Révisions 6èmes math 6h/semaine : examen de juin

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6^ème math 6h : révisions juin S.FLOSSY – G.HOFFAIT 1

Révisions 6èmes math 6h/semaine : examen de juin

Chapitre 4 : calcul intégral et applications

1. Recherche les primitives suivantes :

a) 9 ²

b)

∫

x 3 4

dx

c) cos 2 d)

∫

+ dx x 1 e

2 x arctan

e)

∫

− dx x 2 18

4

2

f)

∫

g)

∫

x 16 1

x 4

4 h)

∫

i)

∫

+ dx x 1

x

j)

∫

k)

∫

x ) x cos(ln

l)

∫

m)

∫

+ + dx

e x

e 1

x x

n)

∫

x

x 5 x 2 x

2 3

o)

∫

− dx

) x 7 2 (

x 6

3 2

p)

∫

e 1 e

x x 2

q)

∫

2. Calcule les intégrales suivantes :

a) ³ xdx

0

∫

1 x dx

b) ²(1 3x)²dx

∫

02x 3 dx

c)

x dx

1

∫

∫

2

1 dx

1

² x

x

d) cos 3 o)

e) ²(x 3) dx

1

∫

∫

f)

∫

4

² x

x q)

∫

g)

∫

² x 1

x r)

∫

x 2

² x

1 x

h)

∫

i)

∫

x 1

x t)

∫

1)² 3x - (x²

2x - 3

j)

∫

∫

+

1

0 dx

³ x 1

² x

k)

∫

x )³ x

(ln v) x.lnx.dx

e

1

∫

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6^ème math 6h : révisions juin S.FLOSSY – G.HOFFAIT 2

3. Calcule l’aire de la surface délimitée par les fonctions f(x)= sin x et g(x) = cos x entre les 2 droites verticales x = 0 et x = π.

4. Calcule l’aire de la surface délimitée par la fonction f(x) = sin x, l’axe des x et les 2 droites

verticales x = 2

π et x = 2 3π.

5. Calcule l’aire de la surface délimitée par la fonction f(x) = 1 – x², l’axe des x et les 2 droites verticales x = -2 et x = 1.

6. Calcule l’aire de la surface délimitée par les fonctions f(x) = 2 – x², g(x) = - x entre les 2 droites verticales x = -2 et x = 2.

7. i) Calcule l’aire de la surface délimitée par les fonctions f(x)= cos x, g(x) = 2

1 entre les 2 droites verticales x = -π et x = π.

ii) Calcule le volume du solide de révolution engendré par la rotation de cette surface, limitée entre x =

3

−π et x = 3

π, autour de l’axe des x.

8. Calcule l’aire de la surface délimitée par les fonctions f(x)= x² - 4 et g(x) = - x+2.

9. Calcule l’aire de la surface délimitée par les fonctions f(x)= x² + 2 et g(x) = x +4.

10. Calcule l’aire de la surface délimitée par la fonction f(x) = 2^x, la droite ≡ x + 2y – 5 = 0 entre les 2 droites verticales x = -1 et x = 3.

11. Calcule l’aire de la surface délimitée par la fonction f(x) = ln x, la droite ≡ y = x – e entre les 2 droites verticales x = 1 et x = e.

12. Calcule le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe des x de la surface grisée ci-contre.

13. Calcule l’aire de la surface comprise entre la fonction f(x) = 2 – x² et la droite ≡ x -2y + 3 = 0.

14. Calcule l’aire de la surface délimitée par la fonction f(x) = 2^x , la droite ≡ y = -x + 1 entre les 2 droites verticales x = 0 et x = 1.

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6^ème math 6h : révisions juin S.FLOSSY – G.HOFFAIT 3 15. Calcule le volume du cylindre de révolution engendré par la rotation du trapèze ABCD

autour de l’axe des x.

16. Calcule le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe des x de la surface délimitée par f(x) = e^2x, l’axe des x et les 2 droites verticales x = 0 et x = 3.

17. Calcule le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe des x de la surface comprise entre les fonctions f(x) = 9−x²et g(x) = 4−x² ^.

18. Quelle est la différence entre

∫



 



 −

3 2

1 1 dx

x

1 et l’aire de la surface comprise entre la fonction

f(x)= ^! 1 , l’axe des x et les 2 droites verticales x = 2

1et x = 3 ?

19. Calcule l’aire de la surface délimitée par les axes du repère, les fonctions f(x)= e^x , g(x) = ln x et la droite passant par les points (1,e) et (e,1).

20. Calcule l’aire de la surface délimitée par le cercle de centre O et de rayon 2 entre les deux droites verticales x = -2 et x = 1.

21. Calcule l’aire de la surface comprise entre la fonction f(x)= x² + 1, la droite ≡ y = 2 entre les deux droites verticales x = – 1 et x = 2.

22. Calcule le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe des x de la surface comprise entre la fonction f(x) = x² + 1, l’axe des x entre les deux droites verticales x = – 2 et x = 2.

23. Calcule le volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe des x de la surface limitée par les fonctions f(x)# √ 1, g(x)=√ % 1 entre les deux droites verticales

0

x = ^et x=5^.

Solutions

1.

a) ^&arcsin ₎ %^! 9 ² % * b) ^√)

+ arctan ^√) % *

c) sin 2 % cos 2 ^!_-sin 2 % * d) e^arctanx+C

e) 2√2 arcsin ₎ % *

f) C

6 ) 1 x 2 ( sin 2

) 1 x 2

sin( + − ³ + +

A D

B

C

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6^ème math 6h : révisions juin S.FLOSSY – G.HOFFAIT 4 g) ^{./ 0. 1- 2}% *

h) ⁾ %2 cos −^!_-sin 2 + *

i) ₎ 1 + √1 + − 2√1 + + * = 1 x.(x 2) C 3

2 + − +

j) 1 x C

4 x x arcsin 4

1 x

2 ² − + − ₂ +

k) sin(lnx)+C

l) sin . ln 1 + cos + − sin + * =x+sinx.(ln(1+cosx)−1)+C m) lnx+e^x +C

n) − 2. ln| | −^!_√ + * = C x

x x 10

2 ln

x² − ₂ − +

o) C

) x 7 2 ( 14

3

2

2 +

− p) e^x +e^−x +C

q) C

5 x cos 3

x x cos cos

5

3 − +

+

− 2. a) ³ 3

4

9 b) 38 c) 2 d)

3

−1 e) 4

−255 f) ^!ln ^!)_- =ln 2

13

g) 2 3 2−

h) 3

16 i) 6

2 5 8−

j) e – 1 k) 4

1 l) 1 m) ^!ln 3 =ln 3

n) 0 o) ln 3 p) − ln ^√ =ln 2 q) 3

1 e⁹ −

r)2√2 − √3 s) 4 t) 11 10

u)

(

)

3

2 − v) 4

1 e² +

3. 2√2 67 4. 2 67 5. ⁸₎67 6. ^!&

) 67

7. i) 2√3 +₎ 67 ii) ^²

+ +_-√3 69 8. ^{! :}

+ 67 9. ^&67

10. 8,49 67

11. ^> +⁾− ? = 2,48 67 12. 72A 69

13. _!+^& 67 14. ^!

B −^!= 0,94 67

15. 7A 69

16. _- ?^! − 1 = 40688,45A 69 17. ^F+ ₎ 69

18. Intégrale : ln 3 − ln ^! −^: Aire : − ln 3 − ln ^! +⁾ 67 19. ^> + ? −^: = 3,91 67

20. ⁸

) + √3 = 10,11 67 21. ⁸₎67

22. ^-!

!: 69 23. 76,68 69