TABLE DES MATIÈRES. Page

TABLE DES MATIÈRES

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CHAPITRE 1 INTRODUCTION ...1

1.1 Généralités sur l’énergie éolienne...1

1.1.1 Différents types d’éoliennes ...2

1.1.2 Les composantes d’une éolienne à axe horizontal...3

1.1.3 Principe de fonctionnement ...4

1.2 Objectif de l’étude...5

1.3 Structure du mémoire...6

CHAPITRE 2 REVUE DE LITTÉRATURE ...7

2.1 La Commission Électrotechnique Internationale ...7

2.2 La norme IEC 61400-12-1 ...8

2.3 Le projet de norme IEC 61400-12-2...8

2.4 Performance des éoliennes...9

2.4.1 Courbe de puissance ...9

2.4.2 L’utilisation de l’anémométrie à la nacelle pour la vérification de la performance...10

2..4.2.1 Principe de la méthode...11

2.4.2.2 L’emplacement recommandé de l'anémomètre ...12

2.4.3 Le Concept du disque actuateur...13

2.4.3.1 Coefficient de puissance ...17

2.4.3.2 Le coefficient de poussée...17

2.4.3.3 La limite de Betz...19

2.4.3.4 Correction de Glauert...19

CHAPITRE 3 DESCRIPTION DU PROJET ...21

3.1 Localisation du projet ...21

3.2 Description du parc éolien ...22

3.2.1 Les tours météorologiques ...24

3.2.2 Description des données du parc éolien...25

3.3 Description de l’éolienne Nordex N80 ...26

3.3.1 Propriétés de fonctionnement ...27

3.3.2 Performance de la Nordex N80...28

CHAPITRE 4 MODÈLE MATHÉMATIQUE...31

4.1 Équations fondamentales...31

4.1.1 Équations du mouvement...31

4.1.2 Équation de Navier-Stokes moyennées ...33

4.1.3 Modèle de turbulence...34

4.1.3.1 L’approche de Boussinesq ...34

4.1.3.2 Modèle de k – İ...36

4.1.3.3 Modèle proposé par Chen and Kim ...37

4.1.4 Modèle axisymétrique...39

4.2 Modélisation de l'éolienne…...42

4.2.1 Modélisation de la nacelle ...42

4.2.2 Modélisation du rotor...42

4.2.3 La théorie de l’élément de pale ...43

4.3 Modifications aérodynamiques ...48

4.3.1 Perte au bout de pales ...48

4.3.2 Coefficient de traînée de la partie cylindrique...49

CHAPITRE 5 MÉTHODE NUMÉRIQUE ...50

5.1Description générale de la méthode...50

5.2 Choix du maillage et domaine de calcul ...51

5.3 Modélisation du rotor...54

5.4 Conditions aux limites ...54

CHAPITRE 6 RÉSULTATS ET DISCUSSIONS...57

6.1Éolienne isolée...57

6.1.1 Corrélation UnacļUinf expérimentale ...59

6.1.2 Influence du maillage...61

6.1.3 Configuration ouverte et fermée ...62

6.1.4 Configuration avec radiateur...64

6.1.4.1 Ajustement de la valeur de K avec le modèle k standard...64

6.1.4.2 Ajustement de la valeur de K avec le modèle proposé…………...66

6.2 Nacelle opérant dans le sillage………...68

6.2.1 Corrélation Unacļ Uinf expérimentale ...68

6.2.2 Comparaison des résultats de simulation du modèle k-İ standard avec ceux du modèle proposé pour K=25...70

6.2.2.2 Influence de la distance entre les éoliennes……….74

6.2.2.3 Influence de l’emplacement de l’anémomètre………...76

6.2.2.4 L’anémométrie à la nacelle………...80

CONCLUSION………82

RECOMMANDATIONS ...83

ANNEXE I RÉSULTATS DES SIMULATIONS AVEC LE MODÈLE k-İ STANDARD POUR K=25 ………84

ANNEXE II FICHE TECHNIQUE DE LQ N80 (2.5MW)………...88

V

ANNEXE III DESSIN TECHNIQUE DE LA N80 (2.5MW) …....…..…..…..…..…..….89 ANNEXE IV DISPOSITION DES ANÉMOMÈTRES SUR LA NACELLE

DE LA NORDEX N80 (2.5MW)……….……….………90 BIBLIOGRAPHIE…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…...91

Figure 1.1 Éolienne à axes vertical (a) et à axe horizontal (b) ...2

Figure 1.2 Les différents composants d’une éolienne moderne……….4

Figure 2.1 Courbe de puissance idéale d’une éolienne à axe horizontale……...10

Figure 2.2 L’emplacement de l’anémomètre sur la nacelle: l’anémomètre doit être placé à l’intérieur de la zone hachurée...12

Figure 2.3 L’écoulement autour d’un disque actuateur...13

Figure 2.4 Représentation de l’écoulement autour du disque actuateur...14

Figure 2.5 Variation de CP et CT en fonction de du facteur d’induction a ...18

Figure 2.6 Diagramme des vitesses ...20

Figure 3.1 Parc éolien de Wieringermeer...22

Figure 3.2 L’aménagement de la station de Wieringermeer ...23

Figure 3.3 Tour météorologique installée sur le site de Wieringermeer ...24

Figure 3.4 Éolienne Nordex N80 ...26

Figure 3.5 Système de variation de l’angle d’attaque des pales...27

Figure 3.6 Courbe de puissance de la Nordex N80...28

Figure 3.7 Vitesse de rotation du rotor en fonction de la vitesse infinie...29

Figure 3.8 Courbe Cp de la Nordex N80...29

Figure 4.1 Domaine de calcul...38

Figure 4.2 Description du disque actuateur...43

Figure 4.3 Représentation de l’élément de pale d’un rotor ...44

Figure 4.4 Profile aérodynamique d’une section de pale ...46

Figure 5.1 Voisinage immédiat de la paroi ...52

VII

Figure 5.2 Topologie du maillage près de la nacelle...53

Figure 6.1 Domaine de calcul...58

Figure 6.2 Les données réelles et corrélation obtenue : rotor en arrêt ...59

Figure 6.3 Les données réelles et corrélation obtenue : rotor en marche...60

Figure 6.4 Comparaison des différents maillages ...61

Figure 6.5 Comparaison entre les résultats des simulations des configurations ouvert et fermé et les données expérimentales (a) sans rotor (b) avec rotor...63

Figure 6.6 L'écoulement autour de la nacelle pour un rotor en arrêt ...64

Figure 6.7 Comparaison entre les résultats des simulations et les données expérimen- tales pour différentes valeurs de K: (a) sans rotor (b) avec rotor...65

Figure 6.8 Comparaison entre les résultats des simulations et les mesures expérimentales pour différentes valeurs de K : (a) rotor à l’arrêt (b) rotor en marche……….……….67

Figure 6.9 Résultats expérimentaux : éolienne en sillage, rotor en marche………69

Figure 6.10 Distribution de la vitesse dans le sillage de deux éoliennes à une distance de 2D en amont de chaque éolienne, K=25, Uinf=15m/s………...70

Figure 6.11 (a) Distribution de la vitesse dans le sillage de deux éoliennes à la position de l’anémomètre pour chaque éolienne. (b) Agrandissement de la zone proche de l’anémomètre...71

Figure 6.12 Comparaison des deux modéles avec les données expérimentales pour la nacelle amont ...72

Figure 6.13 Comparaison des deux modéles avec les données expérimentales pour la nacelle aval ...73

Figure 6.14 Résultats des différentes simulations obtenues pour une éolienne opérant dans le sillage placée à 3,4 et 5D pour K=30...74

Figure 6.15 Profil de la vitesse à la position axiale de l’anémomètre pour différents emplacements de l’éolienne aval, Uinf=15 m/s, K=25 ...75

Figure 6.16 L’emplacement de l’anémomètre sur la nacelle par apport à la zone de recommandation de l’IEC ...76 Figure 6.17 Variation axiale de la vitesse à r=2.25m pour Uinf=15m/s...78 Figure 6.18 Variation radiale de la vitesse à x=10.1m pour Uinf=15m/s...79 Figure 6.19 Comparaison des résultats obtenus aux différents emplacements de

l’anémomètre ...79 Figure 6.20 Comparaison entre les différentes corrélations...80 Figure 6.21 Comparaison entre les corrélations Urotor ļ Unac des deux éoliennes ...81

LISTE DES SYMBOLES

a Facteur d’induction axiale

a’ Facteur d’induction de vitesse circonférentielle A Surface du volume de contrôle

Arot Surface balayée par le rotor

B Nombre de pale

c Corde du profil aérodynamique

Cl Coefficient aérodynamique de portance C^d Coefficient aérodynamique de traînée C^P Coefficient de puissance

C^T Coefficient de poussée

D Diamètre du rotor de l’éolienne

fn Composante normale des forces surfaciques du rotor ft Composante tangentielle des forces surfaciques du rotor F Facteur correctif de Prandtl

Ftip Facteur correctif pour le bout de pale

Fhub Facteur correctif pour la section près du moyeu

Fext Somme de toutes les forces instantanées agissant sur un volume de contrôle donné

Fsur Force surfacique

Fvol Force volumique

Fmec Force engendrée par la présence du rotor de l’éolienne

FL Force aérodynamique de portance FD Force aérodynamique de traînée FN Force normale

FT Force tangentielle

Hwt Hauteur du moyeu de l’éolienne k Énergie cinétique turbulente K = 0.4 Constante de von Karman

LT Longueur caractéristique de turbulence ni Vecteur unitaire

P Puissance

r Rayon locale sur la pale R Rayon de la pale

Rhub Distance entre l’axe de symétrie et la fin de partie cylindrique de la pale

Re Nombre de Reynolds T Force de poussée du rotor U(z) Vitesse moyenne à une hauteur z Uinf Vitesse non-perturbée de l’écoulement

Unac Vitesse de l’anémomètre à la nacelle

u* Vitesse de friction

u Composante de vitesse parallèle à la direction à l’étude ui Vitesse instantanée dans la direction i

uj Vitesse instantanée dans la direction j

v Composante de vitesse horizontalement perpendiculaire à la direction à l’étude w Composante de vitesse verticalement perpendiculaire à la direction à l’étude V Volume de contrôle

Vrel,1 Vitesse relative en amont de la pale

Vrel,2 Vitesse relative en aval de la pale

Vrot Vitesse de rotation locale en m/s

VT Vitesse caractéristique de turbulence Z Hauteur à l’étude

Z0 Hauteur de rugosité

ȡ Densité

ȡ0 Densité de référence, 1.225kg/m³ ș Angle d’inclinaison de l’écoulement ȍ Vitesse de rotation en rad/s

Ȝ Vitesse spécifique Ȝ^r Vitesse spécifique locale

İ Taux de dissipation de l’énergie turbulente

IJ

^ij Tenseur de Reynolds

IJ

^w Cisaillement à la paroi

ȝ Viscosité dynamique ȝT Viscosité turbulente į^ij Symbole de Kronecker ψ Propriété du fluide ψ ^{Valeur moyenne} ψ' Valeur de fluctuation ψ Valeur instantanée

Ȍ^* (x, y, z) Perturbations d’une variable dues à la présence du rotor

)

~ (

0 z

ψ Différence entre les valeurs de ψ à une hauteur z et h (hauteur moyeu) ij Angle relatif

Į Angle d’attaque ș^p,o Angle de calage șT Angle de vrille local ı’ Solidité locale de la pale Cݹ Constantes du modèle k − İ Cݲ Constantes du modèle k − İ Cݳ Constantes du modèle k − İ Cȝ Constantes du modèle k − İ

ǻp Chute de pression causée par le rotor

∂t

∂ Dérivée partielle temporelle

CHAPITRE 1

INTRODUCTION

1.1 Généralités sur l’énergie éolienne

La demande mondiale d’éoliennes a connu une croissance rapide depuis une quinzaine d’années. En 2009 environ 157 000 MW étaient installés mondialement, dont 3319 MW au Canada et 659 MW au Québec [1].

Toutefois, cette technologie ne date pas d’aujourd’hui. En effet, depuis l'Antiquité, les hommes ont exploité l’énergie du vent. Il y a plus de 5000 ans, les Égyptiens de l'Antiquité utilisaient des voiliers sur le Nil. Plus tard, des gens ont construit des moulins pour moudre le blé et d'autres céréales. Les premiers moulins à vent étaient connus en Perse (Iran). Ces premiers moulins à vent ressemblaient à de grandes roues à aubes. Des siècles plus tard, les habitants de la Hollande ont amélioré la conception de base du moulin. Ils lui ont donné des pales de type hélice, toujours réalisés avec des voiles [2].

À la fin des années 1920, les Américains ont de petites éoliennes pour produire de l'électricité dans les zones rurales sans électricité. Lorsque ces lignes ont commencé à transporter l'électricité aux régions rurales dans les années 1930, les moulins à vent ont été de moins en moins utilisés, mais ils peuvent encore être vus sur certains ranchs de l'Ouest Américain.

La crise du pétrole des années 1970 a changé l'image de l'énergie aux États Unis et dans le monde entier. Elle a créé un intérêt pour d'autres sources d'énergie, ouvrant la voie à l’émergence de l'éolienne pour produire de l'électricité. Au début des années 1980, l'énergie éolienne a vraiment décollé en Californie, en partie à cause des politiques gouvernementales qui encouragent les énergies renouvelables. Soutien de développement éolien et depuis elle

(a)

s'est étendue à d'autres États, mais encore la Californie produit plus de deux fois plus d'énergie éolienne que tout autre États.

Aujourd'hui, de nombreuses éoliennes sont en exploitation, des systèmes résidentiels aux grands parcs éoliens qui sont utilisés pour fournir une grande quantité d'électricité aux services publics [3].

1.1.1 Différents types d’éoliennes

D’une façon générale, il existe deux principaux types d’éoliennes : les éoliennes à axe horizontal et les éoliennes à axe vertical (figure 1). Les éoliennes à axe horizontal (plus fréquentes) doivent être dirigées directement vers le vent. Pour cette raison, elles sont dotées d’un système pour qu’elles soient constamment pointées vers le vent. Celles à axe vertical ont pour atout de ne pas dépendre de la direction du vent, mais nécessitent une plus grande surface au sol pour l’installation des haubans que les éoliennes à axe horizontal.

Figure 1.1 (a) Éolienne à axes vertical et (b) à axe horizontal.

Tiré du site internet : http://www.caueariege.org/energies-renouvelables/eolien.htm Dans ce qui suit nous allons nous intéresser seulement aux éoliennes à axe horizontal.

(b)

3

1.1.2 Les composantes d’une éolienne à axe horizontal

Les principales composantes d’un système d’énergie éolienne sont illustrées à la figure 1.2 [1] :

• un rotor bipale ou tripale, qui converti l’énergie du vent en énergie mécanique par l’entraînement de son arbre;

• une tour sur laquelle est fixé le rotor et qui est assez haute pour exploiter les vents plus forts en altitude;

• un multiplicateur qui relie le rotor à la génératrice;

• un système qui commande le démarrage et l’arrêt de l’éolienne et surveille son fonctionnement;

• une fondation solide qui assure la résistance de l’ensemble par grands vents et/ou dans des conditions de givrage.

Figure 1.2 Les différents composants d’une éolienne moderne.

Tiré du site internet : http://www.retscreen.net/

1.1.3 Principe de fonctionnement

Les éoliennes modernes sont automatisées. Les forces aérodynamiques qui entrent en jeu dans leur fonctionnement sont les mêmes que celle qui sont créées par les ailes d’un avion.

La plupart des éoliennes sont pourvues d’un anémomètre qui mesure continuellement la vitesse du vent. Lorsque celle-ci est assez élevée pour compenser la friction du rotor, les mécanismes de commande lui permettent de tourner et de produire ainsi une faible puissance. Cette vitesse, appelée vitesse de démarrage, est habituellement d’environ 4 m/s, soit la force d’une brise légère. La puissance produite croit rapidement au fur et mesure que la vitesse du vent augmente. Lorsque celle-ci atteint le niveau maximum admissible pour l’éolienne installée, les mécanismes de commande assurent la régulation à la puissance

5

nominale. La vitesse du vent à laquelle une machine commence à fournir sa puissance nominale est appelée vitesse nominale; en générale, elle est d’environ 15 m/s. Si la vitesse du vent continue à augmenter, le système de commande arrête le rotor pour éviter que l’éolienne soit endommagée. Cette vitesse de d’arrêt est généralement d’environ 25 m/s.

1.2 Objectif de l’étude

Le projet comporte trois objectifs distincts :

D’abord, effectuer une étude numérique afin d'établir des relations reliant la vitesse du vent non perturbé (Uinf ) et la vitesse à la nacelle (Unac) et à améliorer l’efficacité et la précision de l’anémométrie à la nacelle, particulièrement dans des conditions d'opération en sillages d’une autre éolienne ou des pales,

Ensuite, évaluer l'impact de la rotation des pales sur la relation UinfļUnac, et de déterminer la position appropriée de l’anémomètre sur la nacelle.

Finalement, proposer un nouveau modèle de simulation de l’écoulement autour d’une éolienne à axe horizontal opérant dans le sillage et comparer ces simulations obtenues avec celles du modèle k-İ standard. Le modèle numérique proposé sera validé à l’aide des résultats obtenus expérimentalement.

1.3 Structure du mémoire

Le CHAPITRE 2 contient des informations sur les études en court qui a été fait dans le passé sur cette question. Également les principales références qui ont été utilisées dans ce projet sont décrites dans cette partie.

La modélisation du disque actuateur, et la théorie de l’élément de pale sont aussi présentées dans ce chapitre.

Le CHAPITRE 3 contient des informations sur le site qui fait l’objet de cette étude, ainsi qu’une description générale de l’éolienne Nordex N80 utilisée pour l’étude.

La première étape de réalisation du projet est le développement d'un modèle numérique de calcul de l'écoulement d'air autour d'une éolienne. La théorie relative à ce modèle numérique est présentée au CHAPITRE 4.

LE CHAPITRE 5 présente également une méthodologie développée pour simuler l'écoulement tout autour de la turbine, y compris la zone de sillage.

La deuxième étape consiste à simuler numériquement l'écoulement d'air autour d’une éolienne isolée ainsi qu’une éolienne opérant dans le sillage d’une autre éolienne. Ce travail est décrit au CHAPITRE 6.

La dernière étape du projet a pour but de présenter les résultats du modèle numérique puis de les confronter aux données expérimentales afin de valider le modèle numérique proposé.

Ce travail de présentation, d'analyse et de validation des résultats du modèle numérique d'écoulement est présenté au CHAPITRE 6.

Le mémoire se termine par une conclusion. Elle comprend les principaux résultats et d'importantes observations.

CHAPITRE 2

REVUE DE LITTÉRATURE

L’énergie éolienne a connu une énorme croissance ces dernières années produisant une expansion mondiale du nombre d’installation d’éoliennes [4]. En conséquence, plusieurs études ont été effectuées pour comprendre, interpréter et améliorer le comportement aérodynamique des turbines faces aux paramètres perturbants la vitesse de vent capturé par la machine pour garantir le maximum de l’exploitation de l’énergie disponible sur un site.

L’ensemble des intervenants de l’industrie éolienne (manufacturier, exploitant, chercheures), engagés dans la recherche et le développement des éoliennes, contribuent à la rédaction de normes telles que les normes de la Commission Internationale Électrotechnique (IEC) afin de standardiser les pratiques de l’industrie éolienne [5] [6]. Toutefois, plusieurs méthodes suggérées dans ces normes nécessitent du développement afin d’éclaircir certains aspects méconnus comme l’utilisation de l’anémométrie à la nacelle dans le sillage pour l’évaluation des performances d’une éolienne qui va être traitée dans cet ouvrage.

2.1 La Commission Internationale Eletrotechnique

La Commission Internationale Electrotechnique (IEC) est une organisation mondiale de normalisation composée de tous les comités électrotechniques nationaux. Son objectif est de promouvoir la coopération internationale sur toutes les questions de normalisation dans les domaines électriques et électroniques. À cette fin, et en plus d'autres activités, la IEC publie des Normes internationales, les spécifications techniques, rapports techniques et des Guides.

Leur élaboration est confiée à des comités d'IEC. Tout Comité national intéressé par le sujet traité peut participer à ces travaux préparatoires. Les organisations internationales, gouvernementales et non gouvernementales en liaison avec l’IEC, notamment l’organisation

internationale de normalisation (ISO), participent également aux travaux selon des conditions fixées par accord entre les organisations. La série de normes 61400 produite par la commission internationale concerne la conception et l’évaluation des performances des éoliennes. Ces normes sont la référence utilisée dans le domaine éolien [7].

2.2 La norme IEC 61400-12-1 [7]

L’hypothèse de base de cette norme est de supposer que la puissance est une fonction de la vitesse de l’écoulement libre. La production énergétique annuelle est calculée à partir de la courbe de puissance mesurée et de la distribution de vent sur le site. La norme IEC 61400-12- 1 est la plus reconnue par les institutions du domaine éolien. Elle est utilisée pour les turbines à axe horizontal dont la taille est suffisamment grande pour que l’anémomètre sur la nacelle n’affecte pas les performances de la turbine.

2.3 Le projet de norme IEC 61400-12-2 [8]

Contrairement à la norme IEC 61400-12-1, ce projet de norme utilise l’anémométrie à la nacelle pour le calcul de la vitesse de l’écoulement pour l’évaluation de la puissance de la turbine. Cependant ce projet de norme ne fait aucune recommandation sur l’évaluation des performances d’une éolienne opérant dans le sillage en utilisant la méthode de l’anémométrie à la nacelle.

9

2.4 Performance des éoliennes

La performance d’une éolienne concerne l’estimation à long terme de la production d’énergie attendue sur un site donné. Les principaux facteurs qui influent sur la puissance produite par une éolienne sont (a) la force du vent qui prévaut sur le site et de sa disponibilité à la turbine (b) l'efficacité aérodynamique du rotor dans la conversion de la puissance disponible dans le vent. Par conséquent, l'évaluation de la performance d'une éolienne est plutôt un processus complexe. La vitesse et la direction du vent à un endroit varient considérablement le temps et l’espcae. Ainsi, la distribution de la force du vent a aussi une influence significative sur la performance de l’éolienne. En outre, le caractère opérationnel de la machine doit correspondre aux vitesses du vent dominant de garantir le maximum de l'exploitation de l'énergie disponible.

2.4.1 Courbe de puissance

L'un des principaux facteurs qui influent sur la performance d'une éolienne est son pouvoir de répondre à différentes vitesses de vent. Cela est généralement donné par la courbe de puissance de la turbine. Cette courbe est l’une des caractéristiques les plus significatives d’une éolienne. Mise en relation avec le potentiel éolien d’un site, elle joue un rôle essentiel dans la prévision de la production électrique des projets de parcs éoliens en projet. Par ailleurs, elle constitue un argument de vente important et doit être mesurée par un organisme indépendant selon des standards reconnus IEC 61400-12-1.

La courbe de garantie fournie par le manufacturier prédit la production d’une éolienne en fonction de la vitesse du vent non perturbé.Cependant, la Commission Electrotechnique Internationale a établie le projet de norme IEC61400-12-2 qui recommande une technique appelée l’anémométrie à la nacelle utilisée pour l’évaluation des performances des éoliennes en utilisant la vitesse à la nacelle [8].

Figure2.1 Courbe de puissance idéale d’une éolienne à axe horizontale.

La figure 2.1 montre la courbe de puissance typique d'une éolienne. La puissance nominale de la turbine est de 1 MW. On peut y observer la variation de vitesse dans un modèle plutôt habituel. Les caractéristiques importantes de la vitesse de la turbine sont la vitesse de démarrage (VD), la vitesse nominale (VN) et la vitesse d’arrêt (VA).

La vitesse d’arrêt varie d'une turbine à l’autre, en fonction de ses caractéristiques. Toutefois, en général, la plupart des éoliennes commerciales ont une vitesse d’arrêt de l’ordre de 25 m/s.

2.4.2 L’utilisation de l’anémométrie à la nacelle pour la vérification de la performance

La collection de données précises de vitesse du vent est l'un des éléments plus problématiques dans les tests de performance de l’éolienne. L’IEC 61400-12-1 spécifie le placement de la tour météorologique entre deux et quatre diamètres de rotor en amont de la

11

turbine de référence [7]. Cependant, l'utilisation d'une tour météorologique face au vent peut être difficile à certains emplacements. Dans certains cas, le terrain complexe près de la turbine peut rendre le placement d'une tour face au vent impossible. En outre, l'achat et l’érection d'une tour météorologique peuvent être coûteux, en particulier lorsque la tour doit être aussi haute que le moyeu.

En raison de ces soucis, les propriétaires des parcs éoliens et les fabricants de turbine ont montré un intérêt dans l'utilisation des anémomètres placés sur la nacelle pour la collection de données de vitesse du vent [9]. Le problème le plus significatif avec cette pratique est que l'écoulement de vent est perturbé par le rotor et la nacelle, ainsi les mesures de vitesse du vent rassemblées par un anémomètre placé à l’arrière de la nacelle ne représentent pas exactement des vitesses du vent non perturbé capturée par le rotor. Ce problème peut être évité si les mesures peuvent être ajustées ; cependant, afin d'effectuer un tel ajustement, des données doivent être rassemblées pour décrire le rapport entre les vitesses du vent non perturbé et l'anémomètre de nacelle. Une telle collecte de données impliquerait l’installation d’une tour météorologique face au vent, qu’on prévoit éviter en utilisant l’anémométrie à la nacelle.

2.4.2.1 Principe de la méthode

La méthode de l’anémométrie à la nacelle repose sur l’hypothèse de base que si une relation peut être établie entre la vitesse de vent indiqué par l’anémomètre et celle du vent non perturbé, alors il est possible d’estimer la courbe de puissance de l’éolienne sans avoir recours à la tour de référence et sans passer par la procédure de calibration du site de l’IEC 61400-12 -1 [7]. En pratique cela pourrait signifier la création d’un ratio entre la vitesse à la nacelle et la vitesse du vent non perturbé pour une éolienne de référence dans un parc éolien et en supposant que la relation est la même pour toutes les autres turbines.

2.4.2.2 L’emplacement recommandé de l'anémomètre

Selon les recommandations de l’IEC, l'anémomètre doit être situé dans le plan de symétrie de la nacelle. Il doit être quelque part le long de la nacelle où les mouvements et les vibrations sont minimes (voir figure ci-dessous) [10].

Figure 2.2 L’emplacement de l’anémomètre sur la nacelle:

l’anémomètre doit être placé à l’intérieur de la zone hachurée.

Tiré du document : IEC 61400-12-2 Verification of power Performance of individual wind turbine 2007

La distance entre l'anémomètre et l'axe de la base de la pale ne devrait pas être inférieur à 2,5 fois le diamètre de cette dernière. La circulation de l'air ci-dessous ou au-dessus en raison d'un le terrain incliné doivent être prises en compte puisque l'anémomètre peut être influencé par le sillage de la nacelle. Dans de telles situations, l'anémomètre doit être installé plus près de la pale. La position verticale de l'anémomètre doit être de sorte qu'il soit loin de la couche limite autour de la nacelle. L'anémomètre ne doit pas être placé dans le sillage dû à la transition brutale possible de la partie circulaire de la base de la pale à la partie profilée.

13

Il est recommandé que l'anémomètre soit monté à une position de 15º au-dessus d'une ligne inclinée en aval tangente à la partie supérieure de la nacelle ou du moyeu comme indiqué dans la Figure 2.2. Il est également recommandé que, afin d'éviter l'influence des tourbillons de la base, l'anémomètre soit monté en dehors d'une zone de ± 15º ayant son point de départ à la transition de la forme cylindrique de la base à la partie profilées des pales.

2.4.3 Le concept du disque actuateur

Le comportement d'un rotor d'éolienne dans un écoulement peut facilement être analysé en introduisant le principe du disque actuateur. L'idée de base du principe de disque actuateur est de remplacer le rotor réel par un disque de surface équivalente perméable où les forces des pales sont distribuées sur le disque circulaire. Les forces distribuées sur le disque actuateur modifient les vitesses locales à travers le disque et l’ensemble de l’écoulement autour du disque de rotor. Par conséquent, l'équilibre entre les forces appliquées et l’écoulement perturbé est régi par la loi de la conservation de masse et l’équilibre des quantités de mouvement qui, pour un rotor réel est donné par les équations de mouvement axial et tangentiel. La figure 2.3 montre un disque actuateur où les courants sont en expansion en raison de la réaction de la poussée [11].

Figure 2.3 L’écoulement autour d’un disque actuateur.

Figure 2.4 Représentation de l’écoulement autour du disque actuateur.

La théorie de Rankine-Froude [12] estime l'équilibre de la quantité de mouvement axiale, loin en amont et en aval du rotor pour un disque actuateur uniformément chargé sans rotation, où la poussée T et la puissance cinétique P en termes de vitesse de vent non perturbé Uinf (V0 dans le schéma) et la vitesse du sillage lointain u1 sont réduit à :

( _{0 1})

.

u V m

T = − , ( )

2

1 2

1 2 0 .

u V m

P = − (2.1)

Ici, le débit massique à travers le disque est donné par

.

m=ȡu1A1, où A1 est la zone de sillage donné par la ligne de courant passant par le bord du disque et ȡ est la densité. L’utilisation

15

de conservation de la masse à travers le disque donne uA = u1A1, et en combinant les relations au-dessus, la puissance extraite du champ d'écoulement par la poussée est égale à :

P = (V +u )T =uT 2

1

1

0 Ÿ ( )

2 1

1

0 u

V

u = + (2.2)

Montrant que la vitesse u au niveau du disque est la moyenne arithmétique de la vitesse du vent non perturbé Vo et celle dans le sillage u1. L'importance de ce résultat est visible à l'évaluation des forces aérodynamiques de la pale. Pour plus de commodité l’équation (2.1) est généralement présenté sous forme adimensionnelle en introduisant le facteur d’induction axial

0

1 V

a= − u et en utilisant la pression dynamique de l’écoulement non perturbé et de la zone du rotor. Ainsi, l’expression de la poussée et celle de la puissance deviennent :

4 (1 ) 2

1 ₂

0 A a a

V

T = ρ _rot − (2.3)

₀³ 4 (1 )² 2

1 V A a a

P= ρ _rot − (2.4)

L’Equation (I.5) est une des équations indispensables pour fermer le système d’équation discuté dans le chapitre IV est celle reliant la poussée T du rotor à la chute de pression :

T =ΔpA_rot (2.5)

Pour obtenir la différence de pression ǻp, l'équation de Bernoulli est appliquée séparément aux sections en amont et en aval du rotor; les équations distinctes sont nécessaires car l'énergie totale est différente en amont et en aval. L’équation de Bernoulli stipule que, sous

des conditions stables, l'énergie totale dans l’écoulement reste constante et aucun travail n’est effectué sur ou par le fluide. Ainsi, pour une unité de volume d'air :

constante 2

1 ₂

= + + p gh

V ρ

ρ (2.6)

En amont, nous avons donc :

ρV + p0 +ρ0gh0 = ρu²+ p+ρgh

2

0 2

1 2

1 (2.7) En supposant que l’écoulement soit incompressible ( ρ₀ =ρ) et horizontale (h₀ =h ), alors :

V₀² +p₀ = u²+p⁺ 2

1 2

1ρ ρ (2.8) De même, en aval,

u₁²+ p₀ = u² +p⁻ 2

1 2

1ρ ρ (2.9)

En soustrayant ces équations, on obtient :

( ) 2

1 2

1 2

0 u

V p

p⁺ − ⁻ = ρ − (2.10)

Equation (2.10) donne alors :

( ) ( ) (1 ) 2

1

0 1

0 2

1 2

0 u A V u A V a

V − _rot = − ρ _rot −

ρ (2.11)

17

2.4.3.1 Coefficient de puissance

La force de l'air devient, à partir de l'équation (2.10) :

F =2ρA_rotV₀²a(1−a) (2.12)

Comme cette force est concentrée dans le disque actuateur, le taux de travail accompli par la force est Fu et, partant, la puissance d'extraction de l'air est donnée par :

P=2ρA_rotV₀³a(1−a)² (2.13)

Un coefficient de puissance est alors défini comme :

A V C_p P

3

2 0

1ρ

= (2.14)

Où le dénominateur représente la puissance disponible dans l'air, en l'absence du disque actuateur. Par conséquent :

)2

1 (

4a a

C_p = − (2.15)

2.4.3.2 Le coefficient de poussée

La force de l'actionneur du disque causée par la chute de pression, donnée par l'équation (2.12), peut également être adimensionnelle pour donner un coefficient de poussée CT :

rot T

A V C P

2

2 0

1ρ

= (2.16)

) 1 ( 4a a

C_T = − (2.17)

Un problème se pose pour des valeurs de a •1/2 étant donné que la vitesse en aval, donné par u1 = (1-2a)V0, devient nul, voire négatif, dans ces conditions, la théorie dynamique, tel qu’elle est décrite, ne s'applique plus et une analyse empirique doit être réalisé (section 2.3.3.3). La variation du coefficient de puissance avec un coefficient de poussée est montrée dans la Figure 2.5.

Figure 2.5 Variation de C_P et C_T en fonction du Facteur d’induction a.

19

2.4.3.3 La limite de Betz

La conversion optimale de l'énergie possible est facile à trouver à partir du gradient da dC_P

de l'Eq. (2.15). Le débit le plus élevé est obtenu pour une valeur de a= 1/3 pour un coefficient de poussée CT = 8/9. Le coefficient de puissance CP atteint la valeur maximale de 16/27 soit 59,3% généralement appelé la limite de Betz faisant référence à l'aérodynamicien allemand Albert Betz. À ce jour, aucune éolienne n’a été capable de dépasser cette limite.

2.4.3.4 Correction de Glauert

Afin de corriger la valeur de CT pour des a >1/3, Glauert [13] a proposé une relation empirique :

°¯

°®

­

−

−

−

= (5 3 ))

4 1 1 ( 4

) 1 ( 4

a a a

a a

C_T

3 1 3 1

>

≤ a a

La correction de Glauert permet d’obtenir une évaluation plus réaliste des performances théoriques d’une éolienne en prenant en considération la rotation de l’éolienne dans le sillage. D’une façon similaire au facteur d’induction axiale a, on introduit la notion de facteur d’induction de vitesse circonférentielle a’ (voir figure 2.6).

(2.18)

Figure 2.6 Diagramme des vitesses.

Le coefficient de puissance est obtenu à partir de ce triangle de vitesse en utilisant une nouvelle équation appelée limite de Glauert

⁼_λ

³

^{λ − λ λ}

0

3

2 '(1 )

8

r r

p a a d

C (2.19)

Avec V0

RΩ λ = ^,

V0

r

r

= Ω

λ ^,

0 0

V u a=V − et

= Ω ' 2ω

a (2.20)

CHAPITRE 3

DESCRIPTION DU PROJET

Le parc éolien de Wieringermeer est un site de test unique pour les turbines à vent qui se compose de quatre turbines prototypes, cinq éoliennes Nordex N80 à des fins de recherche et trois grands mâts météorologiques : deux mâts de 108 m de hauteur et un mât à 100 m. Les mesures effectuées dans les turbines de recherche incluent les mesures de charge, la collecte de données SCADA (Supervisory Control And Data Acquisition) et des mesures météorologiques. La grande quantité de données est utilisée dans de nombreux projets de recherche.

3.1 Localisation du projet

Au printemps 2004, Nordex a installé cinq éoliennes N80 / 2.500kW pour l’institut de recherche Néerlandais ECN (Centre Néerlandais de Recherches Énergétiques) sur son nouveau parc proche de la municipalité de Wieringermeer. Le site est situé juste au sud du village Kreileroord, à environ 30 kilomètres de distance les principaux bureaux de l'ECN à Petten.

Cette installation unique est la combinaison d'un parc éolien et de prototypes d'essai. Le parc éolien - composé de cinq éoliennes Nordex N80 - permet à ECN d'effectuer des recherches spécifiques et de programmes de développement des parcs éolien. Le site comprend également quatre emplacements prototypes. Ces sites permettent aux fabricants de tester, optimiser et certifier les prototypes en collaboration avec ECN. Le site dispose d'un climat favorable: la vitesse moyenne du vent à 100 m de hauteur est de 8,3 m/s.

3.2 Description du parc éolien

Le parc éolien est composé de deux rangées de turbines. La première ligne est composée de quatre turbines prototype orienté à 95 º par rapport au nord et avec un espacement de 411 m.

La deuxième ligne se compose de cinq turbines de types Nordex N80 destinées à la recherche orientée vers 95 º par rapport au nord et avec un espacement de 305 m (3.8 le diamètre de l’éolienne). La direction principale du vent est sud-ouest. Le terrain d'essai et ses environs sont caractérisés par un terrain plat (figure 9), constitué de zones essentiellement agricoles, avec des fermes isolées et des rangées d'arbres. Le lac IJsselmeer est situé à une distance de 1-2 km à l'est du parc. Le petit village de Kreileroord est situé au nord du parc éolien. Les rangées de turbines prototype et les turbines de recherche sont séparées d’une de distance de 1600m. Le tracé du parc éolien est indiqué sur la figure (3.2).

Figure 3.1 Parc éolien de Wieringermeer.

Tirée du site http://www.ecn.nl/

23

Figure 3.2 L’aménagement de la station de Wieringermeer.

Tirée du site http://www.ecn.nl/

3.2.1 Les tours météorologiques

Les tours météorologiques dans le site de Wieringermeer sont des tours en treillis avec une hauteur de 100 m ou 108 m. Les sections triangulaires dont la longueur des côtés de 1,6 m sont égales à tous les niveaux. Des bras pour soutenir les instruments de mesure sont installés à différents niveaux. Une bôme est pointée vers le nord: 0°, une seconde à l'est-sud- est: 120 ° et une troisième à l'ouest-sud-ouest: 240 °. Les bômes sont de 6,5 m de long ainsi, l'influence du mât sur la vitesse du vent et des mesures de la direction du vent est inférieure à 1%. Les mesures météorologiques à proximité des turbines de recherche sont à 80 m (hauteur du moyeu), à 52m et 108m de hauteur. Les anémomètres soniques sont placés à trois hauteurs sur le mât et ils sont situés au Nord des bras afin de mesurer les conditions du sillage des turbines.

Figure 3.3 Tour météorologique installée sur le site de Wieringermeer.

25

3.2.2 Description des données du parc éolien

Les données sont recueillies sur le site de recherche de deux façons ; la première est celle que le réseau ECN mesure avec des unités locales d'acquisition de données (systèmes de DANTE) et la deuxième est avec le système SCADA du centre Nordex. Les mesures du réseau ECN de mesure comprendront les mesures de l'instrumentation dans les tours météorologiques et les mesures rapides de données SCADA ainsi que les mesures de la charge mécanique. Le système SCADA Nordex recueille toutes les données SCADA des cinq éoliennes toutes les dix minutes et stocke ces valeurs dans un ordinateur central. Ces mesures sont transférées à ECN sur une base quotidienne.

Les données météorologiques consistent en des mesures de vitesse du vent, direction du vent, pression atmosphérique, température, précipitations et stabilité atmosphérique.

Pour chaque campagne, les données sont stockées dans des fichiers binaires sur un ordinateur hôte à proximité de l'expérience. L'ordinateur hôte est connecté au même réseau que celui auquel sont reliés les systèmes de DANTE.

Conformité des mesures

La plupart des mesures sont effectuées conformément aux normes IEC et ses recommandations techniques. Les données mesurées sont toujours stockées dans la structure de base de données WDMS (Système de gestion des données de vent) et peuvent être livrés périodiquement dans n'importe quel format numérique demandé par le client. Les rapports périodiques sont fournis pour permettre un accès facile aux données et démontrer la validité des mesures.

3.3 Description de l’éolienne Nordex N80

Les cinq turbines à l’essai sont des Nordex N80 d'une puissance nominale de 2500 kW. Les éoliennes sont à vitesse et pas variables. Le diamètre du rotor et la hauteur du moyeu sont de 80 m. Le rotor est composé de trois pales en fibre de verre renforcé de polyester. Les vitesses de rotation varient entre 10.8 et 18.9 rpm. La vitesse de rotation est ajustée pour que l’éolienne opère à un Cp maximale sur une grande plage de vitesse possible. Les éoliennes N80 fonctionnent lorsque la vitesse du vent à la hauteur du moyeu est comprise entre 4 m/s et 25 m/s et elles atteignent la puissance nominale à 14 m/s.

Figure 3.4 Éolienne Nordex N80.

27

Les pales sont équipées d'un système de protection contre la foudre, y compris un récepteur pour dévier la foudre sur le moyeu du rotor. Le générateur est une machine asynchrone à double alimentation. Le générateur est maintenu dans sa gamme de température optimale par un circuit de refroidissement à l'eau glycolée.

3.3.1 Principes de fonctionnement

La société Nordex AG est l’un des chefs de file mondiaux de la fabrication de gros aérogénérateurs. Ses produits sont destinés à 60 % à l’exportation. Nordex est un fournisseur dynamique sur les marchés mondiaux de l’énergie éolienne.

Les éoliennes Nordex N80 possèdent un système de variation de l’angle de calage des pales (figure 3.5). Celui-ci permet au rotor de faire varier son efficacité aérodynamique. De cette façon, la courbe de puissance (figure 3.6) aura une allure se rapprochant de celle d’une éolienne à vitesse variable. Cependant, il est difficile d’obtenir un plateau à fort vent, étant donné qu’un certain laps de temps s’écoule avant que l’angle de calage des pales soit ajusté automatiquement.

Figure 3.5 Système de variation de l’angle de calage des pales.

3.3.2 Performance de la Nordex N80

La courbe de puissance et les vitesses de rotation associées à chaque vitesse de vent sont illustrées sur les figures 3.6 et 3.7 respectivement. La plage d’opération de l’éolienne est entre 4 et 25 m/s. Sa puissance nominale de 2500 kW est atteinte à partir de 15.96 m/s. la vitesse de rotation varie entre 7.2 et 12.6 m/s et demeure constante en dehors de cette plage soit 10.8 rpm pour les vitesses inférieures ou égales à 7.2 m/s et 18.9 rpm pour les vitesses supérieures ou égales à 12.6 m/s.

0 5 10 15 20

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Vitesse infinie (m/s) Vitesse infinie (m/s) Vitesse infinie (m/s) Vitesse infinie (m/s)

Puissance (kW)Puissance (kW)Puissance (kW)Puissance (kW)

Figure 3.6 Courbe de puissance de la Nordex N80.

29

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Vitesse infinie (m/s) Vitesse infinie (m/s) Vitesse infinie (m/s) Vitesse infinie (m/s) Vitesse de rotation (rpm)Vitesse de rotation (rpm)Vitesse de rotation (rpm)Vitesse de rotation (rpm)

Figure 3.7 Vitesse de rotation du rotor en fonction de la vitesse infinie.

0 5 10 15 20

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Vitesse infinie (m/s) Vitesse infinie (m/s) Vitesse infinie (m/s) Vitesse infinie (m/s)

CpCpCpCp

Figure 3.8 Courbe Cp de la Nordex N80.

La figure 3.8 illustre la courbe du coefficient de puissance obtenue à partir de la fiche technique de la Nordex N80. Sur cette figure, le Cp maximal de 0.452 est atteint pour les vitesses de vents non perturbées entre 8 et 9,5 m/s

CHAPITRE 4

MODÈLE MATHÉMATIQUE

L’écoulement autour de la nacelle et du rotor d’une éolienne est très complexe. Un modèle mathématique est donc proposé pour bien présenter cet écoulement. Dans un tel écoulement, les équations de Navier-Stokes seront utilisées à cet effet en posant des hypothèses simplificatrices pour faciliter la résolution du système d’équations de continuité et de quantité de mouvement utilisées pour la modélisation.

4.1 Équations fondamentales 4.1.1 Équations du mouvement

Les équations de mouvement sont obtenues en appliquant les principes de conservation de la masse et de la quantité de mouvement à un volume de contrôle V à l’intérieur du fluide. On considère l’écoulement comme étant stationnaire et incompressible (vu la présence de faible vitesse dans la couche limite terrestre). Le vecteur de norme unitaire ni est orienté vers l’extérieur de V et perpendiculaire à la surface A.

L’équation de conservation de la masse aussi appelée l’équation de continuité stipule que la masse du système est invariable dans le temps.

+ =0

∂

∂

³

³

A

i i V

dA n u t dV

ρ (4.1)

Selon l’hypothèse d’incompressibilité considérée ci-haut, l’équation de continuité devient donc :

³

_A^uinidA = 0 (4.2)

La deuxième loi de Newton dit que la variation de la quantité de mouvement d’un volume de contrôle est égale à la somme des forces qu’il subit.

ext^VC A

i j i V

i dV uu ndA F

t

u + =

∂

∂

³

³ ^{ρ ρ}

(4.3) Ici, u_i et u_jreprésentent les composantes de la vitesse. Le terme F_ext^VC représente les forces surfaciques F_surf^VC telles que la force de pression et de friction et volumiques F_vol^VC exercées sur un volume de contrôle. Les forces surfaciques F_mec^VC exercées par les pales sur l’éolienne seront étudiées en profondeur en utilisant la théorie de l’élément de pale discutée dans la section [4.2.2].

L’équation de la quantité de mouvement est donc réécrite comme suit :

i mec^VC

A i

j j i ij

A

i j i V

i ndA F

x u x p u

dA n u u t dV

u +

»»

¼ º

««

¬ ª

¸¸

¹

·

¨¨

©

§

∂ +∂

∂ + ∂

−

=

∂ +

∂

³ ³

³ ^{ρ ρ δ μ}

(4.4)

Pour connaître les caractéristiques de l’écoulement dans tout le domaine à chaque instant t, il faudra résoudre le système d’équations précédent. Pour ce faire, on doit connaître le terme

VC

Fmec en plus des quatre variables indépendantes qui sont les trois composantes de la vitesse ui ainsi que la pression p. Toutefois, les temps de calcul pour résoudre un tel système instationnaire en 2-D demeureraient trop importants. Ce qui nous conduira à poser d’autres hypothèses pour simplifier la résolution du problème. Ensuite, on supposera que l’écoulement est axisymétrique au tour de la nacelle de l’éolienne par rapport à l’axe de rotation (voir 4.1.4).

33

Finalement, en remplaçant le rotor par le modèle du disque actuateur, un disque uniforme composé par un nombre infini de pales, permettra de considérer l’écoulement comme stationnaire. [14]

4.1.2 Équation de Navier-Stokes moyennées

Un écoulement turbulent est dit stationnaire si les quantités moyennes sont constantes dans le temps. Ce qui permettra son étude en utilisant la méthode de moyennage temporel des équations instantanées de Navier-Stokes (RANS).

Cette méthode consiste à décomposer chaque valeur instantanée des différentes propriétés de l’écoulement en une composante moyenne ψ et une composante de fluctuationψ^'.

ψ_i =ψ_i+ψ_i^' (4.5)

En remplaçant les valeurs instantanées par celle moyennées dans les équations de Navier- Stokes (4.2) et (4.4) on obtient :

³

_A^uinidA=0 (4.6)

VC i mec

A i

j j i ij

A

i j i A

j i

i

n dA F

x u x p u

dA n u u dA

n u

u +

» »

¼ º

« «

¬ ª

¸ ¸

¹

·

¨ ¨

©

§

∂ + ∂

∂ + ∂

− +

−

= ³ ³

³ ^{ρ ρ}

^{' '}

^{δ μ}

(4.7)

Cette nouvelle forme des équations de Navier-Stokes fait apparaître un nouveau terme,τ_ij =−ρu_i^'u^'_j, appelé le tenseur de Reynolds qui évoque le caractère turbulent de l’écoulement. Cependant, ce terme vient introduire six inconnues supplémentaires appelées contraintes de Reynolds, dont trois sont normales et les trois autres agissent en cisaillement.

Il s'agit alors de fermer le problème en introduisant des équations supplémentaires qui seront déterminées dans la section suivante.

4.1.3 Modèle de turbulence

La technique de moyennage temporel de Reynolds permet de résoudre notre système d’une façon statistique et indépendante du temps. Toutefois, elle fait apparaître d’autres inconnues additionnelles. L’ajout d’un modèle de turbulence est donc essentiel pour fermer le système.

Il existe différents modèles de turbulence, se distinguant par leur niveau de complexité. Le modèle de turbulence le plus utilisé dans les applications de l’ingénierie est le modèle à deux équations k-İ. Il permet de prédire de nombreux écoulements avec une précision raisonnable.

Aussi, certaines recherches sur le sillage produit par les éoliennes tel que celle effectuée par Crespo et al. [15] se basaient sur le modèle de turbulence k-İ. Ce qui justifie le choix de ce modèle pour cette étude.

4.1.3.1 L’approche de Boussinesq

Cette approche repose sur l’hypothèse que la densité et la viscosité du fluide dépendent de la température. Lorsque la variation de température est assez petite, on suppose que la densité et la viscosité sont constantes. Dans cette approximation de Boussinesq, les contraintes de cisaillement turbulentes ont la même forme que celles des contraintes de cisaillement visqueuses.

_ij

i j j i t j

i k

x u x u u

u μ ρδ

ρ 3

' 2

' ¸¸−

¹

·

¨¨

©

§

∂ +∂

∂

= ∂

− (4.8)

35

Où ^{' '} 2 1

j iu u

k = et elle représente l’énergie cinétique turbulente

L’équation de Navier-Stokes devient donc :

( )

^{i VCmec}

A i

j j i t ij

A

i j i A

j i

i

n dA F

x u x p u

dA n u u dA

n u

u +

» »

¼ º

« «

¬ ª

¸ ¸

¹

·

¨ ¨

©

§

∂ + ∂

∂ + ∂ +

− +

−

= ³ ³

³ ^{ρ ρ}

^{' ' *}

^{δ μ μ}

(4.9)

Où ^{p p k}ρ

3

* = + 2 (4.10)

Dans un modèle de turbulence on cherche l’expression de la viscosité turbulenteμ_t =ρν_t. La dimension de ν_t ^{est m2}/s. Une vitesse caractéristique multipliée par une longueur caractéristique donnera la même dimension, i.e.

νt α VtLt

Différents modèles de turbulence sont utilisés pour déterminer ces deux grandeurs caractéristiques qui sont la vitesse et la longueur. Par exemples les modèles algébriques ou à zéro équation, n’utilisant pas des équations aux dérivées partielles pour le calcul des termes de transport turbulent, sont les plus simples des modèles de turbulence. Cependant, un des principaux inconvénients de ces modèles est lié au fait que la longueur de mélange, souvent utilisée pour le calcul de la viscosité tourbillonnaire, doit être trouvée pour chaque écoulement.

Dans des modèles à une équation, une équation de transport est souvent résolue pour l'énergie cinétique turbulente. Comme les modèles algébriques, l'inconvénient principal de ce type de modèle est qu'il ne s'applique pas aux écoulements généraux puisqu'il n'est pas possible de trouver une expression générale pour une échelle de longueur algébrique.

Définis par Jones et Launder [16] comme étant un modèle complet, les modèles à deux équations sont les plus utilisés dans la pratique, plus particulièrement le modèle de turbulence dit k – İ. Il consiste à calculer la viscosité turbulente à partir de l’énergie turbulente k et de la dissipation İ.

4.1.3.2 Modèle de k – İ

Dans ce modèle les équations d’énergie k et de dissipation İ sont les deux équations de la turbulence qui vont aider à fermer notre système.

Pour un volume de contrôle V délimité par une surface A, les équations du modèle k – İ sont :

Vt = k^1/2 (4.11) Et Lt =

ε

2 /

k3

(4.12)

On obtient l’expression finale de la viscosité turbulente à partir de l’énergie cinétique turbulente k, et de son taux de dissipationε^.

μ ρ μ ε

k2 t = C

(4.13)

Les deux grandeurs dont le calcul est nécessaire pour calculer la viscosité turbulente, à savoir k et İ, sont obtenues à partir des équations de transport suivantes :

( )

³

⁼

³

^{− +}

³

_¨¨©^{§ +} _¸¸¹^·_∂^∂

A A

i i k T V

t

i i ndA

x dV k

P dA n u

k σ

μ μ ε

ρ ρ

(4.14)