L

2 3 7 (*)12 10 13 6 8 2 6 8 6 14 7 17 30 (*) (*)5 7 (*) (*) 81 17

V 5 9 13 (*)25 37 47 25 30 12 24 13 26 29 12 43 49 (*) (*)19 22 (*) (*) 101 57

temps 0,02 0,04 0,04 0,10(*) 0,06 0,08 0,04 0,04 0,00 0,02 0,06 0,32 0,30 0,04 0,50 0,50 (*) 0,02(*) 0,02 (*) (*) 0,06 0,08

Phase en continu L

3 3 8 (*)14 21 24 11 13 2 11 8 6 14 7 17 30 (*) (*)5 9 (*) (*) 86 27

U 4 7 13 (*)20 34 42 24 29 6 20 13 16 21 9 27 37 (*) (*)9 18 (*) (*) 91 36

temps 0,14 0,22 0,16 0,64(*) 0,78 1,28 0,44 0,64 0,44 0,66 0,20 1,72 1,66 0,48 4,24 3,98 (*) 0,76(*) 0,70 (*) (*) 2,24 3,70

Phase L

3 3 8 (*)15 22 25 13 13 3 12 8 6 15 7 17 31 (*) (*)6 9 (*) (*) 87 28

en entier U

4 6 10 (*)18 33 40 23 28 5 18 11 16 21 8 27 37 (*) (*)8 17 (*) (*) 90 34

temps 0,02 0,26 0,38 (•'•) 0,48 1,14 3,42 1,12 0,76 0,56 1,42 0,22 0,84 1,36 0,28 1,10 1,80 (*) 0,64C'O

0,24 (*) (*) 0,62 2,52 (*> les calculs permettent de conclure à Toptimalité de la solution heuristique car v (P) = v (S).

Cj e £7(1,1000)). Globalement la largeur de l'intervalle de validité U-L+l obtenue par l'approche de Glover est divisée en moyenne par 11.4 grâce à cette nouvelle approche (n = 100-> 16.8/2.7; n = 250-> 40.4/4.1;

n = 500^78.6/5.0).

D'autre part, il apparaît très clairement que les performances sont d'autant meilleures que le nombre de contraintes est petit. Si, comme on pouvait s'y attendre, la largeur U-L+l augmente en valeur absolue avec le nombre de va- riables, il faut noter que le rapport (U-L+ l)/n diminue (n = 100 —» 2.76 10~2; n = 2 5 0 ^ 1.64 10~2; n = 500-> 1.00 10~2).

Enfin nous avons testé l'influence du second membre h sur les perfor- mances de l'algorithme en corrélant chaque è, à la somme des coefficients An de la contrainte i de la manière suivante :

SAC A DOS MULTIDIMENSIONNEL 185

T A B L E II

Encadrement de la somme des variables pour les instances tirées au hasard suivant la loi uniforme Problème

a = 0,2 0 = 0,6 . .

a = 0,2 J3 = 0,2 . .

a = 0,6 P = 0,2 . . taille mxn

2x100 2x250 2x500 5x100 5x250 5x500 10x100 10x250 10x500 2x100 2x250 2x500 5x100 5x250 5x500 10x100 10x250 10x500 2x100 2x250 2x500 5x100 5x250 5x500 10x100 10x250 10x500

Phase U-L+l

20,0 41,7 76,6 16,5 40,8 84,6 18,1 44,7 85,2 15,2 47,3 84,9 18,8 44,8 90,6 20,8 49,0 97,1 14,4 28,8 59,8 11,4 30,4 61,4 16,0 36,1 67,7

Glover temps

0,06 0,16 0,32 0,15 0,38 0,74 0,28 0,70 1,52 0,06 0,16 0,34 0,14 0,38 0,74 0,28 0,70 1,50 0,06 0,17 0,32 0,15 0,36 0,78 0,29 0,73 1,46

Phase U-L+l

3,4 4,2 4,6 3,1 4,5 5,2 3,7 5,2 6,7 2,8 5,2 5,6 3,8 5,7 6,6 4,0 5,8 7,0 2,6 4,2 4,6 2,7 4,2 4,5 4,1 5,2 6,4

en continu temps 5,49 23,60 61,95 5,22 23,12 64,35 6,38 23,17 75,47 4,62 23,13 68,56 5,77 28,09 74,32 7,57 29,29 167,90 4,78 20,67 61,73 4,24 21,21 63,56 5,52 25,46 72,96

Phase U-L+l

2,7 3,7 4,0 2,5 3,6 4,7 3,2 4,3 6,0 2,0 4,1 4,3 3,3 5,2 5,8 3,3 5,2 6,7 2,0 3,3 3,8 2,4 3,2 4,2 3,5 4,5 5,7

en entier temps 1,09 2,76 5,80 0,97 3,49 5,72 1,51 3,59 8,15 0,88 3,23 7,59 1,24 4,41 10,13 2,12 5,02 10,93 0,54 2,64 6,26 0,71 3,13 5,18 1,26 3,71 13,94

h- (a + fin) J2 A%j avec a , / 3 e R ,

n £ U ( 0 , 1) tel que a + Pn e]0, 1[, i = 1, . . . , m Les meilleurs résultats sont obtenus pour les instances dont toutes les contraintes sont relativement peu serrées (a = 0.6; P = 0.2). A l'opposé, les résultats les moins bons concernent les instances à contraintes serrées (a = 0.2; 3 = 0.2).

L'amélioration des bornes L et U implique un accroissement du coût en temps calcul non négligeable, qui est cependant contrôlé en complexité si on se limite à la phase en continu. Mais surtout, l'obtention de bornes très serrées doit permettre pour les instances de grande taille d'éviter beaucoup plus efficacement l'explosion combinatoire des méthodes énumératives. Ainsi le temps « perdu » dans la phase de prétraitement pourrait être regagné large- ment dans la phase de résolution exacte. Les expériences en cours complètent

vol. 27, n° 2, 1993

186 A. FREVILLE, G. PLATEAU

une première approche de résolution exacte du sac à dos bidimensionnel en variables 0-1 par énumération implicite [FRPL92Ö].

4. CONCLUSION

Dans le cadre de la résolution du dual surrogate du sac à dos bidi- mensionnel en variables 0-1, nous avons présenté une procédure du type dichotomique, soit exacte, soit approchée lorsque les contraintes d'intégralité sont relâchées.

Cette procédure a permis la définition d'une nouvelle méthode d'encadre- ment de la somme des variables fixées à 1 à l'optimum du problème du sac à dos multidimensionnel en variables 0-1. Des résultats très encourageants ont été obtenus, en particulier pour les instances de grande taille.

Inclue dans une phase de prétraitement, cette technique devrait permettre d'améliorer sensiblement les méthodes d'énumération implicite utilisées pour la résolution exacte des problèmes de sac à dos en variables 0-1 à 2 dimensions et plus. Des expériences sont en cours dans le cas bidimensionnel.

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