INF280 Manipulation de bits

INF280

Manipulation de bits

Antoine Amarilli

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Introduction

• Données représentées sous la forme debits

• C++ permet de les manipulerdirectement

• Parfois plus rapide àexécuter

• Parfois plus rapide àécrire

Table des matières

Introduction Bases

Ensembles Nombres Autres

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Opérations bit-à-bit

a & b • ETbit-à-bit

• Exemple : 01011101

& 00110101

= 00010101

a | b • OUbit-à-bit

• Exemple : 01011101

| 00110101

a ˆ b • XORbit-à-bit

• Exemple : 01011101 ˆ 00110101

= 01101000

˜ a • NOTbit-à-bit

• Exemple :

˜ 00110101

= 11001010

Décalage

a << i • Décalage vers lagauche(poids forts)

• Complèteavec0

• Peuttronquer

• Exemple :

01011101 << 2

= 01110100

a >> i • Décalage vers ladroite(poids faibles)

• Complèteavec0(sauf signe, voir plus tard)

• Peuttronquer

• Exemple :

01011101 >> 2

= 00010111

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Builtinsgcc(non portable)

__builtin_popcount(s) Nombre de1

__builtin_ffs(s) Index du1le plus à droite (à partir de1)

• ffs(00000001) = 1

• ffs(00000110) = 2

• ffs(00000000) = 0

__builtin_clz(s) Index du1le plus à gauche (indéfini pour0)

• clz(10000001) = 0

• clz(01000110) = 1

• clz(00000000) = ?

Pièges

• Attention à lapriorité!

• a & b == 1

→ a & (b == 1)

• Attention auxgrands shifts!

• a << 1337estindéfini!

• Attention auxentiers signés!

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Table des matières

Introduction Bases Ensembles

Nombres Autres

Principe

• Stocker unpetit ensembledans les bits d’un entier non-signé

• Lebitiest à1ssi l’élémentiest dans l’ensemble

→ Énumérerles ensembles en énumérant les entiers

→ Pluscompactqueset

→ Parfoisnécessairepour passer en temps/mémoire !

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Types

• Dépend de lataillede l’ensemble :

• unsigned long longgarantit64 bits

• unsigned longgarantit32 bits

• unsignedgarantit16 bits

• Aussi :uint64_t,uint32_t,uint16_t,uint8_t (avec#include <cstdint>)

• Attentionà faire les bons casts !

uint64_t x = 1 << 33; // bug (comportement indéfini) uint64_t x = ((uint64_t) 1) << 33; // OK

Lecture de l’ensemble

s & t intersection s | t union

s ˆ t différence symétrique

s & (1 << i) teste si l’élémentiest dans l’ensemble __builtin_popcount(s) nombre d’éléments

__builtin_ffs(s) index du premier élément __builtin_clz(s) index du dernier élément

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Modification de l’ensemble

s | (1 << i) ajouter l’élémenti s & ˜(1 << i) retirer l’élémenti

s ˆ (1 << i) basculer l’élémenti

s & (s-1) retirer le plus petit élément

Ensembles plus gros

• bitset<N>,taille fixe

→ remplace les entiers quand 64 ne suffit pas

• vector<bool>,taille variable

→ permet de changer la taille

→ overhead devector

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Sous-ensemble

• Énumérer lessous-ensemblesdes

• Soitnle sous-ensemblecourant

• Idée :

• | ˜spourmettre à1les bits inutiles

• +1 pourpropagerune retenue

• & s pourremettre à0les bits inutiles

→ Prochain sous-ensemble:((n | ˜s) + 1) & s

Couples

• a * N + bpourencoder un couple

• p/Netp%Npourdécoder le couple

• Évidemmentil fautb<N

• Attention à lacapacité!

(Plutôt arithmétique que bit-à-bit...)

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n-uplets

Plus de deux éléments :

// encode

long long v = 0;

for (int i = 0; i < n; i++) { v *= N;

v += p[i];

}

// décode

for (int i = n-1; i >= 0; i--) { q[i] = v % N;

v /= N;

Table des matières

Introduction Bases Ensembles Nombres

Autres

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Complément à deux

• Entiernon signédenbits : de0à2ⁿexclu

• Entiersigné: représenter des positifs et négatifs

• Premier bit : champ dusigne(0pour positif)

• Positifsde0à2ⁿ⁻¹exclu

• Négatifs :

• De−1à−2ⁿ⁻¹inclus

• Bit designeà1

• Autres bits :2ⁿ−abs(i)

→ Vrai en pratique maisnon garantipar le standard C++

Exemple de complément à deux

Valeur Non-signé Signé

0111 1111 127 127

0111 1110 126 126

· · · ·

0000 0001 1 1

0000 0000 0 0

1111 1111 255 -1

1111 1110 254 -2

· · · ·

1000 0001 129 -127

1000 0000 128 -128

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Puissances de deux

• Tester sidivisible par 2:!(x & 1)

• Calculer2ⁱ:(1 << i)

• Tester sipuissance de 2:x && !(x & x-1)

• Doit contenir≥1bit à1

• Doit êtrenulsi premier bit à1est mis à0

→ Doit contenirexactement1 bit à1

Table des matières

Introduction Bases Ensembles Nombres Autres

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Code de Gray

• Énumérerles valeurs de0à2ⁿexclu

• Changerun seul bit à la fois

• Cas 1 :0,1

• Cas 2 :00,01,11,10

• Récurrence :

• Construirele codeC_n−1

• Construirele code miroirCn−1

• C’est également un code !

• C¹_nestCn−1en préfixant avec un0

• C²_nestC_n−1en préfixant avec un1

• C_nestC¹_nC_n²