Série d’exercices N° 14 Lycée 9 Avril 1938 Sfax
Prof : Mr Tounsi Riadh Produit scalaire Produit vectoriel
Classes 4ème Science Exp 2008/2009 Exercice 1
( )
L'espace est rapporté à un repère orthonormé O,i, j,k . r r r
1. Soit Sl’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace vérifiant : x² + y² + z² + 2x - 2y - 4z + 2 = 0.
Démontrer que S est une sphère dont-on précisera le centre Iet le rayon R.
2. Soit P le plan d’équation 2x + 2y + z – 1 = 0 . Démontrer que PIS est un cercle (C) de centre H et de rayon r que l’on déterminera.
3. Déterminer les équations cartésiennes des plans strictement parallèles à P et tangents à la sphère S .
4. Soit le point J( 0,1, 2) . Déterminer l’ensemble S’ des points M(x,y,z) de l’espace vérifiant : IM.JMuur uuur=0 (par deux méthodes)
Exercice 2
( )
+ + + =+ + =
r r r
1
2
1 2
L'espace est rapporté à un repère orthonormé O,i, j,k . On considère les plan P : 2x y 4z 11 0 et P : x 2y - z 1 0 et le point A(5 , - 7 , 1 ) .
1. a)Montrer que P est perpendiculaire à P . b) Soit D = P1IP . Calculer d A,D2
( )
I
+ + + + =
2. Soit S l'ensemble des points M(x,y,z) de l'espace vérifiant : x² y² z² - 10x 6y - 2z 19 0 a) Montrer que S est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon R .
b) Vérifier que A∈S .Déterminer les coordonnées du point A diamétralement opposé à A sur S .′ c) Ecrire l'équation cartésienne du plan P tangent à la sphère S en A .
3. Montrer que S coupe P suivant un cercle dont-on déterminera le centre et son rayon .2
( )
{ }
I
= ∈ ξ + + − + − + − − =
m
m m m
4. A tout réel m on associe : S M x, y, z : x² y² z² 10mx 6my 2z 30m² 3m 8 0 a) Montrer que pour tout réel m ;S est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon R . b) Déterminer le plus petit des rayons des sphères S .m
Exercice 3
On considère dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O, , , )i j k r r r
les points A(1,1,0) A’(0,2,3) et les
vecteurs
1 2
u 2 1
1 0
et v
. Les droites D passant par A et de vecteur directeuru
. Et D’ passant par A’ de
vecteur directeurv .
1. Déterminer une équation cartésienne du plan P contenant D et parallèle à D’
2. Soit Q le plan contenant D’ et perpendiculaire à P. Trouver une équation cartésienne de Q.
3. Déterminer une représentation paramétrique de D.
4. En déduire les coordonnées du point I intersection de D et Q.
5. Déterminer une représentation paramétrique de la droite ∆ passant par I et orthogonale à P.
6. Déterminer le point J de rencontre de ∆ et D’.
7. Calculer la distance IJ. Exercice 4
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé (O, , , )i j k r r r
les points A(2,2,0) ; B(0,2,2) et C(1,0,1) .
1. a) Vérifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b) Montrer qu’une équation cartésienne du plan P passant par A, B et C sont x + z -2 = 0
2. Soit Q le plan dont une équation cartésienne est : Q : x + 2y + z -1 = 0 . a) Montrer que les plan P et q sont sécants.
b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite D intersection de P et Q .
Soit m un réel et Pm l’ensemble des points M(x,y,z) tel que : (m +1)x +2my +(m + 1)z -m -2 = 0.
a) Montrer que pour tout réel m , Pm est un plan.
b) Montrer que pour tout réel m , la droite D
