2nde6 Statistiques Statistiques descriptives
Statistiques
I Vocabulaire de base
Lorsque l’on se pose unequestionsur un ensemble complexe, on est souvent amené à faire uneétude statistique pour en observer les caractéristiques, les particularités (exemples: les femmes se marient-elles de plus en plus tard ? Comment évolue la population française ? Comment évolue le climat ? etc...).
1.1 Trois exemples
Ex1 :étude des notes de maths de deux classes
On étudie les classes de 2nde1 et de 2nde2, composées de 25 élèves chacune. On a interrogé 10 élèves de chacune des classes.
Classe 1 1 12 8 8 11 10 11 18 10 8
Classe 2 1 4 8 12 11 18 17 4 11 7
Ex 2 :étude de l’évolution des précipitations à Muy (var)
On a relevé le niveau des précipitations (en mm) pour chaque mois de l’année 1995 et 2000.
jan fév mars avr mai juin juil aout sept oct nov déc
1995 58.4 44.1 28.5 143 64.9 14.5 54.2 26.8 76.6 36.3 72.1 127.4 2000 4.1 2.2 31.5 111 3.1 102.9 26.5 14 117.5 138.8 211.7 163.6 Ex 3 :étude des mois de naissance des élèves d’une classe
On a demandé à 10 élèves sur 25 de 2nde1 et 10 sur 25 de 2nde2 leurs mois de naissance.
Classe 1 jan jan mars sept aout juil oct juil fev mai Classe 2 fev nov sept nov jan mai mai juin mars jan
1.2 Définitions
Lapopulation est l’ensemble sur lequel porte l’étude ; cette étude porte sur un aspect, un caractèrede cette population. Un élément de la population s’appelle unindividu.L’échan- tillonest la partie de la population sur laquelle a porté l’étude.
Une série statistique est l’ensemble des va- leurs collectées. La série statistique estquanti- tativequand on peut mesurer le caractère étu- dié, dans le cas contraire la série est dite qua- litative.
Si le caractère étudié est quantitatif et qu’il peut prendre une infinité de valeurs, de façon continue, on parle d’un caractère quantitatif continu. S’il ne peut prendre qu’un nombre li- mité de valeurs, on parle d’un caractèrequan- titatif discret.
• Dans l’exemple 1, la population est. . . . et le caractère étudié est . . . ..
On a interrogé un échantillon constitué de 10 élèves de la 2nde1 et de 10 élèves de la 2nde2. La série statistique est. . . ..
• Dans l’exemple 2, la population est. . . ..
On travaille sur l’échantillon constitué des relevés de précipitation des années 1995 et 2000. La série sta- tistique est. . . ..
• Dans l’exemple 3, la population est. . . . et le caractère étudié est . . . ..
On a interrogé un échantillon constitué de 10 élèves de la 2nde1 et de 10 élèves de la 2nde2. La série statistique est. . . ..
1.3 Représentations
• Lorsque le caractère étudié est quantitatif discret on peut utiliser undiagramme en bâton.
• Lorsque le caractère étudié est quantitatif continu on peut utiliser unhistogrammepour représenter la série.
• Lorsque le caractère étudié est qualitatif on peut utiliser un diagramme circulaire ou semi-circulaire pour représenter la série statistique.
Exo :Représentez la série de l’exemple 1 à l’aide d’un diagramme à bâton.
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II Etude statistique
Une série statistique est constituée de tout un ensemble de données qu’il n’est pas facile d’interpréter tel quel. Pour avoir des informations précises et concises sur l’ensemble étudié, on va définir certaines mesures qui permettront de comparerdes séries entre elles, ou derepérerefficacement leurs caractéristiques.
2.1 La distribution de fréquences d’une série
Supposons que l’on observe surN individus (N estl’effectif total) un caractère quantitatif.
L’effectifnk d’une valeur est le nombre d’indi- vidus dont le caractère a cette valeur.
La fréquence de cette valeur est le nombre fk défini par fk = nNk. On peut l’exprimer en pourcentage.
Remarque 1 : On peut, en particulier si le caractère est quantitatifcontinu, regrouper les valeurs enclasses(in- tervalles contenant plusieurs ou une infinité de valeurs du caractère observé).
Remarque 2 : Dans le cas d’un caractèrequalitatif (voir exemple ci-dessous, avec les voyelles), les définitions sont les mêmes mais on ne parle pas des valeurs que prend
le caractère étudié, mais des modalités (dans l’exemple ci-dessous, on parle de la modalité ”a”).
Dans l’exemple 1 :
On observe les notes des N = 10 élèves observés de la classe 1 :
Notes 1 4 7 8 10 11 12 17 18
Effectifs 1
Fréquences 101 En pourcentage 10%
Dans l’exemple 2 :
On observe le niveau d’eau(mm) sur lesN = 24mois de 1995 et 2000.
précipitations (mm) [0; 40[ [40; 80[ [80; 120[ [120; 160[ ≥160
Effectifs 10
Fréquences 1024= 125 En pourcentage ≈41.7%
Un exemple(caractère qualitatif) : on a compté dans un texte le nombre de voyelles trouvées ; on a compté 88 a, 265 e, 102 i, 76 o, 90 u et 5 y.
– Quelle est la population observée, le caractère observé ? Quel est l’effectif total ? – Remplissez le tableau suivant :
Voyelle a e i o u y Total
Effectif Fréquence
2.2 Résumé d’une série statistique
2.2.1 La moyenneValeur x1 x2 · · · xp
Effectif n1 n2 · · · np
Effectif total :N=n1+n2+· · ·+np.
La moyenne de cette série statistique est le réel, notéx¯ tel que :
¯
x= n1x1+n2x2+· · ·npxp
N
Valeur x1 x2 · · · xp
Fréquence f1 f2 · · · fp
La moyenne de cette série statistique peut aussi se calculer à l’aide des fréquences :
¯
x=f1x1+f2x2+· · ·fpxp
Exemples
Dans l’exemple 1 : la moyenne des 10 élèves de la 2nde1 est de :
Dans l’exemple 2 : la moyenne du niveau de précipitation à Muy en 1995 est de :. . . et en 2000 cette moyenne est de :. . . ..
2.2.2 La médiane
On trie les m valeurs d’une série statistique dans l’ordre croissant :x1≤x2≤ · · · ≤xm.
• Si m est impair,m= 2q+1, alors lamédiane est la valeur de rangq+ 1.
• Si m est pair,m= 2q, alors la médiane est la demi-somme des valeurs des rangsqetq+ 1.
Exemples :Soit une série de 9 notes, triées :
8−8−8−9−10−15−18−19−20
La médiane de cette série est 10 (il y a 4 élèves qui ont moins, 4 qui ont plus).
Soit une série de 6 notes, triées :
1−2−2 − 16−17−19
La médiane de cette série est 2+16
2 soit 9. Il y a 3 élèves qui ont moins de 9, 3 qui ont plus.
Exo :Calculez les médianes des séries statistiques des exemples 1 et 2.
2nde6 Statistiques Statistiques descriptives 2.2.3 Le mode (ou la classe modale)
Lemode(ou laclasse modalequand les don- nées sont regroupées en classes) est la valeur (ou la classe) qui a le plus grand effectif.
Diamètre (mm) 10 11 12 13
effectif 8 20 2 8
Le mode de cette série est de 11mm (il y a une majorité de pièces de 11mm de diamètre).
exo :Une étude est lancée sur la durée du transport quotidien auprès de 400 élèves de lycée Durée t (min) 0< t≤20 20< t≤40 40< t≤60 60< t≤120
Nb d’élèves 74 146 98 82
Fréquence (%)
• Complétez la ligne des fréquences, exprimées en pourcentage.
• Quelle est la classe modale ?
• Comment calculer la durée moyenne du temps de transport d’un élève ?
2.2.4 L’étendue
C’est une mesure de dispersion, qui donne une indication sur le fait que les valeurs de la série statistique sont très regroupées ou au contraire varient beaucoup.
L’étendue d’une série statistique est la diffé- rence entre la plus grande et la plus petite des valeurs du caractère observé.
Diamètre (mm) 10 11 12 13
effectif 8 20 2 8
L’étendue de cette série est de 3mm car 13-10=3.
Calculez l’étendue des séries statistiques de l’exemple 1, pour chacune des deux classes de 2nde1 et de 2nde2.
Calculez l’étendue des séries statistiques de l’exemple 2, pour l’année 1995, puis pour l’année 2000.
III Propriétés de la moyenne
3.1 Moyenne élaguée
Si une ou plusieurs valeurs (les valeurs extrêmes) de la série sont douteuses, on peut les retirer de la série ; on calcule alors unemoyenne élaguéede la série.
Exemple : 8 élèves ont mesuré la tension aux bornes d’une résistance, et ont trouvé respectivement 11.2V, 10.8V, 11.4V, 11.3V, 11.4V, 10.9V, 0.1V, 11.0V. Calculez la moyenne, puis la moyenne élaguée de cette série.
3.2 Linéarité de la moyenne
• Lorsqu’on ajoute (ou retranche) un même nombreb à chacune des valeurs du caractère observé, sans changer les effectifs, la moyenne augmente (ou diminue) deb.
• Lorsqu’on multiplie chacune des valeurs du caractère observé par un nombre a, sans changer les effectifs, la moyenne est multi- pliée para.
Exemple :
• Si j’ajoute 1 à tous les élèves de 2nde1, leur moyenne augmente de 1.
• Si je multiplie par 0.5 toutes leurs notes, leur moyenne est multipliée par 0.5
Exercice : Calculez de tête la moyenne de 421, 422, 423, et 426.
3.3 Moyenne à partir de moyennes de sous-groupes
Soit une (petite) classe composée de 3 élèves, dont la moyenne est 18. Soit une deuxième classe de 32 élèves, dont la moyenne est 10. Puis-je dire que la moyenne de tous les élèves des deux classes est de 14 ? Si non, comment puis-je calculer leur moyenne ?
Si l’on partage toutes les valeurs d’une série de moyennex¯en deux sous-groupes disjoints, l’un d’effectifpet de moyenney, l’autre d’effectif¯ q et de moyennez¯alors
¯
x=p¯y+q¯z
p+q
Exemple :
• Dans l’exemple ci-dessus : sur les 35 élèves des deux classes,p= 3ont une moyenne de ¯y= 18etq = 32ont une moyenne dez¯= 10. La moyenne globale des 35 élèves est donc¯x=
• Si je multiplie par 0.5 toutes leurs notes, leur moyenne est multipliée par 0.5
Exercice :Une entreprise emploie 25 cadres et 18 ou- vriers. La moyenne des salaires annuels est de 38700 euros chez les cadres et de 15800 euros chez les ouvriers. Quel est le salaire moyen de tous les employés de l’entreprise ?
